1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ

CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ

Tham khảo bài viết 'các bài toán bất đẳng thức hay và khó', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả Võ Quốc Bá Cẩn CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ Phần 1. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz. I. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Với mọi số thực a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn ta có (a1b1 + a 2 b2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n bn ) 2 ≤ (a12 + a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an )(b12 + b2 + ⋅ ⋅ ⋅ + bn ) 2 2 2 2

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 15

Ngày tạo 8/30/2018 2:06:07 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.45 M

Tên tệp

Tải CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ (.pdf)

Xem mẫu

  1. Võ Quốc Bá Cẩn CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ Phần 1. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz. I. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Với mọi số thực a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn ta có (a1b1 + a 2 b2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n bn ) 2 ≤ (a12 + a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an )(b12 + b2 + ⋅ ⋅ ⋅ + bn ) 2 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ai : a j = bi : b j ∀i, j = 1, n. II. Các bài toán áp dụng. Bài 1. (Jack Garfunkel) Cho các số không âm a, b, c , chứng minh bất đẳng thức a b c 5 + + ≤ a+b+c a+b b+c c+a 4 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ a⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ a a ⎜∑ ⎟ = ⎜ ∑ a(5a + b + 9c) ⋅ ⎟ ≤ ⎜ ∑ a(5a + b + 9c) ⎟⎜ ∑ ⎟ ⎜ a+b ⎟ ⎜ ⎟⎜ (a + b)(5a + b + 9c) ⎟ ⎜ cyc (a + b)(5a + b + 9c) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cyc cyc cyc ⎛ ⎞ a = 5(a + b + c) 2 ⎜ ∑ ⎟ ⎜ (a + b)(5a + b + 9c) ⎟ ⎝ ⎠ cyc Như thế, ta chỉ cần chứng minh ⎞5 ⎛ a ( a + b + c )⎜ ∑ ⎟ ⎜ ( a + b)(5a + b + 9c ) ⎟ ≤ 16 ⎠ ⎝ cyc Như điều này hiển nhiên đúng vì ⎛ ⎞ 5 a − (a + b + c)⎜ ∑ ⎟ ⎜ (a + b)(5a + b + 9c) ⎟ 16 ⎝ ⎠ cyc ∑ ab(a + b)(a + 9b)(a − 3b) + 243∑ a 3 b 2 c + 835∑ a 3 bc 2 + 232∑ a 4 bc + 1230a 2 b 2 c 2 2 cyc cyc cyc cyc = ≥0 16(a + b)(b + c)(c + a )(5a + b + 9c)(5b + c + 9a )(5c + a + 9b) Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a : b : c = 3 : 1 : 0. Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số không âm a, b, c có tổng bằng 1 , chứng minh rằng 2
  2. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng 11 a + b2 + b + c2 + c + a2 ≤ 5 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có 2 2 ⎛ a + b2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ≤ ⎛ ∑ (4a + 4b + c) ⎞⎛ ∑ a + b ⎞ 2 ⎜∑ a + b2 ⎟ = ⎜ ∑ 4a + 4b + c ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 4a + 4b + c ⎟ ⎜ cyc 4a + 4b + c ⎟ ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc ⎠⎝ cyc ⎠ ⎝ ⎠ a + b2 a (a + b + c) + b 2 = 9∑ = 9∑ cyc 4a + 4b + c 4a + 4b + c cyc Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng a(a + b + c) + b 2 121 9∑ ≤ (a + b + c) 4a + 4b + c 25 cyc Ta có 163∑ a 4 + 3003∑ a 2 b 2 + 1975∑ ab 3 − 725∑ a 3 b + 10920∑ a 2 bc cyc cyc cyc cyc cyc VP − VT = 25(4a + 4b + c)(4b + 4c + a )(4c + 4a + b) ⎛ ⎞ 163⎜ ∑ a 4 + 11∑ a 2 b 2 − 6∑ a 3 b − 6∑ a 2 bc ⎟ + A ⎜ ⎟ ⎝ cyc ⎠ cyc cyc cyc = 25(4a + 4b + c)(4b + 4c + a )(4c + 4a + b) trong đó A = 1210∑ a 2 b 2 + 1975∑ ab 3 + 253∑ a 3b + 11898∑ a 2 bc ≥ 0 cyc cyc cyc cyc Ta chứng minh ∑a + 11∑ a 2 b 2 − 6∑ a 3b − 6∑ a 2 bc ≥ 0 4 cyc cyc cyc cyc ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⇔ ⎜ ∑ a 4 − ∑ a 2 b 2 ⎟ + 12⎜ ∑ a 2 b 2 − ∑ a 2 bc ⎟ − 6⎜ ∑ a 3 b − ∑ a 2 bc ⎟ ≥ 0 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ cyc ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc cyc cyc cyc Ta có 1 ∑a − ∑a b ∑ (a 2 − b 2 ) 2 = 4 2 2 2 cyc cyc cyc 3
  3. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng ⎛ ⎞⎛ ⎞ 3⎜ ∑ a 3 b − ∑ a 2 bc ⎟ = 3⎜ ∑ b 3 c − ∑ a 2 bc ⎟ = −3∑ bc(a 2 − b 2 ) ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc ⎠ cyc cyc cyc = −3∑ bc (a − b ) + ∑ (ab + bc + ca )(a 2 − b 2 ) 2 2 cyc cyc = ∑ (a − b )(ab + ac − 2bc) 2 2 cyc ⎞ ⎛ 6⎜ ∑ a 2 b 2 − ∑ a 2 bc ⎟ = ∑ ( ab + ac − 2bc ) 2 ⎟ ⎜ ⎠ cyc ⎝ cyc cyc Do đó bất đẳng thức tương đương 1 ∑ (a 2 − b 2 ) 2 + 2∑ (ab + ac − 2bc) 2 − 2∑ (a 2 − b 2 )(ab + ac − 2bc) ≥ 0 2 cyc cyc cyc 1 ∑ (a 2 − b 2 − 2ab − 2ac + 4bc) 2 ≥ 0 ⇔ 2 cyc Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức không xảy ra. Bài 3. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số không âm a, b, c, chứng minh rằng 3 a b 2 + 4c 2 + b c 2 + 4a 2 + c a 2 + 4b 2 ≤ ( a + b + c) 2 4 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có 2 ⎛ a (b 2 + 4c 2 ) ⎞ ⎞⎛ a (b 2 + 4c 2 ) ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ ∑ a b 2 + 4c 2 ⎟ ≤ ⎜ ∑ a (3a + b + 5c ) ⎟⎜ ∑ ⎟ = 3(a + b + c ) 2 ⎜ ∑ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ cyc 3a + b + 5c ⎠ ⎠⎝ cyc 3a + b + 5c ⎠ ⎠ ⎝ cyc ⎝ cyc Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng a(b 2 + 4c 2 ) 3 ∑ 3a + b + 5c ≤ 16 (a + b + c) 2 cyc ⇔ 45∑ a 5 + 165∑ a 4 b + 69∑ ab 4 + 536∑ a 3bc − 306∑ a 3b 2 − 18∑ a 2 b 3 − 410∑ a 2 b 2 c ≥ 0 cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc Không mất tính tổng quát, giả sử c = min {a, b, c} , bất đẳng thức tương đương với (45a 5 + 45b 5 + 165a 4 b + 69ab 4 − 306a 3b 2 − 18a 2 b 3 ) + Ac ≥ 0 ⇔ 3(a + 5b)(15a 2 + 10ab + 3b 2 )(a − b) 2 + Ac ≥ 0 Trong đó 4
  4. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng A = 69 a 4 + (536b − 18c)a 3 − ( 410b 2 + 410bc + 306c 2 ) a 2 + (536b 3 − 410b 2 c + 436bc 2 + 165c 3 ) a + 165b 4 − 306b 3 c − 18b 2 c 2 + 69bc 3 + 45c 4 Sử dụng giả thiết c = min {a, b, c}, ta dễ dàng chứng minh được A ≥ 0 nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a : b : c = 1 : 1 : 0. Bài 4. Cho các số dương a, b, c , chứng minh a+b+c a4 b4 c4 +3 +3 ≥ a +b b +c c +a 3 3 3 3 2 Giải. Bổ đề. 1 ab 3 + bc 3 + ca 3 ≤ (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ⎛ a 4 ⎞⎛ ⎞ ⎜∑ 3 3 ⎟⎜ ∑ ⎟⎜ a 2 ( a 3 + b 3 ) ⎟ ≥ (a 3 + b 3 + c 3 ) 2 ⎜ a +b ⎟ ⎝ cyc ⎠⎝ cyc ⎠ Ta phải chứng minh 2(a 3 + b 3 + c 3 ) 2 ≥ (a + b + c)(a 5 + b 5 + c 5 + a 2 b 3 + b 2 c 3 + c 2 a 3 ) Ta có a 2 b 3 + b 2 c 3 + c 2 a 3 = (ab + bc + ca)(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) − abc(a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca) ab + bc + ca = (ab 3 + bc 3 + ca 3 + a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + abc(a + b + c)) a+b+c − abc(a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca) ab + bc + ca = (ab 3 + bc 3 + ca 3 + a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) − abc(a 2 + b 2 + c 2 ) a+b+c ab + bc + ca ⎛ 1 2 2 2⎞ ≤ ⎜ (a + b + c ) + a b + b c + c a ⎟ − abc(a + b + c ) 2 22 22 22 2 2 2 a+b+c ⎝3 ⎠ Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng ⎛1 ⎞ 2(a 3 + b 3 + c 3 ) 2 ≥ (a + b + c)(a 5 + b 5 + c 5 ) + (ab + bc + ca)⎜ (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 + a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ⎟ ⎝3 ⎠ − abc(a + b + c)(a + b + c ) 2 2 2 5
  5. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng 1− q2 Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa cho a + b + c = 1, đặt ab + bc + ca , r = abc (0 ≤ q ≤ 1) thì ta có 3 (1 − q) 2 (1 + 2q) (1 + q ) 2 (1 − 2q ) ≥r≥ . Bất đẳng thức tương đương 27 27 1 (54r 2 + (28q 2 − 4)r ) − 3(1 − q 2 )r + (7q 6 + 108q 4 − 39q 2 + 5) ≥ 0 27 Rõ ràng f (r ) = 54r 2 + (28q 2 − 4)r là hàm đồng biến theo r nên ta có ⎛ ⎛ (1 + q ) 2 (1 − 2q) ⎞ 2 ⎛ (1 + q) 2 (1 − 2q ) ⎞ ⎞ ⎛ (1 − q ) 2 (1 + 2q ) ⎞ ⎜ 54⎜ ⎟ ⎟ − 3(1 − q 2 )⎜ ⎟ + (28q 2 − 4)⎜ ⎟ VT ≥ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ 27 27 27 ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ q 2 (q 2 (15q 2 − 26q + 24) + (1 − 3q) 2 ) 1 + (7 q 6 + 108q 4 − 39q 2 + 5) = ≥0 27 27 Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài 5. (Phan Thành Nam) 3 Cho các số không âm a, b, c có tổng bằng 1 . Đặt k = 1 − , chứng minh rằng 2 a + k (b − c) 2 + b + k (c − a) 2 + c + k (a − b) 2 ≤ 3 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎟ ≤⎛ 1 ⎞⎜ a + k (b − c) 2 ⎛ ⎞ a + k (b − c) 2 1 = ⎜∑ a + ⎟ ⎜ ∑ a + k (b − c) 2 ⎜∑ a + ⎟∑ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ cyc 3 ⎟⎜ cyc ⎜ cyc ⎟ ⎟ 1 1 3 ⎝ cyc ⎠ ⎝ ⎠⎜ a+ a+ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ( ) 2− 3 (b − c) 2 a 3 +1 ⎜∑ ⎟ ∑1 = + ⎜ cyc ⎟ 1 2 cyc a+ a+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ( ) 2− 3 (b − c ) 2 a 3 +1⎜∑ ⎟≤3 ∑1 + ⎜ cyc ⎟ 1 2 cyc a+ a+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 6
  6. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng q2 1 Đặt q = ab + bc + ca ≤ , r = abc thì ta có 0 ≤ r ≤ . Bất đẳng thức tương đương với 3 3 ( )( ) 9 2 + 3 r − q 6q + 3 ≤ 0 Ta có ( )( )( ) ( ) 9 2 + 3 r − q 6q + 3 ≤ 3 2 + 3 q 2 − q 6q + 3 = q(3q − 1) 3 ≤ 0 1 hoặc a = 1, b = c = 0 và Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 các hoán vị. Bài 6. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số dương a, b, c, chứng minh rằng ⎛1 1⎞ 1 1 1 1 + + ≤ 2⎜ + + ⎟ ⎝a +b b+c c+ a⎠ a 2 + bc b 2 + ca c 2 + ab Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟ = ⎜∑ a + 2 a + c ⋅ ⎟ ≤ ⎜ ∑ (a + b)(a + c) ⎟⎜ ∑ 1 ( b)( ) 1 1 ⎜∑ ⎟ ⎜ ⎟⎜ (a + b)(a + c) ⎟ ⎜ cyc ⎟ ⎜ cyc ⎟ a + bc a + bc ⎠⎝ cyc 2 (a + b)(a + c) ⎠ a + bc ⎠ 2 ⎝ cyc ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ a (b + c) ⎞ 2(a + b + c) ⎜∑ 2 ⎟ = ⎜ a + bc + 3 ⎟ (a + b)(b + c)(c + a) ⎝ cyc ⎠ Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng 2 1⎞ ⎞⎛ ⎛ a (b + c) a+b+c ⎜∑ 2 + 3⎟ ≤ ⎜ ∑ ⎟ ⎟ ⎜ b+c⎟ (a + b)(b + c )(c + a ) ⎜ cyc a + bc ⎠ ⎠⎝ ⎝ cyc a(b + c) (a 2 + b 2 + c 2 + 3ab + 3bc + 3ca) 2 ⇔∑ +3≤ (a + b)(b + c)(c + a)(a + b + c) a 2 + bc cyc a (b + c) a 4 + b 4 + c 4 − a 2b 2 − b 2c 2 − c 2 a 2 ⇔∑ −3≤ (a + b)(b + c)(c + a )(a + b + c) a 2 + bc cyc ⎛1 ⎞ 1 ⇔ ∑ (a − b)(a − c)⎜ 2 ⎜ a + bc + (b + c)(a + b + c) ⎟ ≥ 0 ⎟ ⎝ ⎠ cyc a Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c, khi đó ta có a − c ≥ (b − c) ≥ 0. Do đó b 7
  7. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng ⎛ ⎞ 1 1 ∑ (a − b)(a − c)⎜ a ⎟ + ⎜ + bc (b + c)(a + b + c) ⎟ 2 ⎝ ⎠ cyc ⎞⎞ (a − b)(b − c) ⎛ ⎛ 1 ⎞⎛1 1 1 ⎟⎟ ⎜ a⎜ 2 ⎜ ⎜ a + bc (b + c)(a + b + c) ⎟ ⎜ b + ca (c + a )(a + b + c) ⎟ ⎟ ⎟ − b⎜ 2 ≥ + + b ⎝ ⎠⎝ ⎠⎠ ⎝ c (a − b) 2 (a + b)(b − c)(a 2 + b 2 − ab + ac + bc ) = ≥0 b(a 2 + bc)(b 2 + ca)(a + c)(b + c)(a + b + c) Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. III. Bài tập tự giải. Bài 1. (Nguyễn Việt Anh) Cho các số dương a, b, c, chứng minh rằng a+b+c a3 b3 c3 +2 +2 ≥ 2a − ab + 2b 2b − bc + 2c 2c − ca + 2a 2 2 2 2 3 Hướng dẫn. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, 2 ⎞ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎛ a3 ⎜∑ 2 ⎟⎜ ∑ a ( 2a 2 − ab + 2b 2 )(c + a ) 2 ⎟ ≥ ⎜ ∑ a 3 + ∑ ab 2 ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ 2a − ab + 2b 2 ⎠ ⎠ ⎝ cyc ⎠⎝ cyc ⎝ cyc cyc Cuối cùng ta chứng minh 2 ⎞ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛ 3⎜ ∑ a 3 + ∑ ab 2 ⎟ ≥ ⎜ ∑ a ⎟⎜ ∑ a ( 2a 2 − ab + 2b 2 )(c + a ) 2 ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎝ cyc ⎠⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc cyc Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số dương a, b, c, chứng minh rằng a 8b 2 + c 2 + b 8c 2 + a 2 + c 8a 2 + b 2 ≤ (a + b + c) 2 Hướng dẫn. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có 2 2 a (8b 2 + c 2 ) ⎞ ⎛ ⎞ a (8b 2 + c 2 ) ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ ∑ a 8b 2 + c 2 ⎟ ≤ ⎜ ∑ a (51a + 100b + 2c ) ⎟⎜ ∑ ⎟⎜ 51a + 100b + 2c ⎟ = 51⎜ ∑ a ⎟ ⎜∑ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 51a + 100b + 2c ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ cyc ⎠ ⎝ cyc ⎝ cyc ⎠ ⎠ ⎠⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc ⎝ Ta chỉ cần chứng minh a(8b 2 + c 2 ) 51∑ ≤ (a + b + c) 2 51a + 100b + 2c cyc 8
  8. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng Phần 2. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Holder. I. Tổng quan về bất đẳng thức Holder. II. Các bài toán áp dụng. Bài 1. (Phan Thành Việt) Cho các số không âm x, y, z có tổng bằng 3 , chứng minh rằng x y z + + ≥3 1 + y + yz 1 + z + zx 1 + x + xy Giải. Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 2 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ x ⎜∑ ⎜ ∑ x 2 (1 + y + yz )(2 x + y + 3 z ) 3 ⎟ ≥ ⎜ ∑ x(2 x + y + 3 z ) ⎟ = 8( x + y + z ) 6 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ cyc 1 + y + yz ⎟ ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc ⎠ ⎝ ⎠ Do đó ta chỉ cần chứng minh 8( x + y + z ) 6 ≥ 3∑ x 2 (1 + y + yz)(2 x + y + 3z ) 3 cyc ⇔ 8( x + y + z ) 7 ≥ ∑ x 2 (( x + y + z ) 2 + 3 y ( x + y + z ) + 9 yz )(2 x + y + 3z ) 3 cyc Ta có VT − VP = 4∑ xy ( x 4 + y 4 ) + 26∑ x 2 y 4 + 39∑ x 4 y 2 + 54∑ x 3 y 3 + 261x 2 y 2 z 2 x+ y+z cyc cyc cyc cyc − 24∑ x 4 yz − 93∑ x 3 y 2 z − 97∑ x 2 y 3 z cyc cyc cyc Mặt khác từ bất đẳng thức AM-GM và Schur, ta có thể dễ dàng chứng minh được 4∑ xy( x 4 + y 4 ) + 26∑ x 2 y 4 + 39∑ x 4 y 2 + 54∑ x 3 y 3 + 261x 2 y 2 z 2 ≥ 24∑ x 4 yz + 93∑ x 3 y 2 z + 97∑ x 2 y 3 z cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hoặc x = 3, y = z = 0 và các hoán vị. Bài 2. (Lê Hữu Điền Khuê) Cho các số dương a, b, c , chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 + + ≥1 a 2 + 7 ab + b 2 b 2 + 7bc + c 2 c 2 + 7ca + a 2 Giải. 9
  9. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng b c a , y = , z = thì ta có x, y, z > 0, xyz = 1 . Khi đó, bất đẳng thức trở thành Đặt x = a b c 1 1 1 + + ≥1 x2 + 7x +1 y2 + 7y +1 z 2 + 7z + 1 n2 p2 p2m2 m2n2 Do x, y, z > 0, xyz = 1 nên tồn tại các số dương m, n, p sao cho x = ,y = ,z = , ta phải chứng m4 n4 p4 minh m4 ∑ ≥1 m 8 + 7m 4 n 2 p 2 + n 4 p 4 cyc Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 2 ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ m4 ⎜ ⎟ ⎜ ∑ m 8 + 7m 4 n 2 p 2 + n 4 p 4 ⎜ ∑ m( m 8 + 7 m 4 n 2 p 2 + n 4 p 4 ) ⎟ ≥ ( m 3 + n 3 + p 3 ) 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ cyc ⎝ cyc ⎠ Như thế, ta chỉ cần chứng minh (m 3 + n 3 + p 3 ) 3 ≥ ∑ m(m 8 + 7m 4 n 2 p 2 + n 4 p 4 ) cyc ⇔ ∑ (5m 6 n 3 + 2m 3 n 3 p 3 − 7m 5 n 2 p 2 ) + ∑ (m 6 n 3 − m 4 n 4 p) ≥ 0 sym sym Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc các số a b → +∞, → +∞ và các hoán vị. a, b, c thỏa b c Bài 3. (Phan Thành Việt) Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 3, chứng minh rằng a3 b3 c3 3 + + ≥ a + 3b b + 3c c + 3a 2 2 2 2 2 2 2 Giải. Bổ đề. a 6 + b 6 + c 6 − 3a 2 b 2 c 2 ≥ 4(a 2 − b 2 )(b 2 − c 2 )(c 2 − a 2 ) = 4∑ a 2 b 4 − 4∑ a 4 b 2 cyc cyc Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 2 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ a3 ⎜∑ ⎜ ∑ (a 2 + 3b 2 )(a + c) 3 ⎟ ≥ ⎜ ∑ a 2 + ∑ ab ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ cyc a 2 + 3b 2 ⎟ ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc ⎠ ⎝ ⎠ cyc 10
  10. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng 3 ⎞ ⎛ 9 ⎜ ∑ a 2 + ∑ ab ⎟ ≥ ∑ ( a 2 + 3b 2 )(a + c ) 3 ⎟ ⎜ 4 cyc ⎠ ⎝ cyc cyc 3 ⎞ ⎛ ⇔ 4⎜ ∑ a 2 + ∑ ab ⎟ ≥ 3(a + b + c )∑ ( a 2 + 3b 2 )(a + c) 3 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ cyc cyc cyc ⇔ ∑ a 6 + 9∑ a 5 b + 12∑ a 4 b 2 − 3∑ a 2 b 4 − 2∑ a 3b 3 + 27∑ a 4 bc − 12∑ a 2 b 3 c − 6∑ a 3b 2 c − 78a 2 b 2 c 2 ≥ 0 cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc Sử dụng bổ đề trên, ta chỉ cần chứng minh rằng 9∑ a 5 b + 8∑ a 4 b 2 + ∑ a 2 b 4 − 2∑ a 3b 3 + 27∑ a 4 bc − 12∑ a 2 b 3 c − 6∑ a 3b 2 c − 75a 2 b 2 c 2 ≥ 0 cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có ∑a b + ∑a b − 2∑ a 3b 3 ≥ 0 4 2 2 4 cyc cyc cyc 9∑ a 5 b + 7∑ a 4 b 2 + 27∑ a 4 bc − 12∑ a 2 b 3 c − 6∑ a 3b 2 c − 75a 2 b 2 c 2 ≥ 0 cyc cyc cyc cyc cyc Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. 11
  11. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng Phần 3. Các bài toán về kỹ thuật bình phương. I. Các bài toán mẫu. Bài 1. (Vasile Cirtoaje) Với mọi số thực a, b, c thì (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 ≥ 3(a 3 b + b 3 c + c 3 a ) Giải. Viết lại bất đẳng thức như sau ⎞ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎛ ⎜ ∑ a 4 − ∑ a 2 b 2 ⎟ + 3⎜ ∑ a 2 b 2 − ∑ a 2 bc ⎟ − 3⎜ ∑ a 3 b − ∑ a 2 bc ⎟ ≥ 0 ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc ⎝ cyc cyc cyc cyc Chú ý rằng 1 ∑a − ∑a b ∑ (a 2 − b 2 ) 2 = 4 2 2 2 cyc cyc cyc ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3⎜ ∑ a 3 b − ∑ a 2 bc ⎟ = 3⎜ ∑ b 3 c − ∑ a 2 bc ⎟ = −3∑ bc( a 2 − b 2 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc ⎠ cyc cyc cyc = −3∑ bc (a 2 − b 2 ) + ∑ ( ab + bc + ca )(a 2 − b 2 ) cyc cyc = ∑ (a − b )(ab + ac − 2bc) 2 2 cyc ⎞1 ⎛ 3⎜ ∑ a 2 b 2 − ∑ a 2 bc ⎟ = ∑ ( ab + ac − 2bc ) 2 ⎟2 ⎜ ⎠ ⎝ cyc cyc cyc Nên bất đẳng thức tương đương 1 1 ∑ (a 2 − b 2 ) 2 + 2 ∑ (ab + ac − 2bc) 2 − ∑ (a 2 − b 2 )(ab + ac − 2bc) ≥ 0 2 cyc cyc cyc 1 ∑ (a 2 − b 2 − ab − ac + 2bc) 2 ≥ 0 ⇔ 2 cyc Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn) Với mọi số thực a, b, c thì ( ) a4 + b4 + c4 + 3 − 1 abc(a + b + c) ≥ 3 (a 3b + b 3 c + c 3 a) Giải. Viết lại bất đẳng thức như sau 12
  12. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng ⎞ ⎛ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎜ ∑ a 4 − ∑ a 2 b 2 ⎟ + ⎜ ∑ a 2 b 2 − ∑ a 2 bc ⎟ − 3 ⎜ ∑ a 3 b − ∑ a 2 bc ⎟ ≥ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎠ ⎝ cyc ⎠ ⎠ ⎝ cyc ⎝ cyc cyc cyc cyc Chú ý rằng 1 ∑a − ∑a b ∑ (a 2 − b 2 ) 2 = 4 2 2 2 cyc cyc cyc ∑ a b − ∑ a bc = ∑ b c − ∑ a bc = −∑ bc(a − b2 ) 3 2 3 2 2 cyc cyc cyc cyc cyc 1 = −∑ bc(a 2 − b 2 ) + ∑ (ab + bc + ca)(a 2 − b 2 ) 3 cyc cyc 1 ∑ (a 2 − b 2 )(ab + ac − 2bc) = 3 cyc 1 ∑ a b − ∑ a bc = 6 ∑ (ab + ac − 2bc) 2 2 2 2 cyc cyc cyc Nên bất đẳng thức tương đương 1 1 1 ∑ (a 2 − b 2 ) 2 + 6 ∑ (ab + ac − 2bc) 2 − 3 ∑ (a 2 − b 2 )(ab + ac − 2bc) ≥ 0 2 cyc cyc cyc 2 1⎛ ⎞ 1 ⇔ ∑⎜ a2 − b2 − (ab + ac − 2bc) ⎟ ≥ 0 ⎜ ⎟ 2 cyc ⎝ ⎠ 3 Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Bài 3. (Phạm Văn Thuận) Cho các số thực a, b, c, chứng minh rằng 7(a 4 + b 4 + c 4 ) + 10(a 3 b + b 3 c + c 3 a ) ≥ 0 Giải. Ta chứng minh kết quả mạnh hơn 17 7(a 4 + b 4 + c 4 ) + 10(a 3b + b 3 c + c 3 a) ≥ ( a + b + c) 4 27 Thật vậy, bất đẳng thức tương đương 86∑ a 4 + 101∑ a 3b − 34∑ ab 3 − 51∑ a 2 b 2 − 102∑ a 2 bc ≥ 0 cyc cyc cyc cyc cyc ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⇔ 86⎜ ∑ a 4 − ∑ a 2 b 2 ⎟ + 101⎜ ∑ a 3 b − ∑ a 2 bc ⎟ − 34⎜ ∑ ab 3 − ∑ a 2 bc ⎟ + 35⎜ ∑ a 2 b 2 − ∑ a 2 bc ⎟ ≥ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc cyc cyc cyc cyc Chú ý rằng 13
  13. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng 1 ∑a − ∑a b ∑ (a 2 − b 2 ) 2 = 4 2 2 2 cyc cyc cyc ∑ a b − ∑ a bc = ∑ b c − ∑ a bc = −∑ bc(a − b2 ) 3 2 3 2 2 cyc cyc cyc cyc cyc 1 = −∑ bc(a 2 − b 2 ) + ∑ (ab + bc + ca)(a 2 − b 2 ) 3 cyc cyc 1 ∑ (a 2 − b 2 )(ab + ac − 2bc) = 3 cyc ∑ ab − ∑ a bc = ∑ bc − ∑ a bc = ∑ bc(c − a 2 ) = ∑ ca(a 2 − b 2 ) 3 2 3 2 2 cyc cyc cyc cyc cyc cyc 1 = ∑ ca(a 2 − b 2 ) − ∑ (ab + bc + ca)(a 2 − b 2 ) 3 cyc cyc 1 ∑ (a 2 − b 2 )(ab + bc − 2ca) =− 3 cyc ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⇒ 101⎜ ∑ a 3 b − ∑ a 2 bc ⎟ − 34⎜ ∑ ab 3 − ∑ a 2 bc ⎟ = ∑ (a 2 − b 2 )( 45ab + 11ca − 56bc ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ cyc ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc cyc cyc 1 ∑ a b − ∑ a bc = 5282 ∑ (45ab + 11ca − 56bc) 2 2 2 2 cyc cyc cyc Do đó, bất đẳng thức tương đương với 35 43∑ (a 2 − b 2 ) 2 + ∑ (a 2 − b 2 )(45ab + 11ca − 56bc) + ∑ (45ab + 11ca − 56bc) 2 ≥ 0 5282 cyc cyc cyc ⎛ ⎞ 1 ⇔ ∑ ⎜ 43(a 2 − b 2 ) 2 + (a 2 − b 2 )(45ab + 11ca − 56bc) + (45ab + 11ca − 56bc) 2 ⎟ + 172 cyc ⎝ ⎠ 369 ∑ (45ab + 11ca − 56bc) 2 ≥ 0 + 454252 cyc 1 369 ∑ (86(a 2 − b 2 ) + 45ab + 11ca − 56bc) 2 + 172 ∑ c 2 (a − b) 2 ≥ 0 ⇔ 172 cyc cyc Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0. II. Bài tập tự giải. Bài 1. (Vasile Cirtoaje) Với mọi số thực a, b, c 14
  14. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng a 4 + b 4 + c 4 + ab 3 + bc 3 + ca 3 ≥ 2(a 3 b + b 3 c + c 3 a ) Bài 2. (Phạm Văn Thuận) Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi a, b, c thực 8 a(a + b) 3 + b(b + c) 3 + c(c + a) 3 ≥ (a + b + c) 4 27 15
  15. yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng Phần 4. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức AM-GM. I. Tổng quan về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM. II. Các bài toán áp dụng. Bài 1. (Phan Thành Nam) Cho các số không âm a, b, c có tổng bằng 1, chứng minh rằng a + b2 + b + c2 + c + a2 ≥ 2 Giải. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a + b2 (a + b)(a + b 2 ) 2(a + b)(a + b 2 ) ∑ a + b2 = ∑ =∑ ≥∑ ( a + b) 2 + a + b 2 a + b2 ( a + b) a + b 2 cyc cyc cyc cyc 2(a + b)(a(a + b + c) + b 2 ) 2(a + b)(a 2 + b 2 + ab + ac) =∑ =∑ (a + b) 2 + a(a + b + c) + b 2 cyc 2a 2 + 2b 2 + 3ab + ac cyc Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng (a + b)(a 2 + b 2 + ab + ac) ∑ 2a 2 + 2b 2 + 3ab + ac ≥ a + b + c cyc ⇔ ∑ a 5 b 2 + ∑ a 4 b 2 c + 2∑ a 5 bc ≥ 2∑ a 3b 3 c + 2∑ a 3b 2 c 2 cyc cyc cyc cyc cyc ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛9 4 6 ⇔ ∑ ⎜ a 5 b 2 + b 5 c 2 + c 5 a 2 − a 3 b 2 c 2 ⎟ + abc⎜ ∑ a 3 b − ∑ a 2 bc ⎟ + 2abc⎜ ∑ a 4 − ∑ a 2 b 2 ⎟ ≥ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ cyc ⎝ 19 19 19 ⎠ ⎠ ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc cyc cyc 1 Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = hoặc 3 a = 1, b = c = 0 và các hoán vị. 16
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học