Xem mẫu
- CHƯƠNG 2 : LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
§2.1. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG
2.1.1. Đặt vấn đề :
Trong hệ tọa độ Decartes cho 1 vật thể chịu tác dụng của ngoại lực, bao
gồm:
* Lực thể tích: Là lực phân bố trong không gian của vật th ể, đ ược đ ặc
trưng bởi cường độ f và là lực trong một đơn vị thể tích, có hình chiếu lên 3
trục tọa độ x, y, z là: fx , fy , fz .
* Lực diện tích (lực bề mặt): Là lực tác dụng trên một phần hay trên
toàn bộ bề mặt giới hạn của vật thể, được đặc trưng bởi cường độ f * và là
*
lực trên một đơn vị diện tích, có hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là f *x , f y , f
*
z.
Dưới những tác dụng này, vật thể nằm ở trạng thái cân bằng tĩnh hoặc
động nên những phần tử vật chất của vật thể cũng nằm ở trạng thái cân bằng
tương ứng. Tưởng tượng dùng họ những mặt phẳng vuông góc với các tr ục
toạ độ và cách nhau những đoạn vi phân dx, dy, dz cắt qua vật th ể (hình v ẽ
2.1) ta sẽ nhận được :
a
y b
Phần tử loại 1
a
dy
Phần tử loại 2
b
dy
dx dx
x
M(x,y,z)
(Hình 2.1)
z
* Những phần tử hình hộp có sáu mặt cắt ở bên trong vật th ể gọi là
phần tử loại 1.
* Những phần tử có ít nhất một mặt là bề mặt ngoài của vật th ể gọi là
phần tử loại 2, trong trường hợp tổng quát, phần tử loại 2 là m ột kh ối t ứ
diện.
Điều kiện cân bằng của vật thể được đảm bảo thông qua điều ki ện
cân bằng của tất cả các phần tử loại 1 và loại 2.
2.1.2. Phương trình vi phân cân bằng :
6
- Trước tiên ta khảo sát sự cân bằng của các phần tử loại 1 l ấy t ại đi ểm
M(x,y,z)
1. Lực tác dụng lên phần tử :
- Ngoại lực là lực thể tích f có hình chiếu lên các trục toạ độ : fx , fy , fz
- Nội lực là các ứng suất trên các mặt của ph ần t ử, các ứng su ất này là
các hàm số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z).
y
∂ τ xy
τxy
τ xy + dx
P(x,y+dy,z)
dz
∂σ x
x
σx
σ x + ∂τ dx
dy
∂ ∂x dx
N(x+dx,y,z)
τ +x
τxz xz
Q(x,y,z+dz) xz
dx
x
z (Hình 2.2)
• Hai mặt vuông góc với trục x:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các thành phần ứng suất : σx , τxy , τxz
+ Mặt đi qua điểm N(x+dx,y,z): khai triển theo Taylor và bỏ qua các s ố h ạng
vô cùng bé bậc cao có các thành phần ứng suất :
∂τ
∂σ ∂τ
σ+ dx ; τ + dx; τ + dx
xy
x xz
∂x ∂x ∂x
x xy xz
Tương tự:
• Hai mặt vuông góc với trục y:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có ứng suất : σy , τyx , τyz
+ Mặt đi qua điểm P(x,y+dy,z) có các ứng suất :
∂σ y ∂τ ∂τ
σy + dy ; τ yx + yx dy; τ yz + yz dy
∂y ∂y ∂y
• Hai mặt vuông góc với trục z:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các ứng suất σz , τzx , τzy
+ Mặt đi qua điểm Q(x,y,z+dz) có các ứng suất :
∂τ
∂σ z ∂τ
σz + dz ; τzx + zx dz; τzy + zy dz
∂z ∂z ∂z
7
- 2. Phương trình cân bằng:
Dưới tác dụng của ngoại lực, giả sử phần tử đang xét nằm ở trạng thái cân
bằng, các phương trình cân bằng được thỏa mãn :
∂τ
∂σ x
ΣX = 0 ⇔ ( − σ x + σ x + dx )dydz + (− τ yx + τ yx + yx dy)dxdz +
∂x ∂y
∂τ
+ (− τ zx + τ zx + zx dz )dxdy + f x dxdydz = 0
∂z
Sau khi rút gọn và cũng thực hiện tương tự cho các ph ương trình ∑Y = 0 ;
∑Z=0, ta sẽ nhận được 3 phương trình vi phân cân bằng như sau :
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx ∂ 2u
+ + + f x = 0; (ρ 2 ) ;
∂x ∂y ∂z ∂t
∂τ xy ∂σ y ∂τ zy ∂2v
+ + + f y = 0; (ρ 2 ) ; (2.1)
∂x ∂y ∂z ∂t
∂τ xz ∂τ yz ∂σ z ∂2w
+ + + f z = 0. (ρ 2 ) .
∂x ∂y ∂z ∂t
Với ρ : mật độ khối lượng của vật thể.
+ Trong trường hợp cân bằng tĩnh: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng 0.
+ Trong trường hợp cân bằng động: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng các
lượng trong dấu ngoặc; u, v, w là các thành phần chuyển vị của phần tử vật
chất tại điểm M theo 3 phương x,y,z. Lượng trong dấu ngoặc n ếu đổi dấu thì
chính là các lực quán tính của một đơn vị thể tích chiếu lên ba phương của các
trục tọa độ.
Hệ phương trình (2.1) được gọi là phương trình cân bằng tĩnh h ọc
NAVIER- CAUCHY.
2.1.3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp :
* Từ phương trình cân bằng môment của phân tử đối với các trục tọa đ ộ ta s ẽ
được định luật đối ứng của các ứng suất tiếp.
∂ τ yx
y
τ yx + dy
∂y Zo
∂ τ xy
τxy
τ xy + dx
M
∂x
Zo
τyx
x
(Hình.2.3)
z
8
- Xét phương trình cân bằng ∑Mz = 0
Để đơn giản ta đặt tọa độ ban đầu ở tâm hình lập phương.
Tìm moment tại tâm phần tử đối với trục zozo, ta có:
∂τ xy ∂τ
dx dy
ΣM z z = (τ xy + τ xy + − (τ yx + τ yx + yx dy)dxdz =0
dx )dydz
∂x ∂y
2 2
00
∂τ xy ∂τ
dx dy
dxdydz và yx dydxdz
Bỏ qua các vô cùng bé bậc 5 so
∂x ∂y
2 2
với các vô cùng bé bậc 3, rút gọn và chia 2 vế của phương trình cho dxdydz, ta
có :
τ xy = τ yx ;
ΣM x = 0 ⇔ τ yz = τ zy ; (2.2)
Chứng minh tương tự ta có:
ΣM y = 0 ⇔ τ xz = τ zx ;
Phát biểu định luật: Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng
nhau nhưng ngược chiều .
a a
a
a
(Hình.2.4)
2.1.4. Phương trình điều kiện biên theo ứng suất :
Đây chính là điều kiện cân bằng của các phân tử loại 2.Trong trường
hợp tổng quát, phân tử này là khối tứ diện, có ba mặt vuông góc với các trục
tọa độ và nằm ở bên trong vật thể, có diện tích lần lượt là dS x, dSy, dSz. Mặt
còn lại là mặt ngoài của vật thể có diện tích dS có pháp tuy ến n với cosin chỉ
phương l,m,n. y
τxz σz
τzx
σx τzy
f*
y
f* f*
z x
τxy τyz
x
σy
(Hình 2.5)
τyx
z
9
- dSx
l = cos ( n, x ) =
dS
dSy
Véc to n có m = cos ( n, y ) = (a)
dS
dSz
n = cos ( n, z ) =
dS
a. Lực tác dụng lên phân tử:
- Ngoại lực : + Lực thể tích f(fx, fy,fz) của thể tích dV.
+ Lực bề mặt f*(f*x, f*y,f*z) trên diện tích dS
- Nội lực :
+ Mặt vuông góc trục x, ký hiệu dSx có các ứng suất : σx , τxy , τxz.
+ Mặt vuông góc trục y, ký hiệu dSy có các ứng suất : σy , τyx , τyz.
+ Mặt vuông góc trục z, ký hiệu dSz có các ứng suất : σz , τzx , τzy.
b. Phương trình cân bằng :
Phương trình tổng hình chiếu của các lực theo phương X là:
ΣX = 0 ⇔ − σ x dS x − τ yx dS y − τ zx dS z + f x* dS + f x dV = 0 ( b)
Bỏ qua vô cùng bé bậc ba fx.dV so với các vô cùng bé bậc hai và chia (b) cho
dS ta có:
dS
dS x dS
− σx − τ yx y − τ zx z + f x* = 0 (c)
dS dS dS
Thay (a) vào (c) ta có:
σ x l + τ yx m + τ zx n = f x*
ΣY = 0 ⇔ τ xy l + σ y m + τ zy n = f y* (2.3)
Tương tự:
ΣZ = 0 ⇔ τ xz l + τ yz m + σ z n = f z*
Hệ phương trình (2.3) là điều kiện cân bằng của phần tử loại hai, được gọi là
hệ phương trình điều kiện biên theo ứng suất.
2.1.5. Kết luận:
1. Về mặt cơ học: Hệ phương trình (2.1) và (2.3) biểu diễn mối quan
hệ giữa nội lực và ngoại lực là điều kiện cân bằng của toàn bộ vật thể.
2. Về mặt toán học:
Hệ phương trình (2.1) là hệ phương trình vi phân đối với các ẩn số ứng
suất, khi tích phân sẽ có các hằng số tích phân.
Còn hệ phương trình (2.3) là điều kiện để xác định các h ằng s ố tích
phân ấy.
10
- §2.2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG –
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - TENXƠ ỨNG SUẤT
2.2.1. Đặt vấn đề :
Giả sử đã biết các ứng suất trên 3 mặt vuông góc với h ệ trục t ọa đ ộ đi
qua M(x,y,z), tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ có pháp tuy ến n với
các cosin chỉ phương là (l, m, n) đi qua điểm M(x,y,z) đó.
2.2.2. Ứng suất toàn phần :
Để tìm ứng suất tại điểm M(x,y,z) trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến
n với các côsin chỉ phương l,m,n. Ta xét cân bằng của ph ần t ử t ứ di ện l ấy t ại
điểm M(x,y,z), phần tử có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ, trên đó có
các ứng suất σ ,τ (như H.2.6). Mặt thứ tư của phân tử là mặt nghiêng có ứng
suất toàn phần P n , các hình chiếu của nó lên 3 trục tọa độ x,y,z là Pnx, Pny, Pnz.
y
τxz σz
τzx
σx f*ny τzy
P
f* f*
z
τxy τyz
x
σy
τyx Hình 2.6
z
Ba hình chiếu này giữ vai trò tương tự như lực bề mặt f x , f y , f z khi
* * *
viết điều kiện biên (2.3), nên có thể có kết quả tương tự như sau:
Pnx = σ x l + τ yx m + τ zx n
Pny = τ xy l + σ y m + τ zy n
Pnz = τ xz l + τ yz m + σ z n
Pnx σ x τ yx τ zx l
⇔ Pny = τ xy σ y τ zy x m (2.4)
Pnz τ xz τ yz σ z n
11
- Giá trị của ứng suất toàn phần Pn được tính theo công thức sau :
Pn = Pnx + Pny + Pnz (2.5)
2 2 2
2.2.3. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp :
Ứng suất toàn phần P n có thể biểu diễn qua ứng suất pháp và ứng suất
tiếp.
1.Ứng suất pháp: là hình chiếu của ứng suất toàn ph ần P n trên pháp
tuyến n , được ký hiệu σ n .
Pn = Pnx . e1 + Pny . e 2 + Pnz . e 3
σ n = ch n P n = ch n ( Pnx . e1 + Pny . e 2 + Pnz . e 3 )
σ n = Pnx .l + Pny .m + Pnz .n (2.6)
Thay (2.4) vào (2.6) ta có:
σ n = σ x .l 2 + σ y .m 2 + σ z .n 2 + 2(τ xy .lm + τ yz .mn + τ zx .nl) (2.7)
2. Ứng suất tiếp :
Trị số ứng suất tiếp Tnt trên mặt cắt nghiêng được tính theo công th ức :
τ nt = Pn2 − σ 2 = Pnx 2 + Pny 2 + Pnz 2 − σ 2 (2.8)
n n
2.2.4. Trạng thái ứng suất - Tenxơ ứng suất :
* Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp các ứng suất trên mọi
mặt cắt có thể đi qua điểm đó.
* Nếu ứng suất thành phần là khái niệm phụ thuộc điểm và pháp tuy ến
của mặt cắt [ Pn ( M , n ) ] thì trạng thái ứng suất là khái niệm rộng hơn, ch ỉ ph ụ
thuộc vào điểm. Điều đó cho phép ta phân biệt, so sánh được trạng thái nội
lực tại các điểm khác nhau trong vật thể.
Các biểu thức (2.7) và (2.8) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng
suất tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ đi qua điểm đang xét, đi ều đó ch ứng t ỏ
rằng chín thành phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa đ ộ
là đủ để xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó.
Kết luận: Trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi chín thành
phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục t ọa đô đi qua đi ểm đó.
Chín thành phần này lập thành một đại lượng gọi là tenxơ ứng suất.
Ký hiệu : Tσ
Và được biểu diễn:
σ x τ yx τ zx
Tσ = τ xy σ y τ xz
τ τ σ
zx yz z
12
- Tenxơ ứng suất là một tenxơ hạng 2 đối xứng vì theo định luật đ ối ứng
của ứng suất tiếp ta có τ xy = τ yx ; τ yz = τ zy ; τ xz = τ zx , vậy tenxơ ứng suất có 6
thành phần độc lập.
2.2.5. Tenxơ lệch ứng suất và Tenxơ cầu ứng suất :
Tenxơ ứng suất có thể chia thành Tenxơ lệnh ứng suất D σ và Tenxơ
cầu ứng suất Toσ
σ x τ yx τ zx (σ x − σ tb ) τ yx τ zx σ tb 0 0
τ xy σ y τ xz = τ xy (σ y − σ tb ) τ xz + a 0 σ tb 0
τ τ σ τ τ yz (σ z − σ tb ) 0 τ yz σ tb
zx yz z
zx
Tσ = +
Dσ Toσ
1
Với σ tb = (σ x + σ y + σ z ) : Ứng suất pháp trung bình.
3
Dσ: Tenxơ lệch ứng suất, gây ra biến dạng hình dạng của phân tử.
Toσ : Tenxơ cầu ứng suất, gây ra biến dạng thể tích của phân tử.
§2.3. MẶT CHÍNH - PHƯƠNG CHÍNH - ỨNG SUẤT CHÍNH
2.3.1.Khái niệm:
* Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không;
* Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính.
* Ứng suất chính là ứng suất pháp trên mặt chính . Ký hiệu σ n .
Giả sử có phương chính n với l = cos (n, x)
m = cos (n , y)
n = cos (n , z)
Trên mặt chính ứng suất toàn phần Pn sẽ có phương vuông góc với mặt
chính và có giá trị Pn = σ n .
Do đó hình chiếu Pnx, Pny, Pnz của Pn lên các trục x, y, z là :
Pnx = σn.l
Pny = σn.m (2.9)
Pnz = σn.n
Thay (2.4) và (2.9) ta có hệ phương trình:
(σ x − σ n ) l + τ yx m + τ zx n = 0
τ xy l + (σ y − σ tb ) m + τ xz n = 0 (2.10)
(σ z − σ tb )n = 0
τ zx l + τ yz m +
Hệ (2.10) có nghiệm tầm thường của là l = m = n =0 không th ỏa mãn
13
- điều kiện l2 + m2 + n2 = 1 (2.11).
Để hệ (2.10) có nghiệm không tầm thường thì định thức của các h ệ số
phải bằng không:
(σ x − σ n ) τ yx τ zx
Det τ xy (σ y − σ n ) τ xz = 0 (2.12)
τ τ yz (σ z − σ n )
zx
Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính σ n :
σ 3n − I1σ 2 + I 2 σ n − I3 = 0 (2.13)
n
I1 = σ x + σ y + σ z
Trong đó: I 2 = σ x σ y + σ y σ z + σ z σ x − ( τ xy + τ yz + τ zx ) (2.14)
I 3 = σ x σ y σ z + 2τ xy τ yz τ zx − (σ x τ 2 + σ y τ 2 + σ z τ 2 )
xy
yz zx
Các hệ số I1, I2 , I3 trong phương trình tìm ứng suất chính là những giá trị
không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất
biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái ứng suất tại một điểm.
- Giải phương trình bậc 3 (2.13) ta nhận được ba giá trị ứng su ất chính,
các giá trị này đều là thực, kí hiệu lần lượt là σ 1 ;σ 2 ;σ 3 và theo qui ước
σ1 > σ 2 > σ 3 .
- Phương chính : sau khi đã có các ứng suất chính σ 1 ;σ 2 ;σ 3 ứng với mỗi
σ i sử dụng hệ phương trình (2.10) và phương trình (2.11) để tìm cosin ch ỉ
phương li, mi, ni của ứng suất chính σ i đó.
Kết quả ta có ba phương chính tương ứng với ba ứng suất chính σ 1 ;σ 2 ;σ 3 .
Ba phương này trực giao với nhau và lập thành một hệ trục tọa độ, ký hi ệu
các trục là 1,2,3.
Tenxơ ứng suất này được viết là :
σ 1 0 0
Tσ = 0 σ 2 0
0 0 σ 3
Các bất biến của trạng thái ứng suất chính :
I1 = σ1 + σ 2 + σ 3
I 2 = σ1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1
I 3 = σ1 σ 2 σ 3
Tùy theo giá trị của các ứng suất chính, ta phân lo ại tr ạng thái ứng su ất
thành trạng thái ứng suất đơn; trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái ứng
14
- suất khối.
15
nguon tai.lieu . vn
