Xem mẫu
- CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP D’ALEMBERT
§1 . Nguyên lý D’Alembert
§2. Các đặc trưng hình học
khối lượng của cơ hệ và vật
rắn
§3. Thu gọn hệ lực quán tính
§4. Định lý động lượng và mô
men động lượng
- §1 . Nguyên lý D’Alembert
1. Lực quán tính
2. Nguyên lý D’Alembert đối với chất điểm
3. Nguyên lý D’Alembert đối với cơ hệ
- §1 . Nguyên lý D’Alembert
1. Lực quán tính. w
• Định nghĩa
Fqt = − mw
Fqt = −mw
• Ý nghĩa vật lý của lực quán tính
• Lực quán tính là lực không có thật trong hệ quy
chiếu quán tính.
• Nếu xét trong hệ quy chiếu tương đối, chuyển
động tịnh tiến cùng với điểm thì lực quán tính
D’Alembert là lực quán tính theo
- §1 . Nguyên lý D’Alembert
2. Nguyên lý D’Alembert đối với chất điểm
• Nguyên lý. Tại mỗi thời điểm các lực thật sự và
các lực quán tính tác dụng lên chất điểm tạo
thành hệ lực cân bằng
( F , Fqt ) ≅ 0
• Chứng minh
mw = F ⇒ F + ( − mw) = 0 ⇒ F + Fqt = 0
( F , Fqt ) ≅ 0
- §1 . Nguyên lý D’Alembert
3.Nguyên lý D’Alembert đối với cơ hệ
– Nguyên lý
– Hệ phương trình tĩnh động
4. Ví dụ
- §1 . Nguyên lý D’Alembert
3.Nguyên lý D’Alembert đối với cơ hệ
3.1. Nguyên lý. Tại mỗi thời điểm, các lực trong, lực
ngoài và các lực quán tính tác dụng lên các chất điểm
của cơ hệ tạo thành hệ lực cân bằng
( )
e i qt e i qt
Fk , Fk , Fk ≅ 0 Fk + Fk + Fk = 0
3.2. Hệ phương trình “tĩnh động”
e i qt
• Cộng các hệ thức Fk + Fk + Fk = 0
• Nhân hai vế của các hệ thức tương ứng với rk
- §1 . Nguyên lý D’Alembert
3.2. Hệ phương trình “tĩnh động”
e i qt e i qt
R = ∑ ( Fk + Fk + Fk ) = 0 M 0 = ∑ rk × ( Fk + Fk + Fk ) = 0
i i i i
R = ∑ Fk = 0 M 0 = ∑ rk × Fk = 0
e e qt qt
R = ∑ Fk R = ∑ Fk
qt qt e e M1 Mk
M = ∑r ×F = 0 M = ∑r ×F
0 k k 0 k k
e qt e qt r1 rk
∑ ( Fk + Fk ) = 0 ∑ rk × ( Fk + Fk ) = 0
e qt rN MN
e qt
R + R = 0, M 0 + M 0 = 0. O
- §2. Các đặc trưng hình học khối lượng
1. Khối tâm của cơ hệ
1.1. Định nghĩa
1.2. Khối tâm của các vật đồng chất và
đối xứng
1. Mô men quán tính của vật rắn
2.1. Định nghĩa
2.2. Mô men quán tính của một số vật
rắn đồng chất
2.3. Các tính chất của mô men quán tính
2.4. Các trục quán tính chính
- §2. Các đặc trưng hình học khối lượng
1. Khối tâm của cơ hệ
1.1. Định nghĩa
z
∑ mk rk
rC = , ∑ mk = M
∑ mk r2 rC
r1
xC =
∑m x
k k
,y =
∑m y , z k k
=
∑m z
k k
,
rk
y
O rN
∑m ∑m ∑m
C C
k k k x
∫ r dm ∫ ρr dV
rC = V =V ,
∫ dm ∫ ρdV
V V
1.2. Khối tâm và trọng tâm rC =
∑ mk grk =
∑ pk rk
= rG
∑m g k ∑p k
- §2. Các đặc trưng hình học khối lượng
1. Khối tâm của cơ hệ
1.3. Khối
tâm của một số vật đồng chất và đối xứng
Khối tâm của các vật đồng chất có tâm, trục hoặc
mặt phẳng đối xứng sẽ nằm tại tâm, trục hoặc mặt
phẳng đối xứng đó.
∫ r dm ∫ ρr dV r
rC = V =V , O
∫ dm
V
∫ ρdV
V
−r
- §2. Các đặc trưng hình học khối lượng
2. Mô men quán tính
2.1. Định nghĩa
2.2. Mô men quán tính của một số vật đồng
chất
2.3. Sự biến đổi mô men quán tính khi thay
đổi trục
2.4. Các trục quán tính chính và elipsoit
quán tính
- 2. Mô men quán tính
2.1. Định nghĩa
z
Mô men quán tính đối với trục
ρk
J zz = ∑ mk ρ 2
k ρ =x +y
2
k
2
k
2
k Mk
J zz = ∑ mk ( xk + yk )
2 2
O y
J xx = ∑ mk ( yk2 +z k )
2
J yy = ∑ mk ( z k +xk )
2 2 x
Mô men quán tính đối với điểm O
J 0 = ∑ mk rk2 = ∑ mk ( xk + yk +z k )
2 2 2
Tích quán tính
J xy = J yx = ∑ mk xk yk J yz = J zy = ∑ mk yk z k
J xz = J zx = ∑ mk xk z k
- 2. Mô men quán tính
2.2. Mô men quán tính của
một số vật đồng chất
z x
l
x
2.2.1. Thanh đồng chất O ∆x
3 l
l
ρx
J zz = ∑ ∆mk x = ∑ ρx ∆x = ρ ∫ x dx =
2
k
2
k
2
=
0
3 0
ρl 3 ml 3 ml 2
= = =
3 3l 3
- 2. Mô men quán tính
2.2. Mô men quán tính của một số vật đồng chất
2.2.2.Vòng tròn đồng chất
J zz = ∑ ∆mk R = mR
2 2
2.2.3.a Đĩa tròn đồng chất
∆mk
J zz = ∑ ∆J k = ∑ ∆m r =
k k
2
∑ [ ]
ρπ (rk + ∆rk ) 2 − rk2 rk2 = ∑ 2πρrk3∆rk + 0(∆rk2 ).
4 R
2πρr
R
1 rk + ∆rk
J zz = ∫ 2πr ρdr =
3
= πρR 4
0
4 0 2 rk
m mR 2
ρ = 2 ⇒ J zz =
πR 2
- 2. Mô men quán tính
2.2. Mô men quán tính của một số vật đồng chất
2.2.2.b Đĩa tròn đồng chất
z k = 0,
y
⇒ J xx = ∑ mk yk ; J yy = ∑ mk xk
2 2
J zz = ∑ mk ( xk + yk ) = J xx + J yy
2 2 x
x
Suy ra
J zz 1
J xx = J yy = = mR 2
2 4
- 2. Mô men quán tính
2.2. Mô men quán tính của một số vật đồng chất
2.2.4. Trụ tròn đồng chất z
a) 1
J zz = ∑ ∆J zk = ∑∆mk R 2 ∆k
h
2
1 y
= ∑ ρ∆Vk R 2 ,
2 x
m
ρ= , ∆ k =π 2 ∆ k
V R h
πR h
2
mπ 2 ∆ k 2
R h
J zz = ∑ R
2π h
R 2
h/2
mR 2 1
J zz = ∫ dz = mR 2
−h / 2
2h 2
- 2. Mô men quán tính
2.2. Mô men quán tính của một số vật đồng chất
2.2.4. Trụ tròn đồng chất
b)
∆mk R 2 m∆hk R 2 C′ y′
∆J C ′y′k = = ;
4 4h y
m∆hk R 2 m∆hk .hk2 C
∆J Cyk = ∆J C ′y′k + ∆mk hk = +
4h h x
h/2
2 h
∫/ 2( R + 4 z )dz = 4h R h + 3
3
m m
J Cy = 2 2
4h − h
m 2 h2
J Cy = R +
4 3
- 3. Các định lý về mô men quán tính
3.1. Mô men quán tính của vật đối với hai trục song song
Định lý 1 (Steiner)
z z′
J zz = J Cz′ + Md 2
Chứng minh Mk
y′
C α ρk
J zz = ∑mk ρk2 = ∑mk ( ρk 2 + d 2 − 2 ρk d cos α )
′ ′ d
ρ k′ M k′
∑ ′
mk ρ k 2 = J Cz′ , ∑ mk d 2 = Md 2 , x′
∑ 2m ρ ′ d cos α = 2d cos α ∑ m ρ ′ = 0
k k k k
Vì ∑ m ρ′ = 0
k k
Suy ra J zz = J Cz′ + Md 2
- 3. Các định lý về mô men quán tính
3.1. Mô men quán tính của vật đối với hai trục cắt nhau
Định lý 2
J ll = J xx cos 2 α + J yy cos 2 β + J zz cos 2 γ −
− 2 J xy cos α cos β − 2 J xz cos α cos γ − 2 J yz cos β cos γ .
Chứng minh
z L
J ll = ∑ mk ρk2 Hk ρ
2 2 2 el k
ρ k = rk − OH k = rk − (rk .el ) =
2 2
M k
rk
= xk + yk + z k − ( xk cos α + yk cos β + z k cos γ ) 2
2 2 2
y
x
ρ k2 = xk + yk + z k − ( xk cos 2 α + yk cos 2 β + z k cos 2 γ ) −
2 2 2 2 2 2
− 2 xk yk cos α cos β − 2 xk z k cos α cos γ −
− 2 z k yk cos γ cos β .
- 3. Các định lý về mô men quán tính
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
Chú ý rằng
1 − cos 2 α = cos 2 γ + cos 2 β
⇒ 1 − cos 2 β = cos 2 α + cos 2 γ
1 − cos 2 γ = cos 2 β + cos 2 α
ρ = x + y + z − ( x cos α + y cos β + z cos γ ) −
2
k
2
k
2
k
2
k
2
k
2 2
k
2 2
k
2
− 2 xk yk cos α cos β − 2 xk z k cos α cos γ −
− 2 z k yk cos γ cos β .
ρ k2 = xk2 (cos 2 β + cos 2 γ ) + yk2 (cos 2 γ + cos 2 α ) +
z (cos α + cos β ) − 2 xk yk cos α cos β −
2
k
2 2
− 2 xk z k cos α cos γ − 2 z k yk cos γ cos β .
nguon tai.lieu . vn
