Xem mẫu
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 4, 2019 37
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ VÀ TÍNH IBN CỦA ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT
THE GRAPH TRANFORMATIONS AND IBN PROPERTY OF LEAVITT PATH ALGEBRAS
Tăng Võ Nhật Trung, Ngô Tấn Phúc
Trường Đại học Đồng Tháp; tangvonhattrung0307@gmail.com, ntphuc@dthu.edu.vn
Tóm tắt - Năm 2005, Abrams – Aranda Pino và nhóm Ara – Moreno Abstract - In 2005, Abrams – Aranda Pino and independently Ara
– Pardo đã giới thiệu lớp đại số đường đi Leavitt với hệ số trên một – Moreno – Pardo constructed the Leavitt path algebras with
trường. Để khảo sát tương đương Morita của đại số đường đi coefficients in a field. To investigate Morita equivalence of Leavitt
Leavitt, Abrams – Louly – Pardo – Smith đã giới thiệu các phép biến path algebras, Abrams – Louly – Pardo – Smith introduced the
đổi đồ thị cơ bản và chứng minh rằng chúng bảo toàn tương đương basic tranformations on the digraph and proved that they preserve
Morita của đại số đường đi Leavitt trên các đồ thị liên kết. Các phép Morita equivalence of the associated Leavitt path algebras. These
biến đổi đồ thị này giúp cho vấn đề khảo sát tính chất IBN trên đại số graph moves make the IBN investigating problem simplier.
đường đi Leavitt trở nên đơn giản hơn. Tuy nhiên, tính chất IBN trên However, it is known that the IBN property is not a Morita invariant
vành nói chung không phải là một bất biến Morita. Vì thế, chúng ta property for rings. So we study the impact of the basic graph
cần nghiên cứu tác động của các phép biến đổi đồ thị cơ bản đến tranformations on the IBN property of the associated Leavitt path
tính chất IBN của đại số đường đi Leavitt của các đồ thị liên kết. algebras. In this paper, we show that the source elimination and
Trong bài viết này, chúng tôi chứng minh phép khử đỉnh nguồn và the expansion on diraph preserve the UGN but not the IBN property
phép mở rộng bảo toàn tính chất UGN nhưng không bảo toàn tính of the associated Leavitt path algebras.
chất IBN của đại số đường đi Leavitt của các đồ thị liên kết.
Từ khóa - Đại số đường đi Leavitt; phép khử đỉnh nguồn; phép mở Key words - Leavitt path algebra; source elimination; expansion;
rộng; tính chất IBN; tính chất UGN. IBN property; UGN property.
1. Đặt vấn đề Một đồ thị E = ( E0 , E1 , s, r ) là một bộ bao gồm hai tập
Trong [7], W. Leavitt đã đề xuất khái niệm UGN và
hợp E 0 và E1 và hai ánh xạ r , s : E1 → E 0 . Các phần tử của
IBN như sau: một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện
UGN (tương ứng, IBN) nếu có một đơn cấu (tương ứng, E 0 được gọi là các đỉnh và các phần tử của E1 được gọi
đẳng cấu) từ Rm đến R n thì m n (tương ứng, m = n ). là các cạnh. Đối với mỗi cạnh e trong E1 , s ( e ) được gọi
Dễ thấy tính chất IBN là hệ quả của tính chất UGN. Các là điểm đầu của e và r ( e ) được gọi là điểm cuối của e .
khái niệm này đóng vai trò quan trọng trong lí thuyết vành
Đồ thị E được gọi là hữu hạn nếu các tập E 0 và E1 là các
hay lí thuyết môđun nói chung. Một số kết quả gần đây về
tập hữu hạn phần tử. Trong bài viết này, ta chỉ xét những
tính UGN và IBN có thể tham khảo tại [6], [7].
đồ thị hữu hạn.
Cho một đồ thị (trực tiếp) E và một trường số K , Một đường đi trong một đồ thị E là chuỗi các cạnh
Abrams - Aranda Pino trong [1] và Ara – Moreno – Pardo
p = e1e2 ...en sao cho r ( ei ) = s ( ei +1 ) với mọi
trong [4] đã giới thiệu lớp đại số đường đi Leavitt LK ( E )
i = 1, 2,..., n −1. Đường đi p được gọi là một chu trình
của đồ thị E . Lớp đại số này là mở rộng của đại số Leavitt
LK (1, n) trong [7]. Trong [3], Abrams – Nam - Phuc đã chỉ nếu như s ( p ) := s(e1 ) = r (en ) =: r ( p ) và s ( ei ) s ( e j )
ra các điều kiện về đồ thị E để LK ( E ) thỏa mãn tính UGN. với mọi i j . Nói cách khác, một chu trình là một đường
Sau đó, trong [8], Nam - Phuc đã chỉ ra điều kiện cần và đủ đi mà bắt đầu - kết thúc trên cùng một đỉnh và không đi qua
trên ma trận liên thuộc của đồ thị thị E để LK ( E ) thỏa bất kì đỉnh nào quá một lần. Kí hiệu p 0 là tập tất cả các
mãn tính IBN. Trong [2], Abrams – Louly – Pardo – Smith đỉnh trong p . Nếu c là một chu trình thì các phần tử trong
đã giới thiệu các phép biến đổi đồ thị cơ bản và chứng minh 0
rằng chúng bảo toàn tương đương Morita của đại số đường tập c được gọi là tập đỉnh của một chu trình.
đi Leavitt trên các đồ thị liên kết. Trong bài viết này, chúng Trong đồ thị E , một đỉnh v được gọi là ngọn nếu như
tôi nghiên cứu tác động của các phép biến đổi đồ thị cơ bản s ( v ) = và v được gọi là gốc nếu như r −1 (v) = , nếu
−1
đến tính chất IBN của đại số đường đi Leavitt của các đồ v không phải là ngọn thì được gọi là đỉnh chính quy. Một
thị liên kết. Cụ thể, chúng tôi chứng minh phép khử đỉnh
đỉnh vừa là ngọn, vừa là gốc thì được gọi là đỉnh cô lập.
nguồn và phép mở rộng bảo toàn tính chất UGN nhưng
không bảo toàn tính chất IBN của đại số đường đi Leavitt Với hai đỉnh ta u , v E 0 kí hiệu u v nếu tồn tại một
của các đồ thị liên kết. đường đi p mà s ( p) = u, r ( p ) = v . Ta định nghĩa ma trận
2. Tính IBN của đại số đường đi Leavitt liên thuộc của E , kí hiệu AE , là ma trận xác định như sau:
gọi E = {v1 , v2 ,..., vh } , khi đó
0
Trong phần này, giới thiệu lại kết quả chính trong [2], AE là ma trận vuông
[3], [8] mà nhóm tác giả sẽ sử dụng xuyên suốt trong bài
viết của mình. Trước tiên, nhắc lại một số khái niệm về đồ ( aij ) h trong đó aij là số các cạnh nối từ vi đến v j .
thị trực tiếp và đại số đường đi Leavitt. Cho một đồ thị trực tiếp E = ( E0 , E1 , s, r ) và một
- 38 Tăng Võ Nhật Trung, Ngô Tấn Phúc
trường bất kì K , đại số đường đi Leavitt LK ( E ) của đồ thị và [ AEt − J E b] là ma trận có được từ AEt − J E bằng cách
E với hệ tử trên K là một K - đại số sinh bởi tập E 0 và thêm vào cột b . Cho K là một trường bất kì. Khi đó
E1 , cùng với tập cạnh ảo {e* | e E1} , thỏa mãn các điều LK ( E ) thỏa mãn tính chất IBN khi và chỉ khi
kiện sau với mọi v, w E 0 và e, f E1 :
rank( AEt − J E ) rank([ AEt − J E b]).
(1) vw = v, w w , ( là kí hiệu Kronecker);
3. Kết quả chính
(2) s (e)e = e = er (e) và r (e)e* = e* = e*s(e) ;
Trong phần này, nhóm tác giả chứng minh phép khử
(3) e* f = e, f r (e) ; đỉnh nguồn và phép mở rộng bảo toàn tính chất UGN
nhưng không bảo toàn tính chất IBN của đại số đường đi
(4) v = ee* với mọi đỉnh chính quy v .
Leavitt của các đồ thị liên kết dựa vào Định lí 1 và Định lí
es −1 ( v )
2 ở trên.
Cho E = ( E0 , E1 , r, s) là một đồ thị, và v E là một
0
Định nghĩa 1. (i) Giả sử c1 và c2 là hai chu trình trong đồ
gốc. Ta gọi đồ thị thu gọn gốc E v của E là đồ thị được
thị E (ta qui ước mỗi đỉnh cũng là một chu trình có độ dài 0 ).
xác định như sau: ( E v )0 = E 0 {v} , Nếu có một đường đi p mà s( p) c10 , r( p) c20 (điểm đầu
( E v )1 = E1 s −1 (v) , sE v
= s |( E )1
và rE v
= r |( E )1
. tại một đỉnh thuộc c10 và điểm cuối tại một đỉnh thuộc c20 ) thì
v v
Nói cách khác, E v là đồ thị có được từ E bằng cách bỏ ta nói chu trình c1 kéo theo chu trình c2 . Kí hiệu c1 c2 .
đi v và các cạnh trong E có điểm đầu là v . Trong trường (ii) Chu trình c trong đồ thị E được gọi là chu trình
hợp E là đồ thị chỉ có một đỉnh v và không có cạnh nào gần nhất nếu trong E không tồn tại bất cứ chu trình nào
(đỉnh cô lập) thì ta qui ước E v = E . khác c kéo theo chu trình c . Tương tự, một đỉnh v trong
E được gọi là đỉnh gần nhất nếu trong E không tồn tại
Trong [3], Abrams – Nam – Phuc đã đưa ra một tiêu bất cứ chu trình nào kéo theo v .
chuẩn cho tính UGN của đại số đường đi Leavitt của đồ thị
hữu hạn. Ví dụ 2. Trong đồ thị dưới đây thì chu trình c1 = e1e2
Định lí 1. [3, Theorem 3.16] Cho E là một đồ thị hữu kéo theo chu trình c2 = f1 f 2 f 3 f 4 và c1 là chu trình gần
hạn và K là một trường. Đặt nhất trong đồ thị E .
E = E0 → E1 → → Ei → → Et = Esf
là một dãy các đồ thị thu gọn gốc trong đó Esf là đồ thị
không có gốc. Khi đó LK ( E ) thỏa mãn điều kiện UGN khi
và chỉ khi 0 j t để E j chứa một đỉnh cô lập, hoặc Esf
chứa một chu trình c với | r −1 (v) |= 1 với mọi v c (chu
0
trình không có cạnh đi vào).
Định lí 3. Cho E là một đồ thị hữu hạn và K là một
Ví dụ 1. Từ đồ thị sau đây, sau các bước thu gọn gốc ta
trường. Khi đó LK ( E ) thỏa mãn điều kiện UGN khi và chỉ
sẽ thu được đồ thị mới chứa đỉnh cô lập là w1 , w2 và chu khi E chứa ngọn gần nhất hoặc chu trình gần nhất.
trình c = ef không có cạnh đi vào. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh Định lí 3 tương đương
với Định lí 1. Để làm điều đó, ta cần chứng tỏ “ngọn gần
nhất” trong Định lí 3 tương ứng với “đỉnh cô lập” trong
Định lí 1 và “chu trình gần nhất” trong Định lí 3 tương ứng
với “chu trình không có cạnh đi vào” trong Định lí 1.
Giả sử v0 là một ngọn gần nhất trong E . Khi đó, hoặc
v0 là đỉnh cô lập hoặc tồn tại một đỉnh v1 trước v0 , tức là tồn
tại một cạnh có điểm đầu tại v1 và điểm cuối tại v0 . Nếu v1
Trong [8], các tác giả đã chỉ ra một điều kiện cần và đủ
dựa vào ma trận liên thuộc của đồ thị để đại số đường đi không là gốc thì tồn tại đỉnh v2 trước v1 . Quá trình này phải
Leavitt của nó thỏa mãn tính chất IBN. dừng sau hữu hạn bước do tính hữu hạn của đồ thị và tính gần
Định lí 2. ([8], Theorem 2.5). Cho E là một đồ thị hữu nhất của v0 . Tức là, ta được một dãy các đỉnh và các cạnh
hạn có tập đỉnh là {vi |1 i h} và {v1 ,..., vz } ( z h) là
tập các đỉnh chính quy của E . Đặt
I 0
JE = k M h ( ), b = [1...1] M h1 ( )
t
Khi đó, sau các phép khử gốc tại vn rồi lần lượt tại
0 0
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 4, 2019 39
vn−1 , ..., v2 , v1 ta được một đồ thị mới chứa đỉnh cô lập v0
. Như vậy, nếu E chứa ngọn gần nhất thì sau hữu hạn bước
thu gọn gốc, ta sẽ thu được một đồ thị mới chứa đỉnh cô lập.
Bây giờ, thay vai trò của v0 trong các lập luận trên bởi Khi đó, áp dụng Định lí 2 để xét tính IBN của LK ( E )
chu trình gần nhất c ta cũng thu được kết quả tương tự là: và LK ( F ) ta có
nếu E chứa chu trình gần nhất c thì sau hữu hạn bước thu −1 0 0 0 1
gọn gốc, ta sẽ thu được một đồ thị mới trong đó c là chu 1 1 0 0 1
trình không có cạnh đi vào. [ AEt − J E b] =
0 1 −1 0 1
Ví dụ 3. Trong đồ thị đã xét ở Ví dụ 1, w1 , w2 là các
0 0 1 0 1
đỉnh cô lập và c = ef là chu trình gần nhất.
Suy ra rank ([ AEt − J E ]) = 3 = rank ([ AEt − J E b]
Bổ đề 1. Cho E = ( E0 , E1 , r, s) là một đồ thị hữu hạn.
Hay LK ( E ) không thỏa mãn tính IBN.
Nếu E không chứa chu trình thì E phải chứa ngọn gần nhất.
Chứng minh. Gọi v0 là một đỉnh trong E . Nếu v0 không 1 0 0 1
Mặt khác [ A − J F b] = 1 −1 0 1
t
F
là ngọn thì tồn tại một đỉnh v1 sau v0 , tức là tồn tại một
0 1 0 1
cạnh có điểm đầu tại v0 và điểm cuối tại v1 . Nếu v1 không Suy ra
là ngọn thì tồn tại đỉnh v2 sau v1 . Quá trình này phải dừng rank ([ AFt − J F ]) = 2 3 = rank ([ AFt − J F b]
sau hữu hạn bước do tính hữu hạn của đồ thị. Vì đồ thị không Hay LK ( F ) thỏa mãn tính IBN.
chứa chu trình nên các đỉnh trong dãy v0 , v1 , v2 là phân
Tiếp theo, chúng tôi xét sự thay đổi tính IBN của đại số
biệt. Tức là, ta được một dãy các đỉnh và các cạnh đường đi Leavitt qua phép mở rộng đồ thị.
Cho E = ( E0 , E1 , r, s) là một đồ thị hữu hạn và v là một
trong đó vn là ngọn gần nhất. đỉnh trong E. Ta kí hiệu Ev = ( Ev 0 , Ev1 , rv , sv ) là đồ thị mở
rộng của E tại v. Trong đó,
Hệ quả 1. Cho E = ( E0 , E1 , r, s) là một đồ thị hữu hạn
Ev0 = E0 {v*}, Ev1 = E1 { f }, các ánh xạ sv , rv cảm
và K là một trường. Nếu E không chứa chu trình thì LK ( E )
sinh từ s, r bằng cách cho sv ( f ) = v, rv ( f ) = v * và với
thỏa mãn tính UGN.
mọi e s−1 (v), sv (e) = v * . Tóm lại, từ đồ thị E, để xây dựng
Chứng minh. Suy trực tiếp từ Định lí 3 và Bổ đề 1.
đồ thị mở rộng E v ta thêm vào một đỉnh v * , một cạnh f
Bổ đề 2. Cho E = ( E0 , E1 , r, s) là một đồ thị hữu hạn
nối từ v đến v * và dời các cạnh có điểm đầu từ v sang v * .
và v là một gốc trong E. Nếu E chứa ngọn gần nhất hoặc
chu trình gần nhất thì E\v cũng vậy. Ví dụ 5. Các đồ thị sau đây tương ứng là đồ thị E ban
Chứng minh. Giả sử v là một gốc trong đồ thị E và E\v là đầu và đồ thị mở rộng tại đỉnh v của nó:
đồ thị thu gọn gốc của E tại v. Vì v không là đỉnh ngọn và
không thuộc bất kì chu trình nào trong E nên dễ thấy số đỉnh
ngọn và số chu trình trong E và E\v là như nhau. Do đó nếu E
chứa ngọn gần nhất hoặc chu trình gần nhất thì E\v cũng vậy.
Từ Bổ đề 2 và Định lí 3 ta suy ra được kết quả sau:
Định lí 4. Cho E = ( E0 , E1 , r, s) là một đồ thị hữu hạn
và v là một gốc trong E. Cho K là một trường. Khi đó tính
UGN của LK ( E ) và LK ( E \ v) là như nhau. Bổ đề 3. Cho E = ( E0 , E1 , r, s) là một đồ thị hữu hạn
Nhận xét 1. Như vậy, phép thu gọn gốc bảo toàn tính và v là một đỉnh trong E. Nếu E chứa ngọn gần nhất hoặc
UGN. Tuy nhiên, ví dụ dưới đây chứng tỏ phép thu gọn gốc chu trình gần nhất thì đồ thị mở rộng E v cũng vậy.
không bảo toàn tính IBN. Chứng minh. Giả sử w là một ngọn gần nhất trong đồ thị
Ví dụ 4. Xét đồ thị E và E v là đồ thị mở rộng của E tại đỉnh v của E. Nếu v w
thì w vẫn là một ngọn gần nhất trong E v . Nếu v = w thì
trong E v , w không còn là ngọn và v * sẽ là ngọn gần nhất.
Như vậy, số ngọn gần nhất trong E và E v là như nhau.
và gọi đồ thị thu gọn gốc của E tại v0 là
Giả sử c = e1e2 ...en là một chu trình gần nhất trong đồ
- 40 Tăng Võ Nhật Trung, Ngô Tấn Phúc
thị E và E v là đồ thị mở rộng của E tại đỉnh v của E. Nếu toàn tính chất IBN của đại số đường đi Leavitt của các đồ
thị liên kết (Ví dụ 4, Nhận xét 2).
v c thì c vẫn là một chu trình gần nhất trong E v . Nếu
0
Ghi chú. Bài báo được hỗ trợ bởi đề tài nghiên cứu khoa
1 i n : v = vi := r (ei ) = s(ei +1 ) thì trong Ev ,
học sinh viên mã số SPD2018.02.51.
c = e1e2 ...ei fei +1 ...en sẽ là chu trình gần nhất. Như vậy, số
chu trình gần nhất trong E và E v là như nhau. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Từ hai lập luận trên ta được điều phải chứng minh. □ [1] G. Abrams and G. Aranda Pino, “The Leavitt path algebra of a
graph”, Journal of Algebra (293), 2005, p. 319-334.
Từ Bổ đề 3 và Định lí 3 ta suy ra được kết quả sau: [2] G. Abrams, A. Louly, E. Pardo and C. Smith, “Flow invariants in
Định lí 5. Cho E = ( E0 , E1 , r, s) là một đồ thị hữu hạn the classification of Leavitt path algebras”, Journal of Algebra,
(333), 2011, p. 202--231.
và v là một đỉnh trong E. Cho K là một trường. Khi đó tính [3] G. Abrams, T. G. Nam and N. T. Phuc, “Leavitt path algebras having
UGN của LK ( E ) và LK ( Ev ) là như nhau. unbounded generating number”, Journal of Pure and Applied
Algebra, 6(221), 2017, p. 1322-1343.
Nhận xét 2. Tương tự như phép thu gọn gốc, phép mở [4] P. Ara, M. A. Moreno and E. Pardo, “Nonstable K-theory path algebras”,
rộng cũng bảo toàn tính UGN nhưng không bảo toàn tính Algebras and Representation Theory, (10), 2007, p. 157 - 178.
IBN. Chẳng hạn, xét đồ thị E và đồ thị mở rộng của E tại v [5] V. N. Khánh, N. T. Phúc, “Về tính UGN của đại số đường đi Leavitt
như ở Ví dụ 5. Khi đó, tính toán tương tự như Ví dụ 4, ta trên các đồ thị rời rạc chu trình”, Tạp chí Khoa học – Đại học Đà
Nẵng 5 (126), 2018, p. 135-139.
thấy LK ( E ) thỏa mãn tính IBN nhưng LK ( Ev ) thì không.
[6] T. Y. Lam, Lectures on modules and rings, Springer - Verlag, New
York – Berlin, 1999.
4. Kết luận [7] W. G. Leavitt, “The module type of a ring”, Trans. Amer. Math. Soc
Bài viết đã đưa ra khái niệm chu trình gần nhất (Định (42), 1962, p. 113-130.
nghĩa 1) và dung nó để chứng minh một kết quả tương [8] T. G. Nam and N. T. Phuc, “The structure of Leavitt path algebras
and the Invariant Basis Number property”, Journal of Pure and
đương với [3, Theorem 3.16] là Định lí 3. Tứ đó, bài viết Applied Algebra, 2019, DOI: 10.1016/j.jpaa.2019.02.017.
đã chứng minh phép khử đỉnh nguồn và phép mở rộng bảo
toàn tính chất UGN (Định lí 4, Định lí 5) nhưng không bảo
(BBT nhận bài: 15/3/2019, hoàn tất thủ tục phản biện: 20/4/2019)
nguon tai.lieu . vn
