- Trang Chủ
- Toán học
- Biến đổi bài toán hình học từ chứng minh sang khảo sát của sinh viên sư phạm toán
Xem mẫu
- BIẾN ĐỔI BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỪ CHỨNG MINH SANG KHẢO SÁT
CỦA SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN
NGUYỄN LÊ NGUYÊN THẢO
Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế
Tóm tắt: Bài báo này đề cập đến việc biến đổi bài toán hình học từ dạng chứng
minh sang dạng khảo sát của sinh viên sư phạm toán. Đối tượng tham gia nghiên
cứu gồm 30 sinh viên năm thứ nhất ngành sư phạm toán của Trường Đại học Sư
phạm Huế. Kết quả nghiên cứu cho thấy tính đa dạng trong cách thức biến đổi bài
toán hình học từ chứng minh sang khảo sát và trong các kiểu bài toán khảo sát
được hình thành. Nghiên cứu cũng cho rằng khả năng thay đổi bài toán từ chứng
minh sang khảo sát là cần thiết cho người giáo viên toán tương lai và cần được tích
hợp trong chương trình đào tạo giáo viên toán.
Từ khóa: Bài toán khảo sát, bài toán chứng minh hình học, biến đổi bài toán.
1. MỞ ĐẦU
Thuật ngữ Học dựa trên khảo sát (Inquiry based learning), Giáo dục dựa trên khảo sát (Inquiry
based education) xuất hiện khá nhiều trong các tài liệu về chương trình và chính sách giáo dục
về toán và khoa học trong thập kỷ vừa qua. Điều đó chứng tỏ đây là một xu hướng giáo dục
được nhiều nhà nghiên cứu và thực hành dạy học quan tâm (Artigue & Blomhoj, 2013, [1]).
Một báo cáo của Uỷ ban châu Âu về giáo dục và khoa học (Rocard et al. 2007, [7]) đã nhấn
mạnh rằng sự thay đổi phương pháp dạy học các môn khoa học ở nhà trường phổ thông từ chủ
yếu theo tiếp cận suy diễn sang phương pháp dựa trên các hoạt động khảo sát, khám phá cung
cấp các phương tiện để gia tăng mối quan tâm và thích thú của học sinh đối với khoa học.
Trong ngữ cảnh dạy học toán, các nhà nghiên cứu sử dụng các thuật ngữ khác nhau như khảo
sát toán (mathematical investigation), khám phá toán (mathematical exploration) hoặc thực
nghiệm toán (mathematical experimentattion) để chỉ việc dạy học toán dựa trên khảo sát
(Leikin & Grossman, 2013, [5]). Dạy học toán dựa trên khảo sát đòi hỏi các nhiệm vụ toán
đưa ra phải ở dạng khảo sát chứ không phải dạng đóng, tức là nhiệm vụ toán đó chứa đựng
các đặc trưng cho phép học sinh khảo sát, đặt giả thuyết, thay đổi giả thiết, đưa ra nhiều cách
giải quyết khác nhau. Để thiết kế được các nhiệm vụ toán như vậy, giáo viên cần phải có
những kỹ năng đặt vấn đề và những hiểu biết về kiến thức và các quá trình liên quan đến bài
toán. Điều này càng trở nên quan trọng khi mà hầu hết các bài tập trong các sách giáo khoa
toán hiện nay ở nước ta đều được cho dưới dạng bài toán đóng.
Trong chương trình đào tạo giáo viên toán hiện nay, phương pháp dạy học dựa trên khảo sát
vẫn còn ít được quan tâm giới thiệu và vận dụng; sinh viên ít được rèn luyện và thực hành với
việc đặt ra bài toán mới hay chuyển từ bài toán “đóng” dạng chứng minh sang bài toán “mở”
dạng khảo sát. Mục tiêu tổng quát của nghiên cứu này là tìm hiểu khả năng năng thay đổi bài
toán hình học từ dạng chứng minh (dạng đóng) sang dạng khảo sát (dạng mở) của sinh viên
sư phạm toán. Trong phần tiếp theo của bài báo, chúng tôi trình bày nền tảng lý thuyết và
phương pháp nghiên cứu. Sau đó, chúng tôi phân tích dữ liệu thực nghiệm và mô tả những kết
quả bước đầu của nghiên cứu.
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sau Đại học lần thứ hai
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 10/2014: tr. 74-80
- BIẾN ĐỔI BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỪ CHỨNG MINH SANG KHẢO SÁT... 75
2. NỀN TẢNG LÝ THUYẾT
2.1. Học dựa trên khảo sát
Thuật ngữ học dựa trên khảo sát có thể được hiểu như là một cách dạy học trong đó học sinh
hoạt động và tham gia tương tự như công việc của các nhà khoa học, bao gồm các hoạt động
như đặt câu hỏi, phát biểu vấn đề, khảo sát và đưa ra giả thuyết, chứng minh giả thuyết
(Artigue & Blomhoj, 2013, [1]). Theo Wells (2001, p. 17, [10]), khảo sát là một cách dạy và
học gợi lên sự quan tâm, thích thú và động cơ học tập ở học sinh.
Trong hai thập kỷ qua, cộng đồng giáo dục toán học đã đặc biệt nhấn mạnh tầm quan trọng
của môi trường học tập dựa trên khảo sát thúc trong việc đẩy học tập tích cực của học sinh
(Brown & Walter, 2005; Da Ponte, 2007; Leikin , 2004; Silver, 1994; Wells, 2001, [2], [3],
[5], [8], [10]). Các nhà nghiên cứu chỉ ra rằng phương pháp khảo sát đã cải thiện chất lượng
của việc học toán bằng cách cung cấp cho sinh viên với nhiều cơ hội nâng cao và thử nghiệm
giả thuyết, nhận được phản hồi nhanh chóng, sử dụng đa biểu diễn, và được tham gia vào quá
trình mô hình hóa (Da Ponte, 2007, [3]).
Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm đến việc học dựa trên khảo sát trong hình học.
Chúng tôi xem học dựa trên khảo sát hình học bao gồm các hoạt động như thử nghiệm, phỏng
đoán, đặt giả thuyết, đặt vấn đề, kiểm tra, và chứng minh (hoặc bác bỏ) nó.
2.2. Vai trò giáo viên trong mô hình học tập dựa trên khảo sát
Một trong những vai trò trung tâm của giáo viên toán là khởi xướng các hoạt động toán học
có ý nghĩa trong lớp học. Do đó, để thực hiện khảo sát toán có ý nghĩa, giáo viên nên chọn các
bài toán thích hợp cho phép thúc đẩy thực nghiệm, khám phá, đặt giả thuyết, và chứng minh.
Wells (2001, [10]) đã chỉ ra:
“Như chúng ta đã biết, kinh nghiệm của sự lựa chọn các chủ đề để khảo sát là rất quan trọng.
Không chỉ có vậy, giáo viên phải khơi dậy cho học sinh quan tâm, tham gia và thấy được giá
trị của nhận thức, nhưng giáo viên cũng phải có đầy đủ các kiến thức hay các phương án cho
các bài toán kết thúc mở. Giáo viên cũng cần có khả năng để đưa ra các thách thức phù hợp
với khả năng hiện tại cá nhân học sinh”.
Khảo sát toán trong hình học đòi hỏi giáo viên phải suy nghĩ lại việc dạy học: Họ phải thích
ứng với những thực hành dạy học không quen thuộc, thậm chí hoàn toàn mới; giáo viên có vai
trò nổi bật hơn trong việc thiết kế các hoạt động học tập cho học sinh của mình. Một trong
những cách để thiết kế các bài toán khảo sát trong hình học là chuyển đổi bài toán chứng
minh thành bài toán khảo sát. Nghiên cứu của chúng tôi sẽ phân tích những biến đổi được
thực hiện bởi các giáo viên từ việc đặt bài toán thành một lớp các bài toán mới.
2.3. Thay đổi bài toán và khả năng đặt vấn đề
Đặt vấn đề (problem posing) là một khái niệm rộng, thường liên quan đến việc tạo ra một bài
toán mới bởi các câu hỏi. Nhiều nhà nghiên cứu cho rằng quá trình chuyển đổi bài toán là một
kiểu của hoạt động đặt vấn đề. Nghiên cứu này tập trung vào yêu cầu sinh viên đặt ra các bài
toán mới để chuyển đổi bài toán chứng minh sang khảo sát.
Các nhà giáo dục toán xem việc đặt vấn đề và các bài toán khảo sát như là một phần của một
kiểu nhiệm vụ toán rộng hơn là các “bài toán mở” (Pehkonen, 1995, [6]). Pehkonen lập luận
rằng bài toán mở phụ thuộc vào tính “mở” của giả thiết và mục tiêu hướng đến, được xác định
bởi một nhiệm vụ toán. Các nhà nghiên cứu tập trung đến các khía cạnh khác nhau của đặt
vấn đề như đặc trưng của quá trình nhận thức liên quan đến việc đặt ra bài toán, chiến lược
- 76 NGUYỄN LÊ NGUYÊN THẢO
đặt bài toán (Stoyanova, 1998, [9]), sự phát triển của kỹ năng đặt vấn đề, và đặt vấn đề như là
một công cụ dạy học (Brown & Walter, 2005, [2]).
Từ nền tảng lý thuyết về học dựa trên khảo sát, chúng tôi đặt ra các câu hỏi nghiên cứu sau đây:
- Những cách thức thay đổi bài toán hình học từ chứng minh sang khảo sát của sinh viên sư
phạm toán được thực hiện như thế nào?
- Đâu là các kiểu bài toán khảo sát được hình thành?
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu được thực hiện trên đối tượng là 30 sinh viên năm thứ nhất ngành sư phạm toán
thuộc trường Đại học Sư phạm Huế. Các sinh viên được yêu cầu thay đổi ba bài toán hình học
trong sách giáo khoa Hình học lớp 11 từ dạng chứng thành dạng bài toán khảo sát. Dữ liệu thu
thập được bao gồm các phiếu học tập và một bảng hỏi.
Phân tích dữ liệu được thực hiện đối với các bài toán khảo sát mà sinh viên tạo ra và các cách
thức chuyển đổi của sinh viên thực hiện trên những bài toán chứng minh đó. Chúng tôi phân
tích kết quả theo hai hướng
- Kiểu bài toán khảo sát được hình thành: Chúng tôi thực hiện phân tích tất cả các bài toán do
sinh viên tạo ra để xác định xem liệu chúng có được xây dựng rõ ràng và có ý nghĩa toán học
hay không. Căn cứ vào mức độ “mở” của bài toán tạo ra chúng tôi chia làm hai loại lớn: Bài
toán định hướng khảo sát và các bài toán không có đặc trưng khảo sát.
- Cách thức thay đổi bài toán chứng minh: Căn cứ trên các nhiệm vụ được giao sinh viên sẽ
tiến hành chuyển đổi bài toán, chúng tôi sẽ phân tích và xem xét chi tiết về những cách thức
thay đổi bài toán của họ. Chúng tôi chia làm hai loại về kiểu chuyển đổi: Thay đổi các giả
thiết của bài toán và thay đổi mục tiêu của bài toán ban đầu.
4. KẾT QUẢ
4.1. Các kiểu bài toán được hình thành bởi sinh viên
4.1.1. Bài toán định hướng khảo sát
Bài toán định hướng khảo sát được phân thành hai loại căn cứ vào độ “mở” của bài toán đặt ra
bởi sinh viên: bài toán khám phá và bài toán kiểm chứng.
- Bài toán khám phá: Một bài toán được xem là bài toán khám phá nếu nó đã được xây dựng với
yêu cầu mở về nhiệm vụ, phân tích và chứng minh một phỏng đoán. Những bài toán này có
biểu hiện như: "Tìm mối liên hệ giữa ..." "Điều gì sẽ xảy ra nếu .." "Những gì bạn có thể nói về
..?" "Khi …" "Có thể ..?". Một số phiếu học tập sau sẽ minh chứng cho kiểu bài toán này:
Bài toán 1. Cho tứ diện ABCD có các cặp A
cạnh đối vuông góc. Gọi H là trực tâm của
tam giác BCD. Chứng minh rằng
AH ( BCD) .
Yêu cầu: Hãy thay đổi bài toán này thành D
một bài toán ở dạng khảo sát. B
H K
C
- BIẾN ĐỔI BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỪ CHỨNG MINH SANG KHẢO SÁT... 77
Các sinh viên tập trung vào tìm mối liên hệ giữa các đối tượng hình học:
Nội dung bài toán mới
Bài toán 2. Cho tứ diện ABCD có AB A
vuông góc DC. Gọi M thuộc BC. Gọi (P) là
mặt phẳng đi qua M và song song với AB, J
DC. Chứng minh thiết diện của tứ diện
N
ABCD cắt bởi mp(P) là hình chữ nhật.
Yêu cầu:Hãy thay đổi bài toán này thành D
một bài toán ở dạng khảo sát. B
I
M
C
Bài làm của sinh viên:
Nội dung bài toán mới
- 78 NGUYỄN LÊ NGUYÊN THẢO
- Bài toán xác minh: Một bài toán được phân loại là một bài toán xác minh nếu nó không đòi
hỏi đặt giả thuyết và chỉ yêu cầu kiểm tra một mệnh đề. Thường các bài toán này yêu cầu
kiểm tra một mệnh đề đúng nhưng không yêu cầu xem xét với những điều kiện nào thì mệnh
đề đó đúng. Cách thay đổi bài toán thường gặp là thay thế yêu cầu “Chứng minh X” bởi yêu
cầu “X có đúng không?”. Sau đây là cách thay đổi bài toán của sinh viên thuộc kiểu này:
Bài làm của học sinh
Bài toán 1
Bài toán 2
Bài toán 3
4.1.2. Bài toán không có đặc trưng khảo sát
Bài toán không có đặc trưng khảo sát bao gồm các kiểu như bài toán chứng minh, bài toán có
chỉ dẫn, và bài toán tính toán. Bài toán chứng minh đòi hỏi giải thích cho một lập luận được
xem như là đúng cho trước. Bài toán có chỉ dẫn dẫn dắt dắt từ từ đến lời giải của bài toán ban
đầu. Bài toán tính toán chứa đựng các giá trị số và thường liên quan đến tính toán độ dài, diện
tích, thể tích,… mà không yêu cầu đưa ra kết luận từ các tính ttoans đó. Sau đây là một bài
làm thuộc kiểu bài toán không có đặc trưng khảo sát (bài toán tính toán):
4.1.3. Bài toán không rõ ràng
Bài toán được phân loại là không rõ ràng trong hai trường hợp: (1) đề bài không rõ ràng về từ
ngữ; (2) bài toán không có ý nghĩa về mặt toán học hoặc yêu cầu chứng minh một phát biểu
sai. Đây là một bài toán thuộc kiểu trên vì đề bài phát biểu không rõ ràng:
- BIẾN ĐỔI BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỪ CHỨNG MINH SANG KHẢO SÁT... 79
4.2. Phân tích các cách thức biến đổi bài toán được thực hiện bởi sinh viên
Dựa trên bài làm của sinh viên, chúng tôi chia làm hai cách thức biến đổi phổ biến: thay đổi
giả thiết và thay đổi mục tiêu của bài toán đầu.
4.2.1. Thay đổi giả thiết
Thể loại này đề cập đến những thay đổi trên các đối tượng và tính chất được cho trong bài toán
ban đầu mà sinh viên chuyển sang bài toán khảo sát. Sau dây là một số bài làm của sinh viên:
Ở bài toán 1 trên sinh viên đã tiến hành thay các giả “các cặp cạnh đối vuông góc” thành “
đáy BCD là tam giác đều, các mặt bên là tam giác cân tại A”.
4.2.2. Thay đổi mục tiêu bài toán ban đầu
Ở đây các sinh viên đã thay đổi mục tiêu ban đầu thành một mục tiêu mới. Khi thực hiện thay
đổi này vấn đề khảo sát sẽ rộng hơn không bó hẹp trong một nội dung nhất định tùy theo mục
đích hướng tới của sinh viên. Với cách thức này không ít sinh viên đã lựa chọn để chuyển đổi
bài toán từ chứng minh sang khảo sát. Sau đây là một bài bài làm của sinh viên liên quan đến
nội dung này:
Với bài toán trên, sinh viên tạo ra mục tiêu mở, khi đó có rất nhiều phương án trả lời khác nhau như:
tính đồng dạng giữa hai khối tứ diện, so sánh thể tích, tỷ số các cạnh tương ứng của tứ diện…
5. KẾT LUẬN
Trong khuôn khổ bài báo này chúng tôi đã đề cập đến vấn đề chuyển đổi bài toán hình học từ
chứng minh sang khảo sát. Kết quả nghiên cứu cho thấy có nhiều cách thức khác nhau mà
sinh viên đã áp dụng để tạo ra bài toán mới dạng khảo sát, và sinh viên cũng đã tạo ra nhiều
kiểu bài toán mới có đặc trưng dạng khảo sát hoặc không. Thay đổi bài toán hình học từ dạng
chứng minh sang dạng khảo sát là một nội dung cần thiết của các giáo viên toán tương lai
nhằm tạo ra các bài toán khảo sát thúc đẩy học sinh tìm tòi, khám phá, đặt giả thuyết, kiểm
chứng giả thuyết, từ đó giúp cho học sinh nắm bắt các kiến thức hình học một cách linh hoạt
không áp đặt.
Trong chương trình đào tạo giáo viên toán hiện nay, phương pháp dạy học dựa trên khảo sát
vẫn còn ít được quan tâm giới thiệu và vận dụng. Sinh viên ít được rèn luyện và thực hành với
việc đặt ra bài toán mới hay chuyển từ bài toán “đóng” dạng chứng minh sang bài toán “mở”
dạng khảo sát. Vì vậy cần khuyến khích sinh viên nghiên cứu và thực hành vấn đề này để tăng
cường kỹ năng dạy học sau này.
- 80 NGUYỄN LÊ NGUYÊN THẢO
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Artigue, M., & Blomhoj, M. (2013). Conceptualizing inquiry-based education in
mathematics. ZDM-The international journal on mathematics education.
[2] Brown, S., & Walter, M. (2005). The art of problem posing(3rd ed.). New York: Routledge.
[3] Da Ponte, J. P. (2007). Investigations and explorations in the mathematics classroom.ZDM-
The International Journal on Mathematics Education, 39, 419–430.
[4] Leikin, R. (2004). Towards high quality geometrical tasks: Reformulation of a proof
problem. In M. J. Hoines & A. B. Fuglestad (Eds.). Proceedings of the 28th International
Conference for the Psychology of Mathematics Education. Vol. 3, 209–216.
[5] Leikin, R., & Grossman. (2013). Teachers modify geometry problems : from proof to
investigation. Educational Studies in Mathematics, 82, 515-531.
[6] Pehkonen, E. (1995). Using open-ended problem in mathematics. ZDM—The International
Journal on Mathematics Education, 27(2), 67–71.
[7] Rocard, M., Csermely, P., Jorde, D., Lenzen, D., Walberg-Henriksson, H., & Hemmo V.
(2007). L’enseignement scientifique aujourd’hui: une pédagogie renouvelée pour l’avenir
de l’Europe. Commission Européenne, Direction générale de la recherche, Science,
économie et société.
[8] Silver, E. A. (1994). On mathematical problem posing. For the Learning of Mathematics,
14, 19–28.
[9] Stoyanova, E. (1998). Problem posing in mathematics classrooms. In A. McIntosh & N.
Ellerton (Eds.), Research in mathematics education: A contemporary perspective (pp. 164–
185). Perth: MASTEC Publication.
[10] Wells, G. (2001). Action, talk, and text: The case for dialogic inquiry. Retrieved on August
20, 2014 from: http://people.ucsc.edu/~gwells/Files/Papers_Folder/ATT.theory.pdf
Title: PRE-SERVICE MATHEMATICS TEACHERS’ CAPABILITY TO MODIFY GEOMETRY
PROOF PROBLEMS INTO INVESTIGATION PROBLEMS
Abstract: This article refers to transformations that pre-service mathematics teachers made to modify
geometry proof problems into investigation problems. A group of 30 pre-service mathematics teachers
from the Hue University College of Education was the sample for the study. The results of the study
indicate a diversity in problem transformations and types of pre-service teacher-generated
investigation problems. The study also suggested that the capability to modify proof problems into
investigation problems is necessary for futur teachers and should be included in the mathematics
teacher education program.
Key words: investigation problem, geometry proof problem, problem transformation
NGUYỄN LÊ THẢO NGUYÊN
Học viên Cao học, chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán, khóa 21 (2012-2014),
Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế
nguon tai.lieu . vn
