- Trang Chủ
- Toán học
- Bài giảng Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên: Phần 1 - TS. Tô Văn Ban
Xem mẫu
- Ts t« v¨n ban
Bµi gi¶ng
X¸c suÊt thèng kª
Vµ
Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn
(Dành cho các lớp cao học kỹ thuật - HVKTQS)
PHIªn B¶N 09/05 - 12/05 - 08/06 - 11/06 - 20/03/07 - 15/05/07 - 10/7/2007 - 05/09/07
(Ch−a hoµn thiÖn)
Hµ néi - 2005 - 2006 - 2007
http://www.ebook.edu.vn
- M ỤC L ỤC
PhÇn –Ch−¬ng Néi dung trang
Môc lôc 2
Lêi nãi ®Çu 5
C¸c ký hiÖu hay sö dông 7
PhÇn I X¸c suÊt Thèng kª 9
Ch−¬ng I KiÕn thøc bæ sung vÒ x¸c suÊt 9
§1.1. C¸c biÕn ngÉu nhiªn quan träng 9
§1.1. BiÕn nhÉu nhiªn chuÈn 8
§1.2. VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn 11
§1.3. Më réng kh¸i niÖm mËt ®é ®èi víi BNN rêi r¹c 17
C©u hái vµ bµi tËp Ch−¬ng I 20
Ch−¬ng II
Ch−¬ng III §3.5.Sù héi tô cña d·y c¸c BNN 23
3.5.1. C¸c d¹ng héi tô 23
3.5.2. C¸c ®Þnh lý giíi h¹n 25
Ch−¬ng IV Lý thuyÕt −íc l−îng
PhÇn II Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn 32
Ch−¬ng V Nh÷ng kh¸i niÖm tæng qu¸t 32
§5.1. Më ®Çu 32
5.1.1. C¸c ®Þnh nghÜa 32
5.1.2. Ph©n lo¹i s¬ bé 33
5.1.3. VÝ dô vÒ QTNN 34
5.1.4. Hä c¸c ph©n bè h÷u h¹n chiÒu 35
§5.2. Mét sè líp c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn 36
5.2.1. Qu¸ tr×nh cÊp II 36
5.2.2. Qu¸ tr×nh sè gia ®éc lËp 38
5.2.3. Qu¸ tr×nh dõng (QT dõng theo nghÜa hÑp, dõng 39
theo nghÜa réng, dõng ®ång thêi)
5.2.4. Qu¸ tr×nh Gauss 45
§5.3.TÝnh chÊt ergodic vµ trung b×nh thêi gian 46
2
http://www.ebook.edu.vn
- 5.3.1. Giíi thiÖu 46
5.3.2. Ergodic kú väng 47
5.3.3. Ergodic ph−¬ng sai, tù hiÖp ph−¬ngsai, PS chÐo 50
5.3.4. C¸c lo¹i ergodic kh¸c 54
5.3.5. §o hµm t−¬ng quan 55
§5.4.Liªn tôc, ®¹o hµm, tÝch ph©n 57
5.4.1. Liªn tôc (theo x¸c suÊt, theo trung b×nh) 57
5.4.2. §¹o hµm (theo b×nh ph−¬ng trung b×nh) 59
5.4.3. TÝch ph©n (theo b×nh ph−¬ng trung b×nh) 61
§5.5.Hai QTNN quan träng 65
5.5.1. QT Poisson (®Þnh nghÜa, x¸c suÊt ®ång thêi n 65
chiÒu, hµm tù t−¬ng quan, d·y thêi ®iÓm ®Õn, x¸c
®Þnh c−êng ®é dßng ®Õn, c¸c biÕn thÓ, nhiÔu b¾n,
sinh c¸c quü ®¹o) 75
5.5.2. QT Wiener (®. nghÜa, c¸c tÝnh chÊt, sinh quü ®¹o) 74
5.5.3. Giíi thiÖu vÒ c¸c QTNN kh¸c 77
§5.6. Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn phøc 77
C©u hái lý thuyÕt vµ bµi tËp ch−¬ng V 79
Ch−¬ng VI Xö lý c¸c QTNN 86
§6.1.MËt ®é phæ c«ng suÊt 86
6.1.1. VÊn ®Ò nghiªn cøu QTNN trong miÒn tÇn sè 86
6.1.2. MËt ®é phæ c«ng suÊt 89
6.1.3. MËt ®é phæ c«ng suÊt chÐo 93
6.1.4. MËt ®é phæ c«ng suÊt cho QT thùc kh«ng dõng 95
6.1.5. MËt ®é phæ c«ng suÊt cho d·y ngÉu nhiªn 97
6.1.6. Mét sè m« h×nh nhiÔu (nhiÔu tr¾ng, nhiÔu nhiÖt, 99
nhiÔu tr¾ng th«ng d¶i, nhiÔu mµu, nhiÔu b¾n)
6.1.7. Phæ c«ng suÊt cña QTNN phøc 103
(VÝ dô: Phæ v¹ch, hiÖu øng Doppler)
§6.2.C¨n b¶n vÒ hÖ tuyÕn tÝnh 107
6.2.1. HÖ tuyÕn tÝnh tæng qu¸t 107
6.2.2. HÖ tuyÕn tÝnh bÊt biÕn theo thêi gian 109
6.2.3. HÖ nh©n qu¶ vµ hÖ æn ®Þnh 112
3
http://www.ebook.edu.vn
- 6.2.4. Tr−êng hîp hÖ rêi r¹c 113
§6.3. HÖ tuyÕn tÝnh víi ®Çu vµo ngÉu nhiªn 115
6.3.1. VÊn ®Ò ®Çu ra 115
6.3.2. C¸c ®Æc tr−ng x¸c suÊt cña QT ®Çu ra 117
6.3.3. §¸p øng hÖ LTI rêi r¹c víi ®Çu vµo ngÉu nhiªn 120
6.3.4. C¸c vÝ dô (HÖ lý tưëng, Läc bËc nhÊt, Trung b×nh 122
trưît, Phæ cña QT ®¹o hµm)
§6.4. Qu¸ tr×nh tù håi quy – trung b×nh ®éng 124
6.4.1. Qu¸ tr×nh tù håi quy AR 124
4.4.2. Qu¸ tr×nh trung b×nh ®éng MA 128
6.4.3. Qu¸ tr×nh ARMA 130
§6.5. Qu¸ tr×nh th«ng d¶i vµ ®iÒu chÕ 133
6.5.1. Qu¸ tr×nh th«ng d¶i 133
6.5.2. NhiÔu trong hÖ th«ng tin ®iÒu biªn AM 138
6.5.3. NhiÔu trong hÖ th«ng tin ®iÒu tÇn FM 142
§6.6. Läc phèi hîp 147
6.6.1. Tr−êng hîp tæng qu¸t 147
6.6.2. Läc phèi hîp cho nhiÔu mµu 148
6.6.3. Läc phèi hîp cho nhiÔu tr¾ng 149
§6.7. ¦íc l−îng tuyÕn tÝnh tèi −u 151
6.7.1. §Æt bµi to¸n 151
6.7.2. Bµi to¸n lµ tr¬n – Läc Wiener bÊt kh¶ thi 153
6.7.3. Läc Wiener kh¶ thi 155
C©u hái lý thuyÕt vµ bµi tËp Ch−¬ng VI 159
Chư¬ng VII Qu¸ tr×nh Markov
⎧ • XÝch Markov
(dù tr÷) ⎨
⎩ • Qu¸ tr×nh Markov víi thêi gian liªn tôc
PhÇn III Phô lôc A - Các bảng thống kê
Phô lôc B - PhÐp biÕn ®æi Fourier 171
B¶ng B-1 TÝnh chÊt cña phÐp biÕn ®æi Fourier 171
B¶ng B-2. CÆp phÐp biÕn ®æi Fourier 172
Tµi liÖu tham kh¶o 173
4
http://www.ebook.edu.vn
- Ch−¬ng 1. kiÕn thøc bæ Sung vÒ x¸c suÊt
§1.1.C¸c biÕn ngÉu nhiªn quan träng
1.1.1.BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c
Tªn KÝ hiÖu X¸c suÊt P {X = k} K× väng Ph−¬ng sai
NhÞ thøc B(n,p) Ck p k (1 − p) n −k ; k = 0,1,..., n
n np np(1-p)
λ k e −λ
Poisson P( λ ) ; k = 0,1,... λ λ
k!
1− p 1− p
k
H×nh häc G(p) p(1-p) ; k=0,1,2,... p p2
Siªu h×nh Ck Cn −kNp
Np N −
H(N,n,p) ; k = 0,1,..., n ........ .........
häc
Cn
N
C¸c luËt ph©n bè rêi r¹c kh¸c: ®Òu rêi r¹c, nhÞ thøc ©m,...
1.1.2BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc
Tªn KÝ hiÖu MËt ®é K× väng Ph−¬ng sai
1 a+b (b − a) 2
§Òu U([a;b]) ; a≤x≤b
b−a 2 12
Mò E( λ ) λ e − xλ ; λ ,x>0 1/ λ 1/ λ 2
C (α, β) Kh«ng tån
Cauchy β /[π(β2 + (x − α ) 2 )] Kh«ng tån t¹i
t¹i
1 ⎧ (x − m) 2 ⎫
⎪ ⎪
ChuÈn N(m, σ 2 ) exp ⎨−
2 ⎬
(σ > 0) m σ2
2πσ 2 ⎪
⎩ 2σ ⎪
⎭
λ r r
Gamma Γ(r, λ) (λx) r −1 e −λx ; λ, r, x > 0
Γ(r) λ λ2
Khi b×nh n x n
−1 −
ph−¬ng χ 2 (n) x 2 e 2 /(2 2 Γ(n / 2); x > 0, n = 1, 2,...
n 2n
Γ((n + 1) / 2)) x2 n
Student T(n) (1 + ) −(n +1) / 2 0
nπΓ(n / 2) n n−2
Fisher- n −2 n+m
F(n,m) − .......... ..........
Snecdecor Bx 2 (m + nx) 2 ; m, n, x > 0
1
−
W( α, λ ) λ−1 −αx λ α λ Γ(1 + 1/ λ )
Weibul αλx e ; α, λ , x > 0 ..........
LN(m, σ2 ) 1 ⎧ (ln x − m) 2 ⎫
⎪ ⎪ ⎧
⎪ σ2 ⎫
⎪
L«ga chuÈn x −1 exp ⎨− ⎬ ; σ, x > 0 exp ⎨m + ⎬ ……
2πσ 2 ⎪
⎩ 2σ 2 ⎪
⎭ ⎪
⎩ 2 ⎪
⎭
2 2 πb 4−π
Rayleigh (x − a)e− (x −a) / b , x ≥ a a+ b
b 4 4
http://www.ebook.edu.vn
- ∞
L−u ý: Γ(u) = ∫o t u −1e− t dt víi u>0 – hµm Gamma.
TÝnh chÊt: Γ(u + 1) = uΓ(u) ; Γ(n) = (n − 1)! ; Γ(1/ 2) = π .
C¸c luËt ph©n bè liªn tôc kh¸c: Bª ta, tam gi¸c,...
BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn rÊt quan träng ta dµnh ra 1 phÇn riªng.
§.1.2. BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn
1 ⎧ (x − m) 2 ⎫
⎪ ⎪
1.2.1.TÝnh chÊt hµm mËt ®é . f(x) = exp ⎨ − ⎬ (σ > 0)
2πσ 2 ⎪
⎩ 2σ 2 ⎪ ⎭
+Hµm mËt ®é x¸c ®Þnh trªn ¡ ;
+f(x) > 0: §å thÞ n»m trªn trôc hoµnh;
+Trôc Ox lµ tiÖm cËn ngang;
1
+Gi¸ trÞ cùc ®¹i , ®¹t ®−îc t¹i x = m;
2
2πσ
+§å thÞ ®èi xøng qua ®−êng th¼ng x=m, cã d¹ng h×nh chu«ng (H×nh 1.1).
1
2πσ2
O m x
H×nh 1.1. §å thÞ hµm mËt ®é cña ph©n bè chuÈn.
⎧E[X] = m;
⎪
1.2.2.C¸c tham sè ®Æc tr−ng ⎨ (1.1)
⎪
⎩ D[X] = σ2 .
Nh− vËy nhËn thÊy r»ng, chØ cÇn biÕt k× väng vµ ph−¬ng sai lµ cã thÓ biÕt
mËt ®é f(x) vµ do ®ã hoµn toµn biÕt vÒ ph©n bè chuÈn. Cßn cã thÓ tÝnh ®−îc
E[(X − EX)3 ]
+§é chÖch Skew(X) = = 0;
σ3
E[(X − EX) 4 ]
+§é nhän Kurt(X) = - 3 = 0. (1.2)
σ4
1.2. 3.Bnn chuÈn ho¸ (chuÈn t¾c).
X ®−îc gäi lµ biÕn nn chuÈn t¾c nÕu X ∼ N(0,1).Hµm mËt ®é cña nã cho bëi
http://www.ebook.edu.vn
8
- x2
1 −
ϕ(x) = e . 2 (1.3)
2π
§Æc ®iÓm : -Gi¸ trÞ cña ϕ(x) ®−îc lËp b¶ng víi x∈ {0;4];
-§å thÞ ®èi xøng qua trôc tung;
-Hµm ph©n bè t−¬ng øng
x t2
1 −
F(x) = ∫e 2 dt (1,4)
2π −∞
còng ®−îc lËp b¶ng. Tuy nhiªn, ®Ó tiÕt kiÖm b¶ng, thay cho F(x), ng−êi ta lËp
b¶ng gi¸ trÞ cña hµm Laplace:
2
x −t
1
Φ (x) = ∫e 2 dt, x∈ [0; 3]. (1.5)
2π 0
1
Víi x > 3, coi Φ (x) ≈ .
2
H×nh 1.2. §å thÞ hµm mËt ®é chuÈn ho¸ (a) vµ ®å thÞ hµm Laplace (b).
Khi cÇn tÝnh F(x) qua Φ (x) hay ng−îc l¹i, dïng c«ng thøc :
1
F(x) = + Φ (x). (1,6)
2
C«ng thøc sau rÊt cã Ých ®Ó tÝnh x¸c suÊt X n»m trªn ®o¹n nµo ®ã:
P {X ∈ [ a;b ]} = Φ (b) − Φ (a). (1,7)
1.2.4.BiÕn ®æi tuyÕn tÝnh bnn chuÈn.
+Cho X ∼ N(m, σ2 ) ⇒ ∀a, b ∈ ¡ , Y= a X+b cã ph©n bè chuÈn.
Tõ ®ã dÔ thÊy aX+b ∼ N(am+b, a 2 σ2 ).
X−m
+HÖ qu¶. X∼ N(m, σ2 ) ⇒ U = ∼ N(0,1). (1.8)
σ
http://www.ebook.edu.vn
9
- HÖ qu¶ nµy cho ta ph−¬ng ph¸p thuËn lîi ®Ó tÝnh P {X ∈[a;b]} :
⎧a − m X − m b − m ⎫ b−m a−m
P {X ∈ [ a;b ]} =P ⎨ ≤ ≤ ⎬ = Φ( ) − Φ( ). (1.9)
⎩ σ σ σ ⎭ σ σ
1.2.5.Ph©n vÞ .Ph©n vÞ chuÈn møc α , kÝ hiÖu U α , lµ gi¸ trÞ x¸c ®Þnh bëi
2
+∞ − t
1
P {U > U α } = α , víi U ∼ N(0,1) ⇔ ∫ e 2 dt = α . (1.10)
2π U
α
H×nh 1.3. Ph©n vÞ chuÈn møc α .
TÝnh chÊt: U1−α = − U α . (1.11)
⎧ U 0,10 = 1,280;
⎪ U 0,025 = 1,960;
⎨
Mét sè gi¸ trÞ ®Æc biÖt: ⎪ U 0,05 = 1,645;
⎩ U 0,01 = 2,326. (1.12)
L−u ý: NhiÒu tµi liÖu kh«ng lËp b¶ng cña U α mµ lËp b¶ng cña pα hoÆc u α
víi
{ }
P U < pα = α ; {
P U < uα = α . }
1.2. 6. Sai sè trung gian, d¹ng mËt ®é chuÈn dïng trong ph¸o binh.
( )
Cho X ∼ N m , σ2 , Uα lµ ph©n vÞ chuÈn møc α, ®Æt
L = σ U 0,25 = 0,6745 σ ;
ρ = U 0,25 / 2 = 0,4769 . (1.13)
Chóng ta cã thÓ viÕt l¹i hµm mËt ®é cña X d−íi d¹ng
ρ 2 (x − m)2 / L2
f (x) = e −ρ . (1.14)
πL
Râ rµng lµ , nÕu m = 0 th×
P {− L < X < L } = 0,5 . (1.15)
http://www.ebook.edu.vn
10
- Nh− vËy nÕu quan s¸t BNN chuÈn quy t©m nhiÒu lÇn th× cã kho¶ng 50% sè
lÇn BNN ®ã r¬i vµo kho¶ng (-L;L). ChÝnh v× thÕ, L ®−îc gäi lµ sai sè trung gian,
nã tØ lÖ víi ®é lÖch chuÈn. D¹ng mËt ®é (1.14) cña ph©n bè chuÈn hay ®−îc dïng
trong ph¸o binh.
1.2.7.Quy t¾c 2σ, 3 σ .
Cho X ∼ N(m, σ2 ), theo c«ng thøc (1.9) ta cã
⎧ ε X−m ε⎫ ε
P { X − m < ε} = P ⎨− < < ⎬ =2 Φ ( ) . (1.16)
⎩ σ σ σ⎭ σ
Thay ε = 1σ,2σ,3σ ta ®−îc
P { X − m < 1σ} = 2Φ (1) = 0,68268 ;
P { X − m < 2σ} = 2Φ (1) = 0,95450 ;
P { X − m < 3σ} = 2Φ (1) = 0,9973. (1.17)
C¸c x¸c suÊt 0,9545; 0,9973 lµ c¸c x¸c suÊt rÊt lín. Theo nguyªn lÝ x¸c suÊt
lín ta cã quy t¾c 2 σ,(3σ) sau ®©y:
Quy t¾c.NÕu BNN cã ph©n bè chuÈn th× hÇu nh− ch¾c ch¾n (®é tin cËy trªn
95%(trªn 99%)), BNN chØ sai lÖch víi gi¸ trÞ trung b×nh cu¶ nã mét l−îng kh«ng
qu¸ 2 σ(3σ) ).
1.2.8.TÝnh phæ cËp cña ph©n bè chuÈn. Thùc tÕ chóng ta rÊt hay gÆp ph©n bè
chuÈn. Së dÜ nh− vËy v× x¶y ra §Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m sau ®©y (xem môc
3.5.2d):
NÕu bnn X lµ kÕt qu¶ cña rÊt nhiÒu nguyªn nh©n, mçi nguyªn nh©n chØ cã
vai trß kh«ng ®¸ng kÓ ®Õn kÕt qu¶ cuèi cïng th× X cã ph©n bè rÊt gÇn ph©n bè
chuÈn.
§1.3.VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn.
1.3.1.VÐc t¬ k× väng, ma trËn t−¬ng quan, ma trËn hÖ sè t−¬ng quan
a)Tr−êng hîp 2 biÕn. XÐt 2 BNN X, Y b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch. M« men t−¬ng
quan (gèc) cña X vµ Y, kÝ hiÖu R XY , x¸c ®Þnh theo c«ng thøc
R XY = E[XY].
HiÖp ph−¬ng sai cña X vµ Y, kÝ hiÖu Cov(X,Y) x¸c ®Þnh bëi
Cov(X,Y) = E[(X − EX)(Y − EY)] .
Hai BNN X vµ Y ®−îc gäi lµ kh«ng t−¬ng quan nÕu
Cov(X,Y) = E[(X − EX)(Y − EY)] = 0 .
§iÒu nµy t−¬ng ®−¬ng víi
E[XY] = E[X] E[Y] .
Tr¸i l¹i, nÕu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra, X vµ Y ®−îc gäi lµ kh«ng t−¬ng quan.
http://www.ebook.edu.vn
11
- NÕu X vµ Y ®éc lËp th× chóng kh«ng t−¬ng quan. Ng−îc l¹i kh«ng ®óng:
Tån t¹i nh÷ng BNN X vµ Y kh«ng t−¬ng quan, song chóng kh«ng ®éc lËp.
§èi víi 2 BNN chuÈn X, Yth× X vµ Y ®éc lËp ⇔ X vµ Y kh«ng t−¬ng quan.
b) Tr−êng hîp t«ng qu¸t.
⎛ X1 ⎞
⎜ ⎟
Cho X = ⎜ ... ⎟ = (X1 ,...,X n )T lµ VTNN víi c¸c thµnh phÇn lµ nh÷ng BNN
⎜X ⎟
⎝ n⎠
b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch. §Æt
⎛ E[X1] ⎞ ⎛ m1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
m = E[X] = ⎜ ... ⎟ = ⎜ ... ⎟ - vÐc t¬ k× väng;
⎜ E[X ] ⎟ ⎜ m ⎟
⎝ n ⎠ ⎝ n⎠
Ma trËn t−¬ng quan cña X cho bëi
(
R = (R ij ) = E[X i X j ] . )
Râ rµng R ii = E[Xi2 ] .
Ma trËn hiÖp ph−¬ng sai cña X cho bëi
Σ = (Σij ) = Cov(X) = E[(X-m) (X − m)T ] . (1.18)
L−u ý:
σi2 = D[Xi ] = E[(Xi − mi ) 2 ] = Σii - ph−¬ng sai cña Xi .
Σij = E[Xi − mi )(X j − m j )] = Cov(Xi ,X j ) - hiÖp ph−¬ng sai cña Xi ,X j .
Cov(Xi ,X j ) E[(Xi − mi )(X j − m j )]
ρij = = - hÖ sè t−¬ng quan cña Xi ,X j .
D[Xi ]D[X j ] D[Xi ]D[X j ]
R = (ρij ) -ma trËn c¸c hÖ sè t−¬ng quan.
c)TÝnh chÊt 1) ρij ≤ 1, ∀i, j. (1.19)
2) NÕu c¸c thµnh phÇn X 1 ,...,X n ®éc lËp th× Xi ,X j kh«ng t−¬ng
quan vµ R= (R ij ) –ma trËn chÐo, (ρij ) -ma trËn ®¬n vÞ . Ng−îc l¹i kh«ng ®óng.
3) Σ vµ R ®èi xøng , x¸c ®Þnh kh«ng ©m.
1.3.2. VTNN chuÈn, c¸c tÝnh chÊt quan träng.
VTNN X= (X1 ,...,X n )T ®−îc gäi lµ VTNN chuÈn ( X gäi lµ cã ph©n bè
n
chuÈn trong ¡ ) nÕu tæ hîp tuyÕn tÝnh bÊt k× c¸c thµnh phÇn cña nã cã ph©n bè
chuÈn.
http://www.ebook.edu.vn
12
- Nãi c¸ch kh¸c, ∀ u1,...,un, BNN Y= u1X1 + ... + u n X n cã ph©n bè chuÈn.
HÖ qu¶. Tõng thµnh phÇn cña VTNN chuÈn lµ BNN chuÈn.
L−u ý: §iÒu ng−îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng: Tõng thµnh phÇn cña VTNN
X = (X1,...,X n )T lµ chuÈn ⇏ X = (X1,...,X n )T chuÈn.
B©y giê gäi m = E[X] lµ vÐc t¬ k× väng vµ Σ = Cov(X) lµ ma trËn hiÖp
ph−¬ng sai cña X (dÔ thÊy tån t¹i ), ph©n bè chuÈn ®−îc kÝ hiÖu bëi N(m, Σ ).
VTNN chuÈn X cã vÐc t¬ k× väng m vµ ma trËn hiÖp ph−¬ng sai Σ ®−îc kÝ hiÖu
bëi
X ∼ N(m, Σ ).
+ NÕu ®Þnh thøc cña Σ b»ng 0 th× VTNN chuÈn X ®−îc gäi lµ suy biÕn. §Æt
k = Rang(Σ) (h¹nh cña Σ ), tån t¹i kh«ng gian con k chiÒu cña ¡ n ®Ó chiÕu cña
X trªn kh«ng gian nµy lµ VTNN chuÈn kh«ng suy biÕn.
MÖnh ®Ò- ®Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ VTNN chuÈn víi ma trËn t−¬ng quan Σ .
NÕu det( Σ ) ≠ 0 th× X ®−îc gäi lµ VTNN chuÈn kh«ng suy biÕn vµ mËt ®é cña nã
cho bëi
1 ⎧ 1 ⎫
f(x)= n/2 1/ 2
exp ⎨ − (x − m)T Σ −1(x − m) ⎬ , x ∈ ¡ n . (1.20)
(2π) (det Σ) ⎩ 2 ⎭
Nh− vËy, vÐc t¬ gi¸ trÞ trung b×nh m vµ ma trËn hiÖp ph−¬ng sai Σ hoµn toµn
x¸c ®Þnh ph©n bè chuÈn; c¸c th«ng tin vÒ m« men cÊp cao h¬n lµ kh«ng cÇn thiÕt.
⎛ σ1 ⎞
⎜ ⎟
§Æt G =⎜ . ⎟
⎜ ⎟
⎝ σn ⎠
⎛1/ σ1 ⎞
⎜ ⎟
DÔ thÊy G −1 = ⎜ . ⎟ , víi σi = D[Xi ]
⎜ ⎟
1/ σn ⎠
⎝
L¹i ®Æt R = G −1ΣG −1 ;
DÔ thÊy Σ = GRG ; Σ −1 = G −1R −1G −1 ;
⎛ D11 ....D1n ⎞
1 ⎜ ⎟
R −1 = ⎜ .............. ⎟
det(R) ⎜ ⎟
⎝ D n1....D nn ⎠
trong ®ã Dij lµ phÇn phô ®¹i sè cña R ij trong ma trËn R. Thay vµo (1.20) ta ®−îc
http://www.ebook.edu.vn
13
- 1 ⎧ 1 n
⎪ x i − mi x j − m j ⎫
⎪
f(x) = exp ⎨− ∑ Dij ⎬. (1.21)
σ1...σn (2π) n / 2 (det R)1/ 2 ⎪ 2 i, j=1
⎩ σi σj ⎭ ⎪
MÖnh ®Ò . Cho X = (X1 ,...,X n )T : N(m, Σ) . Khi ®ã X1 ,...,X n lµ c¸c BNN
®éc lËp khi vµ chØ khi X1 ,...,X n kh«ng t−¬ng quan
⎛ σ1
2 ⎞
⎜ ⎟
( ⇔ Σ lµ ma trËn chÐo: Σ=⎜ . ⎟ )
⎜
⎜ ⎟
⎝ σ2 ⎟
n⎠
1.3.3.BiÕn ®æi tuyÕn tÝnh VTNN chuÈn.
MÖnh ®Ò. Cho X ∼ N(m, Σ ), A- ma trËn cÊp k × n tuú ý cßn b ∈ ¡ k bÊt k×.
⎧E[Y] = Am + b;
⎪
Khi ®ã VTNN Y=AX+b cã ph©n bè chuÈn trªn ¡ k víi ⎨ T
⎪Cov(Y) = AΣA .
⎩
HÖ qu¶. Gi¶ sö X∼N(m, Σ ) lµ VTNN chuÈn trong ¡ n . Khi ®ã tån t¹i ma
trËn trùc giao A sao cho
U = A(X-m) : N(0, D)
trong ®ã D lµ ma trËn chÐo, c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo chÝnh cña nã kh«ng ©m.
NÕu X kh«ng suy biÕn (det Σ ≠ 0 ) th× c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo chÝnh cña
D d−¬ng.
Chøng minh. Ta chøng minh cho tr−êng hîp det Σ ≠ 0 . Khi ®ã, Σ ®èi xøng,
x¸c ®Þnh d−¬ng, vËy tån t¹i ma trËn trùc giao F cã c¸c vÐc t¬ cét ei lµ c¸c vÐc t¬
riªng cña Σ víi c¸c gi¸ trÞ riªng λi t−¬ng øng sao cho
⎛ λ1 ⎞
⎜ ⎟
D = F−1ΣF−T = ⎜ . ⎟ (1.22)
⎜ ⎟
λn ⎠
⎝
lµ ma trËn chÐo. V× Σ x¸c ®Þnh d−¬ng nªn c¸c gi¸ trÞ riªng λi > 0 . §Æt A = F−1 th×
E[U] = 0 ; Cov(U) = E [FT (X − m)(X − m)T F] = FTΣF = D . (1.23)
Khi ®ã U lµ VTNN chuÈn, quy t©m, c¸c thµnh phÇn ®éc lËp.
Bëi v× mçi phÐp biÕn ®æi trùc giao chÝnh lµ mét phÐp quay trong ¡ n nªn ta cã
thÓ ph¸t biÓu hÖ qu¶ trªn b»ng lêi nh− sau:
§èi víi mçi VTNN chuÈn, ta cã thÓ dïng mét phÐp quay thÝch hîp ®Ó biÕn
nã thµnh VTNN chuÈn víi c¸c thµnh phÇn ®éc lËp.
http://www.ebook.edu.vn
14
- y
O
x
H×nh 1.4.§−êng ®ång møc cña mËt ®é chuÇn 2 chiÒu.
1.3.4. Mét sè BNN liªn quan ®Õn VTNN chuÈn.
MÖnh ®Ò. X1 ,...,X n ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(0,1) th×
Y = X1 + ... + X n : χ 2 (n) .
2 2
(1.24)
MÖnh ®Ò. U : N(0,1) , V : χ 2 (n) , U, V ®éc lËp th×
U
T= : T(n) . (1.25)
V/n
MÖnh ®Ò (Fisher). NÕu X = (X1 ,...,X n )T lµ VTNN n chiÒu sao cho c¸c
thµnh phÇn lµ nh÷ng BNN ®éc lËp, cïng ph©n bè chuÈn N(m, σ2 ) th× :
1 n 1 n
( )
a) X = ∑ Xi vµ S2 = ∑ Xi − X 2 lµ hai BNN ®éc lËp;
n i =1 n i =1
⎧ σ2
⎪X : N(m, );
⎪ n
b) ⎨ 2 (1.26)
2 n ⎛X −X⎞
⎪ nS 2
⎪ σ2 = ∑⎜ i ⎟ : χ (n − 1).
⎩ i =1⎝ σ ⎠
HÖ qu¶. X1 ,...,X n ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(m, σ2 ) th×
X−m
T= n : T(n-1). (1.27)
1 n
∑ (Xi − X)2
n − 1 i =1
1.3.5.Mét sè ph©n vÞ kh¸c.
2
a) χα (n) . Ph©n vÞ møc α cña ph©n bè “Khi b×nh ph−¬ng” víi n bËc tù do, kÝ
2
hiÖu lµ χα (n) , lµ gi¸ trÞ x¸c ®Þnh tõ biÓu thøc:
http://www.ebook.edu.vn
15
- { 2
}
P X > χα (n) = α , 0 < α t α (n)} = α , 0 < α < 1
trong ®ã T : T(n) .
TÝnh chÊt: * t1−α (n) = − t α (n) ;
* t α (n) ≈ U α víi n > 30.
2
Ng−êi ta lËp b¶ng gi¸ trÞ cña χα (n) vµ t α (n) víi nh÷ng gi¸ trÞ kh¸c nhau
cña α vµ n.
2 t α (n)
χα (n)
H×nh 1.5. Ph©n vÞ cña ph©n bè “Khi b×nh ph−¬ng”(a) vµ cña ph©n bè Student (b).
1.3.5.VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn 2 chiÒu.
Cho Z = (X,Y) lµ VTNN chuÈn 2 chiÒu (kh«ng suy biÕn) víi vÐc t¬ k× väng
⎛1 ρ ⎞
( )
T
m = m1, m 2 vµ ma trËn hÖ sè t−¬ng quan R = ⎜ . Theo c«ng thøc (1.21),
⎝ ρ 1⎟⎠
mËt ®é ®ång thêi cña Z cho bëi
f(x,y) =
⎧ ⎡⎛ x − m ⎞ 2 2 ⎫
1 ⎪ 1 ⎢⎜ x − m1 x − m 2 ⎛ x − m 2 ⎞ ⎤ ⎪
⎟ ⎥ ⎬ .(1.28)
exp ⎨− 1
⎟ − 2ρ +⎜
2πσ1σ2 1− ρ 2
⎪ 2(1 − ρ2 ) ⎢⎝ σ1 ⎠ σ1 σ2 ⎝ σ2 ⎠ ⎥ ⎪
⎩ ⎣ ⎦⎭
DÔ dµng tÝnh ®−îc
2
E[X1] = m; D[X] = σ1 ;
E[X2 ]= m; D[X] = σ2 ; ρXY = ρ.
2 (1.29)
§Æc biÖt, nÕu X vµ Y ®éc lËp ⇔ ρ = 0 (⇔ X vµ Y kh«ng t−¬ng quan), mËt ®é
®ång thêi cho bëi
http://www.ebook.edu.vn
16
- ⎧ ⎡⎛ ⎞ 2 ⎛ 2 ⎫
1 ⎪ 1⎢ x y − m2 ⎞ ⎤ ⎪
f(x,y) = exp ⎨ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥⎬ . (1.30)
2πσ1σ2 ⎪ ⎣2 ⎢⎝ σ1 ⎠ ⎝ σ2 ⎠ ⎥ ⎪
⎩ ⎦⎭
§èi víi m« men bËc cao chóng ta cã kÕt qu¶ quan träng sau ®©y:
NÕu (X, Y) lµ VTNN chuÈn quy t©m th×
E[X 2 Y 2 ] = E[X 2 ]E[Y 2 ] + 2E 2 [XY] . (1.31)
B©y giê chän X = Y : N(0, σ2 ) th× E[X 4 ] = 3σ4 vµ chóng ta nhËn ®−îc c«ng
thøc tÝnh ®é nhän (1.2).
1.3.6. MËt ®é chuÈn 2 chiÒu dïng trong ph¸o binh - ElÝp t¶n m¸t.
§Ó nghiªn cøu møc ®é t¶n m¸t cña ®¹n r¬i trªn mÆt ph¼ng n»m ngang, ng−êi
ta lËp hÖ trôc Oxy víi gèc O trïng víi môc tiªu (®iÓm ng¾m b¾n), trôc Ox lµ
h−íng b¾n. T−¬ng tù nh− (1.13) ®Æt
⎧L D = σ1U 0,25 = 0,6745σ1;
⎪
⎨ (1.32)
⎪L H = σ1U 0,25 = 0,6745σ2 .
⎩
§Þnh luËt t¶n m¸t kh¼ng ®Þnh r»ng, to¹ ®é ®iÓm ®¹n r¬i (X, Y) tu©n theo luËt
chuÈn víi hµm mËt ®é (1.30), m1 = m2 = 0. Cã thÓ viÕt l¹i mËt ®é nµy d−íi d¹ng
ρ2 ⎧ 2 ⎛ x2
⎪ y2 ⎞ ⎫⎪
f (x, y) = exp ⎨−ρ ⎜ 2 + 2 ⎟ ⎬ (1.33)
πL D L H ⎜L ⎟
LH ⎠ ⎭
⎪
⎩ ⎝ D ⎪
trong ®ã LD - sai sè trung gian vÒ tÇm, LH - sai sè trung gian vÒ h−íng .
§èi víi hÇu hÕt c¸c ph¸o th«ng dông, LD lín gÊp 10 ÷15 lÇn LH.
Elip t¶n m¸t (E) lµ elÝp cã c¸c b¸n trôc 4LD, 4LH (cã tµi liÖu ghi lµ LD, LH).
X¸c suÊt ®Ó ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) n»m ngoµi elip t¶n m¸t rÊt nhá, cã thÓ bá qua:
⎧⎛ X ⎞2 ⎛ Y ⎞ 2 2⎫
⎪ ⎪
P {( X, Y ) ∉ ( E )} = P ⎨⎜ ⎟ +⎜ ( )
⎟ ≥ 4U 0,25 ⎬ ≈ 0,025 . (1.34)
⎪⎝ σX ⎠ ⎝ σY ⎠
⎩ ⎪
⎭
Ng−êi ta chia (E) thµnh c¸c vïng víi tØ lÖ % xÊp xØ ®¹n r¬i vµo (H×nh 1.5);
nhê ®ã cã thÓ tÝnh dÔ dµng x¸c suÊt ®¹n r¬i vµo miÒn G cho tr−íc nµo ®ã.
y
LH
2 7 16 25 25 16 7 2
LD x
http://www.ebook.edu.vn
17
- H×nh 1.6 . Elip t¶n m¸t víi thang chia ®é.
⇓1.4. Më réng kh¸i niÖm mËt ®é ®èi víi BNN rêi r¹c.
+Chóng ta biÕt r»ng, nÕu X lµ BNN liªn tôc víi hµm ph©n bè F(x) vµ hµm
mËt ®é f(x) th×:
dF(x)
* f (x) = , x∈¡ ; (1.35)
dx
∞
* f (x) ≥ 0; ∫ f (x)dx = 1 ; (1.36)
−∞
b
* P {a ≤ X < b} = ∫ f (x)dx . (1.37)
a
+§Ó më réng kh¸i niÖm hµm mËt ®é cho BNN rêi r¹c tr−íc hÕt ta ®−a ra
hµm b−íc nh¶y ®¬n vÞ, ®ã lµ hµm:
⎧1 khi x ≥ 0;
u(x) = ⎨ (1.38)
⎩0 khi x < 0.
+Hµm delta. Hµm delta (cßn goÞ lµ hµm delta-Dirac) t¹i ®iÓm x 0 , kÝ hiÖu
δ(x − x 0 ) , lµ hµm suy réng, b»ng kh«ng víi x ≠ x 0 vµ b»ng v« h¹n t¹i x = x 0 :
⎧0 khi x ≠ x 0 ;
δ ( x − x0 ) = ⎨ (1.39)
⎩+∞ khi x = x 0 ,
vµ tho¶ m·n quan hÖ : Víi a < b,
b ⎧1 khi a ≤ x 0 < b;
∫ δ(x − x 0 )dx = ⎨0 khi x 0 < a hay x o ≥ b.
(1.40)
a ⎩
y y y
(a) (b) (c)
1 1 1
O x O x O x0 x
H×nh 1.7. Hµm b−íc nh¶y ®¬n vÞ(a), hµm delta (b) vµ hµm delta t¹i x 0 (c).
Mét ®Þnh nghÜa kh¸c cho hµm delta lµ
http://www.ebook.edu.vn
18
- 1 ∞ − jωx
δ(x) = ∫e dω . (1.41)
2π −∞
Hµm delta ®−îc thÓ hiÖn b»ng vÐc t¬ ®¬n vÞ //Oy (H×nh 1.7.). Nã cã thÓ coi
lµ ®¹o hµm cña hµm b−íc nh¶y ®¬n vÞ:
du(x) u(h) − u(k)
δ(x) = = lim (1.42)
dx k
- Câu hỏi Chương I
1.1 Nêu một số hiểu biết về biến ngẫu nhiên rời rạc.
1.2 Nêu một số hiểu biết về BNN liên tục, 4 luật phân bố liên tục.
1.3 BNN chuẩn: định nghĩa, tính chất hàm mật độ, các tham số đặc trưng, BNN
chuẩn tắc, biến đổi tuyến tính, phân vị U α .
1.4 BNN chuẩn: định nghĩa, sai số trung gian, dạng mật độ BNN chuẩn dùng
cho pháo binh, qui tắc 2 σ ,3 σ .
1.5 Véc tơ kỳ vọng, ma trận tương quan, ma trận hiệp phương sai của véc tơ
ngẫu nhiên n chiều; vài tính chất.
1.6 Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn: định nghĩa, tính chất.
1.7 Biến đổi tuyến tính VTNN chuẩn.
1.8 Một số biến ngẫu nhiên liên quan đến VTNN chuẩn.
2
1.9 Phân vị χα (n); t α (n) , véc tơ ngẫu nhiên chuẩn 2 chiều.
1.10 Mật độ chuẩn 2 chiều dùng trong pháo binh, elip tản mát.
1.11 Khái niệm mật độ với BNN rời rạc.
Bµi tËp ch−¬ng I.
1.1. Chøng tá r»ng nÕu
a) X : B(n, p) th× E[X] = np; D[X] =np(1-p).
b) X : P(λ ) th× E[X] = λ; D[X] = λ ;
c) X : G(P) th× E[X] =(1-p)/p .
a+b (b − a) 2
1.2. Chøng tá r»ng nÕu X : U [ a; b] th× E[X] = ; D[X] = .
2 12
1.3. Cho X : N(m, σ2 ) ; chøng tá r»ng E[X] =m.
1.4. Cho X : N(2, 9) . ViÕt ra hµm mËt ®é cña X vµ tÝnh c¸c s¸c suÊt
a) P {0 < X ≤ 1} ; b)P {1 ≤ X ≤ 4} .
1.5. Cho X : N(0,1) . T×m mËt ®é cña Y = 2X – 3. TÝnh E[Y], D[Y].
1.6. Cho X : N(0,1) .TÝnh P {X > 1, 645} ; P {X > 1,960} ; P { X > 1,960}.
1.7. ViÕt mËt ®é cña ph©n bè chuÈn, biÕt r»ng nã cã k× väng 0 vµ sai sè trung
gian 2. TÝnh P {−2 ≤ X ≤ 2} ; P {0 ≤ X ≤ 2} .
1.8. §−êng kÝnh cña viªn bi cã ph©n bè chuÈn víi trung b×nh 20 vµ ®é lÖch
chuÈn 0,5. Quy t¾c 2σ; 3σ kh¼ng ®Þnh cho ta ®iÒu g×?
1.9. Cho (X,Y) : N(0, ∑ ) .
⎛1 0⎞
a) Gi¶ sö ∑ = ⎜ ⎟ , kÕt luËn g× vÒ tÝnh ®éc lËp gi÷a X vµ Y?
⎝0 3⎠
⎛4 1⎞
b)Gi¶ sö ∑=⎜ ⎟ , t×m hÖ sè t−¬ng quan gi÷a X vµ Y.
⎝1 9⎠
http://www.ebook.edu.vn
20
- 1.10. Ma trËn nµo sau ®©y lµ ma trËn hiÖp ph−¬ng sai?
⎛2 0⎞ ⎛2 1⎞ ⎛2 1⎞ ⎛ −1 1⎞
a) ⎜ ⎟; b) ⎜ ⎟; c) ⎜ ⎟; d) ⎜ ⎟.
⎝0 1⎠ ⎝1 1⎠ ⎝0 1⎠ ⎝1 1⎠
1.11. Cho U=(X,Y,Z) : N(m, ∑ ) ,trong ®ã m = (0,1, 2)T ;
⎛1 0,5 0,5 ⎞
⎜ ⎟
∑ = ⎜ 0,5 1 0 ⎟.
⎜ 0,5 0 4⎟
⎝ ⎠
T×m ph©n bè cña T = X – 2Y + 3Z .
⎛X⎞ ⎛1 0,5 ⎞
1.12. Cho U = ⎜ ⎟ : N(0, ∑) , trong ®ã ∑ = ⎜ ⎟.
⎝Y⎠ ⎝ 0,5 1⎠
⎛ aX + bY ⎞
T×m VTNN d¹ng V=⎜ ⎟ sao cho 2 thµnh phÇn cña V, tøc lµ
⎝ cX + dY ⎠
aX+bY vµ cX+dY lµ 2 BNN ®éc lËp.
1.13. Cho X1 ,..., X10 lµ nh÷ng BNN ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(0,1).§Æt
2 2 2 2
X = X1 + ... + X5 ; Y = X1 + ... + X10 . T×m a, b ®Ó
P {X > a} = 0, 05; P {Y < b} = 0, 05 .
1.14. Gi¶ sö ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) cã ph©n bè chuÈn, trong ®ã ®é lÖch h−íng
X vµ ®é lÖch tÇm Y kh«ng cã sai sè hÖ thèng (tøc lµ k× väng 0), ®éc lËp, vµ cïng
®é lÖch chuÈn 4 mÐt. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ®¹n r¬i vµo vßng trßn t©m O b¸n kÝnh 3
mÐt.
1.15. Gi¶ sö ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) cã ph©n bè chuÈn, trong ®ã ®é lÖch h−íng
X : N(0, 4) , ®é lÖch tÇm Y : N(0, 5) , X vµ Y ®éc lËp. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ®¹n r¬i vµo
vßng trßn b¸n kÝnh 3 mÐt, t©m t¹i ®iÓm ng¾m b¾n..
1.16. ø¬c l−îng x¸c suÊt ®¹n tróng vµo xe t¨ng, biÕt r»ng ta ng¾m b¾n vµo
®iÓm gi÷a cña phÇn d−íi cña xÝch vµ sau khi vÏ xe lªn hÖ trôc víi elÝp t¶n m¸t th×
thu ®−îc h×nh vÏ sau ®©y.
y
LH
2 7 16 25 25 16 7 2
LD x
H×nh 1.9 . Xe t¨ng trong hÖ thèng elip t¶n m¸t .
http://www.ebook.edu.vn
21
- 1.17. Cho X : U[a; b] , tính P{ X − EX < 2σ} , P{ X − EX < 3σ} với
σ = DX ; so sánh với công thức (1.17).
1.18. Giả sử X : E(λ ) . Chứng tỏ rằng X là BNN “không có trí nhớ” theo
nghĩa
P{X > s + t | X > t} = P{X > s}, ∀t,s ≥ 0 .
1.19. Cho X : E(λ), Y : E( γ ) , X và Y độc lập. Chứng minh rằng X + Y
: E(λ + γ ) . Mở rộng kết quả sang trường hợp có nhiều biến ngẫu nhiên.
1.20. Biết rằng mật độ của BNN X có dạng
⎧kxe − x khi x ≥ 0
⎪
f (x) = ⎨
⎪0
⎩ x < 0.
a)Tìm hằng số k, Mod(X).
b)Tính E[X], E[X 2 ], D[X].
c)Tìm mật độ của BNN X.
2
ĐS. k = 1; Mod(X) = 1; E[X] = 2; E[X 2 ] = 6 ; f ( x) = 2x 3e − x .
X
1.21. VTNN (X, Y) có mật độ
⎧e− (x + y) khi x ≥ 0, y ≥ 0
⎪
f (x, y) = ⎨
⎪0
⎩ trai lai
a) Tìm mật độ biên f X (x), f Y (y) . Suy ra rằng X, Y là hai BNN độc lập.
b) Tìm mật độ của Z = X + Y.
c) Tìm mật độ của BNN X 2 .
1
ĐS. f X (x) = e − x , (x ≥ 0) ; f Z (x) = xe − x , (x ≥ 0) f (x) = e− x
, (x ≥ 0) .
X2 2 x
http://www.ebook.edu.vn
22
nguon tai.lieu . vn