Xem mẫu
- Ch−¬ng 2
C¸c qui luËt c¬ b¶n cña ph©n bè x¸c suÊt øng dông
trong thuû v¨n
2.1 Tæng quan
Khi dùa trªn lý thuyÕt ®−êng cong ph©n bè mËt ®é x¸c suÊt ®· xÐt trong
ch−¬ng 1, c¸c thñ thuËt ®¬n gi¶n nhÊt cña viÖc s¬ ®å ho¸ vµ kh¸i qu¸t c¸c tËp thèng
kª cã thÓ thùc hiÖn hoµn chØnh vµ thÓ hiÖn d−íi d¹ng chung nhÊt.
§−êng cong ph©n bè nhËn ®−îc ®èi víi c¸c s¬ ®å thèng kª kh¸c nhau t¹o
thµnh mét hÖ thèng ph¸t triÓn cña kh¸i qu¸t to¸n häc cã lîi cho viÖc m« t¶ c¸c tãnh
chÊt h¹ng réng cña hiÖn t−îng ngÉu nhiªn.
C¸c d¹ng ®−êng cong ph©n bè kh¸c nhau hoÆc dùa trªn c¸c s¬ ®å x¸c suÊt tËp
trung ®−îc x¸c ®Þnh vÒ mÆt lý thuyÕt , hoÆc tù thÓ hiÖn sù kh¸i qu¸t ho¸ c¸c qui luËt
thèng kª ®Æc tr−ng cho c¸c ph¹m trï x¸c ®Þnh cña tËp thùc nghiÖm.
Tuy nhiªn, trong bÊt kú tr−êng hîp nµo c¸c ®−êng cong ph©n bè x¸c suÊt
trong thÓ trõu t−îng ®Òu ph¶n ¸nh qui luËt thèng kª thùc ®Æc tr−ng bëi c¸c hiÖn
t−îng ngÉu nhiªn ®¹i chóng.
H×nh thøc biÓu diÔn c¸c qui luËt ph©n bè liªn quan chÆt chÏ víi viÖc chia ®¹i
l−îng ngÉu nhiªn ra c¸c d¹ng liªn tôc vµ rêi r¹c.
§¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c lµ biÕn cña tÖp (tËp hîp) cã thÓ thÓ hiÖn ë d¹ng
liÖt x¸c ®Þnh b»ng sè x1, x2, ..., xn, ... Khi gi¶i c¸c bµi to¸n thùc hµnh kh¸c th−êng
cã vÊn ®Ò víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn chØ nhËn c¸c gi¸ trÞ nguyªn. §Ó lÊy vÝ dô vÒ tËp
thuû v¨n ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c cã thÓ chØ ra sè kh« h¹n s«ng ngßi vµo mçi
n¨m trong mïa hÌ nhËn ®−îc tõ N n¨m trªn ph©n bè xª -ri c¸c n¨m Ýt vµ nhiÒu n−íc.
Khi nghiªn cøu c¸c tËp thèng kª c¸c hiÖn t−îng thiªn nhiªn th−êng cã vÊn ®Ò
víi c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc, cã nghÜa lµ víi c¸c hiÖn t−îng mµ kÕt qu¶ thö
cã thÓ nhËn mäi gi¸ trÞ trong giíi h¹n kho¶ng ®ang xÐt. C¸c ®¹i l−îng nh− vËy lµ sai
sè ®o ®¹c vµ gi¸ trÞ thµnh phÇn tËp c¸c ®Æc tr−ng kh¸c nhau cña chÕ ®é thuû v¨n (l−u
l−îng n−íc vµ phï sa, mùc n−íc, vËn tèc dßng ch¶y v.v..). Râ rµng khi m« t¶ ph©n
bè c¸c ®¹i l−îng nh− vËy vÒ nguyªn t¾c kh«ng thÓ viÕt vµ ®¸nh sè tÊt c¶ chóng vµo
mét liÖt x¸c ®Þnh, thËm chÝ trong giíi h¹n kho¶ng ®ñ hÑp. C¸c ®¹i l−îng nµy t¹o nªn
56
- mét tËp v« h¹n. NÕu khi xÐt tËp c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c cã thÓ g¾n mçi gi¸
trÞ cña nã x1, x2, ..., xn, ... víi mét x¸c suÊt ®Æc tr−ng x¸c ®Þnh bëi nã p(xi) th× trong
tr−êng hîp liÖt liªn tôc c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn chØ cã thÓ nãi vÒ x¸c suÊt r¬i vµo
kho¶ng cho tr−íc cña nã (bï lµ rÊt nhá).
Thùc tiÔn, khi nghiªn cøu c¸c tËp thèng kª c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc
chÆt chÏ dïng phÐp tÝnh bëi c¸c thñ thuËt nhãm vµ m« t¶ ®å thÞ c¸c tËp thèng kª ®·
tr×nh bµy trong ch−¬ng 1.
Khi ph©n tÝch lý thuyÕt c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc thay tÇn sè thùc
nghiÖm bëi mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt vµ t−¬ng øng lµ thay m«men thùc nghiÖm b»ng
biÓu thøc tÝch ph©n cña chóng.
¸p dông cho viÖc nghiªn cøu c¸c qui luËt ph©n bè tËp c¸c ®¹i l−îng ngÉu
nhiªn rêi r¹c sÏ tr×nh bµy qui luËt ph©n bè nhÞ thøc vµ ph©n bè Piecson III, khi xÐt
nã nh− tr−êng hîp riªng cña qui luËt ph©n bè nhÞ thøc. TiÕp theo trªn c¬ së ngo¹i
suy phæ biÕn qui luËt ph©n bè nhÞ thøc khëi ®iÓm trong tr−êng hîp c¸c ®¹i l−îng
liªn tôc vµ nh− vËy ®· chuyÓn tíi ph©n bè gamma hoÆc ®−êng cong Piecson III vµ
dÉn tíi hÖ qu¶ do S. N. Krixki vµ M. Ph. Menkel còng nh− G. N. Brocovits thùc
hiÖn. Khi cã sù øng dông réng r·i trong thuû v¨n qui luËt ph©n bè nhÞ thøc ta coi nã
lµ c¬ së khi tr×nh bµy qui luËt ph©n bè chuÈn.
Tõ c¸c ®−êng cong ph©n bè kh¸c nhau xÐt c¸c ph−¬ng tr×nh Gudrits vµ
Gumbel ®−îc sö dông −u thÕ trong thùc tiÔn thuû v¨n ë n−íc ngoµi.
Tõ sè c¸c biÕn ®æi ®a d¹ng biÕn ngÉu nhiªn dõng mét c¸ch chi tiÕt ë biÕn ®æi
logarit thØnh tho¶ng vÉn ®−îc sö dông khi tÝnh to¸n dßng ch¶y trong n−íc vµ n−íc
ngoµi.
Kh¶o cøu c¸c ®−êng cong ®¶m b¶o thùc nghiÖm ®Æc thï kh¸i qu¸t cña c¸c
®Æc tr−ng thuû v¨n kh¸c nhau xÐt vÝ dô nghiªn cøu cña G. P. Kalinhin vµ L. M.
Konarevski. Mét sè ph©n bè cã c¸c gi¸ trÞ bæ sung khi tÝnh to¸n thuû v¨n cã thÓ
tr×nh bµy theo møc ®é cÇn thiÕt trong c¸c ch−¬ng kh¸c. C¸c ph©n bè ®ã lµ ph©n bè
Student, Phiser, χ2 vµ c¸c ph©n bè kh¸c sö dông khi ph©n tÝch mÉu c¸c biÕn ngÉu
nhiªn .
BiÓu thøc gi¶i tÝch cña ®−êng cong ph©n bè m« t¶ tèt nhÊt tËp thùc nghiÖm
c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã thÓ thu ®−îc b»ng nhiÒu ph−¬ng ph¸p , vÒ sè l−îng tuy
r»ng h¹n chÕ khi thùc hiÖn c¸c ®iÒu kiÖn chung sau ®©y.
57
- 1. HiÓn nhiªn, ®−êng cong ph©n bè cÇn dùa trªn mét s¬ ®å thèng kª x¸c ®Þnh
mµ d−íi t¸c ®éng cña nã t¹o nªn hiÖn t−îng ngÉu nhiªn nµy hoÆc kia. VËy, vÝ dô
qui luËt ph©n bè chuÈn xuÊt hiÖn trong c¸c tr−êng hîp khi mµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
®ang nghiªn cøu cã thÓ thÓ hiÖn d−íi d¹ng tæng (hoÆc hµm tuyÕn tÝnh) mét sè lín
c¸c sè h¹ng thµnh phÇn (nh©n tè) ®éc lËp víi nhau, mçi sè ¶nh h−ëng nhá tíi tæng.
NÕu ®iÒu kiÖn cuèi cïng ®−îc tho¶ m·n vµ ¶nh h−ëng cña mét sè trong c¸c sè h¹ng
h×nh thµnh ®¹i l−îng ngÉu nhiªn chiÕm −u thÕ th× ®Æc ®iÓm cña ph©n bè sè h¹ng ®ã
¶nh h−ëng tíi qui luËt ph©n bè cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®ang nghiªn cøu. Khi nhËn
lµm c¬ së s¬ ®å lý thuyÕt mèi liªn hÖ cña sù xuÊt hiÖn ®¹i l−îng ngÉu nhiªn kh«ng
ph¶i lµ tæng mµ lµ tÝch mét sè ®ñ lín c¸c t¸c ®éng thµnh phÇn hay nãi c¸ch kh¸c vµo
tæng cña c¸c logarit cña chóng ta thu ®−¬cj qui luËt ph©n bè logarit chuÈn. Khi giíi
h¹n b»ng c¸c vÝ dô nµy ta thÊy ý nghÜa thèng kª kh¸c, khi xÐt c¸c qui luËt ph©n bè
sÏ ®−îc lµm s¸ng tá khi tr×nh bµy chóng.
2. Trong ph−¬ng tr×nh ®−êng cong ph©n bè cÇn ph¶i gi¶m c¸c tham sè, x¸c
®Þnh b»ng sè theo sè liÖu thùc nghiÖm. §iÒu kiÖn nµy rÊt quan träng khi ph©n tÝch
thèng kª c¸c dao ®éng nhiÒu n¨m cña c¸c ®¹i l−îng thuû v¨n v× tËp thèng kª cña
chóng th−êng h¹n chÕ bëi vµi chôc sè h¹ng (n¨m quan tr¾c).
Cïng víi nã ta cßn biÕt r»ng c¸c tham sè ph−¬ng tr×nh ®−êng cong ph©n bè
®−îc x¸c ®Þnh víi sai sè cµng lín th× tÖp thèng kª cµng nhá vµ ®¹i l−îng m«men
thèng kª cµng cao dïng ®Ó tÝnh to¸n c¸c tham sè ®−êng cong ph©n bè. ThËt vËy, nÕu
nh− gi¸ trÞ trung b×nh sè häc vµ hÖ sè biÕn ®æi n»m trong tham sè ph−¬ng tr×nh
®−êng cong ph©n bè cã thÓ x¸c ®Þnh theo c¸c tËp thèng kª mét c¸ch th«ng th−êng
theo c¸ch cña c¸c nhµ thuû v¨n cã ®é tin cËy t−¬ng ®èi, th× tÝnh to¸n hÖ sè bÊt ®èi
xøng theo chuçi nh©n t¹o, tøc lµ g¾n víi tuyÕn ®o thuû v¨n x¸c ®Þnh víi sai sè lín;
x¸c ®Þnh ®é nhän trong c¸c tr−êng hîp nh− vËy hoµn toµn mÊt ý nghÜa do sai sè qu¸
lín.
Liªn quan t¬Ý ®iÒu ®ang bµn trªn tham sè nµy víi tÝnh to¸n thuû v¨n hÇu nh−
kh«ng sö dông. Cho nªn khi gi¶i c¸c bµi to¸n thuû v¨n ng−êi ta chØ sö dông c¸c
ph−¬ng tr×nh ®−êng cong ph©n bè chØ cã hai hoÆc cïng l¾m lµ ba tham sè x¸c ®Þnh
theo tËp thèng kª ban ®Çu ( trung b×nh sè häc, hÖ sè biÕn ®æi, hÖ sè bÊt ®èi xøng).
Cã thÓ nhËn thÊy r»ng hÇu nh− víi c¸c tÝnh to¸n thèng kª ng−êi ta sö dông kh«ng
qu¸ 4 tham sè ®Ó x¸c ®Þnh d¹ng ®−êng cong ph©n bè.
Ngoµi c¸c yªu cÇu chung ®· nªu trªn trong quan hÖ cña ph−¬ng tr×nh ®−êng
cong ph©n bè , khi ph©n tÝch thèng kª dao ®éng nhiÒu n¨m cña dßng ch¶y s«ng
ngßi xuÊt hiÖn c¶ c¸c ®iÒu kiÖn phô. Do vËy, ®¹i l−îng dßng ch¶y s«ng ngßi lµ thùc
58
- d−¬ng, ®−êng cong ph©n bè m« t¶ dao ®éng cña chóng kh«ng ®−îc c¾t vµo phÇn gi¸
trÞ ©m, v× nã m©u thuÉn víi b¶n chÊt vËt lý cña hiÖn t−îng ®ang xÐt.
Sù h¹n chÕ cña c¸c ®−êng cong ph©n bè bëi giíi h¹n trªn kh«ng thùc hiÖn
®−îc v× kh«ng cã c¸c thñ thuËt t−¬ng xøng c¨n b¶n ®iÒu chØnh nã. Cã nh÷ng t×m tßi
x¸c ®Þnh gi¸ trÞ kh¶ n¨ng lín nhÊt cña ®Æc tr−ng dßng ch¶y ®ang xÐt th−êng dÉn tíi
kh«ng ph¶i lµ cùc ®¹i tuyÖt ®èi mµ lµ ®¹i l−îng ®−îc xem nh− lµ mét gi¸ trÞ nµo ®ã
cã x¸c suÊt v−ît bÐ. Ngoµi ra, trong thùc tiÔn tÝnh to¸n thuû v¨n ng−êi ta kh«ng sö
dông gi¸ trÞ x¸c suÊt v−ît hµng n¨m, tiÕn tíi 0 mµ nhËn mét x¸c suÊt h÷u h¹n ®ñ
thùc, chÆn bëi c¸c gi¸ trÞ ®¶m b¶o trªn nguyªn t¾c 1; 0,1% vµ ®«i khi trong c¸c
tr−êng hîp hiÕm 0,01%.
Nh− vËy, thiÕu h¹n chÕ ®−êng cong ph©n bè tõ phÝa c¸c ®¹i l−îng l−u l−îng
n−íc lín trong kho¶ng ngo¹i suy kh«ng m©u thuÉn víi b¶n chÊt vËt lý cña dao ®éng
dßng ch¶y s«ng ngßi vµ kh«ng ®i tíi lêi gi¶i kh«ng thùc tÕ, tøc lµ v¬Ý viÖc nhËn c¸c
gi¸ trÞ dßng ch¶y tÝnh to¸n lÖch nhiÒu c¸c ®¹i l−îng lÊy tõ tµi liÖu ®o ®¹c thuû v¨n.
Cã thÓ nhËn thÊy r»ng c¸c t×m kiÕm øng dông ®−êng cong ph©n bè giíi h¹n
tõ phÝa c¸c ®¹i l−îng dßng ch¶y lín bëi mét giíi h¹n cè ®Þnh nµo ®ã trong nhiÒu
tr−êng hîp dÉn tíi nhËn ®−îc c¸c ®¹i l−îng dßng ch¶y tÝnh to¸n thËm chÝ v−ît qu¸
c¸c ®−êng cong t−¬ng øng víi viÖc xo¸ kh«ng h¹n chÕ trong vïng c¸c ®¹i l−îng
d−¬ng. TÊt nhiªn ®iÒu ®ã liªn quan víi tÝnh kh«ng x¸c ®Þnh cña viÖc thµnh lËp giíi
h¹n trªn. Thªm vµo ®ã cã thÓ nãi r»ng nhiÒu vÝ dô sö dông c¸c ®−êng cong ph©n bè
kh«ng giíi h¹n trong khoa häc vµ trong kü thuËt ®Ó m« t¶ chuçi thèng kª kh«ng thÓ
v« cïng lín víi suÊt ®¶m b¶o tiÕn tíi 0. VÝ dô nh− sai sè kÝch th−íc khi chuÈn bÞ chi
tiÕt nµy hay chi tiÕt kia th−êng ®−îc m« t¶ bëi qui luËt ph©n bè chuÈn traØ dµi tõ - ∞
®Õn ∞, mÆc dï biÕt r»ng sai sè chuÈn bÞ chi tiÕt kh«ng thÓ lín v« h¹n do ®¹i l−îng
cña chi tiÕt h¹n chÕ bëi kÝch th−íc chuÈn bÞ sö dông khi xö lý.
C¸c h×nh ¶nh nªu trªn, còng nh− −íc l−îng sù t−¬ng øng cña s¬ ®å lý thuyÕt
ph©n bè x¸c suÊt víi tµi liÖu quan tr¾c thuû v¨n chøng tá r»ng viÖc sö dông c¸c
®−êng cong ph©n bè kh«ng h¹n chÕ bëi c¸c gi¸ trÞ lín kh«ng dÉn tíi m©u thuÉn víi
b¶n chÊt vËt lý cña tËp c¸c ®¹i l−îng thuû v¨n vµ cã thÓ ®−îc xÐt nh− lµ ph−¬ng tiÖn
hoµn toµn chÊp nhËn cña m« t¶ to¸n häc c¸c qui luËt thèng kª trong giíi h¹n suÊt
®¶m b¶o sö dông thùc tÕ.
Nh− vËy, ®èi víi ®−êng cong ph©n bè sö dông ®Ó m« t¶ dao ®éng dßng ch¶y
s«ng ngßi nhiÒu n¨m vµ chuçi c¸c tham sè kh¸c cña chÕ ®é thuû v¨n (x), cã thÓ ®Æt
c¸c ®iÒu kiÖn biªn sau: 0 ≤ x < ∞.
59
- Th−êng c¸c ®−êng cong ph©n bè lý thuyÕt sö dông trong thuû v¨n tho¶ m·n
®iÒu kiÖn ®¬n ®Ønh. Nã sinh ra nh− lµ hËu qu¶ cña yªu cÇu ®ång nhÊt vµ ®éc lËp
ngÉu nhiªn cña c¸c ®¹i l−îng thuû v¨n ®ang xÐt . ThËt vËy, tÝnh ®a ®Ønh cña ph©n bè
lµ hËu qu¶ cña viÖc thèng nhÊt mét vµi tÖp víi c¸c ph©n bè rÊt kh¸c nhau . Nh−ng do
khi gi¶i c¸c bµi to¸n thuû v¨n th−êng dïng phÐp víi c¸c ®¹i l−îng ®ång pha, tÊt
nhiªn dù ®o¸n r»ng ph©n bè cña chóng sÏ ®¬n ®Ønh. Do ®−êng cong ph©n bè sö
dông khi gi¶i c¸c bµi to¸n tÝnh to¸n dßng ch¶y s«ng ngßi ë d¹ng vi ph©n cÇn cã d¹ng
chung nh− sau: b¾t ®Çu tõ mét gi¸ trÞ d−¬ng nµo ®ã (hoÆc 0), sau ®ã khi t¨ng ®¹t tíi
gi¸ trÞ cùc ®¹i (®Ønh) vµ khi h¹ ®i vµo vïng ®¹i l−îng v« cïng lín.
Sö dông c¸c ®−êng cong ph©n bè gi¶i tÝch cho phÐp thùc hiÖn viÖc lµm tr¬n
c¸c ph©n bè thùc nghiÖm, nhÊn m¹nh khi ®ã c¸c nÐt qui luËt nhÊt cña tÖp thèng kª
®ang xÐt vµ lo¹i trõ c¸c ¸p ®Æt ngÉu nhiªn cña sè liÖu thùc nghiÖm chØ ®Æc tr−ng cho
mÉu ®−îc chän vµ kh«ng mang tÝnh qui luËt theo toµn bé tËp tæng thÓ. Sö dông c¸c
®−êng cong ph©n bè gi¶i tÝch cho kh¶ n¨ng thµnh lËp c¸c qui luËt thèng kª dÆc thï
cho d·y c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®Æc tr−ng cho mét vµ chØ mét hiÖn t−îng nh−ng
®−îc h×nh thµnh trong c¸c ®iÒu kiÖn b¶n chÊt kh¸c nhau. Cô thÓ, sù thµnh lËp t−¬ng
tù ®−îc øng dông réng r·i trong c¸c nghiªn cøu thuû v¨n víi môc ®Ých lµm s¸ng tá
c¸c qui luËt thèng kª ®Æc thï cho chuçi dßng ch¶y n¨m vµ dßng ch¶y cùc ®¹i . Víi
sù m« t¶ ph©n tÝch nhê ®−êng cong ph©n bè chuçi t¹o ra trªn c¬ së tµi liÖu quan tr¾c
n¶y sinh c¸c bµi to¸n c¬ b¶n sau:
1. Chän c¸c ®−êng cong ph©n bè phï hîp nhÊt víi tËp thèng kª ®ang xÐt.
Trong ®iÒu kiÖn sö dông chän läc h¹n chÕ theo sè l−îng c¸c sè liÖu thuû v¨n d¹ng
hµm ph©n bè th−êng ban ®Çu ®−îc chän trªn c¬ së tÝnh ®Õn c¸c luËn ®iÓm chung, cô
thÓ lµ sù phï hîp cña qui luËt ph©n bè øng dông bëi c¸c ®iÒu kiÖn biªn thay ®æi c¸c
®Æc tr−ng thuû v¨n ®ang xÐt. TiÕp theo tiÕn hµnh sù kiÓm tra réng r·i (øng dông cho
c¸c ®iÒu kiÖn kh¸c nhau cña s«ng ngßi ) tiÝnh phï hîp cña qui luËt ph©n bè x¸c suÊt
®ang nhËn víi tµi liÖu thùc nghiÖm. Sù kiÓm tra nµy ë giai ®o¹n ®Çu sö dông ®−êng
cong ph©n bè ®Ó tÝnh to¸n c¸c ®Æc tr−ng thuû v¨n ®−îc hoµn thµnh trªn c¬ së so
s¸nh trùc tiÕp c¸c ®−êng cong ®¶m b¶o gi¶i tÝch vµ thùc nghiÖm. TiÕp theo lµ thö c¸c
thñ thuËt −íc l−îng kh¸ch quan nh− chØ tiªu thèng kª χ2, chØ tiªu Kolmogorov -
Smirnov vµ v.v..
2. Sau khi chän d¹ng hµm ph©n bè n¶y sinh bµi to¸n x¸c ®Þnh gi¸ trÞ sè cña
c¸c tham sè hµm ®ã, chóng ®−îc tÝnh theo sè liÖu quan tr¾c cho ®Æc tr−ng dßng ch¶y
nµy hoÆc kia cña thµnh phÇn nµo ®ã thuéc chÕ ®é thuû v¨n s«ng ngßi. Sù lùa chän
®óng hµm ph©n bè vµ c¸c tham sè b»ng sè cña nã x¸c ®Þnh theo sè liÖu thùc nghiÖm
60
- ( trung b×nh sè häc, hÖ sè biÕn ®æi, hÖ sè bÊt ®èi xøng), ®¶m b¶o tõ quan ®iÓm
nguyªn t¾c b×nh ph−¬ng tèi thiÓu, sù lµm tr¬n tèt nhÊt ph©n bè thùc nghiÖm .
3. Khi xÐt c¸c sai sè cã thÓ cña viÖc x¸c ®Þnh tham sè ph©n bè bÞ chi phèi bëi
tÝnh h¹n chÕ cña lùa chän ®ang xÐt trong tÝnh to¸n quan träng lµ ®¸nh gi¸ ®Þnh l−îng
c¸c sai sè ®ã. Sù ®¸nh gi¸ nh− vËy ®−îc thùc hiÖn hoÆc nhê sö dông c«ng thøc lý
thuyÕt rót ra mét vµi h¹n chÕ, hoÆc víi øng dông ph−¬ng ph¸p thùc nghiÖm thèng
kª.
2.2 Qui luËt ph©n bè nhÞ thøc rêi r¹c
Trong thùc tiÔn tÝnh to¸n thuû v¨n ®−êng cong Piecson III ®−îc phæ biÕn
réng r·i nhÊt khi thÓ hiÖn kh¸i qu¸t ®−êng cong ph©n bè nhÞ thøc ®èi víi tr−êng hîp
®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc. Qui luËt ph©n bè nhÞ thøc t−¬ng øng víi viÖc lÆp mét
thÝ ngjiÖm duy nhÊt víi c¸c ®iÒu kiÖn kh«ng ®æi vµ chØ cã hai kÕt qu¶ xuÊt hiÖn (x¸c
suÊt p) vµ kh«ng xuÊt hiÖn (x¸c suÊt q = 1- p) cña biÕn cè ngÉu nhiªn . Mçi gi¸ trÞ
cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ph©n bè theo qui luËt ph©n bè nhÞ thøc thÓ hiÖn sè tr−êng
hîp (m) thùc hiÖn ®−îc biÕn cè ngÉu nhiªn nµo ®ã tõ n tr−êng hîp cã thÓ.
Tr×nh bµy s¬ ®å qui luËt ph©n bè nhÞ thøc cã thÓ thùc hiÖn ®−îc nhê c¸c ®Þnh
lý céng vµ nh©n x¸c suÊt .
Theo ®Þnh lý céng x¸c suÊt suy ra r»ng x¸c suÊt xuÊt hiÖn mét biÕn cè ®éc
lËp kh«ng b¸o tr−íc b»ng tæng x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè ®ã, hoÆc nãi c¸ch kh¸c lµ
nÕu biÕn cè ngÉu nhiªn A cã thÓ xuÊt hiÖn ë mét sè d¹ng A1, A2, A3, ..., An, cã c¸c
x¸c suÊt kh¸c nhau - p1, p2, ..., pn, th× x¸c suÊt xuÊt hiÖn ®¹i l−îng A ë d¹ng A1, A2,
A3, ..., Ak, (k
- BiÕn cè ngÉu nhiªn ®éc lËp ®−îc hiÓu lµ c¸c biÕn cè mµ kÕt qu¶ thö nghiÖm
lÇn sau kh«ng phô thuéc vµo lÇn tr−íc, vµ do vËy lÇn thö sau kh«ng thÓ ®o¸n trªn c¬
së thùc hiÖn nh÷ng lÇn thö tr−íc.
§Þnh lý nh©n x¸c suÊt th−êng ®−îc viÕt d−íi d¹ng:
P(AB...K) = p(A)p(B)...p(K).
Khi ®ã còng gi¶ thiÕt r»ng biÕn cè A, B, ..., K lµ ®éc lËp víi nhau.
T−¬ng øng víi nhøng ®iÒu nªu trªn qui luËt ph©n bè nhÞ thøc nhËn ®−îc khi
gi¶i quyÕt bµi to¸n sau:
TiÕn hµnh n lÇn thö ®éc lËp, mµ kÕt qu¶ thö biÕn cè cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ
d−¬ng 0, 1, 2, ..., n víi c¸c x¸c suÊt p0, p1, p2, ..., pn. X¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A
duy nhÊt b»ng p, cßn x¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè ng−îc B (kh«ng xuÊt hiÖn A) b»ng
q. Yªu cÇu x¸c ®Þnh x¸c suÊt Pm xuÊt hiÖn biÕn cè A m lÇn víi n lÇn thö.
Trong c¸c phô lôc kü thuËt biÕn cè A ®−îc hiÓu lµ l−îng s¶n phÈm tèt trong
dung l−îng nµo ®ã cña tËp, cßn biÕn cè ng−îc lµ s¶n phÈm cã lçi. §· cã lÇn thö [58]
xÐt c¸c tËp thèng kª ®¹i l−îng dßng ch¶y tõ quan ®iÓm cña qui luËt ph©n bè nhÞ thøc
. Trong tr−êng hîp ®ã biÕn cè A coi lµ thêi ®o¹n m−a, trong thêi gian ®ã dßng ch¶y
®−îc h×nh thµnh, vµ biÕn cè ng−îc lµ thêi ®o¹n kh«ng m−a. Khi ®ã ng−êi ta coi r»ng
b¾t ®Çu thêi ®o¹n m−a vµ kh«ng m−a lµ c¸c biÕn cè ®éc lËp, do vËy x¸c suÊt thêi
®o¹n m−a (p) vµ kh«ng m−a (q) lµ kh«ng ®æi trong mäi lÇn thö. Trong c¸c x©y dùng
lý thuyÕt x¸c suÊt kinh ®iÓn coi m« h×nh qui luËt ph©n bè nhÞ thøc th−êng xÐt s¬ ®å
cuèn hót (víi vßng quay tiÕp theo) c¸c qu¶ cÇu trong lång chøa p cÇu ®ªn vµ q cÇu
tr¾ng. Râ rµng c¸c vÝ dô trªn ®Òu dÉn tíi mét s¬ ®å to¸n häc thèng nhÊt. V× lÏ ®ã ta
copi kÕt luËn qui luËt ph©n bè nhÞ thøc lµ bèi c¶nh chung cña bµi to¸n.
Trong tr−êng hîp khi thùc hiÖn thÝ nghiÖm cÇn xuÊt hiÖn mét trong hai biÕn
cè A hoÆc B cã x¸c suÊt p hoÆc q vµ tæng x¸c suÊt cña chóng p + q = 1, v× biÕt ch¾c
ch¾n r»ng hoÆc A, hoÆc B trong thÝ nghiÖm sÏ ®−îc thùc hiÖn.
XÐt tuÇn tù c¸c tr−êng hîp víi 2, 3, 4 lÇn thö, sau ®ã kh¸i qu¸t cho n lÇn thö.
NÕu x¸c suÊt biÕn cè víi 1 lÇn thö b»ng p, th× víi 2 lÇn thö kh¶ n¨ng x¶y ra biÕn cè
A 0 lÇn (tøc lµ kh«ng x¶y ra biÕn cè A, c¶ hai lÇn ®Òu xuÊt hiÖn biÕn cè B), 1, 2 lÇn.
Trªn c¬ së lý thuyÕt nh©n vµ céng x¸c suÊt t−¬ng øng sÏ b»ng:
P0 = qq; P1 = pq+qp; P2= pp
62
- Nh− vËy, x¸c suÊt P(m) xuÊt hiÖn biÕn cè m lÇn (0; 1; 2) trong hai lÇn thö
(n=2) cã ph©n bè nh− sau:
m ... 0 1 2
q2 p2
P( ... 2p
m) q
§èi víi ba lÇn thö (n=3) t−¬ng tù ta nhËn ®−îc:
m . 0 1 2 3
..
P . q 3 3 p
3
pq2 p2q 3
(m) ..
Ph©n bè x¸c suÊt nµy t−¬ng øng víi ph©n bè sè h¹ng cña nhÞ thøc:
(p+q)2 = p2 + 2pq + q2
(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+p3
ThÊy r»ng sè tr−êng hîp xuÊt hiÖn (hay kh«ng xuÊt hiÖn ) ®¹i l−îng A trong
mçi ph©n bè b»ng n+1. Qui luËt ph©n bè x¸c suÊt trªn dÔ dµng më réng cho sè lÇn
thö kh«ng h¹n chÕ. Gi¶ sö thÝ nghiÖm n lÇn. Kh«ng cÇn xÐt tíi trËt tù xuÊt hiÖn biÕn
cè ngÉu nhiªn cã thÓ thùc hiÖn cho lÇn n+1 tiÕp theo:
1) kh«ng xuÊt hiÖn n lÇn biÕn cè A
2) xuÊt hiÖn (n-1) lÇn biÕn cè B vµ 1 lÇn biÕn cè A
3) xuÊt hiÖn (n-2) lÇn biÕn cè B vµ 2 lÇn biÕn cè A
............................................................................
m+1) xuÊt hiÖn (n-m) lÇn biÕn cè B vµ m lÇn biÕn cè A, v.v...
n) xuÊt hiÖn 1 lÇn biÕn cè B vµ ( n-1) lÇn biÕn cè A
n+1) xuÊt hiÖn n lÇn biÕn cè A.
X¸c suÊt tr−êng hîp thø nhÊt lµ qn. Tr−êng hîp thø hai cã thÓ x¶y ra mét
trong c¸c d¹ng: hoÆc lµ xuÊt hiÖn biÕn cè A trong lÇn thö thø nhÊt, hoÆc lÇn thø hai,
63
- hoÆc lÇn thø ba, v.v.. cho ®Õn lÇn cuèi cïng, h¬n n÷a trong mäi tr−êng hîp cßn l¹i
®Òu xuÊt hiÖn biÕn cè B; x¸c suÊt mçi biÕn cè trong c¸c d¹ng nµy b»ng nhau vµ b»ng
qn-1p, v× sè l−îng c¸c d¹ng nµy b»ng n, nªn x¸c suÊt tr−êng hîp thø hai sÏ b»ng:
P2 = nqn-1p
Trong tr−êng hîp thø ba x¸c suÊt mçi d¹ng b»ng qn-2p, cßn sè d¹ng khi thùc
hiÖn tr−êng hîp thø ba, tÊt nhiªn, b»ng sè kÕt hîp tõ n thµnh tè theo 2, tøc lµ:
n (n − 1)
C2 = .
n
n
Suy ra x¸c suÊt tr−êng hîp thø ba b»ng:
P3 = C 2 q n − 2 p 2 .
n
B»ng c¸ch t−¬ng tù cã thÓ t×m thÊy x¸c suÊt mäi tr−êng hîp cßn l¹i.
Phï hîp víi qui luËt ph©n bè nhÞ thøc ®· tr×nh bµy, kh¸i qu¸t cho n thµnh
viªn, cã thÓ viÕt d−íi d¹ng sau:
n (n − 1) n − 2 2 n (n − 1)(n − 2) n −3 3
(q + p) n = q n + nq n −1 p + q p+ q p + ...
2! 3!
(2.1)
n (n − 1)...(n − m + 1) n − m m
q p + ... + nqp n −1 + p n = 1.
+
m!
Tæng tÊt nhiªn lµ b»ng 1, v× q+p=1
X¸c suÊt r»ng biÕn cè B xuÊt hiÖn (n-m) lÇn, cßn biÕn cè A xuÊt hiÖn m lÇn,
sÏ b»ng:
P (m) = C m q n − m p m , (2.2)
n
hoÆc:
n (n − 1)...(n − m + 1) n − m m n!
q n −m p m ,
P(m) = q p= (2.3)
m! (n − m)! m! (n − m)!
tøc lµ b»ng thµnh viªn thø (n-m) , hoÆc thµnh viªn chøa ®¹i l−îng pm trong
khai triÓn nhÞ thøc (q+p)m. Ph©n bè nh− thÕ gäi lµ nhÞ thøc.
KÕt luËn trªn trùc tiÕp suy ra tõ s¬ ®å lËp luËn g¾n −íc l−îng x¸c suÊt kh«ng
liªn tôc ( rêi r¹c ) cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®−îc ký hiÖu qua m.
64
- D¹ng chung cña qui luËt ph©n bè nhÞ thøc víi n vµ p kh¸c nhau thÓ hiÖn trªn
h.2.1. Khi p=0,5 qui luËt ph©n bè nhÞ thøc ®èi xøng, Nã tiÕn tíi ®èi xøng víi n t¨ng
vµ ngay c¶ khi p ≠ 0,5, h¬n thÕ cßn ®¹t tíi giíi h¹n nhanh h¬n khi p cµng gÇn gi¸ trÞ
0,5. Víi p < 0,5 qui luËt ph©n bè nhÞ thøc lÖch tr¸i (d−¬ng), khi p > 0,5 - lÖch ph¶i
(©m).
Kú väng to¸n häc [E(m)] ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c m, ph©n bè theo qui
b) c)
a)
d) e) f)
H×nh. 2.1 Ph©n bè nhÞ thøc rêi r¹c víi c¸c tham sè n vµ p kh¸c nhau
a) n=10, p=0,8; b) n=10, p=0,5; c) n=10, p=0,2; d) n=5, p=0,2; e) n=20, p=0,2;
f)n=15, p=0,2.
luËt nhÞ thøc, b»ng
m = E(m) = np (2.4)
§¼ng thøc (2.4) nhËn ®−îc nh− sau. Khi sö dông c«ng thøc (2.2) còng nh−
biÓu thøc (1.3) vµ q=1-p, ta cã:
n n n
n!
m n →∞ = E(m) = ∑ mPn (m) = ∑ mC m p m (1 − p) n − m = ∑ m p m (1 − p) n − m .
m! (n − m)!
n
m =0 m =0 m =0
Víi m=0, sè h¹ng thø nhÊt b»ng kh«ng. V× thÕ lÊy tæng b¾t ®Çu tõ m=1. §−a
np ra khái dÊu tæng, ta cã:
(n − 1)!
n −1
m = E (m) = np∑ p m −1 (1 − p) n − m .
m =1 ( m − 1)! ( n − m )!
65
- Trong ®¼ng thøc cuèi cïng dïng phÐp thÕ y = m-1 vµ z = n-1; kÕt qu¶ nhËn
®−îc:
n −1
z!
m = E(m) = np∑ p y (1 − p) z − y ,
m =1 y! ( z − y)!
v× n-m = z+1-(y+1) = z-y. Do ®ã tæng trong ®¼ng thøc nµy so víi (2.1) b»ng
1, vµ ta cã m = np .
DÉn c«ng thøc ®Ó ph−¬ng sai ®¹i l−îng rêi r¹c ph©n bè theo qui luËt nhÞ thøc:
n n n n
∑ (m − m) 2 ∑ m 2 + ∑ m 2 − 2 ∑ mm
m =0 m =0 m =0 m =0
σ 2 ( m) = = =
n n
n
∑m
n n
= ∑ m + m − 2m = ∑ m2 − m2.
m =0
2 2
n
m =0 m =0
Kú väng to¸n häc m2 b»ng:
n n n n
E(m 2 ) = ∑ m 2 = ∑ m 2 P(m) = ∑ m(m − 1)P(m) + ∑ mP(m),
m =0 m =0 m =0 m=0
víi P(m) - qui luËt ph©n bè nhÞ thøc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn m. Tæng thø hai
trong biÓu thøc trªn lµ kú väng to¸n häc (1.3). Sè h¹ng ®Çu tiªn cã thÓ thÓ hiÖn d−íi
d¹ng
n n
∑ m ( m − 1)C m p m (1 − p ) n − m
∑ m ( m − 1) P ( m ) = n
m =0 m =0
n n!
p m (1 − p ) n − m .
∑
= m ( m − 1)
m! ( n − m )!
m =0
§−a ra khái dÊu tæng n(n-1)p2 vµ thay ®æi giíi h¹n tæng:
( n − 2)!
n n
p m − 2 (1 − p ) n − m .
∑ m ( m − 1) P ( m ) = = n ( n − 1) p ∑ 2
m = 2 ( m − 2 )!( n − m )!
m =0
§−a vµo c¸c ký hiÖu míi: y=m-2 vµ z=n-2, khi ®ã:
n z
∑ m(m − 1)P(m) = = n(n − 1)p2 ∑Cz p y (1 − p) z−y = n(n − 1)p2 .
y
m=0 y=0 66
- Trong biÓu thøc ban ®Çu ®èi víi ph−¬ng sai thay c¸c sè h¹ng võa nhËn ®−îc:
n n n
σ 2 (m) = ∑ m 2 − m 2 = ∑ m(m − 1)P(m) + ∑ mP(m) − m 2 =
m =0 m =0 m =0
= n (n − 1)p + np − n p = np[p(n − 1) + 1 − np] =
2 2 2
= np(np − p + 1 − np) = np(1 − p) = npq,
v× :
n
∑ mP(m) = m = np
m =0
m2 = n 2p2
Nh− vËy, ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn m ph©n bè theo qui luËt nhÞ
thøc, b»ng:
σ 2 (m) = np(1 − p) = npq (2.5)
M«men trung t©m bËc ba ®èi víi qui luËt ph©n bè nhÞ thøc dÉn ra kh«ng diÔn
gi¶i, v× ®· cã trong s¸ch cña Mitropolski[89],
µ 3 = npq (q − p) (2.6)
BiÓu diÔn c¸c tham sè cña ph©n bè ®ang xÐt th«ng qua c¸c ®¹i l−îng th−êng
øng dông trong thuû v¨n - hÖ sè biÕn ®æi vµ hÖ sè bÊt ®èi xøng. TÝnh ®Õn (1.22),
(1.27), (2.4)-(2.6), ta ®−îc:
σm npq q
Cv = = = (2.7)
,
m np np
npq (np) 3
µ3 npqn 3 / 2 p 3 / 2 n 5/ 2p5/ 2 (np) 5
npq (q − p)
Cs = = = = = = (2.8)
.
C3 q3/ 2 q3/ 2 q
3 3
⎛q⎞ q
v
⎜⎟
⎜ np ⎟
⎝⎠
S¬ ®å nhÞ thøc ®èi víi ph©n bè rêi r¹c c¸c ®¹i l−îng cã thÓ t×m thÊy øng dông
khi gi¶i mét sè bµi to¸n thuû v¨n. XÐt vÝ dô sau. Trong kÕt qu¶ quan tr¾c trªn mét
sè con s«ng x¸c ®Þnh r»ng trong vßng 20 n¨m quan s¸t thÊy 4 tr−êng hîp s«ng kh«
c¹n. Yªu cÇu x¸c ®Þnh x¸c suÊt cho thêi kú 20 n¨m cã thÓ quan s¸t thÊy s«ng kh«
c¹n tõ 2 ®Õn 10 tr−êng hîp.
67
- §Ó ¸p dông qui luËt nhÞ thøc ë d¹ng (2.2) cÇn biÕt gi¸ trÞ tham sè P, mµ nã
trong ®a sè c¸c tr−êng hîp phô lôc thuû v¨n kh«ng biÕt tr−íc. Cho nªn x¸c ®Þnh nã
®−îc thùc hiÖn xÊp xØ trªn c¬ së c¸c sè liÖu thùc nghiÖm.Khi gi¶i c¸c bµi to¸n t−¬ng
tù coi −íc l−îng P lµ tû sè:
m
P= (2.9)
,
n
víi m - sè kÕt qu¶ thuËn lîi; n - sè lÇn thö.
Khi sö dông c«ng thøc (2.9), ta cã:
4
P= = 0,2.
20
Sai sè trong viÖc x¸c ®Þnh P, tÝnh theo c«ng thøc (2.9) cµng lín nÕu sè lÇn thö
cµng Ýt. Giíi h¹n dao ®éng cã thÓ cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn (ch¼ng h¹n nh− P, x¸c
®Þnh theo mÉu ngÉu nhiªn) ®−îc ®¸nh gi¸ trong thèng kª víi viÖc sö dông kh¸i niÖm
kho¶ng tin cËy, chØ ra c¸c giíi h¹n, mµ trong khuon khæ cña nã c¸c ®¹i l−îng ®ang
xÐt cã thÓ thay ®æi víi c¸c møc x¸c suÊt kh¸c nhau. Kho¶ng tin cËy ®¶m b¶o kho¶ng
95 vµ 99% ®èi víi P trong tr−êng hîp ph©n bè nhÞ thøccã thÓ nhËn ®−îc khi sö dông
tuú thuéc trªn h×nh 2.2 vµ 2.3. Trªn c¸c h×nh nµy thÊy r»ng ®èi víi P nhËn ®−îc P =
0,2 vµ n = 20 giíi h¹n tin cËy 99% cña P lµ 0,02 vµ 0,39. Râ rµng khi t¨ng thêi gian
quan tr¾c (n) giíi h¹n tin cËy sÏ nhá h¬n.Theo biÓu thøc (2.2) ta tÝnh x¸c suÊt cho 20
n¨m sÏ lµ tuÇn tù 1, 2, . . . , 10 tr−êng hîp víi s«ng kh« c¹n trong mïa hÌ:
P 20 ( 0 ) = C 0 . 0 , 2 0 . 0 ,8 20 = 0 , 0115 ,
20
P 20 (1) = C 1 . 0 , 2 1 . 0 ,8 19 = 0 , 0576 ,
20
P 20 ( 2 ) = C 2 . 0 , 2 2 . 0 ,8 18 = 0 ,137 ,
20
P 20 ( 3 ) = C 3 . 0 , 2 3 . 0 ,8 17 = 0 , 2050 ,
20
P 20 ( 4 ) = C 4 . 0 , 2 4 . 0 ,8 16 = 0 , 2180 ,
20
P 20 ( 5 ) = C 5 . 0 , 2 5 . 0 ,8 15 = 0 ,1746 ,
20
P 20 ( 6 ) = C 6 . 0 , 2 6 . 0 ,8 14 = 0 ,1090 ,
20
P 20 ( 7 ) = C 7 . 0 , 2 7 . 0 ,8 13 = 0 , 0540 ,
20
P 20 ( 8 ) = C 8 . 0 , 2 8 . 0 ,8 12 = 0 , 0221 ,
20
P 20 ( 9 ) = C 9 . 0 , 2 9 . 0 ,8 11 = 0 , 0074 ,
20
P 20 (10 ) = C 10 . 0 , 2 10 . 0 ,8 10 = 0 , 002 ,
20
P 20 (11 ) = C 11 . 0 , 2 11 . 0 ,8 9 = 0 , 0005 ,
20
P 20 (12 ) = C 12 . 0 , 2 12 . 0 ,8 8 = 0 , 000086 .
20
68
- HÖ sè nhÞ thøc C m víi n nhá cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh kh¸ ®¬n gi¶n tõ tam gi¸c
n
Pascal:
n HÖ sè C m
n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
. . . . . . . . . . .
Gi¸ trÞ sè cña c¸c hÖ sè mçi dßng ngang tiÕp theo trong giíi h¹n tam gi¸c
Pascal ®−îc nhËn b»ng tæng hai sè ph©n bè ë dßng tr−íc ®ã vÒ hai phÝa tr¸i vµ ph¶i
cña hÖ sè ®ã.
§å thÞ ph©n bè víi n = 20 vµ p = 0,2 thÓ hiÖn trªn h. 2.1 d: gi¸ trÞ trung b×nh
cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn m phï hîp víi c«ng thøc (2.4) trong tr−êng hîp ®ang xÐt
lµ m = 20.0,2 = 4.
Thùc vËy, víi m = 4 quan s¸t thÊy x¸c suÊt cùc ®¹i cho 4 tr−êng hîp cña 20
n¨m ®−îc ghi nhËn s«ng kh« c¹n vµo mïa hÌ. Râ rµng r»ng víi gi¸ trÞ m cµng nhá
vµ lín h¬n 4 x¸c suÊt nµy cÇn ph¶i nhá h¬n vµ ®−îc kh¼ng ®Þnh b»ng kÕt qu¶ tÝnh
to¸n.
Ta tÝnh c¸c tham sè ph©n bè thùc nghiÖm ®· cho theo c«ng thøc (2.5) - (2.8):
σ2 = npq = 20.0,2(1-0,2) = 3,2,
σ = 3,2 = 1,789
σ 1,789
C vm = = = 0,447
m 4
µ 3 = npq(q − p) = 20.0,2.0,8(0,8 − 0,2) = 1,92,
µ 1,92
Cs = 3 = = 0,335.
σ 3 (1,789) 2
69
- H. 2.2 Giíi h¹n tin cËy 95% ®èi víi x¸c suÊt thùc nghiÖm theo ph©n
bè nhÞ thøc (theo sè liÖu c«ng tr×nh [140]).
Trong tÝnh to¸n thuû v¨n th−êng yªu cÇu x¸c ®Þnh x¸c suÊt xuÊt hiÖn kh«ng
qu¸ r ®Çu ra thuËn lîi trong n lÇn thö ®éc lËp. X¸c suÊt nµy ®−îc x¸c ®Þnh theo hµm
tÝch ph©n ph©n bè nhÞ thøc rêi r¹c
r
∑ C n p m q n −m .
P(m ≤ r ) = (2.10)
m
m =0
Tæng trong tr−êng hîp nµy ®−îc tÝnh theo gi¸ trÞ m = 0, 1, 2, . . . , r. Víi m ≤
70
- 0 P(m ≤ r) = 0; víi m ≥ r P(m ≥ r) = 1.
H×nh. 2.3 Giíi h¹n tin cËy 99% ®èi víi x¸c suÊt thùc nghiÖm theo
ph©n bè nhÞ thøc (theo sè liÖu c«ng tr×nh [140]).
Gi¶ sö r»ng cÇn x¸c ®Þnh x¸c suÊt cho 20 n¨m quan tr¾c dßng ch¶y s«ng ngßi
kh«ng qu¸ 5 tr−êng hîp s«ng kh« h¹n. Ta cã: n = 20; p = 0,2; r = 5. Khi sö dông
biÓu thøc (2.10) vµ ®¼ng thøc hiÓn nhiªn p = 1 - q, nhËn ®−îc:
m
∑ C m 0,2 m (1 − 0,2) 20−m = 0,012 + 0,058 + 0,140 + 0,205 + 0,218 + 0,175 = 0,808.
P(m ≤ 5) = 20
m =0
71
- Th−êng trong tÝnh to¸n thuû v¨n ng−êi ta sö dông x¸c suÊt thiªn lín cña sè r
®· cho. Trong tr−êng hîp nµy ta cã:
P[m ≥ (r + 1)] = 1 - P(m ≤ r) (2.11)
Bëi v×:
P(m ≤ r) + P [m ≥ (r + 1) = 1.
Khi sö dông c«ng thøc (2.11), ta tÝnh x¸c suÊt cho thêi kú 20 n¨m kh«ng cã
qu¸ 6 tr−êng hîp kh« h¹n s«ng ngßi
P( m ≥ 6) = 1 - 0,808 = 1,92.
Hµm tÝch ph©n ph©n bè sè tr−êng hîp v−ît kh« h¹n s«ng ngßi víi n = 20, p =
0,2 vµ r = 1 ÷ 10 ë trªn h. 2.4.
H×nh 2.4 §−êng cong suÊt ®¶m b¶o ph©n bè nhÞ thøc c¸c tr−êng hîp kh«
h¹n s«ng ngßi . n = 20, p = 0,2. 1- §−êng cong suÊt ®¶m b¶o nhÞ thøc liªn tôc, 2-
ph©n bè nhÞ thøc rêi r¹c (®iÓm ®−a theo gi¸ trÞ gi÷a kho¶ng)
Ph©n bè nhÞ thøc rêi r¹c cã thÓ øng dông trong tÝnh to¸n thuû v¨n vµ c¶ khi
gi¶i c¸c bµi to¸n t−¬ng tù. øng dông lín nhÊt trong tÝnh to¸n thuû v¨n lµ ph©n bè nhÞ
thøc c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc sÏ xÐt trong §. 4 cña ch−¬ng nµy. Khi gi¶i
mét sè bµi to¸n tÝnh to¸n thuû v¨n ng−êi ta sö dông qui luËt ph©n bè Poatx«ng, còng
m« t¶ ph©n bè c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c.
2. 3 Qui luËt ph©n bè Poatx«ng
Ph©n bè Poatx«ng ®−a ra tõ ph©n bè nhÞ thøc rêi r¹c víi n → ∞ vµ khi np = λ
gi÷ gi¸ trÞ h»ng sè h÷u h¹n.
72
- Cã thÓ nhËn thÊy r»ng, nÕu nh− trong ph©n bè nhÞ thøc rêi r¹c x¸c suÊt Pm
®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc (2.2), kh«ng cã gi¸ trÞ tiÕn ®Õn 0 vµ 1, th× trong ph©n
bè Poatx«ng P → 0.
Ph©n bè Poatx«ng cã d¹ng:
λm −λ
f (m, λ) = (2.12)
e.
m!
Do ®ã, ph©n bè ®· cho chØ cã mét tham sè λ, x¸c ®Þnh theo sè liÖu thùc
nghiÖm.
KÕt luËn cña qui luËt ph©n bè Poatx«ng ta tiÕn hµnh khi dùa trªn qui luËt
ph©n bè nhÞ thøc rêi r¹c.
Phï hîp víi biÓu thøc (2.3) ph©n bè nhÞ thøc rêi r¹c cã d¹ng:
f (m, n , p) = C m p m (1 − p) n −m =
n
n (n − 1)(n − 2)...(n − m + 1) m
p (1 − p) n −m .
=
m!
Nh©n tö sè vµ mÉu sè víi nm vµ tiÕn hµnh thÕ biÕntheo ®¼ng thøc np = λ.
n (n − 1)(n − 2)...(n − m + 1) m
λ (1 − p) n −m .
f (m, n, p) =
m
n m!
Chia tö sè cho nm, ta ®−îc:
n
⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ m − 1 ⎞ λ (1 − p)
m
f (m, n, p) = ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟...⎜1 − ⎟ (2.13)
.
⎝ n ⎠⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ m! (1 − p) m
XÐt tõng phÇn biÓu thøc tíi h¹n cña d¼ng thøc thu ®−îc. TiÕn hµnh biÕn ®æi
− np −λ
⎡ −⎤ ⎡ −⎤
1 1
(1 − p) = ⎢(1 − p) p ⎥
n⎢ ⎢(1 − p) p ⎥
=⎢
⎥ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
vµ lÊy giíi h¹n khi p → 0
73
- −λ
⎡ −⎤
1
l im ⎢(1 − p) p ⎥ = e −λ .
p →0 ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Vµ cuèi cïng xÐt giíi h¹n cña biÓu thøc khi n → ∞ vµ p → 0.
⎡⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ m − 1 ⎞⎤
⎢⎜1 − n ⎟⎜1 − n ⎟...⎜1 − n ⎟⎥
⎣⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎦
lim = = 1.
n →∞ (1 − p) m
p →0
ThÕ gi¸ trÞ giíi h¹n vµo c«ng thøc (2.13), cuèi cïng thu ®−îc ph©n bè
Poatx«ng (2.12), thÓ hiÖn d¹ng giíi h¹n cña ph©n bè nhÞ thøc rêi r¹c víi tham sè λ =
np vµ p → 0 vµ n → ∞.
DÉn biÓu thøc ®èi víi kú väng to¸n häc , ph−¬ng sai vµ m« men trung t©m
bËc ba cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ph©n bè theo qui luËt Poatx«ng . Khi ®ã ta sö dông
c¸c m« men nh©n tè. M« men giai thõa bËc r cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn m tõ m = 1
®Õn m = n thÓ hiÖn b»ng biÓu thøc :
1n r 1n
∑ m = n ∑ m(m − 1)...(m − r + 1).
fr =
n m =1 m =1
T×m ®−îc m« men giai thõa ®èi víi qui luËt ph©n bè Poatx«ng:
∞
λm −λ
∑ m! e m(m − 1)(m − 2)...(m − r + 1).
fr =
m =1
Khi thÕ λm = λm-rλr vµ ®−a ra khái dÊu tæng h»ng sè λr, më giai thõa m! vµ
tiÕn hµnh nh÷ng rót gän cÇn thiÕt, vµ còng thay ®æi giíi h¹n cña tæng, nhËn ®−îc:
e −λ
m
∞ λ −r
= λm .
∑
f r = λr (m − r )! (2.14)
m =1
CÇn l−u ý r»ng luü thõa nguyªn d−¬ng cña mäi sè cã thÓ thÓ hiÖn d−íi d¹ng:
r
C = ∑ A ri C i ,
r
(2.15)
i =1
74
- Víi Ari - sè Stirling, x¸c ®Þnh theo c«ng thøc xo¸y ®¶o:
Ari = iAr-1,i + Ar-1,i-1+ (2.16)
Víi c¸c gi¸ trÞ ban ®Çu A1,1 = 1 vµ A1,2 = 0 . Chóng ta cÇn gi¸ trÞ Stirling thÓ
hiÖn trªn b¶ng 2.1.
B¶ng 2.1 Sè Stirling
i
r
1 2 3
1 1
2 1 1
3 1 3 1
BiÓu diÔn c¸c m« men gèc cña ph©n bè Poatx«ng , sö dông quan hÖ (2.14) vµ
(2.15),
r r
C r = ∑ A ri C =∑ A ri λi .
i
(2.17)
i =1 i =1
Theo c¸c biÓu thøc (2-16) vµ (2-17) ta nhËn ®−îc c¸c biÓu thøc ®èi víi ba
m«men gèc ®Çu tiªn cña ph©n phèi Poatx«ng
r =1
f 1 = ∑ A 1,1 λ 1 = λ
Khi r = 1
i =1
r =2
f 2 = ∑ A 2i λi = λ + λ2
Khi r = 2
i =1
r =3
f 3 = ∑A3i λ i = λ + 3λ2 + λ3
Khi r = 3
i =1
75
nguon tai.lieu . vn
