Bài tập động lực học chọn lọc

VIỆN CƠ KHÍ Bộ môn Cơ học ứng dụng BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC CHỌN LỌC Bài 1. Hai thanh đồng chất giống hệt nhau AC và BC được nối với nhau bằng bản lề tại C, cùng nằm trong một mặt nằm ngang nhẵn. Do lò xo bị nén nên sợi chỉ AB được căng. Tìm quỹ đạo của điểm A khi sợi chỉ bị đứt. Cho độ dài mỗi thanh là 2l , ban đầu hệ nằm yên. 2 2 ĐS. (2 )2 + l2 = 1 Bài 2. Hai thanh AD và BD giống hệt nhau được nối bản lề với nhau tại C tựa trên hai góc nhẵn như hình vẽ. Chiều dài của mỗi thanh là l và bằng khoảng cách giữa hai điểm tựa A, B. Thời điểm đầu các thanh nằm ngang và đối xứng với các điểm tựa. Sau đó (nhờ một cái huých nhẹ) xảy ra chuyển động dưới tác dụng của trọng lực và điểm D chuyển động thẳng đứng xuống. Xác định vận tốc của điểm D khi các đầu A, B đạt đến các điểm tựa. ĐS. vD = 3 3gl 5 A y C B Hình bài 1   x O Hình bài 2 D A B Bài 3. Một thước gấp ABCDE gồm bốn thanh đồng chất được nối với nhau bằng các bản lề có cùng độ dài l và cùng khối lượng m đứng trên nền ngang nhẵn và được giữ cân bằng bởi dây BD. Sau khi dây bị đứt cái thước đổ sập xuống. Tìm liên hệ giữa vận tốc điểm B và độ cao h của nó nếu độ cao của B lúc đứt dây là h0 . ĐS. vB = l 3g(h0 − h) l2 + 3h2 B D r  O O   l r C M A C E   Hình bài 3 Hình bài 4 Hình bài 5 Bài 4. Cho con lắc như hình vẽ. Dây không dãn, không trọng lượng. Trụ tròn cố định có bán kính r. Độ dài tự do của dây khi ở vị trí thẳng đứng là l . Lập phương trình vi phân chuyển động của con lắc. ĐS. (r +l)+ r 2 + g sin = 0 1 Bài 5. Một đầu của một sợi dây mảnh, nhẹ, không dãn được quấn vào một trụ tròn xoay đồng chất bán kính r, trọng lượng P, còn đầu kia được cố định tại O. Trụ tròn rơi xuống và lăn theo sợi dây, đồng thời dao động quanh trục nằm ngang đi qua O. Giả thiết sợi dây đủ dài. Thành lập phương trình vi phân chuyển động của hình trụ theo toạ độ suy rộng  và  .  − r − 2  2 = 2 g cos ĐS. dt (2)− r2 = −g sin Bài 6. Cơ hệ gồm thanh AB dài 80cm đồng chất, trọng lượng P = 1N và gắn vào đầu thanh một đĩa tròn đồng chất bán kính 20 cm và trọng lượng P = 2N . Tại thời điểm ban đầu (t = 0) cơ hệ ở vị trí thẳng đứng như hình vẽ. Cho khối tâm M2 của đĩa một vận tốc đầu v2 = 360cm/s hướng ngang về phía phải. Tìm chuyển động tiếp theo. xC (t) = 240t ĐS. yC t) = gt2 ( ) = 6t xC = 0 t = 0: yC = 0 yC = 0 Bài 7. Một quả cầu bán kính r lăn không trượt theo mặt nằm ngang và chuyển động từ mặt đó sang mặt BD, nghiêng với phương ngang một góc  . Đạt đến điểm B, quả cầu bắt đầu quay quanh B, biết rằng lúc bắt đầu quay vận tốc khối tâm là v . Tìm góc  lớn nhất để khi chuyển sang mặt nghiêng BD quả cầu không có bước nhảy. ĐS.  <  : cos = 7v 1+ 10gr A M1 C C B B C x A B M2 Hình bài 9  D y A Hình bài 6 Hình bài 7-8 Bài 8. Giải bài toán trên với giả thiết rằng mặt phẳng AB nghiêng một góc  so với phương ngang:  <  và ở thời điểm đầu quả cầu cách B một đoạn l và có vận tốc v0 . ĐS.  <  : cos = 7v0 + 10g(l sinr + r cos) Bài 9. Vật A có trọng lượng 1 được treo bằng một sợi dây đồng chất không dãn, dài L có trọng lượng Q. Dây được vắt qua ròng rọc B, đầu kia của dây buộc vào trục con lăn C lăn không trượt trên mặt phẳng ngang. Ròng rọc B và con lăn C là những đĩa tròn đồng chất có cùng bán kính r, cùng trọng lượng P . Hệ số ma sát lăn giữa con lăn C và mặt ngang là k. Thời điểm đầu hệ đứng yên và phần dây treo lơ lửng ngoài ròng rọc B có độ dài l . Tìm vận tốc vA theo dịch chuyển h của nó. Tìm gia tốc aA . 2 Tìm hệ số ma sát trượt f giữa con lăn C và mặt ngang để đảm bảo lăn không trượt. 2gh P + Q ( l + h) − P k  ĐS. vA = P + 2P +Q f  k + ag Bài 10. Trụ tròn đồng chất bán kính r, khối lượng m lăn tự do trên một trụ cố định bán kính R. Chuyển động được bắt đầu từ vị trí cao nhất với vận tốc bằng không. Hệ số ma sát trượt giữa hai mặt trụ là f. Tìm vận tốc của tâm C theo góc  . Tìm  khi trụ C còn lăn không trượt trên mặt trụ lớn. Chứng minh rằng không tồn tại một hệ số ma sát trượt f hữu hạn nào để trụ C rời khỏi mặt trụ cố định khi đang còn lăn không trượt. ĐS. vC = 4g (R + r)(1 − cos) ,   arctg 1 + 33f2 −1 11f (2) (1) r  v C r C O R h  R C O m a a Hình bài 12 Hình bài 10 Hình bài 11 Bài 11. Trục hình trụ bán kính r quay quanh trục nằm ngang nhờ quả nặng treo vào sợi dây quấn quanh trục. Sau một thời gian nào đó vận tốc góc của trục đạt đến một giá trị không đổi người ta gắn vào trục n tấm như nhau: sức cản của không khí tác dụng vào tấm được coi như tập trung thành một lực vuông góc với tấm, cách tâm trục một khoảng R và có độ lớn tỷ lệ với bình phương của vận tốc góc: kω2 . Khối lượng quả nặng là m, mômen quán tính của tất cả phần quay đối với trục là J. Bỏ qua khối lượng dây và ma sát ổ trục. a) Xác định vận tốc góc quay của trục nếu khi t = 0 : ω = 0. b) Giả thiết không có quả nặng và khi t0 = 0 thì ω = ω0 và  = 0. Hãy xác định quy luật chuyển động quay của trục. c) Giả sử lực cản tỷ lệ bậc nhất vận tốc góc kω và góc quay ban đầu bằng không, tìm quy luật chuyển động. ĐS. ω t) = mgr et −1;  = J +2 r2 mgnkrR (t) = kJR ln1 + knRω0 t, ( ) =  t + 1 (e−t −1) ,  = mgr , nkR J + mr2 Bài 12. Có một chiếc xe goòng khối lượng M khối tâm là C và 2 bánh xe đồng chất có cùng khối lượng m, bán kính r, bán kính quán tính đối với trục quay của nó là . Giả sử xe đang chạy đều với vận tốc v và các bánh xe lăn không trượt trên đường ray. Tại một thời điểm nào đó, một trong hai bánh xe bị kẹt. Giả sử các liên kết tựa giữa bánh xe và đường ray vẫn được duy trì và bánh xe bị kẹt sẽ trượt theo đường ray với hệ số ma sát trượt động là f. 1. Xác định thành phần phản lực tiếp tuyến của đưòng ray tác dụng lên hai bánh xe theo gia tốc a của xe goòng. 2. Giả sử rằng m/M rất nhỏ : 3 a. Chứng minh rằng khi đó thành phần phản lực tiếp tuyến lên bánh xe không bị kẹt xấp xỉ bằng 0 và thành phần tương ứng đối với bánh xe bị kẹt tỷ lệ với tích khối lượng M và gia tốc a của xe goòng. b. Tính các thành phần phản lực pháp tuyến đặt lên 2 bánh xe và gia tốc a của goòng trong trường hợp bánh trước (1) bị kẹt. c. Tương tự như câu b nhưng trong trường hợp bánh sau (2) bị kẹt. Chứng minh rằng trong trường hợp này nghiệm của bài toán chỉ có nghĩa nếu f < fc. Trong đó fc là giá trị tới hạn của f. ĐS. Giả thiết bánh 2 kẹt: F = −m2 a; bgf 2b − hf F = M + 2m + m2 a Mg(b − hf) Mbg 1 2b − hf 2 b − hf * f < f* = b * q1 = xC ; q2 =  (hệ có hai bậc tự do). Bài 13. Trên một mặt nghiêng không nhẵn, nghiêng một góc  so với phương ngang có hai trụ A và B lăn không trượt. Hai trụ tròn xoay cùng khối lượng m, cùng bán kính r nhưng có mômen quán tính đối với trục đối xứng là JA = mr2;JB = mr2 , 0 <   1. Hệ số ma sát giữa các mặt trụ là f. Hãy xác định gia tốc chuyển động của các tâm hình trụ và áp lực của trụ A lên trụ B. 2g sin (1 − )ma (1 − )mg sin (3 + ) + f(1 − ) 2 (3 + ) + f(1 − ) Bài 14. Tìm quỹ đạo của vòng A (điểm) khối lượng m trượt trên một vành tròn tâm C bán kính R. Vành tròn có khối lượng M trượt trên một mặt nhẵn nằm ngang. Ban đầu hệ đứng yên. 2 2 ĐS. R (1 A M )2 + A = 1 y 0 A  A B C C0 x  O  A  Hình bài 13 Hình bài 14 Hình bài 15 Bài 15. Một đĩa tròn đồng chất khối lượng M, bán kính R có thể lăn không trượt trên một đường nằm ngang. Trên đĩa có một rãnh tròn nhẵn trơn bán kính r, có tâm trùng với tâm đĩa, có một viên bi khối lượng m chuyển động theo rãnh đó. Bỏ qua kích thước viên bi. Thành lập phương trình chuyển động của cơ hệ. Tìm các tích phân đầu. Nếu dao động là bé, tìm chu kỳ dao động của viên bi. (3 M + m)R− mr cos + mr 2 sin = 0 ĐS. r − Rcos + g sin = 0 T 2 (3M + 2m)g 4 Bài 16. Một đĩa mỏng khối lượng M có thể trượt không ma sát trên một mặt phẳng nằm ngang. a) Chất điểm có khối lượng m chuyển động trên mặt không nhẵn của đĩa với phương trình chuyển động tương đối trong hệ toạ độ Descartes x, y gắn liền với đĩa là x(t), y(t). Mômen quán tính của đĩa đối với trục qua tâm là J. Ban đầu hệ đứng yên. Hãy xác định quy luật thay đổi vận tốc góc của đĩa. b) Nếu chất điểm chuyển động tương đối với vận tốc v = t theo vành đĩa bán kính R, hãy tìm quy luật chuyển động của đĩa. ĐS. a) J + m + M (x2 + y2 )  + m + M (xy − yx) = m + M (x0y0 − y0x0 ),trong đó x0, y0 , x0, y0 là các giá trị toạ độ và vận tốc của chất điểm khi t = 0. b) (t) = − 2(m + M)  Rt2 2 = 2R t2 ;  là góc quay của đĩa. m + M (t) = −mm M cos2R t2 (t) = −mm M sin2R t2 ; , là toạ độ trọng tâm của đĩa trong hệ toạ độ Descartes cố định có gốc tại tâm quán tính của cơ hệ. Bài 17. Tay đòn mang hai khối lượng tập trung m1 và m2 ở hai đầu và gắn khớp vào vành một đĩa tròn đồng chất bán kính R. Khoảng cách từ các khối lượng tập trung đến khớp nối là l1 và l2 . Bỏ qua khối lượng của tay đòn. a) Đĩa quay quanh trục thẳng đứng vuông góc với mặt đĩa với vận tốc góc ω = const. Hãy thành lập phương trình chuyển động của tay đòn và xác định vị trí cân bằng tương đối của nó. b) Trường hợp đĩa quay trong mặt phẳng thẳng đứng (trục y). Hãy thành lập phương trình chuyển động tương đối của tay đòn. ĐS. a) m1 1 + m2l2 − Rω2 (m l1 −m2l2 )cos( −ωt) = 0 Khi m l1 = m2l2 , tay đòn ở vị trí cân bằng phiếm định (không ổn định). Khi m l1  m2l2 , tồn tại hai vị trí cân bằng tương đối:  = ωt  . b) (m1 1 + m2l2 )− Rω2 (m1 1 −m2l2 )cos( −ωt) + (m1 1 −m2l2 )g sin = 0. Khi m l1  m2l2 , không có cân bằng tương đối. Bài 18. Một đĩa tròn đồng chất bán kính R, khối lượng m1 nằm trên một mặt ngang nhẵn, không ma sát. Một con bọ dừa (chất điểm M) khối lượng m2 bò trên mặt đĩa. Quỹ đạo chuyển động của M trên mặt đĩa là đường tròn bán kính r (r < R 2). Hãy xác định quỹ đạo tuyệt đối của M (trên mặt bàn) nếu ban đầu cả hệ đứng yên. Xét hai trường hợp: Tâm vòng tròn trùng với tâm đĩa. Tâm vòng tròn nằm ở điểm giữa bán kính R. ĐS. Đường tròn tâm C (khối tâm cả hệ) bán kính m1 + m2 m2 M r A   m O R m A  B Hình bài 17 Hình bài 18 Hình bài 19 Hình bài 20 5 ... - tailieumienphi.vn