1. Trang Chủ
  2. Địa Lý
  3. Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Chương 5

Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Chương 5

Động lực học chất lỏng 5.1. Mở đầu Để mô tả những chuyển động chất lỏng trong một miền nhất định, cần có sẵn một tập hợp các phương trình vi phân có thể giải bằng giải tích hoặc bằng số nhờ áp dụng những điều kiện ban đầu và những điều kiện biên. Những phương trình cơ bản cần thiết là phương trình liên tục (bảo toàn khối lượng) và phương trình chuyển động (bảo toàn năng lượng) theo Định luật thứ hai của Newton (1642 -1727). Những phương trình chuyển động đối với một chất lỏng không nhớt được...

Thể loại Tài liệu miễn phí Địa Lý

Số trang 29

Ngày tạo 8/29/2018 11:44:03 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 1.33 M

Tên tệp

Tải Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt ... (.pdf)

Xem mẫu

  1. Ch­¬ng 5. §éng lùc häc chÊt láng 5.1. Më ®Çu §Ó m« t¶ nh÷ng chuyÓn ®éng chÊt láng trong mét miÒn nhÊt ®Þnh, cÇn cã s½n mét tËp hîp c¸c ph­¬ng tr×nh vi ph©n cã thÓ gi¶i b»ng gi¶i tÝch hoÆc b»ng sè nhê ¸p dông nh÷ng ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµ nh÷ng ®iÒu kiÖn biªn. Nh÷ng ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n cÇn thiÕt lµ ph­¬ng tr×nh liªn tôc (b¶o toµn khèi l­îng) vµ ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (b¶o toµn n¨ng l­îng) theo §Þnh luËt thø hai cña Newton (1642 -1727). Nh÷ng ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ®èi víi mét chÊt láng kh«ng nhít ®­îc biÕt lµ ph­¬ng tr×nh EULER. ViÖc tÝch ph©n ph­¬ng tr×nh Euler ®èi víi dßng ch¶y kh«ng quay kh«ng nÐn dÉn ®Õn ph­¬ng tr×nh BERNOULLI mµ liªn hÖ nh÷ng thay ®æi vËn tèc, ¸p suÊt vµ mùc n­íc trong chÊt láng kh«ng nhít vµ còng thÝch hîp khi nh÷ng hiÖu øng cña nhít kh«ng ®¸ng kÓ. Nh÷ng ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ®èi víi mét dßng ch¶y nhít ®­îc biÕt lµ ph­¬ng tr×nh NAVIER-STOKES. Nh÷ng ph­¬ng tr×nh ®èi víi mét dßng ch¶y rèi ®­îc gäi lµ nh÷ng ph­¬ng tr×nh REYNOLDS. 5.2. Ph­¬ng tr×nh liªn tôc (c©n b»ng khèi l­îng) 5.2.1 ThÓ tÝch ®iÒu khiÓn T rong h×nh 5.1, khèi l­îng ®i vµo trong khu vùc mét khèi ch÷ nhËt víi nh÷ng mÆt song song cã c¸c c¹nh x, y vµ z theo h­íng +x lµ U y z, vµ ®i ra khái nã theo h­íng +x lµ khèi l­îng trong ®ã céng víi suÊt biÕn thiªn cña khèi l­îng theo h­íng +x nh©n víi x. §©y lµ nh÷ng sè h¹ng bËc nhÊt:  Uyz  ( Uyz ) x . x Khèi l­îng rßng ®Õn theo h­íng +x trªn thêi gian ®¬n vÞ lµ sù kh¸c nhau gi÷a chóng: 39
  2.  ( Uyz )x .  x T­¬ng tù, khèi l­îng rßng ®i vµo trong khu vùc theo h­íng +y vµ +z lµ:   ( Vzx)y vµ  ( Wyx)z .  y z Møc t¨ng cña khèi l­îng trong khu vùc (nÕu kh¸c kh«ng) lµ:  ( yzx) t vµ nh­ vËy:     ( Uyz ) x  ( Vzx)y  ( Wyx) z = ( yzx) .  y x z t H×nh 5.1. Khèi l­îng vµo vµ ra mét thÓ tÝch phÇn tö V× y vµ z kh«ng ®æi theo x; z vµ x kh«ng ®æi theo y; x vµ y kh«ng ®æi theo z vµ x, y vµ z kh«ng ®æi theo t, chóng ta cã thÓ chia cho ®¹i l­îng x y z lµ thÓ tÝch cña khu vùc ®­îc xÐt. Sau ®ã ta nhËn ®­îc:  ( U )  ( V )  ( W )     . (5.2.1) x y z t §èi víi chÊt láng cã mËt ®é kh«ng ®æi,  lµ h»ng sè nªn /t = 0, vµ ph­¬ng tr×nh (5.2.1) trë thµnh: U V W   0 (5.2.2) x y z ®èi víi c¶ dßng ch¶y æn ®Þnh lÉn kh«ng æn ®Þnh (vËn tèc cã thÓ thay ®æi theo thêi gian còng nh­ vÞ trÝ trong chÊt láng). §iÒu nµy còng cã thÓ biÓu thÞ nh­ sau (xem Phô lôc B): divV  .V  0 . 40
  3. 5.2.1 Dßng nguyªn tè Bëi v× kh«ng cã dßng ch¶y nµo xuyªn qua c¸c biªn (theo ®Þnh nghÜa), dßng khèi l­îng qua mçi mÆt c¾t ngang lµ kh«ng ®æi. Gi¶ thiÕt Vi p h¸p tuyÕn víi mÆt ph¼ng Ai th×:  V dA  const dßng khèi l­îng = (5.2.3) i i Ai  V dA  const . dßng thÓ tÝch = (5.2.4) i i Ai Dßng thÓ tÝch ®­îc gäi lµ l­u l­îng Q (= Vi Ai ). 5.2.3 Dßng ch¶y kh«ng æn ®Þnh mét chiÒu trong lßng dÉn hë H×nh 5.2 cho thÊy mét t×nh huèng dßng kh«ng æn ®Þnh mét chiÒu. §é s©u n­íc h vµ vËn tèc trung b×nh ®é s©u U lµ nh÷ng hµm cña vÞ trÝ x vµ thêi gian t. BÒ réng b cña dßng ch¶y lµ mét hµm cña x. L­u l­îng lµ: Q  Udz  bhU .  A Thay ®æi khèi l­îng chÊt láng sau thêi gian t do sù thay ®æi cao ®é bÒ mÆt chÊt láng lµ: h h b (h  t ) x  bhx  b tx . (5.2.5) t t H×nh 5.2. Dßng kh«ng æn ®Þnh mét chiÒu T hay ®æi khèi l­îng chÊt láng sau thêi gian t do gi¸ trÞ rßng cña dßng ch¶y ®Õn vµ ®i lµ: Q Q Qt   (Q  x)t    xt . (5.2.6) x x C©n b»ng nh÷ng biÓu thøc (5.2.5) vµ (5.2.6) dÉn ®Õn: 41
  4. h Q b  0 (5.2.7) t x h  (bhU ) b 0  hoÆc (5.2.8) t x NÕu b kh«ng ®æi theo h­íng x (db/dx = 0), th×: h  (hU )  0 (5.2.9) t x ®èi víi dßng æn ®Þnh (h/t = 0) cho thÊy:  (hU )  0 hoÆc hU  q  const (5.2.10) x q   Udz lµ l­u l­îng ®Æc tr­ng trªn bÒ réng ®¬n vÞ. h §èi víi dßng ch¶y kh«ng æn ®Þnh hai chiÒu ngang trong lßng dÉn hë cã thÓ dÉn ra ph­¬ng tr×nh sau: h  (hU )  (hV )   0 (5.2.11) t x y trong ®ã: U = vËn tèc dßng ch¶y trung b×nh ®é s©u theo h­íng x, V = vËn tèc dßng ch¶y trung b×nh ®é s©u theo h­íng y. Ph­¬ng tr×nh (5.2.11) còng cã thÓ dÉn ra tõ ph­¬ng tr×nh (5.2.2) b»ng c¸ch tÝch ph©n theo ®é s©u. Gi¶ thiÕt vËn tèc theo h­íng ngang lµ V = 0 vµ do ®ã lµ V / y = 0, cho thÊy: zs U W )dz  0  ( x  (5.2.12) z zb trong ®ã: zs = cao ®é bÒ mÆt chÊt láng ë trªn mÆt ph¼ng tham chiÕu, zb = cao ®é ®¸y ë trªn mÆt ph¼ng tham chiÕu, h = zs - zb = ® é s©u. V× zs vµ zb lµ nh÷ng hµm sè cña x, ph¶i øng dông quy t¾c Leibnitz nh­ sau: a( x) b f db da  x ) f ( x, y)dz   x dz  f ( x, b) dx  f ( x, a) dx . x b ( a ¸p dông quy t¾c Leibnitz víi ph­¬ng tr×nh (5.2.12) dÉn ®Õn: z dz s dz b s  Udz U ( x, z s ) dx  U ( x, zb ) dx  W ( x, z s )  W ( x, zb )  0 . (5.2.13) x zb zs Coi q  U h  Udz , Ub = U(x,zb) vµ Us = U (x,zs), W s = W(x,zs) vµ Ws = W(x,zs ) dÉn  zb ®Õn: 42
  5. dz dz q  U ó s  U b b  Ws  Wb  0 . (5.2.14) x dx dx Ph­¬ng tr×nh (5.2.12) cã thÓ ®­îc chi tiÕt h¬n n÷a b»ng viÖc ¸p dông ®iÒu kiÖn biªn ®éng häc, chØ râ r»ng vËn tèc kÕt qu¶ ë biªn lu«n lu«n song song víi biªn, dÉn ®Õn: z s z s Ws  U ó  (5.2.15) x t z z Wb  U b b  b . (5.2.16) x t Thay ph­¬ng tr×nh (5.2.15) vµ (5.2.16) vµo ph­¬ng tr×nh (5.2.14) dÉn ®Õn: q z s z b   0 (5.2.17) x t t h  (hU )  0.  hoÆc (5.2.18) t x 5.3. C©n b»ng ®éng l­îng 5.3.1. §Þnh luËt thø hai cña Newton §Þnh luËt thø hai cña Newton ph¸t biÓu r»ng lùc tæng hîp t¸c ®éng lªn mét khèi l­îng ®· cho tû lÖ víi ®é biÕn thiªn ®éng l­îng tuyÕn tÝnh cña khèi l­îng ®ã theo thêi gian. Trong c¸ch viÕt vect¬: F dt  d ( mV ) (5.3.1) d F (mV ) . hoÆc (5.3.2) dt Ph­¬ng tr×nh (5.3.2) còng ®­îc gäi lµ c©n b»ng ®éng l­îng. §èi víi mét khèi l­îng kh«ng ®æi nã cho thÊy: F  ma . (5.3.3) Trong c¸ch viÕt v« h­íng: dU Fx  m  ma x dt dV Fy  m  ma y (5.3.4) dt dW Fz  m  ma z . dt 5.3.2. §éng l­îng vµ n¨ng l­îng ®i qua mét mÆt c¾t 43
  6. §éng l­îng trªn ®¬n vÞ thêi gian vµ trªn ®¬n vÞ bÒ réng ®i qua mét mÆt c¾t nhá cã chiÒu cao dz lµ: U2dz. (5.3.5) LÊy tÝch ph©n theo ®é s©u, ®éng l­îng tæng céng trªn ®¬n vÞ bÒ réng vµ thêi gian ®i qua mét mÆt c¾t cã chiÒu cao h cña mét lßng dÉn h×nh ch÷ nhËt réng lµ: h 2 2  U dz  hU   qU (5.3.6) 0 h 1 2  U dz víi (5.3.7) 2 hU 0 U = vËn tèc trung b×nh ®é s©u U = vËn tèc ph©n bè theo h­íng th¼ng ®øng  = hÖ sè hiÖu chØnh q = l­u l­îng ®Æc tr­ng. §éng l­îng trªn ®¬n vÞ thêi gian ®i qua mét mÆt c¾t cã diÖn tÝch A tuú ý: QU (5.3.8) A 1 2  U dA . (5.3.9) 2 AU 0 HÖ sè  n»m trong ph¹m vi tõ 1 ®Õn 1,5, phô thuéc vµo ph©n bè vËn tèc thùc tÕ. Trong tr­êng hîp ph©n bè vËn tèc l«garit, hÖ sè lµ  = 1,03. T­¬ng tù, ®éng n¨ng trªn ®¬n vÞ thêi gian ®i qua mét mÆt c¾t lµ: 2  QU / 2 (5.3.10) A 1 3  U dA . víi (5.3.11) 3 AU 0 HÖ sè  còng ®­îc ¸p dông trong ph­¬ng tr×nh Bernoulli (xem môc 6.1), mµ vÒ c¬ b¶n lµ ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng. HÖ sè  = 1,08 ®èi víi ph©n bè vËn tèc l«garit. 5.3.3. øng dông Cã thÓ øng dông ph­¬ng tr×nh c©n b»ng ®éng l­îng ®Ó x¸c ®Þnh c¸c lùc t¹i c«ng tr×nh, nh­ sÏ thÊy trong vÝ dô sau. H×nh 5.3 cho thÊy dßng ch¶y d­íi mét cöa cèng. Lùc F3 trªn ®¬n vÞ bÒ réng t¹i cöa cèng cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng viÖc ¸p dông ph­¬ng tr×nh (5.3.1) trªn miÒn ABCD. Nh÷ng vËn tèc ch¶y vµo vµ ch¶y ra trung b×nh ®é s©u lµ U 1 vµ U 2 . §éng l­îng trªn ®¬n vÞ bÒ réng ®i vµo mÆt c¾t 1 trong thêi gian t lµ: 1q U 1 t. 44
  7. §éng l­îng trªn ®¬n vÞ bÒ réng ra khái mÆt c¾t 2 trong thêi gian t lµ: 2q U 2 t. H×nh 5.3. Lùc t¹i cöa cèng Bá qua lùc ma s¸t ®¸y (FW = 0), c©n b»ng ®éng l­îng lµ: ( (1/2)gh12 - (1/2)gh22 - F3 )t = ( 2q U 2 -  1q U 1 )t F3= (1/2) (gh12 - gh22 ) -  ( 2q U 2 -  1q U 1 ). (5.3.12) Cã thÓ tÝnh to¸n F3 k hi biÕt l­u l­îng ®Æc tr­ng q, hÖ sè  vµ ®é s©u h1 vµ h2. 5.4. Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng 5.4.1. C¸c lùc t¸c ®éng lªn nh÷ng phÇn tö chÊt láng Nh÷ng lùc t¸c ®éng lªn mét phÇn tö chÊt láng nãi chung cã hai lo¹i: 1. nh÷ng lùc khèi vµ 2. nh÷ng lùc mÆt. Nh÷ng lùc khèi lµ nh÷ng lùc t¸c ®éng lªn thÓ tÝch hoÆc khèi l­îng cña mét phÇn tö chÊt láng (vÝ dô träng lùc). Nh÷ng lùc mÆt lµ nh÷ng lùc t¸c ®éng lªn bÒ mÆt cña mét phÇn tö chÊt láng. Nh÷ng lùc mÆt gåm cã nh÷ng lùc th¼ng gãc víi bÒ mÆt (¸p suÊt) vµ nh÷ng lùc tiÕp tuyÕn víi bÒ mÆt (lùc tr­ît). H×nh 5.4 cho thÊy nh÷ng øng suÊt bÒ mÆt trªn mét phÇn tö chÊt láng ®èi víi mét chÊt láng kh«ng nhít. Trong tr­êng hîp nµy kh«ng cã nh÷ng øng suÊt nhít. Nh÷ng øng suÊt bÒ mÆt chØ lµ nh÷ng øng suÊt ph¸p tuyÕn do ¸p suÊt . Trong môc 3.2 ®· chØ ra r»ng ¸p suÊt lµ ®¼ng h­íng (®¹i l­îng v« h­íng b»ng nhau trong tÊt c¶ c¸c h­íng). Nh­ vËy, x = y = z = - p. (5.4.1) 45
  8. H×nh 5. 4. øng suÊt ph¸p tuyÕn cña chÊt láng trong mét chÊt láng kh«ng nhít H×nh 5.5 cho thÊy nh÷ng øng suÊt bÒ mÆt trªn mét phÇn tö chÊt láng nhít ®ang chuyÓn ®éng. Cã nh÷ng øng suÊt ph¸p tuyÕn () vµ nh÷ng øng suÊt tiÕp tuyÕn (). Nh÷ng øng suÊt tiÕp tuyÕn lµ nh÷ng øng suÊt tr­ît. ChØ sè ®Çu tiªn cña øng suÊt chØ ra h­íng cña øng suÊt; chØ sè thø hai chØ ra mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi h­íng trong ®ã øng suÊt t¸c ®éng. Nh­ vËy yx t¸c ®éng theo h­íng y vµ trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc x. §Þnh luËt Pascal kh«ng hîp lÖ: x  y  z. H×nh 5.5. Nh÷ng øng suÊt tiÕp tuyÕn (tr­ît) vµ ph¸p tuyÕn trong mét chÊt láng nhít §èi víi chÊt láng Newton nh÷ng øng suÊt tr­ît lµ: 46
  9. U V  xy   (  ) (5.4.2) y x V W  yz   (  ) z y W U  zx   (  ). x z Nh÷ng øng suÊt ph¸p tuyÕn ®èi víi chÊt láng Newton ®­îc x¸c ®Þnh bëi Stokes (1845), nh­ sau: U 2 U V W  x   p  2  (   ) x 3 x y z V 2 U V W  y   p  2  (   ) (5.4.3) x 3 x y z W 2 U V W  z   p  2  (   ). z x 3 x y §èi víi chÊt láng kh«ng nhít,  = 0 vµ nh­ vËy hiÓn nhiªn lµ x = y = z = - p. §èi víi chÊt láng nhít ®ang chuyÓn ®éng, trung b×nh céng cña ba øng suÊt ph¸p tuyÕn gäi lµ ¸p suÊt: -p = 1/3 (x + y +z ). (5.4.4) ¸p suÊt p lµ ®¼ng h­íng, bëi v× cã thÓ thÊy r»ng ph­¬ng tr×nh (5.4.4) hîp lÖ ®èi víi bÊt kú ®Þnh h­íng nµo cña hÖ täa ®é. 5.4.2. Ph­¬ng tr×nh Euler §èi víi mét dßng ch¶y chÊt láng kh«ng nhít kh«ng nÐn ®­îc ( = 0), Euler (1707- 1783) ¸p dông ph­¬ng tr×nh c©n b»ng ®éng l­îng cho mét phÇn tö chÊt láng. §èi víi mét phÇn tö chÊt láng trong mét träng tr­êng (xem h×nh 5.4) ®iÒu nµy dÉn ®Õn: p Fx   xyz x p Fy   xyz (5.4.5) y p xyz  gxyz . Fz   z Khèi l­îng cña phÇn tö chÊt láng lµ: xyz . (5.4.6) Nh÷ng gia tèc ax, ay, az cho trong ph­¬ng tr×nh 4.4.7. ¸p dông ph­¬ng tr×nh c©n b»ng ®éng l­îng dÉn ®Õn: U 1 P U U U U V W   x z t x y 47
  10. V 1 P V V V U V W  (5.4.7)  y z t x y W 1 P W W W g. U V W   z z t x y Trong c¸ch viÕt vect¬: dV 1   P  g . (5.4.8)  dt Cã vÎ l¹ lïng khi xÐt chuyÓn ®éng cña nh÷ng chÊt láng kh«ng nhít, mét khi tÊt c¶ c¸c chÊt láng thùc ®Òu nhít. Tuy nhiªn, trong nhiÒu tr­êng hîp nh÷ng sè h¹ng nhít kh«ng ®¸ng kÓ so víi nh÷ng sè h¹ng ¸p suÊt vµ sè h¹ng gia tèc. Mét vÝ dô quan träng cña dßng ch¶y (lý t­ëng) kh«ng quay kh«ng nhít lµ dßng thÕ, sÏ ®­îc m« t¶ trong Ch­- ¬ng 7. 5.4.3. Ph­¬ng tr×nh Bernoulli T Ých ph©n nh÷ng ph­¬ng tr×nh Euler ®èi víi dßng ch¶y æn ®Þnh kh«ng quay kh«ng nÐn dÉn ®Õn ph­¬ng tr×nh Bernoulli mµ liªn hÖ nh÷ng thay ®æi vËn tèc, ¸p suÊt vµ mùc n­íc trong chÊt láng kh«ng nhít. Ph­¬ng tr×nh Euler ®èi víi dßng æn ®Þnh theo h­íng x: U U U 1 P U V W  . (5.4.9) z  x x y 1 V U 1 U W  xy  ( ) vµ  zx  (   ) ph­¬ng tr×nh (5.4.9) cã B»ng viÖc cho 2 x y 2 z x thÓ biÓu thÞ nh­ sau: U V W 1 P  2V xy  2W zx   V W U . (5.4.10)  x x x x Coi thÕ träng lùc lµ gz (®éc lËp víi x), dÉn ®Õn: P 12 12 1 2 ( U  V  W )  2V xy  2W zx   (  gz ) . (5.4.11) x  x 2 2 2 §èi víi dßng ch¶y kh«ng quay: xy = yz = 0, dÉn ®Õn: P  2 (V   gz )  0 . (5.4.12)  x Nh÷ng biÓu thøc t­¬ng tù cã thÓ dÉn xuÊt theo nh÷ng h­íng y vµ z. P 2 Nh­ vËy, nh÷ng gradient cña sè h¹ng (V   gz ) b»ng kh«ng. §iÒu nµy cã  nghÜa lµ sè h¹ng v« h­íng: P 2 (V   gz )  const (5.4.13)  48
  11. trong mçi ®iÓm cña tr­êng dßng ch¶y ®èi víi dßng ch¶y æn ®Þnh kh«ng quay kh«ng nhít, ®­îc biÕt lµ ®Þnh luËt Bernoulli (1700- 1782). Ph­¬ng tr×nh (5.4.13) còng cã thÓ biÓu thÞ nh­ sau: P 2 (V   gz )  H e  const (5.4.14)  trong ®ã He lµ cét n­íc tæng céng so víi mét mÆt ph¼ng tham chiÕu n»m ngang. H×nh 5.6. Ph­¬ng tr×nh Bernoulli ®èi víi dßng ch¶y kh«ng quay trong lßng dÉn hë H×nh 5.6 cho thÊy mét øng dông cña ph­¬ng tr×nh (5.4.14) ®èi víi dßng ch¶y lßng dÉn hë. He k h«ng ®æi t¹i mçi ®iÓm. Nh­ vËy: V12 V2 P  z1  2  z 2  2 . g 2g 2g Ph­¬ng tr×nh Bernoulli ®èi víi mét ®­êng dßng Nh÷ng ph­¬ng tr×nh Euler cã thÓ ®¬n gi¶n b»ng viÖc ®­a ra mét hÖ täa ®é tù nhiªn, nh­ trong h×nh 5.7. Trôc s trïng víi vect¬ vËn tèc. Trôc n trïng víi b¸n kÝnh cong. Trôc b h­íng th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng s - n. §iÒu nµy dÉn ®Õn nh÷ng thµnh phÇn vËn tèc Vs = Vn = Vb = 0 theo nh÷ng h­íng s, n vµ b. Thµnh phÇn träng lùc theo h­íng s lµ: gz/s. T­¬ng tù, nh÷ng thµnh phÇn träng lùc theo h­íng n vµ b lµ: gz/n vµ gz/b (xem h×nh 5.8). Nh÷ng ph­¬ng tr×nh Euler cã thÓ biÓu thÞ nh­ sau: 49
  12. Vs V 1 P z  Vs s   g (5.4.15)  s t s s Vn V 1 P z  Vs n   g (5.4.16)  n t s n Vb V 1 P z  Vs b   g . (5.4.17)  b t b b H×nh 5.7. HÖ täa ®é tù nhiªn (®­êng dßng trong mÆt ph¼ng s - n) H×nh 5.8. Thµnh phÇn träng lùc theo h­íng s H­íng s (däc theo ®­êng dßng) P h­¬ng tr×nh (5.4.15) lµ ph­¬ng tr×nh Euler däc theo mét ®­êng dßng trong chÊt 50
  13. láng kh«ng nhít. §èi víi dßng æn ®Þnh (Vs / t = 0) nã cho thÊy:  Vs2 P   gz )  0 ( (5.4.18) s 2  Vs2 P   gz  const hoÆc (5.4.19) 2 däc theo mét ®­êng dßng, mµ ph¸t biÓu r»ng n¨ng l­îng trªn ®¬n vÞ khèi l­îng trong mét dßng ch¶y kh«ng quay kh«ng nhít sÏ kh«ng ®æi däc theo mét ®­êng dßng. Ph­¬ng tr×nh (5.4.19) còng cã thÓ biÓu thÞ nh­ sau: Vs2 P  z  H e  const  (5.4.20) 2 g g däc theo mét ®­êng dßng trong ®ã: He = cét n­íc tæng céng (m) Vs2 / 2g = cét n­íc l­u tèc (m) P / g = cét n­íc ¸p suÊt z = vÞ trÝ hoÆc cét n­íc vÞ thÕ pn = P / g + z = cét n­íc ®o ¸p. Nh÷ng ph­¬ng tr×nh (5.4.19) vµ (5.4.20) ph¸t biÓu r»ng ¸p suÊt nhá khi vËn tèc lín vµ ng­îc l¹i, nh­ trong h×nh 5.9. Mét gra®ien ¸p suÊt tån t¹i ®Ó t¨ng tèc chÊt láng tõ ®iÓm 1 ®Õn ®iÓm 2. Mét m¸y bay cã thÓ bay v× h×nh d¹ng cña c¸nh lµm cho vËn tèc kh«ng khÝ ë trªn c¸nh cao h¬n (¸p suÊt thÊp h¬n) so víi d­íi nã, dÉn ®Õn mét ¸p lùc thùc tÕ h­íng lªn trªn. H×nh 5.9. §­êng dßng trong dßng ch¶y lßng dÉn hë T rong môc 5.4.3 thÊy r»ng ph­¬ng tr×nh (5.4.11) vµ (5.4.12) hîp lÖ ®èi víi toµn bé 51
  14. tr­êng dßng ch¶y trong tr­êng hîp dßng kh«ng nhít kh«ng quay. Trong tr­êng hîp dßng nhít (nh÷ng øng suÊt tr­ît néi   0) n¨ng l­îng trªn ®¬n vÞ khèi l­îng gi¶m däc theo mét ®­êng dßng. Th«ng th­êng, nh÷ng hiÖu øng nhít cã thÓ bá qua khi xÐt mét kho¶ng c¸ch nhá däc mét ®­êng dßng vµ ph­¬ng tr×nh (5.4.19) vµ (5.4.20) cã thÓ øng dông nh­ mét sù gÇn ®óng. H­íng n (th¼ng gãc víi ®­êng dßng) P h­¬ng tr×nh (5.4.16) lµ ph­¬ng tr×nh Euler theo ph­¬ng ph¸p tuyÕn. H­íng n d- ­¬ng theo h­íng cong. §èi víi dßng æn ®Þnh: Vn 1 P z Vs  g . (5.4.21)  n s n Sè h¹ng VsVn / s thÓ hiÖn gia tèc h­íng t©m. Tõ h×nh 5.10 cho thÊy VsVn / s = Vs / r, dÉn ®Õn: Vs2 1 P z g  0 (5.4.22)  n r n Vs2  P  z)  0 ( hoÆc (5.4.23) n g r Vs2   ( pn)  0 . hoÆc (5.4.24) r n H×nh 5.10. Thµnh phÇn dßng ch¶y th¼ng gãc víi ®­êng dßng Nh÷ng ph­¬ng tr×nh (5. 4. 23) vµ (5. 4. 24) ph¸t biÓu r»ng tån t¹i mét gra®ien ¸p suÊt th¼ng gãc víi ®­êng dßng cong. ¸p suÊt gi¶m theo h­íng n d­¬ng (vÒ phÝa t©m cña ®­êng cong) v× cÇn cã mét ¸p lùc thùc tÕ theo h­íng ®ã ®Ó ph¸t sinh ®­êng ®i cong cña mét h¹t chÊt láng (xem h×nh 5.11). Nh­ vËy, ¸p suÊt t­¬ng ®èi lín ë mÆt phÝa ngoµi vµ t­¬ng ®èi thÊp ë mÆt bªn trong cña ®­êng cong. Gra®ien ¸p suÊt p/n lµ sè ©m, v× ¸p suÊt gi¶m theo h­íng n d­¬ng. 52
  15. H×nh 5.11. Gra®ien ¸p suÊt th¼ng gãc víi ®­êng dßng T Ých ph©n riªng ph­¬ng tr×nh (5.4.24) theo h­íng n dÉn ®Õn (xem thªm h×nh 5.12): 2 Vs2 pn2  pn1    dn . (5.4.25) gr 1 TÝch ph©n tõ ®iÓm 1 ®Õn ®iÓm 2 theo h­íng n d­¬ng dÉn ®Õn pn2 – p n1 < 0, hoÆc pn2 < pn1. Nh­ vËy, cét n­íc ®o ¸p nhá nhÊt vÒ phÝa t©m cña ®­êng cong nh­ ®· ph¸t biÓu tr­íc ®©y. KÕt qu¶ nµy kh«ng phô thuéc vµo h­íng tÝch ph©n, v×: 1 Vs2 pn2  pn1    dn . gr 2 H×nh 5.12. Cét n­íc ®o ¸p th¼ng gãc víi ®­êng dßng P h©n bè ¸p suÊt theo h­íng n còng cã thÓ gi¶i thÝch nh­ sau: trong dßng ch¶y lâm (h×nh 5.13) nh÷ng lùc ly t©m h­íng xuèng vµ gia t¨ng träng lùc, ph¸t sinh mét ¸p suÊt lín h¬n ¸p suÊt thñy tÜnh; trong dßng ch¶y låi nh÷ng lùc ly t©m h­íng lªn vµ t¸c ®éng chèng l¹i träng lùc dÉn ®Õn mét ¸p suÊt nhá h¬n ¸p suÊt thuû tÜnh (h×nh 5.13). Khi b¸n kÝnh cong lín v« tËn (r = ), gradient ¸p suÊt th¼ng gãc víi ®­êng dßng b»ng kh«ng vµ kh«ng cã gia tèc th¼ng ®øng, cã nghÜa lµ ph©n bè ¸p suÊt thñy tÜnh trong tr­êng hîp dßng ch¶y song song. 53
  16. H­íng b (th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng s - n) P h­¬ng tr×nh (5.4.17) lµ ph­¬ng tr×nh Euler theo h­íng b, ®¬n gi¶n dßng æn ®Þnh (kh«ng cã gia tèc theo h­íng b) thµnh: z 1 P g 0 (5.4.26)  b b P  z)  0 ( hoÆc (5.4.27) b g ph¸t biÓu r»ng cét n­íc ®o ¸p (pn = P / g + z) lµ kh«ng ®æi. Dßng låi Dßng lâm H×nh 5.13. Ph©n bè ¸p suÊt trong dßng ch¶y låi vµ lâm (Chow, 1959) Nh÷ng øng dông 1. Dßng ch¶y song song trªn ®¸y dèc H×nh 5.14 cho thÊy mét dßng ®Òu song song (U / s = 0) trªn mét ®¸y dèc. H×nh 5.14. Dßng ch¶y song song trªn ®¸y dèc 54
  17. T õ ph­¬ng tr×nh Bernoulli (5.4.24) dÉn ®Õn (r = ):  ( pn)  0 hoÆc pn = const theo h­íng n. n Nh­ vËy, P1 P  z1  2  z 2 . pn1 = pn2 hoÆc g g V× P1 = 0, P2  z 2  z1  h cos  . g Cét n­íc ¸p suÊt t¹i ®iÓm 2 b»ng hcos, cã nghÜa lµ cét n­íc trong mét èng hë ®Æt t¹i ®iÓm 2 sÏ cã chiÒu cao lµ hcos (xem h×nh 5.14). 2. èng ®o ¸p suÊt chÊt láng Pito NÕu mét c¸i èng hë ®­îc ®Æt trong mét dßng ch¶y trong lßng dÉn hë, nh­ trong h×nh 5.15, chÊt láng sÏ d©ng lªn trong èng ®Õn mét chiÒu cao H. H×nh 5.15. èng Pito P h­¬ng tr×nh Bernoulli ®èi víi ®­êng dßng 1-2 lµ: U 12 P1 U 2 P2 2    . 2 g g 2 g g V× P1 = gh, P2 = g (h + h) vµ U2 = 0, cho thÊy: U12 = 2 g (h + H - h) = 2 gH. B»ng viÖc ®o chiÒu cao H, cã thÓ biÕt ®­îc vËn tèc U1 th­îng l­u c¸i èng. Mét èng nh­ vËy ®­îc gäi lµ èng Pito. §èi víi nh÷ng phÐp ®o chÝnh x¸c U1 > 0,2 m/s. VÝ dô, U1 = 0,2 m/s th× H = 2 x 10-3 m. Th«ng th­êng, sö dông èng ®o ¸p suÊt chÊt láng kÕt hîp, mµ trªn thùc tÕ gåm hai èng. Mét èng hë vÒ phÝa dßng ch¶y, c¸i èng kia hë ë c¶ 2 phÝa cña phÇn n»m ngang vµ ®o cét n­íc ®o ¸p h (xem h×nh 5.16). 55
  18. H×nh 5.16. èng Pito kÕt hîp 3. §Þnh luËt Torricelli (1608 1647) H×nh 5.17 cho thÊy mét thÝ nghiÖm cña Torricelli. BÒ mÆt chÊt láng gi÷ ë mét møc kh«ng ®æi. Ph­¬ng tr×nh Bernoulli ®èi víi ®­êng dßng 1-2 dÉn ®Õn: V12 P1 V2 P  H1  2  2 .  2 g g 2 g g V× V1
  19. 1 V s2 pn1  pn2    dn gr 2 1 Vs2 P1  g ( z 2  z1 )   dn gr 2 1 Vs2 P1  g ( z 2  z1 )  J víi J   dn  0 . gr 2 H×nh 5.18. Dßng ch¶y trªn mét ®Ëp trµn ®Ønh hÑp (De Vries, 1985) 5. Quay æn ®Þnh quanh mét trôc th¼ng ®øng Xo¸y c­ìng bøc H×nh 5.19 cho thÊy mét xo¸y c­ìng bøc quanh mét trôc th¼ng ®øng. ChuyÓn ®éng lµ æn ®Þnh. Mét h¹t chÊt láng t¹i ®iÓm 2 ë kho¶ng c¸ch r c¸ch ®iÓm 1 cña trôc th¼ng ®øng m« t¶ mét ®­êng ®i h×nh trßn trong mÆt ph¼ng ngang víi vËn tèc V = r ( = vËn tèc gãc = const). Theo ph­¬ng tr×nh (5.4.24), cã mét gra®ien ¸p suÊt theo h­íng n (mÆt ph¼ng ngang). V2  ( pn)  n gr V2  ( pn)   n . gr 57
  20. H×nh 5.19. Xo¸y c­ìng bøc L Êy gèc trong trôc th¼ng ®øng, cho thÊy n = -r. V2 2  ( pn)  r  rr gr g 2 r 2  ( pn)   rr g 1 0  2r 2 pn2  pn1  2g  2r 2 P2 P  z 2  1  z1  . g g 2g V× z1 = z2 = 0, thÊy r»ng Pr = P2.  2 r 2 Pr  P1  . 2 Theo ph­¬ng tr×nh (5.4. 27), thÊy r»ng: P/g + z = const theo h­íng th¼ng ®øng (¸p suÊt thñy tÜnh). Nh­ vËy: P0 P  z 0  1  z1 . g g V× P0 = 0 vµ z1 = 0. P1 = gz0. Nªn:  2 r 2 Pr  gz  . 2 Cao ®é bÒ mÆt chÊt láng cã thÓ m« t¶ b»ng Pr = gzs,r  2r 2 z r,s  z 0  2g 58
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học