Xem mẫu
- Chuyên đề " Định lý biến
thiên động năng "
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
CHUYÊN :
NH LÝ BI N THIÊN NG N NG.
I. C S LÝ THUY T:
1. CÁC NH NGH A:
1.1. NG N NG:
ng n ng c a m t ch t m có kh i l ng m, chuy n ng v i v n t c v là
il ng vô h ng c kí hi u là T:
1
mv 2 (1)
T
2
ng n n g c a h g m N ch t m là il ng vô h n g b ng t n g ng
ng c a t t c các ch t m c a h .
1
( mk v k2 ) (2)
T
2
ng n ng là i l ng v t lí c tr ng cho n ng l ng c h c c a h khi
chuy n ng. n v c a ng n ng là Jun (J).
Các công th c tính ng n ng c a v t r n chuy n ng:
V t r n có kh i l ng m chuy n ng t nh ti n, có v n t c kh i tâm vc :
1
mvc2 (3)
T
2
V t r n quay quanh tr c c nh v i v n t c góc và có mô men quán tính
i v i tr c quay là J :
1 2
(4)
T J
2
V t r n có kh i l ng m chuy n ng song ph ng, có v n t c kh i tâm vc và
n t c góc :
1 1 1
mvc2 2 2
(5)
T Jc Jp
2 2 2
Trong ó J c , J p l n l t là mômen quán tính c a v t i v i kh i tâm và tâm quay t c
th i P.
N u v t có d ng dây, b ng t i (v t bi n d ng) thì c n xem v t th g m vô s
các ch t m và s d ng công th c (2) tính ng n ng.
1.2. CÔNG C A L C:
Công c a l c bi u th n ng l ng mà l c ó ã cung c p thêm ho c làm hao
n cho c h trong quá trình chuy n ng.
Công nguyên t c a l c F (t c là công c a l c trong kho ng th i gian vô
cùng bé dt) là i l ng vô h ng.
dA Fd r F vdt F cos ds
Trong ó là góc h p gi a l c và ph ng ti p tuy n c a qu o.
Công c a các l c th ng g p:
Công c a tr ng l c: A Ph
Trong ó h là cao di chuy n c a m t tr ng l c. L y d u c ng ho c tr tùy thu c
vào m t c a tr ng l c c h xu ng ho c nâng lên.
Công c a l c àn h i khi m t di chuy n theo ph ng tác d ng c a l c:
-1-
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
1
k ( x12 2
A x2 )
2
Công c a ng u l c có vec t mô men M tác d ng lên v t quay quanh tr c :
A M
Trong ó M const là hình chi u c a vec t mô men ng u l c M trên tr c quay .
Công c a ng u l c ma sát l n trong di chuy n h u h n c a bánh xe (tr ng
p ph n l c pháp tuy n có tr s không i trong quá trình bánh xe l n).
A kN
1.3. CÁC VÍ D TÌM NG N NG C A C H VÀ CÔNG C A L C:
Câu 1: M t b ng t i v t li u ang ho t ng. Cho bi t v t c t i A có kh i l ng m1,
các tr c quay B và C là các tr c ng ch t có cùng bán kính r và kh i l ng m2, b ng t i
là dây không dãn, ng ch t có chi u dài l và kh i l ng m3 c phân b u. B qua
tr t gi a v t A và b ng, tính ng n ng c a c h theo v n t c góc c a tr c d n g n
i ròng r c B.
Gi i:
ng n n g c a c h c tính nh r
A
C
sau:
T = TA + T B + TC + T n g
Trong ó TA, TB, TC, T ng l n l t là
ng n ng c a các v t A, B, C, và b ng t i.
1
Ta có :
B
t A chuy n ng t nh ti n th ng: r
1 2
TA m1v A
2
Hai ròng r c B và C chuy n ng quanh các tr c c nh :
1 1
2 2
; TC
TB J1 J2
1 2
2 2
ng t i là v t bi n d ng tính ng n ng c a nó ta chia b ng t i thành nhi u
ph n t , m i ph n t xem nh là m t ch t m có kh i l ng mk và có cùng v n t c vA
(vì dây không giãn và gi a v t A và b ng không có s tr t) nên:
1 12 1
2
m3 v 2
T = mk v A vA mk
ng A
2 2 2
t khác ta có: v A 1r 2r
Ngoài ra J 1 , J 2 l n l t là mô men quán tính c a các v t B và C i v i tr c quay
m2 r 2
riêng c a chúng: J 1 J2
2
y bi u th c ng n ng c a c h là:
1
m3 ) r 2 2
T (m1 m 2 1
2
1 2
(m1 m 2 m 3 )v A
2
Câu 2: Con l n hình tr tròn A ng ch t có kh i l ng m1, l n không tr t trên m t
ph ng ngang, c qu n dây v t qua ròng r c B có bán kính r và mô men quán tính i
i tr c quay là J0, u kia c a dây bu c v t D có kh i l ng m2.B qua kh i l ng c a
dây. Bi t v t D chuy n ng v i v n t c vD, hãy tìm ng n ng c a c h .
-2-
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
Gi i:
h g m 3 v t con l n A chuy n ng song ph ng, ròng r c B chuy n ng
quay và v t D chuy n ng t nh ti n. ng n ng c a h c tính nh sau:
1 1 1 1
( m1vc2 2 2 2
T TA TB TD Jc ) J0 B m2 v D
A
2 2 2 2
vD vD vD 1
m1 R 2
Trong ó: ; ; vc R ; Jc
B A A
r 2R 2 2
Thay các giá tr này vào bi u th c tính ng n ng ta c:
J0 2
13
T ( m1 m2 )v D
r2
28
B
A B
VC
C
R
A
vD
D
Câu 3: C c u culit g m tay quay OC ng ch t có chi u dài R và kh i l ng m1 quay
quanh tr c c nh O, con tr t A có kh i l ng m2 có th di chuy n d c theo tay quay
OC và truy n chuy n ng cho thanh AB có kh i l ng m3 tr t d c theo rãnh th ng
ng. Tìm ng n ng c a c h ó t i v trí tay quay có v n t c góc và t o góc v i
ph ng n m ngang. Cho bi t kho ng cách t tr c O n rãnh tr t b ng l.
Va
Ve Vr
C
A
O
l
B
Gi i:
h g m tay quay OC chuy n ng quanh O, con tr t A c xem nh ch t
m, thanh AB chuy n ng t nh ti n. tìm liên h c a c c u culit ta ph i phân tích
chuy n ng ph c h p c a con tr t A v i h ng là tay quay OC. Chuy n ng t ng
i c a A là chuy n ng th ng d c theo OC, chuy n ng theo là chuy n ng quay
-3-
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
ah ng OC quanh O, do ó ph ng v n t c theo ve vuông góc v i OC và có tr s
l
là: ve . Áp d ng nh lý h p v n t c ta c:
OA
cos
va ve v r
ve l
va
cos 2
cos
n t c t nh ti n c a thanh AB c ng chính là v n t c c a con tr t A, ta tìm
c ng n ng c a c h nh sau:
T Toc TA T AB
1 1 1
2
m2 v 2 2
J0 m3 v A
A
2 2 2
2
11 1 l
( m1 R 2 ) 2
( m2 m3 )
cos 2
23 2
2
m1 R 2 cos 4 3l 2 (m 2 m3 )
4
6 cos
Câu 4: Con l n hình tr tròn có kh i l ng m1 và bán kính r l n không tr t trên m t
ph ng ngang v i v n t c t i kh i tâm O là V0. Thanh th ng ng ch t OB có kh i
ng m2 và chi u dài l, quay u quanh tr c O c a con l n A theo quy lu t t . Bán
kính quán tính c a con l n A i v i tr c O là . Tìm ng n ng c a c h .
y
r
O x
A Vr
A
Ve
C
P2 B
Gi i:
h g m con l n A và thanh OB u chuy n ng song ph ng. ng n n g c a
h c tính nh sau:
1 1 1 1
2 2
) ( m2 vc2 2
T ( m1v0 J0 Jc )
A
2 2 2 2
v0
Trong ó là v n t c góc t ng i c a thanh OB iv ih t a
;
A
r
ng Oxy t nh ti n cùng kh i tâm O và c ng là v n t c góc c a thanh OB quay quanh
kh i tâm C. V n t c tuy t i c a kh i tâm C c tìm b ng nh lý h p v n t c.
va ve vr
-4-
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
l
i vr v0 ; ta có:
; ve
2
vc2 v r2 v e2 2v r v e cos
2 2
l
vc2 2
v0 l v 0 cos t
4
Thay các giá tr tìm c trên vào bi u th c tính ng n ng ta c:
2 2
v0 2
1 1 1 l 11
2 2 2
( m2 l 2 ) 2
T m1v0 (m1 )( ) m2 l v 0 cos t v0
2 2 r 2 4 2 12
2
1 1 1
2
m2 l 2 2 2
m1v 0 1 l v 0 cos t v0
2
2 r 2 3
Câu 5: Con l n A có tr ng l ng P1, bán kính vành trong và vành ngoài là r và R, l n
không tr t trên m t ph ng n m ngang d i tác d ng c a mô men quay M = const.
Vành trong c a cong l n c qu n dây và v t qua ròng r c B ng ch t, bán kính r1.
u kia c a dây bu c v t n ng D có tr ng l ng P3, có th tr t trên m t ph ng nghiêng
góc v i ph ng n m ngang. H s ma sát l n gi a con l n v i m t ph ng ngang là k.
s ma sát tr t gi a D v i m t ph ng nghiêng là f. Mô men c n t i tr c quay O là
Mc = const. Tìm t ng công c a các l c tác d ng lên c h trong di chuy n mà v t D i
c n ng SD.
sC
B
A
M
B
C r1
R r sD
A
Mc
Ml
D
P3
Gi i:
h g m 3 v t, con l n A chuy n ng song ph ng, ròng r c B chuy n ng
quay và v t n ng D chuy n ng t nh ti n. Khi v t D chuy n ng c n ng s D
c m t ph ng nghiêng, v t B quay c góc B , tr c C c a con l n i c n
ng sC và con l n A quay c góc A . T ng công c a các l c tác d ng lên c h
trong di chuy n ó b ng:
A M kN 1 Mc P3 s D sin fN 3 s D
A A B
tìm các di chuy n qua di chuy n sD, ta d a vào liên h gi a các v n t c:
vD r1 ; vD (R r) ; vC R
B A A
Tích phân hai v c a các ng th c trên, ta tìm c liên h gi a các di chuy n:
sD r1 ; sD (R r) ; sC R
B A A
sD sD Rs D
Hay: ; ; sC
B A
r1 Rr Rr
-5-
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
t khác ta l i có: N 1 P1 ; N 3 P3 cos
Thay các giá tr tìm c vào bi u th c tính công c a các l c ta c:
sD sD
A (M kP1 ) Mc P3 (sin f cos )s D
Rr r1
2. CÁC NH LÝ BI N THIÊN NG N NG:
2.1. NH LÝ BI N THIÊN NG N NG D NG H U H N:
Bi n thiên ng n ng c a h trong di chuy n h u h n b ng t ng công c a t t
các l c tác d ng lên c h trong di chuy n ó.
T T0 Ak
Trong ó: T và T0 l n l t là ng n ng c a h t i th i m ang xét và th i
m u. Ak là t ng công h u h n c a các l c.
2.2. NH LÝ BI N THIÊN NG N NG D NG VI PHÂN:
Vi phân ng n ng c a c h trong di chuy n vô cùng bé c a h b ng t ng
công nguyên t c a các l c tác d ng lên c h trong di chuy n ó.
dT dAk
dT
Hay: Wk
dt
Trong ó: T là ng n ng c a c h t i th i m b t k , dAk và Wk là t ng
công nguyên t và t ng công su t c a các l c.
2.3. CÁC VÍ D ÁP D NG:
Câu 1: V t A có kh i l ng m1 c t trên m t ph ng ngang nh n, g n b n l t i O
i thanh ng ch t OB có kh i l ng m2 và chi u dài l. H b t u chuy n ng t
tr ng thái t nh, khi ó thanh OB n m ngang. B qua ma sát t i b n l O. Tìm v n t c
a v t A t i th i m khi thanh OB v trí th ng ng.
y1 y
N
A0 A
B0 vA x
O O
A0
x1
O1
P1
l vr ve
C
P2
Gi i: B
Xét c h g m v t a chuy n ng t nh ti n và thanh OB chuy n ng song
ph ng. Áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng d ng h u h n:
T T0 A
Ban u h ng yên, do ó T0 = 0. T i v trí thanh OB th ng ng, v t A có v n
c v A còn thanh OB có v n t c góc , ng n ng c a h t i v trí ó b ng:
1 1 1
2
( m 2 v c2 2
(1)
T m1v A Jc )
2 2 2
-6-
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
n t c tuy t i c a kh i tâm C c a thanh OB iv ih t a c nh O1x1y1
l
ng t ng c a vec t v n t c t ng i vr iv ih t a ng Oxy, chuy n
2
ng t nh ti n cùng v i v t A, và vec t v n t c theo ve = vA; ta có:
l
vc vA
2
1
m 2 l 2 ta
Thay giá tr này vào (1) v i l u ý J c c:
12
1 1 l 11
m1v 2 )2 ( m2l 2 ) 2 (2)
T m 2 (v A
A
2 2 2 2 12
tìm v n t c góc là v n t c góc t ng i c a thanh OB i v i h t a
ng Oxy ng th i c ng là v n t c góc tuy t i i v i h c nh O1x1y1, ta chú ý
ngo i l c P1, P2, N tác d ng lên h luôn vuông g c v i tr c O1x1, do ó ng l ng c a
c b o toàn theo tr c O1x1. Ban u h ng yên, do ó t i v trí th ng ng ng
ng c a h b ng:
l
m1v A (v A )0
2
2(m1 m2 )v A
m2l
Thay giá tr v n t c góc vào bi u th c (2) ta tìm c ng n ng c a h nh sau:
(m1 m2 )(4m1 m2 ) 2
T vA
6m2
Trong di chuy n c a h ch có tr ng l c P2 sinh công và b ng:
l
A m2 g
2
y v n t c c a v t A khi thanh OB v trí th ng ng là:
3 gl
vA m2
(m1 m 2 )(4m1 m2 )
Câu 2: M t v t A có tr ng l ng P c kéo lên t tr ng thái ng yên nh ròng r c B
là a tròn ng ch t có bán kính R, tr ng l ng Q và ch u tác d ng ng u l c có mô
men M không i. Tìm v n t c c a v t A khi nó c kéo lên m t n b ng h, tìm gia
c v t A.
Gi i:
h g m v t A chuy n ng t nh ti n, ròng r c B quay quanh MR
tr c c nh. Áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng d ng h u h n:
B
T T0 A
Ta có T0 = 0, vì ban u h ng yên. ng n ng c a h khi v t A
Q
chuy n ng c m t h là:
2
Pv A 1 1Q 2 2
T TA TB ( R)
2g 2 2g A
Ngoài ra ta có: v A R
y ng n ng c a h b ng:
P
2
( 2 P Q )v A
(1)
T
4g
ng công c a các l c:
-7-
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
A M Ph
Trong ó là góc quay c c a ròng r c khi v t A c nâng lên m t n
h.: h R
M
y: (2)
A Ph
R
t h p (1) và (2) ta c:
2
( 2 P Q )v A M
Ph
4g R
( M PR )
vA 4g h
R(2 P Q )
tìm gia t c c a v t A ta áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng d ng vi phân nó
c vi t nh sau:
(2 P Q ) M
vAa A P vA
2g R
M PR
a A 2g const
R ( 2 P Q)
Câu 3: M t t m n ng có kh i l ng m, c t n m ngang trên hai con l n, m i con
n là m t kh i tr tròn xoay ng ch t có bán kính r và kh i l ng m1. Tác d ng vào
m m t l c F n m ngang có l n không i. H s ma sát l n gi a con l n v i m t
n là k. Các con l n l n không tr t trên n n và t m n ng không tr t i v i các con
n. Tìm gia t c c a t m và tìm l c ma sát tr t t ng c ng do m t n n tác d ng lên các
con l n. B qua ma sát l n gi a t m và các con l n.
v
F
v1
v1
Ml1 Ml2
Gi i:
g m t m n ng chuy n ng t nh ti n, các con l n chuy n ng song ph ng.
Các l c tác d ng lên h sinh công g m có l c F , các ng u l c ma sát l n do n n tác
ng lên các con l n, chúng có mô men l n l t là: Ml1 = kN1, Ml2 = kN2.
tìm gia t c c a t m n ng ta có th áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng d ng
o hàm nh sau:
dT
W
dt
ng n n g c a h g m ng n ng c a t m n ng và hai con l n:
2 2
mv J1
1
mv 2 11
T 2
2 2 2
Vì không có hi n t ng tr t gi a con l n và n n, gi a con l n và t m nên:
v1
v v
v1 ;
2 r 2r
-8-
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
Trong ó v là v n t c c a t m n ng, v1 và là v n t c và v n t c góc c a các
con l n.
y ng n n g c a h :
4m 3m1 v 2
T
4 2
Bây gi ta tính t ng công su t c a l c F và c a các ngu l c ma sát l n.
W Fv (M l1 M l2 ) Fv k ( N 1 N2 )
k
Fv k ( P1 P2 P) F ( P1 P2 P) v
r
nh lý bi n thiên ng n ng d n g o hàm cho ta:
4m 3m1 k
va F ( P1 P2 P) v
4 r
k k
F ( P1 P2 P) F (m 2m1 ) g
r r
a 4 4
4m 3m1 4m 3m1
tìm l c ma sát t ng c ng do n n tác d ng lên các con l n ta vi t ph ng trình
chuy n ng kh i tâm cho h :
ma 2m1 a1 F Fms Pk Nk
Khi chi u ph ng trình vec t nh n c lên tr c n m ngang ta c:
ma 2m1a1 F Fms
Chú ý r ng: a 2a1 ta tìm c:
Fms F (m m1 )a (v i a c tính nh trên).
Câu 4: M t thanh ng ch t AB có chi u dài 2a, quay c quanh tr c A c nh còn
u B t a trên sàn. Truy n cho thanh v n t c góc ban u 0 và khi thanh v trí n m
ngang liên k t t i A b m t. Ti p theo thanh chuy n ng t do trong m t ph ng th ng
ng d i tác d ng c a tr ng l c. Tìm giá tr c a v n t c góc u 0 c a thanh khi
thanh r i ch m vào sàn thanh v trí th ng ng.
A
B’
1
0
Gi i: B
Chuy n ng c a thanh g m hai giai n: giai n u thanh t v trí th ng
ng c truy n v n t c g c 0 , quay quanh tr c c nh qua A và k t thúc khi thanh
m v trí n m ngang và liên k t A b m t; giai n th hai liên k t A b m t và
thanh chuy n ng song ph ng. u ki n u giai n hai là u ki n cu i c a giai
n u. tìm u ki n cu i c a giai n u chúng ta áp d ng nh lý bi n thiên
ng n n g d n g h u h n:
-9-
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
T T0 A
1 2 2
Qua tính toán ta c: J A( ) Pa
1 0
2
Trong ó là v n t c g c c a thanh khi nó quay n v trí ngang, JA là mô men
1
4
ma 2 . T
quán tính c a thanh i v i tr c qua A: J A ó ta tìm c:
3
3g
2 2
(1)
1 0
2a
Trong giai n th hai thanh chuy n ng song ph ng, ph ng trình chuy n
ng có d ng nh sau:
ma xc 0; ma yc mg ; J c 0.
Ta có các u ki n u: x0 c a; v 0 xc 0; y 0c 0; v0 yc a ; 0;
1 0 0 1
Khi tích phân ta nh n c:
t2
xc a; y c a 1t g ; t
1
2
khi thanh r i ch m vào sàn v trí th ng ng, các u ki n sau ph i th a
mãn:
yc a; (2k 1) ;k 0,1, 2, 3,....
2
t2
y ta có: a 1t g a; (2k 1) t
1
2 2
Kh t t các ph ng trình này ta nh n c và thay bi u th c này vào (1) ta
1
c:
2
(2k 1) 2
g
2
6
0
4a (2k 1) 2
Câu 5: M t chi c xe t ng c kh i ng nh m t ng c làm quay 4 bánh xe (m i
bên hai bánh) kéo theo xích chuy n ng. Sau 8 giây k t lúc b t u chuy n ng xe
t c v n t c 36 km/gi . Hãy xác nh công su t trung bình c a ng c , n u tr ng
ng c a hòm xe là P1 = 50.000N, tr ng l ng m i bánh P2 = 2000N, tr ng l ng m i
xích P3 = 5000N. Bánh xe coi nh a tròn ng ch t.
Gi i:
DC
D C
I v I v II
v
R II
R R
A B AB
h kh o sát g m: thân xe chuy n ng t nh ti n, bánh xe chuy n ng song
ph ng (4 bánh), xích xe chia làm ba ph n : n AB không chuy n ng, có v n b ng
không; n CD chuy n ng t nh ti n v i v n t c b ng hai l n v n t c xe t ng; n ba
m hai n a vành tròn k t h p AID và BIIC chuy n ng song ph ng(nh hình v ).
- 10 -
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
xác nh công su t trung bình c a ng c ta áp d ng công th c:
A
W
t
Trong ó A là t ng công c a các l c th c hi n c khi xe t ng i cm t
quãng ng nào ó trong th i gian t.
t khác theo nh lý ng n ng ta có:
T T0 A
Mà T0 = 0 vì ban u xe ng yên, v y ta có:
T
W
t
Bây gi ta ch c n tính ng n ng T c a xe khi nó chuy n ng v i v n t c v =
36 km/gi . theo phân tích chuy n ng trên ta có:
T = Thòm xe + T4 bánh + T2 xích
1 P1 2
Thòm xe = v.
2g
P2 R 2 2
P2 v 2
2
P v2 2
3P2 2
42
T4 bánh = 4 J o 4 4 v
2 g2 2g 2 2g g
T2 xich = 2T(DC) + 2T (vành tròn)
P3 lv 2
(2v ) 2 (2v ) 2
P3l
T(DC) = m( DC )
2
g (2l 2 R) 2 g (l R)
2 2
P .2 R 2 P3 2 R v P3 R
v2
T(vành tròn) = 3 R
2l 2 R 2 g 2l 2 R 2 g g (l R)
2 P3 v 2
y: T2 xích =
g
Cu i cùng ta nh n c bi u th c ng n ng c a h nh sau:
2 2 2
v2
2 P3 v
P1v 3P2 v P1
T 3P2 2 P3
2g g g 2 g
y công su t c a ng c là:
v2
P1
T 3P2 2 P3
2 gt
Th các giá tr mà cho ta c: W = 51,250 kW.
Câu 6: M t c c u hành tinh t trong m t ph ng n m ngang chuy n ng t tr ng thái
ng yên nh m t ng u l c có momen không i M t vào tay quay OA. Tay quay OA
quay quanh tr c c nh qua O làm cho bánh 2, là m t a tròn ng ch t có bán kính r2
và tr ng l ng P, l n không tr t i v i bánh 1 có bán kính r1 và c nh.Xem tay
quay OA là thanh ng ch t, có tr ng l ng Q, b qua các l c c n, xác nh gia t c góc
a tay quay.
A
r2
M
O
r1
- 11 -
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
Gi i:
g m: tay quay OA quay quanh tr c c nh qua O, bánh 2 chuy n ng song
ph ng. D dàng nh n th y r ng ch có ng u l c sinh công, các tr ng l c không sinh
công vì c c u d t trong m t ph ng ngang. tìm gia t c góc c a tay quay ta áp d ng
nh lý bi n thiên ng n ng:
dT
W
dt
ng n ng c a h b ng t ng ng n ng tay quay và hai bánh:
T = TOA + T2
Tay quay OA quay quanh tr c c nh v i v n t c góc nên:
1 Q (r1 r2 ) 2
1 2 2
TOA Jo
2 2g 3
Bánh 2 chuy n ng song ph ng v i v n t c góc và v n t c kh i tâm vA nên:
2
1 1P 2 P2 1P 2
2 2
T2 JA vA r2 vA
2 2
2 2g 4g 2g
Bi u th c ng n ng toàn h là:
1 Q (r1 r2 ) 2 P2 1P 2
2 2
T r2 vA
2
2g 3 4g 2g
u xem m A n m trên tay quay OA thì:
vA (r1 r2 )
t khác có th xem m A thu c bánh song ph ng 2, có tâm v n t c là m
ti p xúc:
vA r
22
r1
ó ta có: (1 )
2
r2
Thay các il ng v a tính c vào bi u th c ng n ng ta c:
1 2Q 9 P
(r1 r2 ) 2 2
T
2 6g
dT 2Q 9 P d
r2 ) 2
dàng tính c: (r1
dt 6g dt
Vì ch có ng u l c sinh công nên ta có:
W M
y nh lý bi n thiên ng n ng cho ta:
2Q 9 P d
r2 ) 2
(r1 M
6g dt
y ta có gia t c góc c a tay quay là:
d 6Mg
const
r2 ) 2
dt (2Q 9 P)(r1
y tay quay OA quay nhanh d n u.
Câu 7: V t n ng A có tr ng l ng P1 c bu c vào u dây v t qua ròng r c B ng
ch t tr ng l ng P2 và dây l i c qu n vào tang quay C có tr ng l ng P3 và bán
nh O d i tác d ng c a momen quay M a 2 v i
kính r. Tang C quay quanh tr c c
là góc quay c a tang, a = const > 0. Kh i l ng c a tang C c xem nh phân b
u trên vành tang. B qua kh i l ng c a dây và ma sát t i các tr c quay c a ròng r c
- 12 -
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
và c a tang, dây không giãn. T i th i m u h ng im. Tìm v n t c c a v t A ph
thu c vào cao h mà nó kéo lên.
Gi i:
Xét c h g m v t A chuy n ng t nh ti n, ròng r c B và tang quay C chuy n
ng quay. C h ch u tác d ng c a momen quay M ph thu c vào góc quay c a C, do
ó ta ph i áp d ng nh lí bi n thiên ng n ng d ng vi phân.
dT dA
ng n ng c a c h t i m t v trí b t kì trong chuy n ng c a nó:
1 P1 2 1 1
2 2
T vA J 01 J0
B C
2g 2 2
P3 2
vA vA 1 P2 2
Trong ó: B ; ; J 01 r1 ; J0 r
C
r1 r 2g g
Thay các k t qu trên vào bi u th c tính ng n ng ta c:
1 2
T (2 P1 P2 2 P3 )v A
4g
Vi phân hai v bi u th c trên ta có:
r1
1
(1)
dT (2 P1 P2 2 P3 )v A dv A
B
2g
2
C vA
M a
r
A
c
P1 h
i v trí ang xét c a h , n u cho v t A di chuy n m t n vô cùng bé dh thì
tang quay C quay c góc vô cùng bé d và t ng công nguyên t c a các l c tác d ng
lên h trong di chuy n ó b ng:
h 2 dh a2
2
(2)
dA a d P1 dh a2 P1 dh ( h P1 )dh
r3
rr
t h p (1) và (2) ta c:
1 a2
(2 P1 P2 2 P3 )v A dv A ( h P1 )dh
r3
2g
Tích phân hai v ph ng trình trên v i u ki n u khi h = 0 thì vA = 0.
vA h
1 a2
(2 P1 P2 2 P3 ) v A dv A ( h P1 )dh
r3
2g 0 0
1 a3
2
(2 P1 P2 2 P3 )v A h P1h
3r 3
4g
Gi i ra ta tìm c v n t c c a v t A ph thu c vào cao h mà nó i c;
gh(ah 2 3r 3 P1 )
2
vA
r 3r 3 (2 P1 P2 2 P3 )
Câu 8: Các v t n ng A và B c n i v i nhau b ng m t s i dây không dãn v t qua
ròng r c C. Khi v t n ng A có tr ng l ng P1 h xu ng d i, ròng r c C có tr ng l ng
- 13 -
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
P3 quay xung quanh tr c n m ngang c nh c a nó, còn v t n ng B có tr ng l ng P2
c nâng lên theo m t ph ng nghiêng v i ph ng ngang m t góc . Cho bi t ròng r c
C là a tròn ng ch t có bán kính R, có momen c n t lên nó là MC, h s ma sát
gi a v t B và m t ph ng nghiêng là f, b qua kh i l ng c a dây.Xác nh gia t c c a
t A.
Gi i:
Gi s ban u h ng yên và sau kho ng th i gian t v t A di chuy n cm t
s
kho ng s, ròng r c quay c m t góc . V n t c c a v t A, v t B th i m t có
R
giá tr b ng nhau: vA = vB = v.
R
C
B
P2
A
P1
Do s i dây không dãn và ròng r c là v t r n cho nên công c a n i l c b ng
không. Công c a các ngo i l c tác d ng lên h b ng:
s
A (sin f cos ) P2 s P1 s M C
R
ng n n g c a c h c tính theo công th c:
1 P1 2 1 P2 2 1 2
T TA TB TC v v J
2g 2g 2
1 1 P3 2 v 2 1 v2 P3
1 P1 2 1 P2 2
v v R P1 P2
R2
2g 2g 2 2g 2g 2
Áp d ng nh lí bi n thiên ng d n g o hàm ta tìm c gia t c c a v t A:
dT dA
dt dt
MC
dv 1
a g P1 P2 (sin f cos )
P3
dt R
P1 P2
2
Câu 9: Ng i A i xe p trên ng th ng ngang. Tr ng l ng c a ng i và khung xe
là P. M i bánh xe có tr ng l ng p, bán kính r và c coi nh vành tròn ng ch t, l n
không tr t trên m t ng. H s ma sát l n gi a các bánh xe v i m t ng là k. Xe
và ng i ch u l c c n c a gió, có h p l c Q v i gi thi t Q = const và luôn t o góc
i ph ng n m ngang. T i các tr c quay c a bánh xe có momen c n MC = const. N u
xe ang chuy n ng v i v n t c v0 thì ng i A không p n a, tìm n ng mà t
lúc ó xe i c cho n lúc d ng l i.
- 14 -
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
Gi i:
h g m ng i A và khung xe chuy n ng t nh ti n, hai bánh xe B1, B2
chuy n ng song ph ng. Áp d ng nh lí bi n thiên ng n ng d ng h u h n:
(1)
T1 T0 A
i v trí cu i c a chuy n ng xe d ng l i do ó T1 = 0.
i v trí u ng n ng c a h b ng:
1P 2 1p 2 1 2
T0 v0 2 v0 Jc B
2g 2g 2
v0 p2
Trong ó: r thay vào bi u th c trên ta c:
; Jc
B
r g
P 4p 2
(2)
T0 v0
2g
Q
P
MC MC
p p
sA
Xe di chuy n c n ng sA thì bánh xe l n c góc .
B
r
ng công c a các l c trong di chuy n c a h b ng:
A Q cos .s A ( N1 N 2 )k 2M c
B B
t khác: N1 N 2 Q sin P 2p
A Q cos .s A (Q sin P 2 p )k 2M c
B B
Vây: (3)
2M c
k
Q cos (Q sin P 2 p) .s A
r r
Thay (2) và (3) vào (1) ta c:
2M c
( P 4 p) 2 k
v0 Q cos (Q sin P 2 p) .s A
2g r r
Gi i ra ta tìm c n ng i c a xe p:
2
r ( P 4 p )v 0
sA
2 g Q (r cos k sin ) k ( P 2 p) 2 M c
Câu 10: Kh i hình tr tròn ng ch t có bán kính áy b ng r, có v n t c u r t nh ,
n không tr t trên m t bàn n m ngang. Khi l n n mép bàn t i B, ng sinh c a
ˆ
kh i tr song song v i mép bàn. T i th i m kh i tr tách kh i bàn, góc C 0 B C có
giá tr nào ó. B qua ma sát l n và l c c n không khí. Tìm giá tr c a góc và v n t c
c c a kh i tr t i th i m nó tách kh i bàn.
- 15 -
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
Gi i:
Áp d ng nh lu t II Newton cho kh i tr :
P N Fms ma c
i th i m kh i tr tách kh i bàn, thì N = 0, do ó ph ng trình trên ch còn
ng n gi n:
P Fms ma c
Chi u lên tr c pháp tuy n Cn c a qu oc a m C, ta c:
2
vc
P cos m
r
i B là tâm quay t c th i c a kh i tr vc r ,suy ra:
2
r g cos
C
Fms C0 vc
P
t
B
n
Kh i tr chuy n ng song ph ng, ban d u có v n t c r t nh nên ta có th xem
T0 = 0, ng n ng c a kh i tr t i v trí tách ra kh i bàn b ng:
12 1 1 11 2 32
2
m( r ) 2 2 2
T mvc Jc mr mr
2 2 2 22 4
Áp d ng nh lí bi n thiên ng n ng d ng h u h n:
T T0 A
Th các giá tr tính toán trên vào ta c:
3 22
mr mgr (1 cos )
4
3
g cos g (1 cos )
4
ây ta tìm c góc và v n t c góc c a kh i tr t i th i m nó b t u
tách kh i bàn:
4 g
cos ; 2
7 7r
Câu 11: n dây xích AB có chi u dài l, có hai ph n ba xích n m d c theo ng d c
chính c a m t ph ng, nghiêng góc v i ph ng n m ngang, ph n còn l i c a xích
c buông thõng theo ph ng th ng ng. D i tác d ng c a tr ng l c dây xích b t
u chuy n ng d c theo m t ph ng nghiêng xu ng phía d i t tr ng thái t nh. cho
bi t h s ma sát gi a xích v i m t ph ng nghiêng là f. Tìm v n t c c a xích t i th i
m khi u B c a xích chuy n ng n m O, xích b t u n m hoàn toàn trên m t
- 16 -
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
nghiêng. H s ma sát f ph i th a mãn u ki n gì xích có th tr t xu ng d c theo
t nghiêng nh v y.
Gi i:
Xét h là n dây xích AB, ta áp d ng nh lí bi n thiên ng n ng d ng vi
phân:
dT dA
i v trí b t kì c a h c xác nh b i t a OA = x, m i m t xích u có v n
c b ng v, kí hi u P là tr ng l ng c a c n dây xích, ta c ng n ng c a c h :
1 1P 2
mk v 2
T v
2 2g
P
Suy ra: dT vdv
g
Px
i v trí ó, n xích c chia làm hai ph n: n OA có tr ng l ng P1
l
P(l x)
và n OB có tr ng l ng P2 . L c ma sát tác d ng vào n xích OA có giá
l
fPx
tr b ng: Fms f .N fP1 cos cos
l
O x
l-x
B
A
P1
P2
Cho c h di chuy n m t n vô cùng bé dx, t ng công nguyên t c a các l c
tác d ng lên c h là:
P
dA P1 dx sin Fms dx P2 dx (sin f cos 1) xdx Pdx
l
y ta có:
P P
vdv (sin f cos 1) xdx Pdx
g l
2
i v trí ban u x0 l , v trí cu i khi B chuy n ng n O thì x1 = l. Tích
3
phân ph ng trình trên:
v l l
g
vdv (sin f cos 1) xdx g dx
l 2 2
0
l l
3 3
v2 lg
5(sin f cos ) 1
2 18
1
v lg 5(sin f cos ) 1
3
- 17 -
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
cho n xích có th tr t xu ng d c theo m t nghiêng, h s ma sát ph i
th a mãn u ki n sao cho bi u th c d i d u c n ph i d ng:
5(sin f cos ) 1 0
1
f tg
5 cos
BÀI T P T GI I:
Câu 1: Trên m t ph ng nghiêng góc ng i ta t m t hình tr c A có kh i l ng
m1 = 4kg và bán kính r =5cm, cách chân H c a m t ph ng nghiêng m t n 2m. Ng i
ta xuyên d c theo tr c c a hình tr m t thanh nh không có kh i l ng, tì vào các bi.
Dùng m t s i dây không dãn, không có kh i l ng, n i vào thanh lõi c a hình tr m t
t B có kh i l ng m =2kg. Tìm l c c ng c a dây n i và th i gian hình tr l n n H
30 0 . Cho bi t h s ma sát gi a v t B
t khi b t u th v t B, khi góc nghiêng
và m t ph ng nghiêng là k = 0,2, b qua ma sát các bi và ma sát l n.
2l g (m1 m2 ) sin km 2 cos
áp s : t ,v i a ;T m2 a g (k cos sin )
m1
a
m1 m2
2
B
A
H
Câu 2: V t kh i l ng m1 c treo b ng s i dây không dãn, kh i l ng không áng
, v t qua m t ròng r c c nh B g n v i m t bàn n m ngang. u kia c a s i dây n i
i tr c c a m t con l n C có th l n không tr t trên m t bàn. Ròng r c B và con l n C
là nh ng hình tr ng ch t có cùng bán kính R và kh i l ng m2. Ban u c h ng
yên. Tìm v n t c c a v t A sau khi nó i cm t n h0 cho bi t momen ma sát l n
tác d ng lên C b ng Mms = fN, và công c a ma sát l n (công c n) b ng M ms (v i là
góc quay quanh tr c). B qua ma sát tr c ròng r c và s c c n không khí, coi s i dây
không tr t trên rãnh ròng r c.
2(m1 r fm2 ) gh C
áp s : v
r (m1 2m 2 ) B
A
Câu 3: M t dây ng ch t dài L có m t ph n n m trên m t bàn n m ngang nh n, m t
ph n buông t do. Xác nh kho ng th i gian T dây r i kh i m t bàn, bi t r ng t i
th i m u chi u dài c a ph n dây th buông dài là l và v n t c u b ng không.
L2 l2
L L
áp s : T ln( )
g l l
- 18 -
- Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th
Câu 4: D i tác d ng c a tr ng l ng b n thân, m t kh i tr tròn ng ch t l n xu ng
theo ng d c chính c a m t ph ng nghiêng có góc nghiêng là . H s ma sát gi a
t tr và m t ph ng nghiêng là f. Tìm góc nghiêng c a m t ph ng nghieng m
o cho chuy n ng l n ó là không tr t và tìm gia t c c a kh i tr . B qua ma sát
n.
2
áp s : .
arctg 3 f ; a g sin
3
Câu 5: M t tr tròn ng ch t A, có kh i l ng m, l n xu ng theo m t dây treo th ng
ng qu n vào nó. u B c a dây c bu c ch t và khi tr r i không v n t c u thì
nh dây qu n ra. Tìm v n t c tr c kh i tr khi nó ã r i cm t n th ng h và tìm
c c ng c a dây treo.
2 mg B A0
áp s : v .
3 gh ; T
3 3
h
A
Câu 6: Vi t ph ng trình chuy n ng c a m t v t r i n u k n l c c n c a không
khí bi t l c c n t l v i v n t c r i Fc kv , trong ó k = const > 0 là h s t l .
k
m2 g
mg t
áp s : x (1 e m )
t 2
k k
Câu 7: M t v t ban u ng yên nh m t cái nêm nh ma sát.Tìm th i gian v t
tr t h t nêm khi nêm chuy n ng nhanh d n sang trái v i gia t c a0 . H s ma sát
gi a nêm và v t là k, chi u dài m t nêm là l, góc nghiêng là và a0 g cot g .
2l
áp s : t
(g ka 0 ) sin (a 0 kg ) cos m
a0
Câu 8: Trên m t bàn n m ngang r t nh n có m t t m ván kh i l ng M, chi u dài l. t
u ván m t v t nh có kh i l ng m. H s ma sát gi a v t và ván là k. Tính v n t c
i thi u v0 c n truy n t ng t cho ván v t tr t kh i ván.
2kgl ( M m)
áp s : v 0 m
M
v0
M
l
Câu 9: M t v t A có kh i l ng m1 tr t trên m t ph ng nghiêng và làm quay hình tr
tròn ng ch t có bán kính R. Kh i l ng hình tr là m, momen càn t lên hình tr là
Mc. H s ma sát gi a A và m t ph ng nghiêng là k. Tìm gia t c góc c a hình tr . Bi t
- 19 -
nguon tai.lieu . vn
