- Trang Chủ
- Toán học
- Cách viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan - Chủ đề: Nguyên hàm - tích phân
Xem mẫu
- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ
KHOA TOÁN
Hoàng Nguyễn Mỹ Anh
CÁCH VIẾT CÂU HỎI
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân
Học phần : Lý luận dạy học toán nâng cao và đánh giá
trong dạy học toán.
GVHD : Nguyễn Đăng Minh Phúc.
Huế, 4/2017
- Mục đích của chủ đề này nhằm giúp người soạn câu hỏi trắc nghiệm
khách quan đặt ra nhiệm vụ xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù
hợp, và trình bày một số điểm cần tránh khi soạn câu hỏi. Giả sử một giáo viên
phải soạn những câu hỏi trắc nghiệm khách quan cho một phần nội dung nào đó
của chương trình và giáo viên đó biết ở mức độ khả năng nào để đặt những câu
hỏi của mình. Đòi hỏi sau này đặt ra 2 điều phải cân nhắc cho người viết câu
hỏi, thứ nhất là những câu hỏi phải đúng mức độ khó và thứ 2 là chũng phải bao
quát được các mức độ tư duy đòi hỏi: kiến thức, hiểu, áp dụng hay những khả
năng cao nhất.
Sau đây là một ví dụ về chủ đề nguyên hàm – tích phân mà từ câu hỏi
truyền thống chúng ta có thể xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù
hợp.
I. Câu hỏi truyền thống
Giả sử chúng ta đang cần viết một hay nhiều câu hỏi để đánh giá khả năng
toán của học sinh trong một tình huống cụ thể là sử dụng công thức và các
phương pháp khác nhau để tính nguyên hàm của một hàm số. Trong kì thi thông
thường, điều này có thể được làm tốt bằng cách dùng công cụ câu hỏi sau:
x 2 dx
Bài toán: Tìm nguyên hàm của hàm số: I1 .
2
x 4
Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các kiến thức về nguyên hàm
đã được học để có thể giải quyết bài toán. Bước này liên quan đến khả năng hệ
thống các kiến thức của học sinh, khả năng áp dụng lý thuyết, công thức vào
một bài toán tính nguyên hàm cụ thể.
Ở bài toán này học sinh thấy rằng mẫu số là căn bậc 2 và phương pháp
giải quyết thích hợp là đổi biến số để đơn giản hóa bài toán. Và khi gặp dạng
căn bậc 2 có chứa a 2 x 2 thì một trong các công cụ hữu hiệu mà các em có là
phương pháp đổi biến lượng giác hóa.
Nếu hàm f(x) có chứa a 2 x 2 thì đặt:
adt
dx d a tan t
cos 2t
x a tan t
a
x2 a2 a 2 tan 2 t a 2
cos t
- Nhìn vào hàm số có dạng a 2 x 2 , học sinh đặt x a tan t với a 2 và tiếp
theo học sinh sẽ thu được tích phân mới đơn giản hơn tích phân ban đầu, từ đó tiếp tục
áp dụng các phép biến đổi thích hợp để có thể đưa ra đáp số.
x 2 dx
I ; a 2
2
x 4
2dt
dx d 2 tan t 2 1 tan 2 t dt
Đặt x 2 tan t cos 2t
x2 4 4 tan 2 t 4
4 tan 2 t.2 1 tan 2 t dt
I 4 tan 2 t 1 tan 2 t dt
2
2 1 tan t
sin 2 t sin 2 t.cos t sin 2 t.d (sin t )
4 dt 4 dt 2
cos3 t cos 4 t 1 sin 2 t
Đặt u sin t
2 2
u2 u 1 1 u 1 u
I d (u ) 4 du 4 du
2 2 1 u2 2 1 u 1 u
1 u
1 1 1 1 1 1 du du
du
1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u
2
1 1 du du 2du
du
1 u 1 u (1 u ) 2 (1 u ) 2 1 u 1 u
d 1 u d 1 u 1 u 1 u d u
(1 u ) 2 (1 u ) 2 1 u 1 u
1 1 1 1 u 1
ln 1 u ln u 1 C ln C
1 u 1 u u 1 1 u u 1
1 1 u 1 1 1 sin t 1
I3 ln C ln C
u 1 u 1 u 1 sin t 1 sin t 1 sin t 1
Từ giả thiết x 2tan t
x 1 x2 2 2 4 2 x2
tan t 1 tan t 1 cos t sin t
2 cos 2 t 4 4 x2 4 x2
x
1
x 1 1 4 x2
sin t I3 ln C
4 x2 x x x
1 1 1
4 x2 4 x2 4 x2
- Khi phân tích theo cách này, ta thấy bài toán đang cố gắng để làm nhiều
thứ cùng một lúc. Nếu các em thất bại ngay ở bước đầu, không biết cách đổi
biến số sao cho phù hợp thì bài toán tự luận này không cho ta biết điều gì về khả
năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi, ví dụ như:
Đổi biến số theo phương pháp lượng giác hóa.
Xử lí khi gặp tích phân chứa hàm lượng giác. Bởi vì, khi đặt ẩn phụ,
học sinh thu được tích phân hàm lượng giác. Qua đó, kiến thức về
nguyên hàm của các hàm lượng giác cơ bản, các công thức của hàm
lượng giác như công thức nhân đôi, công thức nhân 3, hạ bậc,…sẽ được
thể hiện.
Đổi biến số và cách xử lí hàm hữu tỉ. Nếu tích phân lượng giác thu
được khá phức tạp, học sinh không thể áp dụng các nguyên hàm lượng
giác cơ bản để tính được thì khía cạnh cụ thể được thể hiện trong bài
toán tự luận trên là khả năng đổi biến, đưa hàm lượng giác về hàm hữu
tỉ để xác định nguyên hàm.
Trắc nghiệm khách quan cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào
của bài toán thì học sinh có thể trả lời được.
II. Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương
Khía cạnh 1:
Đầu tiên chúng ta sẽ kiểm tra phương pháp đổi biến theo phương pháp
lượng giác hóa. Với cách đổi biến như ở ví dụ trên, một số câu hỏi phù hợp để
kiểm tra kiến thức này như sau:
Ví dụ 1:
Đổi biến x 3tan t thì tích phân I x2 9 trở thành:
9dt dt
A. B.
cos3 t cos t
dt
C. D. cos tdt
cos 2t
3dt
dx d 3tan t
cos 2t
Đặt x 3tan t
3
x2 9 9 tan 2 t 9
cos t
- 3dt dt
I
3 cos t
.cos 2 t
cos t
Đáp án B.
Phương án gây nhiễu: B, C, D gây nhầm lẫn cho học sinh trong quá trình
biến đổi tương đương, nhẫm lẫn khi chia cho phân số, rút gọn cos t.
Ví dụ 2:
a
dx
Nếu đặt x a tan t thì I 2
; a 0 sẽ trở thành tích phân nào?
0 x2 a2
/4 /4
1 1
A. I 1 cos t dt B. I 1 cos 2t dt
2a 3 0
2a 3 0
/4 a
1 1
C. I 1 cos 2t dt D. I 1 cos 2t dt
2a 3 0
2a 3 0
adt
Ở bài toán này với x a tan t dx d a tan t
cos2t
x 0 t 0
Đổi cận:
x a t /4
/4 /4
adt 1 dt
I2
cos 2 t. a 2 a 2 tan 2 t
2
a3 1
0 0 cos 2 t.
cos 4 t
/4 /4
1 2 1
cos tdt 1 cos 2t dt
a3 0
2a 3 0
Đáp án B.
Ở câu trắc nghiệm này đã có sẵn hướng đi, việc các em cần làm là biến đổi
tương đương.
Phương án gây nhiễu: Phương án A, C kiểm tra xem học sinh có nắm chắc
công thức hạ bậc không. Khi học sinh đã ra kết quả, phương án D sẽ đánh
bẫy đối với các học sinh quên đổi cận.
Ví dụ 3:
3
dx
Nếu đổi biến x 3 tan t thì I 2
; a 0 sẽ tương đương với tích
3
x 3
phân nào?
- /3 /3
dt
A. I 3 dt B. I 3
/4 /4
t
/4 /3
3 3
C. I dt D. I dt
3 /3
3 /4
3dt
Ở bài toán này với x 3 tan t dx d 3 tan t
cos 2t
x 3 t /4
Đổi cận:
x 3 t /3
/3
/3 /3
3dt 3 3
I 2 2
dt t
/4 cos t.3 1 tan t
3 /4
3 /4
Đáp án D.
Câu trắc nghiệm này yêu cầu học sinh phải tính toán cẩn thận, đổi cận
chính xác. Phương án gây nhiễu: A,B kiểm tra xem học sinh có mắc sai
lầm gì trong tính toán hay không. Phương án C sẽ làm các em nhầm lẫn
khi không chú ý vị trí của cận / 4 và / 3.
Ví dụ 4:
2
dx
Đặt I 2
và x 2tan t . Khẳng định nào sai?
0
x 4
A. 4 x 2 4 tan 2 t 1 B. dx 2 tan 2 t 1 dt
/4
1 3
C. I dt D. I
2 0
4
2dt
Ở bài toán này với x 2 tan t dx d 2 tan t 2 1 tan 2 t
cos 2t
x 0 t 0
Đổi cận:
x 2 t /4
/4 /3 /4
2dt 1 1
I dt t
0 cos 2 t.4 1 tan 2 t 2 /4
2 0 8
Đáp án D.
Ở các câu trắc nghiệm trên theo như bài toán gốc, hàm f(x) có chứa
a2 x 2 thì đặt:
- adt
dx d a tan t
cos 2t
x a tan t
a
x2 a2 a 2 tan 2 t a 2
cos t
Tương tự; đối với các bài toán khác nếu hàm f(x) có chứa a2 x2 ,
x2 a 2 ta chọn cách đổi biến như sau:
Dấu hiệu Cách chọn
x a sin t t ;
2 2
a2 x2
x a cos t t 0;
a
x t ; \ 0
sin t 2 2
x2 a2
a
x t 0; cos t 2
Ví dụ như ta có thể biến đổi:
Nếu hàm f(x) có chứa a2 x 2 thì đặt:
dx d a sin t a cos tdt
x a sin t t ;
2 2 a2 x2 a2 a 2 sin 2 t a cos t
Nếu hàm f(x) có chứa x2 a 2 thì đặt:
a a cos tdt
dx d
a sin t sin 2 t
x t ; \ 0
sin t 2 2 a2 a
x2 a2 a2
sin 2 t cot t
Từ các dấu hiệu đó, ta có thể xậy các câu trắc nghiệm tương tự như các ví
dụ trên.
Khía cạnh 2:
Sau khi đổi biến theo phương pháp lượng giác hóa, chúng ta sẽ thu được
tích phân dạng lượng giác. Ở đây, ta có thể viết các câu hỏi trắc nghiệm khách
- quan liên quan đến bước tiếp theo của bài toán gốc là biết vận dụng các công
thức lượng giác thường gặp (CT nhân đôi, CT hạ bậc, CT góc nhân 3, CT đổi
tích thành tổng…), các mẫu nguyên hàm lượng giác hay gặp của từ đó suy ra
cách đổi biến số thích hợp.
Ví dụ 5: Phát biểu nào sau đây là đúng?
1 1
A. dx tan x C B. dx tan x C
cos 2 x cos 2 x
1 1
C. dx cot x C D. dx cot x C
cos 2 x cos 2 x
1
Ta có: I dx tan x C
cos2 x
Đáp án A.
Theo bảng nguyên hàm cơ bản của tích phân lượng giác ta có:
1
dx tan x C . Đáp án gây nhiễu B, C, D kiểm tra xem học sinh có
cos 2 x
nắm được chắc chắn về dấu của nguyên hàm cơ bản này hay không.
Ví dụ 6:
Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x tan 2 x và F 1.
4
Khi đó ta có F x là:
A. tan 2 xdx tan x x B. tan 2 xdx tan x x
4
C. tan 2 xdx x tan x D. tan 2 xdx x tan x
4 4
1
Ta có: I tan 2 xdx 1 dx tan x x C
cos 2 x
F 1 1 C 1 C
4 4 4
Đáp án A.
Phương án gây nhiễu: Phương án B học sinh dễ nhầm vì quên hằng số C
khi tính nguyên hàm. Phương án C, D gây nhầm lẫn về dấu của hằng số C
khi ta chuyển vế hoặc sai khi nhớ nhầm dấu nguyên hàm của tích phân.
- Ví dụ 7:
dx
Nguyên hàm của tích phân I bằng:
cos x
1 sin x 1 1 sin x 1
A. ln B. ln
2 sin x 1 2 sin x 1
1 sin x 1 1 sin x 1
C. ln D. ln
2 sin x 1 2 sin x 1
dx cos xdx cos xdx
Ta có: I
cos x cos 2 x 1 sin 2 x
Đặt u sin x du cos xdx
du du 1 du du
I
1 u2 u 1 u 1 2 u 1 u 1
1 u 1 1 sin x 1
ln ln
2 u 1 2 sin x 1
Đáp án C.
Ở ví dụ này học sinh phải có kỹ năng xử lí hàm số lương giác, thêm 1
lượng để từ đó có thể đặt được ẩn. Phương án gây nhiễu: A, B, D đánh bẫy học
sinh khi các em chỉ cần biến đổi tương đương sai một lỗi về dấu thì đáp số sẽ ra
1 trong 3 phương án sai đó.
Ví dụ 8:
/4 5
1 tan x a a a
Cho I dx ; nguyên dương và tối giản. Tìm khẳng
0
cos 2 x b b b
định đúng?
A. a b B. ab 1
C. a 10b 1 D. a 2 b2 1
Ta có:
6 /4
/4
5 1 tan x 1 21 a 21
I 1 tan x d 1 tan x 64 1
0
6 6 2 b 2
0
a 10b 1
Đáp án C.
Ở câu trắc nghiệm này giúp học sinh phát hiện cách đổi biến nhanh khi
gặp hàm số lượng giác cơ bản, đơn giản hóa biểu thức và tính toán.
- Ví dụ 9:
/4
tan x
Biết I dx a b. (với a, b là 2 số tự nhiên.) Tìm
0 cos 2 x tan 2 x 2
đáp án đúng?
A. a b B. ab 6
C. a 2 b2 12 D. a 2 b 2 1
tan x
Đặt t tan 2 x 2 t2 tan 2 x 2 tdt dx
cos 2 x
3 3
tdt a 3
I dt 3 2
2
t 2
b 2
ab 6
Đáp án B.
Phương án gây nhiễu: Phương án D gây nhầm sai sót khi học sinh tính ra
I 3 2 sau đó các em nhầm lẫn cho a 3; b 2 . Phương án A, C kiểm
tra xem học sinh biến đổi tương đương và ra kết quả có đúng hay không.
Khía cạnh 3:
Nếu tích phân lượng giác thu được khá phức tạp, học sinh không thể áp
dụng các nguyên hàm lượng giác cơ bản để tính được học sinh phải có khả năng
đơn giản hóa bài toán, cụ thể là đưa hàm lượng giác về hàm hữu tỉ , từ đó xử lí
hàm hữu tỉ để xác định nguyên hàm.
Ví dụ 10:
3
dx
Giá trị của tích phân I bằng:
2 x x2 1
1 4 1
A. ln B.
2 3 2
1 4 1 3 4
C. ln D. ln ln
2 3 2 2 3
Ta có:
1 x 1 x 1 1
x x2 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1
- x x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 1
x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1
1 1 1
2 x 1 x 2 x 1
3 3 3 3
1 dx 1 dx dx 1
I ln x 2 1
23x 1 23x 1 3
x 2 2
1 8 3 1 8 1 3 1 3 1 8 2 1 3
ln ln ln ln ln ln . ln
2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2
1 3 4
ln ln
2 2 3
Đáp án D.
Ở câu trắc nghiệm này chúng ta cần sử dụng thuật phân tích tử số có chứa
nghiệm mẫu số. Từ đó giản ước và có thể suy ra các tích phân có dạng cơ
bản để tính toán.
Phương án gây nhiễu: Phương án A, B, C gây nhầm lẫn khi học sinh phân
chia và tính toán các số theo hàm ln.
Ví dụ 11:
3
dx
Biết I 2
a ln 2 b ln 3 c ln 5; a, b, c . Tổng a b c bằng:
2
x x
A. 6 B. 2
C. 2 D. 0
Ta có:
4 4 4 4
x 1 x dx dx x 4 3
I dx ln ln ln
3
x 1 x 3
x 3
x 1 x 13 5 4
ln 4 ln 5 ln 3 ln 4 4ln 2 ln 3 ln 5
a b c 4 1 1 2
Đáp án B.
Ví dụ 12:
1
x3dx
Biết I ln a b ln c a, b, c . Khẳng định nào đúng?
0
x 4 3x 2 2
- 5 1 3c
A. a b c B. a
2 b 2
C. b 2c c 2a a 2b 1 D. a c b
Ta có:
t x2 dt 2 xdx; t 0;1
1
1 t. dt 1
1
tdt 1
1
I 2 . ln t 2
1
ln t 1
2
0
t 3t 2 2 0 t 1 t 2 0
2 0
1 3
ln 3 ln 2 ln 2 ln 3 ln 2
2 2
a 3
1
b a c b
2
c 2
Đáp án D.
Ở ví dụ 11, 12 này, học sinh không thể bấm máy mà phải giải bằng tay để
có thể tìm ra các số a, b, c. Nắm rõ công thức của hàm ln để chuyển về
dạng mà đề đã cho.
nguon tai.lieu . vn
