1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Trường ĐH Hoa Sen

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Trường ĐH Hoa Sen

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 Biến ngẫu nhiên và qui luật phân phối xác suất, cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên; Qui luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên; Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên; Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc. Mời các bạn cùng tham khảo! 4/8/13 www.hoasen.edu.vn Chương 2: Biến ngẫu nhiên và Faculty of Science and Technology qui luật phân phối xác suất Thời lượng: 6 tiết uu Probability and Statistics 1 www.h

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 14

Ngày tạo 4/9/2023 12:58:51 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.80 M

Tên tệp

Tải Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Trường ĐH ... (.pdf)

Xem mẫu

  1. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn Chương 2: Biến ngẫu nhiên và Faculty of Science and Technology qui luật phân phối xác suất Thời lượng: 6 tiết uu Probability and Statistics 1 www.hoasen.edu.vn Nội  dung   1.  Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên 2.  Qui luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Faculty of Science and Technology 3.  Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 4.  Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc uu Probability and Statistics 2 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 1
  2. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn 1.  Định  nghĩa  và  phân  loại   Biến ngẫu nhiên (random variable): biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ với Ω là không gian mẫu, e là biến cố trong Ω . Faculty of Science and Technology •  Biến ngẫu nhiên là một hàm xác định trên không gian các biến cố sơ cấp ............ •  Biến ngẫu nhiên thường được kí hiệu: X, Y, Z,... hay A1, A2, ... Ta thường kí hiệu là ........... Biến ngẫu nhiên rời rạc: nếu là tập hữu hạn hay vô hạn đếm được thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable). Biến ngẫu nhiên liên tục: nếu là một khoảng hay một số khoảng hoặc toàn bộ tập số thực thì X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục (continuous random variable). uu Probability and Statistics 3 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 1.  Định  nghĩa  và  phân  loại  (8)   Ví dụ 1. Một sinh viên thi 7 môn trong một học kỳ. Gọi X: số môn sinh viên đó thi đậu. X có phải là một biến ngẫu nhiên? Faculty of Science and Technology 2. Một người hằng ngày đi làm bằng xe buýt và lên xe buýt tại trạm dừng A. Cách 10 phút là có 1 chuyến xe buýt đến trạm dừng A. Người này đến A vào một thời điểm bất kỳ giữa 2 chuyến xe. Gọi X: thời gian (phút) người đó phải chờ xe buýt. X có phải là biến ngẫu nhiên? uu Probability and Statistics 4 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 2
  3. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn 2.  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên   Cho X là biến ngẫu nhiên bất kỳ có tập giá trị là . Người ta gọi hàm là …………………………………… ……………….. ……………………… của biến ngẫu nhiên X nếu F được xác định bởi: Faculty of Science and Technology Định lý Cho X là biến ngẫu nhiên bất kỳ và F là hàm phân phối xác suất của nó. Khi đó uu Probability and Statistics 5 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 2.  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   Định nghĩa Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có . Người ta gọi bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là bảng có dạng: Faculty of Science and Technology X x1 x2 ... xn p(x) p(x1) p(x2) ... p(xn) Trong đó: Lưu ý uu Probability and Statistics 6 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 3
  4. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn 2.  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   Ví dụ Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm lấy được. X có là biến ngẫu nhiên? Faculty of Science and Technology Tìm bảng phân phối xác suất của X (nếu có) và tìm HD: X 0 1 2 p(x) 7/15 7/15 1/15 Kiểm tra lại ta thấy uu Probability and Statistics 7 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 2.  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   Ví dụ X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị 1, 2, hoặc 3. Giả sử: Faculty of Science and Technology p(1) = 1/2; p(2) = 1/3; a. Tìm xác suất p(3) b. Tìm hàm phân phối F của X uu Probability and Statistics 8 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 4
  5. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn 2.  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   Định nghĩa Cho biến ngẫu nhiên liên tục X. Người ta gọi f là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu: Faculty of Science and Technology Định lý Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x) và hàm phân phối . Khi đó ta có uu Probability and Statistics 9 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 2.  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   1. Khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thì hàm phân phối xác suất của X có thể được biểu diễn: Faculty of Science and Technology 2. Khi X là biến ngẫu nhiên liên tục thì uu Probability and Statistics 10 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 5
  6. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn 2.  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   Ví dụ 1. Tuổi thọ X (đơn vị: h) của một thiết bị có hàm mật độ xác suất: ⎧100 / x 2 x ≥ 100 f ( x ) = ⎨ ⎩0 x < 100 Faculty of Science and Technology a.  Tìm hàm phân phối xác suất của X b.  Tính tỉ lệ thiết bị loại A (tuổi thọ ít nhất 500h) HD: uu Probability and Statistics 11 Faculty of Science and Technology Probability and Statistic www.hoasen.edu.vn 2.  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   2. Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Xác suất để các máy bị hỏng trong một ngày làm việc tương ứng là 0,1; 0,2. Gọi X là số máy hỏng trong một ngày làm việc. Lập hàm phân phối của X. Faculty of Science and Technology X 0 1 2 p(x) 0,72 0,26 0,02 uu Probability and Statistics 12 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 6
  7. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn 2.  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   Faculty of Science and Technology uu Probability and Statistics 13 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 2.  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   Ta kí hiệu biến cố: {X < x}.{Y < y}= (X < x;Y < y) Định nghĩa Hàm phân phối xác suất đồng thời của X và Y là hàm được xác định như Faculty of Science and Technology sau: Hàm phân phối của X: Hàm phân phối của Y: uu Probability and Statistics 14 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 7
  8. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn 3.  Các  tham  số  đặc  trưng   Kỳ vọng Biến ngẫu nhiên X rời rạc Biến ngẫu nhiên X liên tục Faculty of Science and Technology X có bảng phân phối xác suất: X có hàm mật độ là f(x) X x1 x2 ... xn p(x) p(x1) p(x2) ... p(xn) Ý nghĩa của kỳ vọng EX Kỳ vọng là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên => nó phản ảnh Trường hợp vô hạn đếm được giá trị trung tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. Lưu ý E (X) = µ 15 uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 3.  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   Tính chất 1. EC = C (C là hằng số) 2. E ( aX ) = aE ( X ) Faculty of Science and Technology ⎧∑ u ( x i ) p ( x i ) ⎪⎪ i 4. E ⎡⎣ u ( x )⎤⎦ = ⎨+∞ ⎪ ∫ u ( x ) f ( x ) dx ⎪⎩−∞ ⎧∑∑ u ( x,y ) p ( x,y ) ⎪⎪ y x 5. E ⎡⎣ u ( x,y )⎤⎦ = ⎨ +∞ +∞ ⎪ ∫ ∫ u ( x,y ) f ( x,y ) dxdy ⎪⎩ −∞ −∞ uu Probability and Statistics 16 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 8
  9. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn 3.  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   Ví dụ 1. Tiếp theo ví dụ 2 (Slide 12) a.  Tìm số máy hỏng trung bình trong một ngày làm việc b.  Nếu mỗi lần hỏng phải sửa hết 1 triệu đồng thì số tiền sửa máy trung Faculty of Science and Technology bình trong một ngày làm việc là bao nhiêu? uu Probability and Statistics 17 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 3.  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   2. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: ⎧⎪2 / x 2 x ∈ [1;2] f ( x ) = ⎨ ⎪⎩0 x ∉ [1;2] Faculty of Science and Technology a. Tìm EX. 2 b. Tìm EY, biết Y = x5 − x HD: uu Probability and Statistics 18 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 9
  10. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn 3.  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   3. Cho biến ngẫu nhiên X có p(0) = 0,2; p(1) = 0,5; p(2) = 0,3. Tìm EX2. X   0   1   2   X2   0   1   4   Faculty of Science and Technology P(x)   0,2   0,5   0,3   ⎧⎪1 x ∈ [0;1] 4. Cho biến ngẫu nhiên X có f ( x ) = ⎨ Tìm EX3. ⎪⎩0 x ∉ [0;1] uu Probability and Statistics 19 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 3.  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   Phương sai Phương sai (variance) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu VarX, được định nghĩa như sau: Faculty of Science and Technology Trong tính toán ta thường dùng công thức: ⎧∑ xi 2 f ( xi ) ⎪⎪ i với EX 2 = ⎨+∞ ⎪ ∫ x 2 f ( x ) dx ⎪⎩−∞ uu Probability and Statistics Lưu ý 20 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 10
  11. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn 3.  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   Ý nghĩa •  Ta có X – EX là độ lệch giữa giá trị của X so với trung bình của X => phương sai là trung bình của bình phương độ lệch đó. Faculty of Science and Technology •  Phương sai đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình. •  Đơn vị đo của VarX bằng đơn vị đo của ……=> để so sánh đặc trưng về độ phân tán với các đặc trưng khác người ta thường dùng độ lệch chuẩn (standard deviation) của X, kí hiệu là và được xác định bằng công thức Tính chất (C là hằng số) uu Probability and Statistics 21 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 3.  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   Ví dụ 1. Năng suất của 2 máy tương ứng là các biến ngẫu nhiên X, Y (đơn vị: sản phẩm/giây). X và Y có bảng phân phối xác suất như sau: Faculty of Science and Technology X 1 2 3 4 f(x) 0,2 0,1 0,5 0,2 Y 2 3 4 5 f(x) 0,1 0,3 0,5 0,1 Nếu phải mua 1 trong 2 máy trên thì ta nên chọn mua máy nào? uu Probability and Statistics 22 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 11
  12. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn 3.  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   2. Trọng lượng của một loại linh kiện là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: g) có hàm mật độ xác suất: ⎧ 3 2 ⎪ x −2 x ∈ [ 2;3] ( ) Faculty of Science and Technology f ( x ) = ⎨16 ⎪0 x ∉ [ 2;3] ⎩ Hãy tìm trọng lượng trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của X. HD: uu Probability and Statistics 23 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 4.  Biến  ngẫu  nhiên  hai  chiều  rời  rạc   Cho 2 biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y có và Người ta gọi bảng phân phối xác suất của (X,Y) (bảng phân phối xác suất Faculty of Science and Technology đồng thời của X và Y) là bảng có dạng:                  Y   y1 y2 ... ym ∑ X x1   p11 p12 ... p1m p ( x1 )   x2 p21 p22 ... p2 m p ( x2 )     L L L L L L L L L xn pn1 pn 2 ... pnm p ( xn ) n m ∑ p ( y1 ) p ( y2 ) p ( ym ) ∑∑ p i =1 j =1 ij =1 là hàm mật độ xác suất rời rạc của (X,Y) uu Probability and Statistics 24 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 12
  13. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn 4.  Biến  ngẫu  nhiên  hai  chiều  rời  rạc  (8)   Ví dụ Giả sử có 3 pin mới, 4 pin cũ nhưng vẫn còn xài được và 5 pin đã hỏng. Chọn ngẫu nhiên 3 pin. Đặt X, Y là số pin mới, pin cũ trong số các pin được chọn. Khi đó Faculty of Science and Technology uu Probability and Statistics 25 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 4.  Biến  ngẫu  nhiên  hai  chiều  rời  rạc  (8)   Bảng phân phối xác suất của X và Y:                  Y   0             1 2 3 Tổng X Faculty of Science and Technology 0 10/220 40/220 30/220 4/220 84/220 1 30/220 60/220 18/220 0 108/220 2 15/220 12/220 0 0 27/220 3 1/220 0 0 0 1/220 Tổng 56/220 112/220 48/220 4/220 1 uu Probability and Statistics 26 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 13
  14. 4/8/13 www.hoasen.edu.vn Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn Bất đẳng thức Chebyshev Cho X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng là µ, phương sai σ2, với mọi k > 0 Faculty of Science and Technology Luật số lớn Cho họ biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, có kì vọng chung , với mọi ε > 0: P{|(X1 + X2 +…+ Xn)/n - µ| > ε} è 0 µ khi nè∞ Bất đẳng thức Markov Nếu X là biến ngẫu nhiên có giá trị không âm thì với mọi a > 0, ta có uu Probability and Statistics 27 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn (tt) Ví dụ Giả sử tổng sản phẩm sản xuất trong nhà máy trong 1 Faculty of Science and Technology tuần là biến ngẫu nhiên X có giá trị trung bình là 50. a. Có thể kết luận gì về xác suất để tổng sản phẩm trong nhà máy trong tuần này lớn hơn 75? b. Nếu phương sai của X là 25 thì có thể nói gì về xác suất để tổng sản phẩm trong tuần từ 40 đến 60 sản phẩm? uu Probability and Statistics 28 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 14
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học