Các bài toán về dạng đại số của số phức (phần 1)

CÁC BÀI TOÁN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC -----------Phần 1--------- A. CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC I. Kiến thức cần nhớ  Số phức (dạng đại số): z = a+bi a,b∈R,i2 = −1 ; a là phần thực, b là phần ảo của z; z là số thực phần ảo của z bằng 0; z là số ảo phần thực của z bằng 0.  Hai số phức bằng nhau: a+bi = a`+b`i(a,b,a`,b`∈R) a = a`.  Biểu diễn hình học: Số phức z = a+bi(a,b∈R)được biểu diễn bởi điểm M (a;b) hay bởi vec tơ u(a;b)trong mặt phẳng tọa độ Oxy(mặt phẳng phức).  Cộng, trừ số phức: (a+bi)+(a`+b`i)=(a+a`)+(b+b`)i (a+bi)−(a`+b`i)=(a−a`)+(b−b`)i,(a,b,a`,b`∈R) Số đối của z = a+bilà −z = −a−bi(a,b∈R). z biểu diễn bởi u , z’ biểu diễn bởi u` thì: z+ z` biểu diễn bởi u+u` z−z` biểu diễn bởi u−u`.  Nhân hai số phức: (a+bi)(a`+b`i)=(aa`−bb`)+(ab`+ba`)i,(a,b,a`,b`∈R) k là số thực, z biểu diễn bởi u thì kz biểu diễn bởi ku.  Số phức liên hợp của số phức z = a+bi(a,b∈R)là z = a−bi. z = z;z+ z`= z+ z`;zz`= zz` z là số thực  z = z, z là số ảo  z = −z.  Môđun của số phức z = a+bi(a,b∈R): z = a2 +b2 = zz z  0 với mọi z∈C và z =0 z = 0 zz` = z z` , z+ z`  z + z` với mọi z,z`∈C .  Chia hai số phức: Số phức nghịch đảo của z(z  0): z−1 = z 2 z Thương của z` chia cho z(z  0): z` = z`z−1 = z`z = z`z Với z  0, z` = w  z`= wz thì:  z` = z`, z` = z`  Căn bậc hai của số phức Z là một căn bậc hai của số phức w  z2 = w . z = x+ yi(x, y∈R)là căn bậc hai của w = a+bi(a,b∈R) 2xy =b= a. Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0. Số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau. Hai căn bậc hai của số thực a >0là  a . Hai căn bậc hai của số thực a <0là  −ai . II. Bài tập 1. Xác định các yếu tố của số phức Ví dụ 1 Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a) z =i+(2−4i)−(3−2i) b) z =( 2 +3i)2 c) z =(2+3i)(2−3i) d) z =i(2−i)(3+i) Giải: a) z = −1−i có phần thực là -1; phần ảo là -1. b) z = −7−6 2icó phần thực là -7; phần ảo là −6 2 . c) z =13 có phần thực là 13, phần ảo là 0. d) z =1+7i có phần thực là 1, phần ảo là 7. Ví dụ 2: Thực hiện phép tính: 2 13i; 1 −1 3 i;3−2i;3−4i 1 2+3i 2+3i 1 2−3i (2−3i)(2+3i) 4−9i2 13 b) 1 1 3 = 1 2 2  2 1 3 2 2 3 1 2  2 3  = 2 + 3 i 2  c) 3−2i = 2i−−3i = −2−3i d) 4−ii = ( 4−ii) 4+ii) =17(16−13i) Ví dụ 2: Cho z = −1 + 3 i. Hãy tính 1;z;z2;(z)3 ;1+ z + z2 . −1 − 3 i Giải: = = − + i −1 + 3 i −1 −   3  = − 2 − 3 i 2  z = −1 − 3 i z2 =−1 +  (z)3 =1 3 i−1 +  3 i = −1 − 3 i  1+ z+ z2 =1− 1 + 3 i− 1 − 3 i = 0 Ví dụ 3: Giả sử z1; z2 là hai số phức thỏa mãn 6z−i = 2+3iz và z1 − z2 = 1 Tính môđun z1 + z2 Giải: Đặt z = x+ yi(x, y∈R)  6z−i = 2+3iz  6x+(6y−1)i = (2−3y)+3xi  (6x)2 +(6y−1)2 =(2−3y)2 +(3x)2  x2 + y2 = 9  z = 3 Suy ra z1 = z2 = 3 Ta lại có: 1 = z1 − z2 2 =(z1 − z2 )(z1 − z2 )= z1 2 − z2 2 −(z1 z2 + z2 z1)= 2 −(z1 z2 + z2 z1 ) Suy ra z1 z2 + z2 z1 = 1 Khi đó: z1 + z2 2 =(z1 + z2 )(z1 + z2 )= z1 2 − z2 2 +(z1 z2 + z2 z1 )= 3  z1 + z2 = 3 Chú ý: Học sinh có thể đặt z1; z2 dạng đại số để tính. Ví dụ 4: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 +2z+10=0 Tính giá trị biểu thức A= z1 2 + z2 2 Giải: Ta có: z2 +2z+10 = 0  (z+1)2 = −9  (z+1)2 = (3i)2 z = −1+3i z = −1−3i z1 = −1+3i  z1 = z2 = −1−3i  z2 = (−1)2 +32 = 10 10 Vậy A= z1 2 + z2 2 = 20 Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z2 −6z+13=0Tính z + z +i Giải: z2 −6z+13= 0  (z−3)2 = −4  (z−3)2 = (2i)2 z =3+2i z =3−2i Với z =3+2i ta có z+ z+i = 3+2i+ 3+3i = 4+i = 17 Với z =3−2i ta có z+ z+i = 3−2i+ 3−i = 5 24−7i =5 1− 3i 3 Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn 1−i Tìm môđun của số phức Giải: Ta có (1− 3)3 = −8 Do đó z = −1−i = −4−4i Suy ra z = −4+4i  z+iz = −4−4i+(−4+4i)i = −8−8i Vậy z+iz =8 2 Ví dụ 7: Tính mô đun của số phức z biết rằng: (2z−1)(1+i)+ z+1 (1−i)= 2−2i Giải: Gọi z= a+ bi (a, b∈R ) Ta có (2z −1)(1+i)+ z +1 (1−i)= 2−2i  (2a−1)+2bi(1+i)+ (a+1)−bi(1−i)= 2−2i  (2a−2b−1)+(2a+2b−1)i+(a−b+1)−(a+b+1)i = 2−2i a = 1  (3a−3b)+(a+b−2)i = 2−2i  a+b−2 = −2  b = −1 Suy ra môđun: z = a2 +b2 = 2 3  Ví dụ 8: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn điều kiện:  z2 −2i = biết z1 −z2 =1 Giải: Đặt z = x+ yi(x, y∈R) 3 iz2 +1 Tính P = z1 + z2 z−2i = 2 iz+1  x2 +(y−2)2 = 2(1− y)2 +2x2  x2 + y2 = 2  z1 = z2 = 2 Đặt z = a+bi;z2 =c+di(a,b,c,d∈R) a2 +b2 = 2;c2 +d2 = 2 z1 − z2 =1 (a−c)2 +(b−d)2 =1 2(ac+bd)= 3 P = z1 + z2  P2 =(a+c)2 +(b+d)2 = a2 +b2 +c2 +d2 +2(ac+bd)= 7 Vậy P = 7 Ví dụ 9: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện (1+ii z +2 =1Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất. Giải: Đặt z = x+ yi(x, y∈R)thì (1+ii z +2 =1 (2− y)+ xi =1  x2 +(2− y)2 =1(1) x2 + y2 = 4y−3  z = x2 + y2 = 4y−3 Từ (1) ta có: (2− y)2 11 y 31 4y−39 Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z=3i và số phức có mô đun nhỏ nhất là z=i Ví dụ 10: Biết rằng số phức z thỏa mãn u =(z+3−i) z+1+3i là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z Giải: Đặt z = x+ yi(x, y∈R)ta có u = (x+3)+(y−1)i(x+1)−(y−3)i = x2 + y2 +4x−4y+6+2(x−−y−4)i Ta có: u∈R  x− y−4=0 Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất OM d Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i. Ví dụ 11: Biết rằng số phức z thỏa mãn z+1−i = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của z Giải: Gọi z = x+ yi(x, y∈R)ta có z+2−i z+1−i 2  x+2+(y−1)i = 2 x+1−(y+1)i (x+2)2 +(y−1)2 = 2(x+1)2 +(y+1)2   x2 +(y+3)2 =10 Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;-3) bán kính R = 10 M là điểm biểu diễn của z thì z nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất, z lớn nhất khi và chỉ khi OM lớn nhất. Tìm được Min z = −3+ 10 khi z = −3+ và Max z =3+ 10 khi z = −(3+ 10)i 10)i Ví dụ 12: Cho ba số phức z1,z2,z3 đều có mô dun bằng 1. Chứng minh rằng: z + z2 + z3 = z z2 + z2z3 + z3z1 Giải: Vì z1z2z3 =1 Nên z1z2 + z2z3 + z3z1 = z1z2 + z2z3 + z3z1 = 1 + 1 + 1 = z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 1 2 3 1 2 3 ... - tailieumienphi.vn