1. Trang Chủ
  2. Vật lý
  3. Bài tập cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn - Chương 2

Bài tập cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn - Chương 2

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 TIẾP XÚC GIỮA HAI VẬT RẮN-ĐỊNH LUẬT VỀ MA SÁT @ Áp dụng 1: (Trang 98) Chuyển động của hình lập phương trên mặt phẳng nghiêng: Một hình lập phương khối lượng m được hất lên với vận tốc y N ban đầu v0 (v0 0), dọc theo đường dốc chính của một mặt g phẳng nghiêng một góc Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông BAÌI TÁÛP CHÆÅNG 2 TIÃÚP XUÏC GIÆÎA HAI VÁÛT RÀÕN-ÂËNH LUÁÛT VÃÖ MA SAÏT @ AÏp duûng 1: (Trang 98) Chuyãøn âäüng cuía hçnh láûp phæång trãn màût

Thể loại Tài liệu miễn phí Vật lý

Số trang 19

Ngày tạo 8/29/2018 9:39:39 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước

Tên tệp

Tải Bài tập cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn -... (.pdf)

Xem mẫu

  1. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông BAÌI TÁÛP CHÆÅNG 2 TIÃÚP XUÏC GIÆÎA HAI VÁÛT RÀÕN-ÂËNH LUÁÛT VÃÖ MA SAÏT @ AÏp duûng 1: (Trang 98) Chuyãøn âäüng cuía hçnh láûp phæång trãn màût phàóng nghiãng: Mäüt hçnh láûp phæång khäúi læåüng m âæåüc háút lãn våïi váûn täúc y N ban âáöu v0 (v0 > 0), doüc theo âæåìng däúc chênh cuía mäüt màût g phàóng nghiãng mäüt goïc α so våïi màût phàóng ngang. O Xaïc âënh chuyãøn âäüng cuía hçnh láûp phæång naìy (chuyãøn C âäüng tënh tiãún doüc theo âæåìng däúc chênh (Ox) cuía màût phàóng T mg nghiãng) theo caïc giaï trë khaïc nhau cuía v0. Cho biãút hãû säú ma x α saït træåüt giæîa khäúi vuäng vaì màût phàóng nghiãng laì f. Bài giải : Ngoại lực tác dụng lên vật rắn bao gồm : Trọng lượng mg , Tác động cơ lên khối vuông tại chỗ tiếp xúc : R = T .ex + Ney với T và N là giá trị đại số : N > 0. (Vật rắn chuyển động tịnh tiến, nên ma sát lăn và ma sát xoay không xuất hiện). Áp dụng định lý về động lượng ( P = ma(G ) = ∑ F ei ) ⇒ ma (G ) = m g + T + N i ⎧ mx = mg sin α + T (1) Chiếu lên Ox và Oy: ⎨ ⎩0 = − mg cos α + N (2) Lúc đầu, khối vuông đi lên trên mặt phẳng nghiêng, T hướng xuống dưới : T > 0 và T = f.N Từ (2) suy ra : N = mgcosα ⇒ T = fN = mgf . cos α y Thay vào (1) ta có : x = g (sin α + f cos α ) N v0 g v = −ν 0 + g (sin α + f cos α )t ⇒ C O 1 x = −ν 0t + g (sin α + f cos α )t 2 ⇒ 2 T (Ghi chú : Điều kiện ban đầu: t = 0 ⇒ x = 0; x = −ν 0 ) mg x Vận tốc khối vuông bằng 0 tại thời điểm t0 với : α ν0 t0 = g (sin α + f cos α ) Tại t = t0, khối vuông dừng lại và có xu hướng chuyển động đi xuống trên mặt phẳng nghiêng nên T hướng lên trên : T < 0. Kể từ thời điểm t = t0, khối vuông vẫn đứng yên, nếu như: T T ≤ f N hay −T ≤ fN ⇒ − ≤ f N T Từ (1) và (2) suy ra : − = tgα ⇒ tgα ≤ f = tgϕ ⇒ α ≤ ϕ N Ngược lại, nếu α > ϕ hay tgα > f thì : T = f N (bởi vì nếu T < f N , ta sẽ suy ngược lại rằng α < ϕ , điều này trái với giả thiết) ⇒ T = − fN = − f .mg cos α Từ (1) suy ra gia tốc của khối của khối vuông : x = g (sin α − f cos α ) 1 x = x(t0 ) + g (sin α − f cos α )t 2 : Khối vuông chuyển động đi xuống nhanh dần đều. ⇒ 2 22
  2. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông @ AÏp duûng 2: (Trang 99) Cán bàòng cuía váût ràõn trãn màût âáút : Mäüt váût ràõn âäöng cháút, coï daûng hçnh khäúi chæî nháût, caïc caûnh 2a laì 2a vaì 2b, khäúi læåüng m, khäúi tám G, nàòm yãn trãn màût âáút g HF nàòm ngang. Mäüt ngæåìi muäún dëch chuyãøn váût ràõn bàòng caïch 2b G keïo mäüt såüi dáy (buäüc taûi mäüt âiãøm H trãn váût ràõn vaì nàòm Oh trong màût phàóng trung bçnh âi qua khäúi tám G sao cho OH = h) taïc duûng lãn váût ràõn mäüt læûc F nàòm ngang. Hãû säú ma saït træåüt giæîa màût âáút vaì váût ràõn laì f. Ngæåìi keïo khäng keïo âuí maûnh vaì váût ràõn váùn âæïng yãn. Chæïng minh ràòng caïc taïc âäüng cå tiãúp xuïc giæîa váût ràõn vaì màût âáút suy biãún thaình mäüt læûc R taïc dung lãn âiãøm mäüt I (thuäüc màût phàóng trung bçnh cuía váût ràõn) nàòm trãn màût phàóng tiãúp xuïc û giæîa màût âáút vaì váût ràõn). Cæåìng âäü cuía læûc F phaíi thoía maîn nhæîng âiãöu kiãûn naìo âãø váût ràõn thæûc sæû âæïng yãn trãn màût âáút ? Bài giải : y ⊕ 2a F H R N 2b h x I O mg T x Vì bề mặt tiếp xúc giữa mặt đất và vật rắn là lớn ⇒ Không thể bỏ qua ma sát lăn và xoay. Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc giữa vật rắn và mặt đất khi thu gọn về điểm tiếp xúc I nào đó thuộc mặt phẳng trung bình bao gồm : R = T .ex + Ney và M I ,tiepxuc (N > 0, T > 0) Ngoại lực tác dụng lên khối vuông bao gồm : Trọng lượng mg , lực kéo F , tác động cơ tại điểm tiếp xúc I : R = T .ex + Ney và M I ,tiepxuc . Khi vật rắn cân bằng, ta có : + Tổng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn bằng 0 : ⎧ N = mg N + T + mg + F = 0 ⇒ ⎨ (1) ⎩T =F Trong đó : T ≤ fN ⇒ F ≤ fN = fmg + Momen các ngoại lực tác động lên khối vuông đối với điểm I bằng 0 : IG × mg + IH × F + II × (T + N ) + M I ,tiepxuc = 0 ⇒ (− amg + hF + xN )ez + M I ,tiepxuc = 0 (2) Để hệ lực ( R, M I ,tiepxuc ) suy biến thành một lực R thì phải có : M I ,tiepxuc = 0 23
  3. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông F Với N = mg và M I ,tiepxuc = 0 , từ (2) suy ra : ( x − a ) mg + hF = 0 ⇒ x = a − h mg F ⇒ Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc, khi thu gọn về điểm tiếp xúc I có tọa độ x = a − h sẽ suy mg biến thành một lực là R . F h thuộc bề mặt tiếp xúc thì phải có : 0 ≤ x ≤ 2a . Bất đẳng thức Để I có tọa độ x = a − mg mga F h ≥ 0 hay F ≤ trên thỏa mãn khi a − h mg mga Tóm lại : Với F ≤ , tác động cơ tiếp xúc từ mặt đất lên vật rắn suy biến thành một lực h F R = N + T đặt tại điểm I có tọa độ x = a − h và thuộc bề mặt tiếp xúc. mg (Ghi chú : fmg h ⇒ x = a − fh ⇒ điểm I + Trường hợp giới hạn : T = fN ⇒ F = fN = fmg ⇒ x = a − mg nằm tại có tọa độ x0 : x0 = a − fh . Trường hợp T ≤ fN thì F ≤ fN = fmg ⇒ x ≥ x0 ⇒ điểm I nằm trong khoảng I0A. y ⊕ 2a F H P R N G 2b h x I0 Q O mg T x0 + Gọi P là giao điểm của F và m g : Ta F có : I 0Q = OQ − QI 0 = a − x0 = fh = tgϕ.h ⇒ tg ( PI 0 , PQ) = tgϕ ⇒ ( PI 0 , PQ) = ϕ . Mặt khác, trong trường hợp giới hạn mga F= F fN = f = tgϕ ⇒ R nằm tg ( R, N ) = = F = fmg h N N (1) (2) trên phương PIo hay nói khác đi R đi qua fmg điểm P). Để khối vuông thực sự đứng yên trên (3) mặt đất, phải có điều kiện : (4) + Khối vuông không trượt so với mặt đất : h F = T ≤ fN = fmg ⇒ F ≤ fmg (3) 2b + Khối vuông không lật quanh cạnh qua O, nghĩa là nó còn cân bằng và liên kết của nó 24
  4. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông với mặt đất vẫn tồn tại (tức là áp lực N vẫn tồn tại : N ≥ 0 hay M O ( N ) ≥ 0 ). Suy ra : ⎧∑ M O ( Fi ext ) = ( Fh − mga)ez + M O ( N ) = 0 ⎪i ⎨ ⎪M O ( N ) ≥ 0 ⎩ mga ⇒ Fh − mga ≤ 0 ⇒ F ≤ (4) h Hệ hai bất đẳng thức trên có thể giải bằng đồ thị như trên hình vẽ : Vùng (1) : Vật rắn trượt không lật trên mặt đất.Vùng (2) : Vật rắn vừa trượt vừa lật trên mặt đất. Vùng (3) : Vật rắn không trượt, chỉ lật trên mặt đất. Vùng (4) : Vật rắn không trượt không lật trên mặt đất (vật rắn thực sự cân bằng ) @ AÏp duûng 3: (Trang 101): Khåíi âäüng cuía ngæåìi âi xe âaûp: Mäüt ngæåìi âi xe âaûp khåíi âäüng trãn mäüt màût âæåìng nàòm ngang: Hãû quy chiãúu traïi âáút âæåüc xem laì Galileïe. Ngæåìi âi xe âaûp âæåüc xem nhæ laì z mäüt váût ràõn gàõn liãön våïi xe âaûp (boí qua khäúi læåüng cuía âäi chán âang chuyãøn âäüng). Goüi m laì täøng ⊕ g G khäúi læåüng cuía ngæåìi vaì xe âaûp. Hai baïnh xe laì giäúng nhau, coï baïn kênh R vaì coï khäúi læåüng khäng h âaïng kãø. Khäúi tám G cuía hãû ngæåìi-xe âæåüc xaïc x yO âënh båïi caïc khoaíng caïch a, b vaì h. Goüi f laì hãû säú ma saït giæîa caïc baïnh xe vaì màût âáút (boí qua caïc ma ⊗ saït khaïc) vaì n laì tè säú giæîa säú ràng (nombre de a b dents) cuía âéa xêch vaì cuía lêp (roue-libre) åï banh ï sau. Momen Γ cuía ngáùu læûc maì ngæåìi âi xe taïc âäüng vaìo âéa xêch phaíi bàòng bao nhiãu âãø caïc baïnh xe khäng bë træåüt trãn màût âáút ? Baìi giaíi : Phản lực của mặt đất tác dụng lên mỗi bánh xe: RK = TK .ex + N K ey Với : N K > 0; k = 1, 2 ; TK là giá trị đại số (bỏ qua các ma sát khác). Để bánh xe không trượt trên mặt đất, phải có : Tk ≤ f N k (1) Ta cần xác định T1, T2, N1, N2 và thay vào biểu thức (1), từ đó sẽ có kết luận. Xét cơ hệ gồm người + xe. Ngoại lực tác dụng lên hệ : Trọng lượng mg , các áp lực và lực ma sát từ mặt đất tác dụng lên hai bánh xe : T1 , T2 , N1 , N 2 . dP = ma (G ) = ∑ Fi k ) Áp dụng định lý về động lượng cho hệ người + xe đạp ( dt i ⇒ ma (G ) = T1 + T2 + N1 + N 2 + mg ⎧mx = T1 + T2 Chiếu lên hai trục x và z : (2) ⎨ ⎩0 = N1 + N 2 − mg 25
  5. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Áp dụng định lý về momen động lượng đối với khối tâm CK của mỗi bánh xe, trong hệ ⎛ dLCK * ⎞ = ∑ M CK ( Fi ext ) với : LCK * = ∑ CK M i × mi vi = 0 (vì bỏ qua * quy chiếu khối tâm : ⎜ ⎜ dt ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ / R* i i khối lượng của các bánh xe) ⎧0 = −T2 R + Γ ' ⎧0 = −T2 R + Γ ' ⇒⎨ ⇒⎨ ⎩0 = −T1 R ⎩T1 = 0 Trong đó Γ’ là momen tác động lên bánh sau, tạo nên bởi momen Γ do người đi xe tác động Γ lên bàn đạp : Γ ' = n z ⊕ G g mg Γ h N1 N2 C1 C2 Γ' O ⊗y x T1 T2 a b 2Γ 2Γ ' Γ Ddia xich Z dia xich (Ghi chú : Lực căng trên dây xích : Ft = = = = = n với ⇒ Γ' Ddia xich Dlip Dlip Z lip Ddia xich, Dlip lần lượt lừ đường kính của đĩa xích và của líp; Zdia xich, Zlip lần lượt là số răng của đĩa xích và của líp). Γ ⎧ ⎪0 = −T2 R + ⇒ (3) ⎨ n ⎪T1 = 0 ⎩ Áp dụng định lý về momen động lượng đối với khối tâm G của hệ người + xe, trong hệ quy chiếu khối tâm : ⎛ dLG * ⎞ ⎟ = ∑ M G ( Fi ) với : LG * = LG * (nguoi + khungxe) + LG * (cacbanhxe) = 0 ext ⎜ ⎝ dt ⎠ / R* i (Ghi chú : Do người + khung xe chuyển động tịnh tiến so với mặt đất, nên sẽ cố định trong hệ quy chiếu khối tâm, do đó : LG * (nguoi + khungxe) = 0 . Mặc khác, do bỏ qua khối lượng các bánh xe nên : LG *(cacbanhxe) = ∑ GM i × mi vi = 0 ). * i 0 = N 2b − T2 h − N1a ⇒ (4) Giải hệ phương trình (2), (3) và (4) : N1 = mg - N 2 Từ (2), suy ra : 26
  6. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Γ T2 = Từ (3), suy ra : Rn Γh ⎞ Γh 1⎛ + N 2 a − mga ⇒ N 2 = ⎜ mga + 0 = N 2b − Thay vào (4), suy ra : ⎟ a+b⎝ Rn ⎠ Rn ⎧ T1 ≤ fN1 (a) ⎪ Điều kiện (1) được viết như sau : ⎨ ⎪ T2 ≤ fN 2 (b) ⎩ Do T1 = 0 ⇒ (a) luôn thỏa mãn ⇒ Để các bánh xe không trượt trên mặt đất, phải có : T T2 ≤ fN 2 hay : 2 ≤ f (lưu ý rằng lực hướng theo phương chiều trục Ox) N2 Γ ( a + b) Γ Γh ⎞ 1⎛ T2 ⎟ nên : N = Rnmga + Γh ≤ f T2 =và : N 2 = ⎜ mga + Với : a+b⎝ Rn ⎠ Rn 2 T2 theo Γ : Bảng biến thiên của T2 N2 N2 Γ ∞ 0 f1 a+b T2 a+b N2 h 0 h f2 Γ Γ gh T2 theo Γ như trên hình vẽ. Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của N2 Từ đó suy ra : a+b T + Khi f < ( f = f 2 ) : Để các bánh xe không trượt trên mặt đất, phải có 2 ≤ f tức là h N2 Rnmgaf phải có : Γ < Γgh với : Γ gh = . ( a + b ) − fh a+b T ( f = f1 ) : Ta luôn luôn có 2 ≤ f ⇒ Các bánh xe luôn luôn không trượt trên + Khi f > h N2 mặt đất dù Γ bằng bao nhiêu đi nữa. @ Aïp duûng 4: (Trang 104) Taûo chuyãøn âäüng cuía thanh bàòng cam: Xeït mäüt cå cáúu duìng âãø biãún âäøi chuyãøn âäüng y quay thaình chuyãøn âäüng tënh tiãún qua laûi. Cáön r Mäüt thanh hçnh truû (goüi laì cáön), khäúi læåüng m coï thãø træåüt khäng ma saït theo phæång thàóng âæïng trong mäüt khung cäú âënh (goüi laì giaï). Chuyãøn âäüng cuía cáön âæåüc âiãöu khiãøn båíi mäüt Giaï cäú I baïnh hçnh troìn (goüi laì cam) coï baïn kênh laì R (R âënh θ =ω t x C nhoí hån baïn kênh r cuía cáön), coï tám laì C. Cam g quay våïi váûn täúc goïc ω khäng âäøi xung quanh O Cam 27
  7. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông mäüt truûc nàòm ngang lãûch tám cäú âënh, âi qua âiãøm O cuía cam vaì caïch tám C mäüt khoaíng laì a. Âiãøm O nàòm trãn truûc thàóng âæïng cuía cáön. Hãû säú ma saït giæîa cam vaì cáön laì f. Tênh cäng cuía caïc taïc âäüng cå tiãúp xuïc giæîa cam vaì cáön trong mäüt voìng quay cuía cam theo m, ω , R, a, f vaì gia täúc troüng træåìng g. Baìi giaíi : Cơ cấu cam trong bài tập này có tên gọi là cơ cấu cam cần đẩy đáy bằng, được dùng để đóng mở soupape xả và nạp trong động cơ đốt trong. Tác động cơ tiếp xúc từ cam lên cần : y R = T .ex + Ney và từ cần lên cam − R = −T .ex − Ney với N và T là các giá trị đại số. N1 (Ghi chú : Cam và cần tiếp xúc theo đường, đồng thời đây là bài toán phẳng ⇒ bỏ qua ma sát xoay và ma sát lăn). I Tổng công suất của các lực R và − R tác dụng tại θ =ω t x C N điểm tiếp xúc I : P = T .v g g O với v g = v(I can ) − v(I cam ) là vận tốc trượt của cần trên cam. Tìm v g : Cam quay trục Oy cố định ⇒ v(I cam ) = θ ez × OI ⎧ x = a cos ωt ⎧−ω (a sin ωt + R) ⎪ ⎪ Do : θ = ω , OI = ⎨ y = a sin ωt + R ⇒ v(I cam ) = ⎨ ω a cos ωt ⎪0 ⎪ 0 ⎩ ⎩ Cần chuyển động tịnh tiến theo phương Oy ⇒ Vận tốc tại mọi điểm trên cần đều bằng nhau ⎧ω (a sin ωt + R) ⎧0 ⎪ ⎪ và bằng v(I can ) : v(I can ) = ⎨ y = ω a cos ωt ⇒ vg = v(I can ) − v(I cam ) = ⎨0 ⎪0 ⎪0 ⎩ ⎩ Tìm T : Giữa cam và cần có trượt ⇒ T = f N (1) dP = ma (G ) = ∑ Fi ext ) Áp dụng định lý về động lượng đối với cần ( dt i ⇒ ma (G ) = mg + T + N (bỏ qua ma sát giữa cần và giá). Chiếu lên trục Oy : my = − mg + N ⇒ N = mg + my ⇒ N = m( g − ω 2 a sin ωt ) Giả sử cam và cần luôn tiếp xúc nhau trong suốt quá trình chuyển động : N ≥ 0 ⇒ g ≥ aω 2 ⇒ N = N = m( g − aω 2 sin ωt ) . (Ghi chú : Để cam và cần luôn luôn tiếp xúc với nhau trong quá trình chuyển động, trong thực tế người ta dùng lực phục hồi của lò xo). Lực ma sát T ngược chiều với v g . Thế mà v g = ω ( a sin ωt + R )ex với a < R nên ω ( a sin ωt + R ) > 0 ⇒ v g ngược chiều với ex ⇒ T ngược chiều với ex ⇒ T = −T . Biểu thức (1) trở thành : −T = fN = fm( g − ω 2 a sin ωt ) ⇒ T = T .ex = − fm( g − ω 2 a sin ωt )ex Tóm lại: P = −ω (a sin ωt + R ) fm( g − aω 2 sin ωt ) Công của các tác động cơ tiếp xúc từ cam lên cần và từ cần lên cam, trong 1 vòng quay của cam : 28
  8. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông 2π 2π ω ω Pdt = − ∫ fmω (a sin ωt + R )( g − aω 2 sin ωt )dt ⇒ W = −π fm(2 gR − a ω ) 2 2 ∫ W= 0 0 (Ghi chú : Bởi vì : g ≥ aω 2 và a > R ⇒ gR ≥ aω 2 R > a 2ω 2 ⇒ W < 0 : Điều này phù hợp với chứng minh ở phần lý thuyết : Tổng công của các tác động cơ tiếp xúc từ cam lên cần và từ cần lên cam luôn luôn nhỏ hơn hay bằng 0). BAÌI TÁÛP COÏ GIAÍI @ Baìi 1: (Trang 108): Hçnh truû trãn màût phàóng nghiãng: Mäüt hçnh truû, âäöng cháút, khäúi tám C, baïn kênh R, ⊕ 1 z momen quaïn tênh âäúi våïi truûc cuía noï laì J = m.R , 2 2 âæåüc âàût khäng coï váûn täúc âáöu trãn mäüt màût phàóng O⊕ g iC nghiãng mäüt goïc α so våïi màût phàóng nàòm ngang, trong y hãû quy chiãúu traïi âáút (R) xem laì Galileïe. Truûc cuía hçnh α truû laì nàòm ngang. x Goüi f laì hãû säú ma saït træåüt giæîa hçnh truû vaì màût phàóng nghiãng. 1) Xaïc âënh gia täúc x cuía hçnh truû. Chæïng minh ràòng hiãûn tæåüng træåüt coï xaíy ra hay khäng tuìy theo giaï trë cuía goïc α so våïi mäüt giaï trë α naìo âoï maì ta cáön xaïc âënh. 2) Sæí duûng âënh lyï vãö âäü biãún thiãn âäüng nàng, haîy viãút biãøu thæïc cán bàòng nàng læåüng cuía hçnh truû giæîa caïc thåìi âiãøm 0 vaì t. Xeït caí hai træåìng håüp α > α0 vaì α < α0. Bài giải : Câu 1 : Lực tác dụng lên hình trụ gồm : Trọng lực mg ; phản lực R từ mặt phẳng nghiêng tác dụng lên hình trụ : R = −T .ex + Nez với T > 0 và N > 0. (Ghi chú : Bỏ qua momen ma sát lăn và momen ma sát xoay. Áp lực N luôn hướng theo chiều Oz, hình trụ có xu hướng trượt xuống trên mặt phẳng nghiêng nên lực ma sát T hướng ngược chiều trục Ox). dP = ma (G ) = ∑ Fi ext ) Áp dụng định lý về động lượng đối với hình trụ ( dt i ⇒ mg − T .ex + Nez = ma (C ) ⎧ mx = mg sin α − T Chiếu lên Ox và Oy : ⎨ (1) ⎩0 = −mg cos α + N Áp dụng định lý về momen động lượng của hình trụ đối với khối tâm C trong hệ quy chiếu ⎛ dL * ⎞ khối tâm R* : ⎜ C ⎟ = ∑ M C ( Fi ext ) với : LC = LC // * + LC ⊥ * = LC // * = J .θ ey * ⎝ dt ⎠ / R* i (Ghi chú : LC // * = J C Ω = J .θ e y và LC ⊥ * = 0 do vật rắn là vật rắn phẳng nằm trpng mặt phẳng qua G và vuông góc với trục Gz). 1 Jθ = mR 2θ = T .R ⇒ (2) 2 Vận tốc trượt của hình trụ trên mặt phẳng nghiêng : 29
  9. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông v g = v( I hinhtru ) = v(C ) + Ω × CI ⇒ v g = v(C ) + θ .ey × CI ⇒ v g = xex + θ .ey × (− Rez ) = xex − Rθ ex ⇒ v g = ( x − Rθ )ex a) Trường hợp hình trụ lăn không trượt : Hình trụ lăn không trượt khi : v g = 0 ⇒ x − Rθ = 0 ⇒ x = Rθ (3) 2 g sin α Từ (1), (2) và (3), suy ra : x = 3 Mặc khác, để hình trụ lăn không trượt, phải có : T ≤ f N hay : T ≤ fN (4) 1 1 1 mRθ = mx ⇒ T = mg sin α Từ (2) ⇒ T = 2 2 3 Từ (1) ⇒ N = mg cos α 1 Bất đẳng thức (4) trở thành : mg sin α ≤ fNmg cos α ⇒ tgα ≤ 3 f = tgα 0 3 Hình trụ lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng nếu như α ≤ α 0 , với tgα 0 = 3 f ⊕ z N O⊕ g C a (G ) i T y I α x b) Trường hợp hình trụ vừa lăn vừa trượt : Nếu α > α 0 hình trụ sẽ vừa lăn vừa trượt trên mặt phẳng nghiêng v g ≠ 0 . Khi đó T = fN = fmg cos α Thay T vào (1) ⇒ x = g (sin α − f cos α ) 2 fg cos α Thay T vào (2) ⇒ θ = R Câu 2: Độ biến thiên động năng của hình trụ trong khoảng thời gian từ 0 đến t: 1 1 EK (t ) − EK (0) = EK (t ) = mx 2 + Jθ 2 2 2 Công của ngoại lực tác động lên hình trụ trong khoảng thời gian từ 0 đến t: t t W = mgx sin α + ∫ R.v(I hinhtru )dt = mgx sin α + ∫ T.v g dt 0 0 t ∫ R.v(I (Ghi chú : mgx sin α là công của trọng lực; )dt là công của lực lực tác dụng lên hinhtru 0 hình trụ tại chỗ tiếp xúc) Khi α < α 0 , v g = 0 ⇒ W = mgx sin α Theo định lý về động năng : ∆EK 0 = Wnoiluc + Wngoailuc với : Wnoiluc = 0 ; Wngoailuc = W t 1 21 2 1 11 mx + Jθ = mgx sin α ⇒ mx 2 + . .mR 2θ 2 = mgx sin α ⇒ 2 2 2 22 30
  10. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông 3 1 21 2 mx + mx = mgx sin α ⇒ mx 2 = mgx sin α Với x = Rθ ⇒ (4) 4 2 4 (Ghi chú : Đạo hàm hai vế của biểu thức (4), ta tìm lại được gia tốc của hình trụ : 3 3 mxx = mgx sin α ⇒ x = g sin α ) 2 2 Khi α > α 0 , v g = x − Rθ Mà : x = g (sin α − f cos α ) ⇒ x = g (sin α − f cos α )t 2 fg cos α 2 fg cos α và : θ = ⇒θ= t R R (chú ý điều kiện ban đầu: t = 0 ⇒ x = 0;θ = 0 ) Suy ra : v g = g (sin α − f cos α )t − 2 fg cos α t ⇒ v g = g (sin α − 3 f cos α )t t t Từ đó : W = mgx sin α − ∫ Tv g dt = mgx sin α − ∫ fmg cos α .g (sin α − 3 f cos α )tdt 0 0 1 ⇒ W = mgx sin α − fmg 2 cos α (sin α − 3 f cos α )t 2 2 Theo định lý về động năng : ∆EK 0 = Wnoiluc + Wngoailuc t 1 21 2 1 mx + Jθ = mgx sin α − fmg 2 cos α (sin α − 3 f cos α )t 2 ⇒ 2 2 2 @ Baìi 2: (Trang 110): Làn khäng træåüt cuía âéa hçnh baïn nguyãût trãn màût phàóng: Xeït mäüt âéa baïn nguyãût (D) âäöng cháút, tám C, khäúi tám G, baïn y kênh R, khäúi læåüng m. Hãû quy chiãúu traïi âáút (O; x,y,z) âæåüc g xem nhæ laì Galileïe. Táút caí âãöu nàòm trong màût phàóng thàóng C iG âæïng (Oxy). Âéa (D) làn khäng træåüt trãn màût phàóng nàòm ngang (Oxz). Goüi I laì âiãøm tiãúp xuïc giæîa màût âáút vaì âéa (D). O x I Vë trê cuía âéa (D) âæåüc xaïc âënh bàòng hoaình âäü x cuía tám C vaì goïc α = (CI , CG ) . Cho CG = b = 4R/3π. Momen quaïn tênh α 1 cuía âéa (D) âäúi våïi truûc qua tám C vaì vuäng goïc våïi âéa (D) laì: J = m.R 2 . Haîy xaïc âënh 2 phæång trçnh chuyãøn âäüng cuía âéa (D) bàòng nhiãöu phæång phaïp khaïc nhau. 1) Caïc quan hãû âäüng hoüc: a) Thiãút láûp quan hãû giæîa x vaì α mä taí chuyãøn âäüng làn khäng træåüt. b) Biãøu diãùn caïc thaình pháön cuía váûn täúc vaì gia täúc khäúi tám G theo b, α vaì caïc âaûo haìm cuía chuïng. 2) Phæång phaïp thæï nháút: Phæång phaïp nàng læåüng: a) Tênh âäüng nàng EK cuía âéa D theo J, m , b vaì α . b) Tênh thãú nàng troüng træåìng cuía âéa (D). c) Suy ra mäüt nguyãn haìm cuía chuyãøn âäüng; sau âoï thiãút láûp phæång trçnh vi phán báûc hai âäúi våïi α (âæa vaìo phæång trçnh caïc thäng säú sau : J, R, b vaì m). 3) Phæång phaïp thæï hai: Phæång phaïp cäø âiãøn: a) Viãút âënh lyï täøng håüp âäüng læûc (reïsultante dynamique) (hay âënh lyï vãö âäüng læåüng) 31
  11. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông b) Viãút âënh lyï momen âäüng læûc âäúi våïi G trong hãû quy chiãúu khäúi tám cuía âéa (D) (hay âënh lyï vãö momen âäüng læåüng âäúi våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu khäúi tám cuía âéa). c) Suy ra phæång trçnh vi phán báûc hai theo α. 4) Phæång phaïp thæï ba (duìng tháûn troüng) : a) Tênh momen âäüng læûc cuía âéa (D) âäúi våïi âiãøm I. b) AÏp duûng âënh lyï vãö momen âäüng læûc âäúi våïi âiãøm I (hay âënh lyï vãö momen âäüng læåüng âäúi våïi âiãøm I) âãø tçm phæång trçnh vi phán báûc hai theo α. 5) Giaí sæí ràòng α ráút beï. Tuyãún tênh hoïa phæång trçnh nháûn âæåüc vaì suy ra chu kyì T0 cuía caïc dao âäüng nhoí cuía âéa (D) quanh vë trê cán bàòng. Træåïc hãút haîy biãøu diãùn T0 theo J, R, b, m vaì gia täúc troüng træåìng g, sau âoï chè biãøu diãùn theo R vaì g. Bài giải : Câu 1 : a) Do đĩa (D) lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang (Oxz) ⇒ Vận tốc trượt tại I giữa đĩa và mặt phẳng (Oxz) chính là vận tốc của điểm ID trên đĩa (D) : v g = v( I D ) = 0 Mà : v( I D ) = v(C ) + α ez × CI = xex + α ez × (− Rey ) = ( x + Rα ) ex ⇒ x + Rα = 0 b) Ta có: ⎧ x + α b cos α = (− R + b cos α )α ⎧ x + b sin α ⎪ ⎪ OG = ⎨ R − b cos α ⇒ v (G ) = ⎨α b sin α ⎪0 ⎪0 ⎩ ⎩ ⊕ y ⎧(− R + b cos α )α − α 2b sin α ⎪ g N ⇒ a (G ) = ⎨α b sin α + α 2b cos α ⎪0 ⎩ C G i T O x Câu 2: I mg a) Động năng EK của đĩa (theo định lý Koenig) : x α 1 1 1 E K = m v (G ) + E K * = m v ( G ) + J G α 2 2 2 2 2 2 (Ghi chú : Trong hệ quy chiếu (R*), đĩa (D) quay xung quanh trục cố định Gz). Momen quán tính của đĩa (D) đối với trục Gz (áp dụng định lý Huyghens) : 1 J G = J − mb 2 ⇒ J G = mR 2 − mb 2 2 1 EK = ( J + mR 2 − 2mRb cos α )α 2 ⇒ 2 (Ghi chú: Có thể tính EK như sau: Do đĩa lăn không trượt trên mặt đất tại điểm I, nên có thể xem như đĩa chuyển động quay tức thời quanh trục Iz với vận tốc góc bằng α ⇒ Động năng 1 của đĩa : E K = J I α 2 với : J I = J G + mGI 2 = J G + m( R 2 + b 2 − 2 Rb cos α ) 2 ⇒ J I = J − mb 2 + m( R 2 + b 2 − 2 Rb cos α ) ⇒ J I = J + m( R 2 − 2 Rb cos α ) 1 ⇒ EK = ( J + mR 2 − 2mRb cos α )α 2 ). 2 b) Thế năng trọng trường của đĩa (D): 32
  12. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông EP = − mg .OG + hangso ⇒ EP = −mg ( R − b cos α ) + hangso c) Do đĩa (D) chuyển động lăn không trượt trên mặt đất ⇒ Các lực tác dụng tại chỗ tiếp xúc không sinh công ⇒ Cơ năng toàn phần của đĩa (D) được bảo toàn trong quá trình chuyển động : EM = EK + EP = hằng số (Ghi chú : Ta có : ∆EM = ∆EK + ∆EP với : ∆EK = Wnoiluc + Wngoailuc trong đó : Wnoiluc = 0 ; Wngoailuc = Wtiepxuc + Wtrongluc . Bỏ qua ma sát lăn và ma sát xoay thì công của các lực tác dụng tại chỗ tiếp xúc : Wtiepxuc = ∫ R.vg dt . Do đĩa lăn không trượt trên mặt đất nên vg = 0 ⇒ Wtiepxuc = 0 . Công của lực trọng trường bằng độ giảm thế năng : Wtrongluc = −∆EP ⇒ ∆EK = −∆EP ⇒ ∆EK + ∆EP = 0 ⇒ ∆( EK + EP ) = 0 ⇒ EK + EP = hangso ). Vì vậy một nguyên hàm của năng lượng : EK + EP = hằng số 1 ⇒ ( J + mR 2 − 2mRb cos α )α 2 − mg ( R − b cos α ) = hangso 2 Bằng cách đạo hàm hai vế, suy ra : 1 1 ⇒ ( J + mR 2 − 2mRb cos α ).2.αα + 2mRb sin α .α .α 2 − mgb sin α .α = 0 2 2 ⇒ ( J + mR − 2mRb cos α )α + mRbα sin α − mgb sin α = 0 2 2 Đây chính là phương trình vi phân bậc hai đối với α. Câu 3 : dP = ma (G ) = ∑ Fi ext ⇒ ma (G ) = mg + N + T a) Định lý về động lượng của đĩa (D) : dt i Chiếu lên Ox và Oy : ⎧m(− R + b cos α )α − mb sin α .α 2 = T (1) ⎨ ⎩ m(b sin αα + b cos α .α ) = N − mg 2 Với N > 0, T là giá trị đại số của T . b) Định lý về momen động lượng đối với khối tâm G của đĩa trong hệ quy chiếu khối tâm: ⎛ dLG * ⎞ ⎟ = ∑ M G ( Fi ) với : LG = LG // * + LG ⊥ * = LG // * = J Gα ez * ext ⎜ ⎝ dt ⎠ / R* i ⇒ J Gα ez = ( J − mb 2 )α ez = (GI × N ) + (GI × T ) Chiếu lên trục Oz : ⇒ ( J − mb 2 )α = − Nb sin α + ( R − b cos α )T (2) ( Ghi chú : + Ta có : LG // * = J G Ω = J Gα ez và LG ⊥ * = 0 do vật rắn là vật rắn phẳng nằm trong mặt phẳng qua G và vuông góc với trục Gz). + Ta có : ( J − mb 2 )α ez = (GI × N ) + (GI × T ) Chiếu lên trục Oz (tức là nhân hai vế với ez ): ⇒ ( J − mb 2 )α = (GI × N ) ez + (GI × T ) ez ⇒ ( J − mb 2 )α = GI ( N × ez ) + GI (T × ez ) 33
  13. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông ⎧−b sin α ⎧1 ⎧0 ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ( J − mb )α = GI .N ex − GI .T ey với GI = ⎨− R + b cos α ; ex = ⎨0 ; ey = ⎨1 . Tuy nhiên, trong 2 ⎪0 ⎪0 ⎪0 ⎩ ⎩ ⎩ truờng hợp bài toán phẳng, không nên tính toán ∑ M G ( Fi ) theo khá phức tạp này) ext i c) Thay T và N từ (1) vào (2) ⇒ phương trình vi phân bậc hai đối với α : ( J − mb 2 )α = −b sin α ⎡ m(b sin αα + b cos α .α 2 ) + mg ⎤ + ( R − b cos α ) ⎡ m(− R + b cos α )α − mb sin α .α 2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇒ ( J + mR 2 − 2mRb cos α )α + mRbα 2 sin α − mgb sin α = 0 Câu 4 : a) Momen động lực của (D) đối với điểm I (lưu ý rằng điểm I ở đây là điểm tiếp xúc hình học giữa đĩa (D) và mặt đất) : + Dùng định lý Koenig : DI = IG × ma (G ) + DG * Trong hệ quy chiếu khối tâm, đĩa (D) quay xung quanh trục cố định Gz nên : LG * = J Gα ez . ⎛ dLG * ⎞ ⎟ = DG * ⇒ DG* = JGαez Thế mà : ⎜ ⎝ dt ⎠R* ⇒ DI = IG × ma (G ) + J Gα ez ⎧(− R + b cos α )α − α 2b sin α ⎧b sin α ⎪ ⎪ Với : IG = ⎨ R − b cos α và : a (G ) = ⎨α b sin α + α 2b cos α ⎪0 ⎪0 ⎩ ⎩ ⇒ DI = ⎡ ( J + mR 2 − 2mRb cos α )α + mRb sin αα 2 ⎤ ez ⎣ ⎦ + Hoặc dùng quan hệ giữa momen động lực và momen động lượng đối với điểm I (chú ý rằng điểm I không cố định trong hệ quy chiếu R): dLI = DI − v ( I ) × mv (G ) với : v ( I ) = v (C ) = xex = − Rα ex dt Momen động lượng đối với điểm I: LI = IG × mv (G ) + LG = IG × mv (G ) + J Gα ez = IG × mv (G ) + ( J − mb2 )α ez * ⎧b sin α ⎧(− R + b cos α )α ⎪ ⎪ Với : IG = ⎨ R − b cos α và : v (G ) = ⎨α b sin α ⎪0 ⎪0 ⎩ ⎩ ⇒ LI = m ⎡b α sin α + ( R − b cos α ) α ⎤ ez + ( J − mb 2 )α ez 2 2 2 ⎣ ⎦ ⇒ LI = ⎡ J + mR 2 − 2mRb cos α ⎤ α ez ⎣ ⎦ (Ghi chú : Có thể tính LI bằng cách coi rằng khi đĩa không trượt trên mặt đất, đĩa có thể xem như chuyển động quay tức thời xung quanh điểm I : LI = J I α ez = ⎡ J + mR − 2mRb cos α ⎤ α ez ) 2 ⎣ ⎦ dLI Từ đó suy ra: DI = + v ( I ) × mv (G ) dt ⇒ DI = ⎡ J + mR 2 − 2mRb cos α ⎤ α ez + [ 2mRbα sin α ]α ez + v ( I ) × mv (G ) ⎣ ⎦ ⎧(− R + b cos α )α ⎪ với : v ( I ) = − Rα ex và v (G ) = ⎨α b sin α ⎪0 ⎩ 34
  14. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông ⇒ DI = ⎡ ( J + mR 2 − 2mRb cos α )α + mRb sin αα 2 ⎤ ez ⎣ ⎦ b) Áp dụng định lý về momen động lực đối với điểm I : DI = ∑ M I ( Fi ext ) i ⇒ ⎡ ( J + mR − 2mRb cos α )α + mRb sin αα ⎤ ez = IG × mg = mbg sin α .ez 2 2 ⎣ ⎦ Chiếu lên phương Oz: ⇒ ( J + mR − 2mRb cos α )α + mRbα sin α − mgb sin α = 0 2 2 Câu 5 : Khi α bé ⇒ phương trình vi phân đối với α trở thành: ( J + mR2 − 2mRb cos α )α − mgbα = 0 mgb Đặt : ω = ⇒ α + ω 2 .α = 0 J + mR 2 − 2mgb ⇒ Đĩa (D) thực hiện dao động nhỏ hình sin xung quanh vị trí cân bằng (α = 0). 2π J + mR 2 − 2mgb = 2π Chu kỳ dao động : T0 = ω mgb (9π − 16) R 1 4R ⇒ T0 = 2π Mà : J = mR 2 và b = 3π 8g 2 BAÌI TÁÛP AÏP DUÛNG CAÏC KÃÚT QUAÍ ÂAÎ HOÜC: @ Baìi 1: Cán bàòng cuía mäüt caïi thang trãn màût âáút: (Trang 113) Mäüt chiãúc thang hçnh tam giaïc gäöm hai phêa âãø leo AB vaì BC giäúng B nhau, khäúi læåüng khäng âaïng kãø, chiãöu daìi b, taûo våïi nhau mäüt goïc 2α, P âæïng yãn trãn màût âáút nàòm ngang. G 2α Khåïp näúi taûi B, näúi hai phêa laûi våïi nhau, âæåüc xem laì khäng coï ma saït; M tiãúp xuïc giæîa màût âáút vaì caïc chán thang A vaì C coï cuìng hãû säú ma saït f. Mäüt ngæåìi khäúi læåüng m coï thãø duìng thang naìy maì khäng bë nguy hiãøm A C hay khäng ? (Ngæåìi âæåüc xem nhæ mäüt âoaûn thàóng thàóng âæïng MP coï khäúi tám laì G, âàût x = AM). Bài giải : Áp lực và lực ma sát tác dụng lên thang tại chân A và chân C : N1 = N1ey ; T1 = T1ex N 2 = N 2 ey ; T2 = −T2 ex với : N1 , N 2 > 0; T1 , T2 > 0 Để người dùng thang này mà không bị nguy hiểm (hai chân thang không bị trượt trên mặt đất) : ⎧ T1 ≤ fN1 (1) ⎨ ⎩T2 ≤ fN 2 ⊕ y P g B G N1 2α N2 M C T2 T1 x A x 35
  15. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Cơ hệ người và thang ở trạng thái cân bằng, ta có : ⎧ N1 + N 2 = mg ∑ Fi e = 0 ⇒ ⎨T = T (2) ⎩1 2 i ∑M ( Fi e ) = 0 ⇒ mgx sin α = N 2 .2b. sin α và : (3) A i 2b − x x Từ (2) và (3) : N 2 = .mg và N1 = .mg 2b 2b Thanh BC cân bằng : x ∑M ( Fi e ) = 0 ⇒ N 2 .b. sin α = T2b cos α ⇒ T1 = T2 = N 2tgα = mgtgα B 2b i ⎧ ⎛ 2b ⎞ ⎪tgα ≤ f ⎜ − 1⎟ Điều kiện (1) trở thành : ⎨ ⎝x ⎠ ⎪ tgα ≤ f ⎩ 2b Thế mà : x ≤ b ⇒ −1 ≥ 1 x tgα ≤ f Do đó chỉ cần điều kiện thứ 2 : (Ghi chú : Do không có ma sát tại khớp quay B, nối hai phía AB và BC lại với nhau nên phản lực từ AB lên BC là một lực F đi qua tâm B của khớp quay). @ Baìi 2: Váût ràõn tënh tiãún trãn màût âáút: (Trang 113) Trong hãû quy chiãúu Galilleïe (O; x,y,z), ta xeït mäüt váût ràõn nhæ hçnh veî (khäúi læåüng m, khäúi tám G), nàòm trãn màût âáút nàòm ngang (Oxz) b b ⊕ taûi A vaì B. y Tiãúp xuïc taûi B xem nhæ khäng coï ma saït, coìn taûi A coï ma saït våïi hãû säú ma saït laì f. Taûi thåìi g âiãøm ban âáöu, ta âáøy váût ràõn chuyãøn âäüng våïi G N2 váûn täúc âáöu v0 nàòm ngang (cuìng phæång vaì mg N h 2 chiãöu våïi truûc Ox). T1 Xaïc âënh khoaíng caïch d maì váût ràõn chaûy O x A B âæåüc cho âãún khi dæìng laûi. Bài giải : x Gọi R1 = N1 + T1 = N1ey − T1ex và R2 = N 2 e y là các lực tác dụng lên vật rắn tại điểm tiếp xúc A và B (Với T1, N1, N2 > 0). Áp dụng định lý về động lượng: ⎧mx = −T1 dP = ma (G ) = ∑ Fi e ⇒ ma (G ) = N1 + N 2 + T1 + mg ⇒ ⎨ ⎩0 = N1 + N 2 − mg dt i ⎧mx = −T1 = − fN1 (1) Do có trượt tại A nên : T1 = fN1 ⇒ ⎨ ⎩0 = N1 + N 2 − mg (2) Áp dụng định lý về momen động lượng đối với khối tâm G trong hệ quy chiếu khối tâm : ⎛ dLG * ⎞ ⎟ = ∑ M G ( Fi ) với LG = 0 (bởi vì vật rắn là cố định trong hệ quy chiếu khối tâm). * e ⎜ ⎝ dt ⎠ / R* i ⇒ 0 = −hT1 − bN1 + bN 2 (3) Từ (1) và (3) ⇒ −h( fN1 ) − bN1 + bN 2 = 0 (4) Từ (2) ⇒ N 2 = − N1 + mg 36
  16. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông mgb Thay vào (4) ⇒ −h( fN1 ) − bN1 + b(− N1 + mg ) = 0 ⇒ N1 = 2b + hf fmgb fgb = −a (với a là hằng số và a > 0 ). Thay vào (1) ⇒ mx = − ⇒x=− 2b + hf 2b + hf Tích phân hai vế từ thời điểm đầu (ứng với vận tốc v0, tọa độ x0 của khối tâm G) đến thời điểm t (ứng với vận tốc v(G), tọa độ x của khối tâm G), ta có : v 2 (G ) − v0 = −2a ( x − x0 ) 2 2 2 v 0 2b + hf v0 Khi vật rắn dừng lại : v (G ) = 0 và x − x0 = d ⇒ d = = . 2a 2 fgb @ Baìi 3: Cháút âiãøm trãn mäüt thanh quay: (Trang 113) (O ; x, y, z) laì mäüt hãû quy chiãúu Galileïe. Mäüt thanh y âäöng cháút AOB, khäúi læåüng M, chiãöu daìi 2a, chuyãøn g âäüng khäng ma saït quanh truûc (Oz) thàóng âæïng. Momen quaïn tênh cuía thanh âäúi våïi truûc (Oz): B 1 J = M .a 2 3 α x O Âàût lãn âáöu muït A cuía thanh mäüt cháút âiãøm P coï P (m) khäúi læåüng m. Hãû säú ma saït træåüt giæîa P vaì thanh laì f. • Buäng cå hãû (gäöm thanh + cháút âiãøm) khäng váûn täúc A âáöu, taûi vë trê nàòm ngang α = 0. Våïi nhæîng âiãöu kiãûn naìo, P váùn coìn åí trãn thanh ? Bài giải : Lực tác dụng tại chỗ tiếp xúc từ thanh lên chất điểm P : R = Neα + Ter với N > 0, T > 0 ⎧N ≥ 0 Để cho P vẫn nằm yên trên thanh AB: ⎨ (1) ⎩T ≤ fN y ⊕ g eα B er α x O P (m) • T A mg Áp dụng định lý động lượng cho chất điểm P: dP = ma ( P) = ∑ ( Fi e ) ⇒ ma ( P ) = N + T + mg . dt i ( 2) ⎧maα 2 = T − mg sin α Chiếu lên eα , er : ⎨ ⎩ −maα = N − mg cos α (3) 37
  17. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông (Ghi chú : Điểm P nằm yên trên thanh và chuyển động quay xung quanh trục Oz cố định ⇒ gia tốc gồm hai thành phần : an hướng từ A về O với an = aα 2 er và at hướng vuông góc với OA với at = − aα eα ). Chúng ta hãy tính α và α theo α , từ đó suy ra được T và N. Áp dụng định lý về momen động lượng đối với điểm O cố định của cơ hệ gồm thanh AB dL và chất điểm P : O = ∑ M O ( Fi e ) dt i dLO Với LO = LO ( AB) + LO ( P) ⇒ LO = J α ez + OP × mv ( P) ⇒ = J α ez + OP × ma ( P) ⇒ dt = J α ez + ⎡ (− aer ) × m ( aα 2 er − aα eα ) ⎤ ⇒ dLO dLO = J α ez + ma 2α ez ⎣ ⎦ dt dt ⇒ J α ez + ma α ez = ∑ M O ( Fi ) 2 e i Chiếu lên Oz: J α + ma 2α = mga cos α ⇒ ( J + ma 2 )α = mga cos α ⇒ α = ω 2 cos α (4) g 3m mga mga ⇒ ω2 = với : ω 2 = = 1 a M + 3m J + ma 2 Ma 2 + ma 2 3 t t ∫ αα dt = ∫ αω cos α dt ⇒ α : αα = αω 2 cos α ⇒ 2 Nhân hai vế của (4) với 0 0 12 α = ω 2 sin α ⇒ α 2 = 2ω 2 sin α 2 Thay giá trị của α và α vào (2) và (3) : ⎧ ma.2ω 2 sin α = T − mg sin α ⎧ N = ( g − aω 2 ) cos α ⇒⎨ ⎨ ⎩−ma.ω cos α = N − mg cos α ⎩T = sin α ( g + 2aω ) 2 2 Điều kiện (1) trở thành : N > 0 ⇒ g > aω 2 T ≤ fN ⇒ sin α ( g + 2aω 2 ) ≤ f ( g − aω 2 ) cos α ⇒ tgα ≤ tgα 0 g − aω 2 M với : tgα 0 = f =f g + 2aω M + gm 2 Tóm lại : + Khi g > aω 2 và tgα ≤ tgα 0 : điểm P luôn nằm trên thanh AB, khi đó điểm P trượt trên thanh khi góc α đạt giá trị α = α 0 . + Khi g ≤ aω 2 : điểm P rời khỏi thanh khi thanh bắt đầu chuyển động. @ Baìi 4: Chuyãøn âäüng cuía mäüt thanh trãn mäüt truûc nàòm ngang: (Trang 113) (O ; x, y, z) laì mäüt hãû quy chiãúu Galileïe. Mäüt b b g thanh âäöng nháút AB, khäúi læåüng m, chiãöu daìi 2b, ⊕ a tám C, momen quaïn tênh âäúi våïi truûc âi qua C vaì ez x 1 ⊗ vuäng goïc våïi thanh: J = m.b 2 , âæåüc âàût trãn 3 B AO C t=0 mäüt thanh troìn baïn kênh khäng âaïng kãø truìng våïi y truûc (Oz). Hãû säú ma saït træåüt giæîa thanh ngang AB vaì thanh troìn laì f. Taûi thåìi âiãøm ban âáöu, ta buäng 38
  18. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông thanh AB åí vë trê nàòm ngang, khäng coï váûn täúc âáöu (luïc âoï thanh AB truìng våïi truûc (Ox) sao cho OC = a våïi 0 < a < b. ÅÍ âäü nghiãng θ0 naìo, thanh AB bàõt âáöu træåüt trãn thanh troìn (Oz) ? Bài giải : N g ⊕ AT x er O C θ ez ⊗ eθ B v (C ) mg y Gọi R = Neθ − Ter với N > 0, T > 0 là phản lực do thanh tròn tác dụng lên thanh AB tại điểm tiếp xúc O. Giả sử thanh AB nghiêng đi một góc θ so với phương nằm ngang và chưa trượt trên thanh tròn ⇒ Khoảng cách OC không đổi và bằng a. Để thanh AB không trượt trên thanh tròn , phải có : T ≤ fN hay T ≤ fN (1) Ta cần tính T và N. Áp dụng định lý về động lượng đối với thanh tròn và chiếu lên hai trục eθ và er . dP = ma (C ) = ∑ ( Fi e ) ⇒ ma (C ) = Neθ − Ter + mg dt i ⎧maθ 2 = −T + mg sin θ (2) Chiếu lên eθ , er : ⎨ ⎩ −maθ = − N + mg cos θ (3) Cần tính θ và θ theo θ , từ đó suy ra T và N. dLO = ∑ M O ( Fi e ) Áp dụng định lý về momen động lượng đối với O cố định của thanh : dt i 1 LO = Jθ ez + OC × mv (C ) = ma 2θ ez + mb 2θ ez Koenig) ⇒ Với : (định lý 3 12 12 LO = θ (ma 2 + mb )ez ⇒ θ (ma 2 + mb )ez = ∑ M O ( Fi e ) 3 3 i (Ghi chú : Có thể tính L0 bằng cách coi như thanh quay tức thời xung quanh điểm O cố định 1 với vận tốc góc bằng θ trong hệ quy chiếu R : LO = J Oθ ez với J O = J + ma 2 = m.b 2 + ma 2 ). 3 12 Chiếu lên trục Oz : θ (ma 2 + mb ) = mga cos θ ` (4) 3 1 ⇒ θθ (ma 2 + mb 2 ) = mgaθ cos θ 3 θ2 1 (ma 2 + mb 2 ) = mga sin θ Tích phân hai vế theo t từ 0 đến t : (5) 2 3 Rút θ và θ từ (4) và (5), thay vào (2) và (3) suy ra : 9a 2 + b 2 b2 T = mg sin θ 2 và N = mg cos θ 2 3a + b 2 3a + b 2 Điều kiện để thanh AB không trượt trên thanh tròn trở thành : 39
  19. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông b2 tgθ ≤ tgθ 0 = f 9a 2 + b2 Thanh AB bắt đầu trượt trên thanh tròn khi θ = θ 0 . @ Baìi 5: Sæû råi cuía däö chåi hçnh truû: (Trang 113) Hãû quy chiãúu traïi âáút âæåüc xem laì hãû Galileïe. Taûi thåìi âiãøm ban âáöu, mäüt âäö chåi hçnh truû 1 âäöng nháút (khäúi læåüng m , baïn kênh R, momen quaïn tênh âäúi våïi truûc cuía noï laì: J = m.R 2 ) 2 nàòm åí caûnh A cuía mäüt giaï saïch (caûnh naìy song song våïi âæåìng sinh cuía âäö chåi hçnh truû). Dæåïi taïc duûng cuía váûn täúc ban âáöu, khäng âaïng kãø, âäö chåi hçnh truû råi xuäúng. Trãn så âäö ta veî âäö chåi hçnh truû taûi thåìi âiãøm ban âáöu vaì taûi mäüt thåìi âiãøm naìo âoï vãö sau. Goüi f laì hãû säú ma saït træåüt giæîa âäö chåi vaì giaï saïch. ÅÍ âäü nghiãng α 0 naìo, âäö chåi bàõt âáöu træåüt trãn caûnh A cuía giaï saïch træåïc khi råìi khoíi giaï? AÏp duûng bàòng säú: f = 0,2. Baìi giaíi: Giaí sæí hçnh truû bë nghiãng so våi phæång thàóng âæïng mäüt goïc α beï so våïi phæång thàóng âæïng vaì giaí sæí hçnh truû chæa træåüt trãn âiãøm nhoün A. Læûc taïc duûng lãn hçnh truû khi nàòm åí âiãøm nhoün A : aïp læûc N , læûc ma saït T , troüng læåüng mg . AÏp duûng âënh lyï âäüng læåüng cho hçnh truû: ma (C ) = N + T + mg ⎧−mRα 2 = N − mg cos α (1) Chiãúu lãn hai phæång N vaì T : ⎨ ⎩ mRα = −T + mg sin α (2) AÏp duûng âënh lyï momen âäüng læåüng cho hçnh truû âäúi våïi âiãøm A cäú âënh vaì chiãúu lãn truûc Az : J Aα = mgR sin α (3) ⊕ 1 3 Trong âoï : J A = mR 2 + J = mR 2 + mR 2 = mR 2 2 2 N 2 T Tæì (3) suy ra : mRα = mg sin α 3 α• C• 1 C Thay vaìo (2), suy ra : T = mg sin α A 3 A 3 Tæì (3) suy ra : mR 2αα = mgR sin α .α mg 2 Têch phán hai vãú theo α tæì α = 0 âãún α : 3 4 mR 2α 2 = − mgR (cos α − 1) ⇒ mRα 2 = − mg (cos α − 1) 4 3 1 Thay vaìo (1) : N = mg (7 cos α − 4) 3 Hçnh truû làn khäng træåüt taûi A nãúu nhæ : T ≤ fN nghéa laì : sin α ≤ f (7 cos α − 4) tæïc laì : α ≤ α 0 våïi sin α 0 ≤ f (7 cos α 0 − 4) 40
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học