- Trang Chủ
- Toán học
- Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Biến ngẫu nhiên và luật phân phối - GV. Lê Văn Minh
Xem mẫu
- Chương 2 2.1 Biến ngẫu nhiên (bnn)
2.1.1 Định nghĩa: Cho tnnn T , có không gian xác
suất Ω. Người ta gọi biến ngẫu nhiên là X ánh
xạ từ Ω→ .
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT - Nếu tập giá trị X(Ω) của X là hữu hạn hay vô
PHÂN PHỐI hạn đém đuợc thì X được gọi là biến ngẫu nhiên
rời rạc.
- Nếu tập giá trị X(Ω) của X là hay một
khoảng [a, b] của thì X được gọi là biến ngẫu
nhiên liên tục.
NỘI DUNG CHƯƠNG 2.1 Biến ngẫu nhiên
2.1 Mở đầu biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.1.1a Tung 2 đồng xu cân đối đồng chất.
2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và luật phân phối Nếu có 1 mặt H thì ta thắng 2 đồng và ta thua 1
2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và luật phân phối đồng khi có 1 mặt S. Gọi X là số tiền nhận được.
Khi đó:
Ω={SH, HS, HH, SS} và X(SH)=1, X(HS)=1,
X(HH)=4 và X(SS) = -2, i.e., X có 3 giá trị là: -2,
1, 4.
ThS Lê Văn Minh
1
- 2.1 Biến ngẫu nhiên 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc(bnnrr)
SS 2
SH 1 X : , X () {c1 , c2 ,..., cr }
Hay X : 2.2.1 Dãy ppxs: Cho bnnrr X(Ω) ={c1,..,cr}.
HS 1 Người ta gọi dãy ppxs của bnnrr X là dãy có dạng
HH 4 sau:
X c1 c2 …. cr
Ví dụ 2.1.1b Chọn ngẫu nhiên một hợp chất hóa (2.2.1)
pk p1 p2 …. pr
học và đo độ pH X của nó.
Khi đó: X là bnnlt vì mọi pH đều nằm [0,14] trong đó: pk=P(X=ck)
2.1 Biến ngẫu nhiên 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc
2.1.2 Hàm phân phối xác suất 2.2.2 Kỳ vọng của bnnrr: Cho bnnrr X có dãy ppxs
Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên X. Người ta gọi như trên. Người ta gọi kỳ vọng của bnnrr X là giá trị
hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là trung bình được xác định bởi
r
hàm F được xác định bởi: EX c1 p1 c2 p2 cr pr ck pk (2.2.2)
k 1
F ( x ) P ( X x ), x (2.1.1) Ví dụ 2.2.1. Gọi tnnn T là tung đồng xu cân bằng
một lần. Gọi X là số lần được mặt H trong một lần
tung.
a) Hãy lập dãy ppxs của X. b) Tính kỳ vọng của X
2
- 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc
Giải 2.2.3 Phương sai của bnnrr: Cho bnnrr X có dãy
a) Gọi: X = ”Số lần được mặt H trong 1 lần ppxs như 2.2.1 và kỳ vọng EX . Phương sai của
tung”. Thì X là bnnrr và chỉ nhận một trong hai bnnrr X là số đo độ phân tán xung quanh kỳ vọng
giá trị là 0 và 1. X = 0,1. và được xác định bởi
Bảng ppxs của tnnn: VarX c1 p1 c2 p2 cr2 pr (EX )2
2 2
(2.2.3)
T S H Ví dụ 2.2.2:
pk 1/2 1/2 Giả thiết như Ví dụ 2.2.2a). Tìm phương2sai của X.
1 1 1 1
VarX c12 p1 c2 p2 02 12
2
2 2 2 4
ThS Lê Văn Minh
2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc
Ta có: p1=P(X=0) = P(S) =1/2 Ví dụ 2.2.3: Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 3 sp tốt và
2 sp xấu. Kiện 2 có 2 sp tốt và 3 sp xấu. Lấy nn từ
p2=P(X=1) = P(H) =1/2
kiện 1 ra 2 sp và từ kiện 2 ra 1 sp. Luật ppxs của sp
Dãy ppxs của bnnrr X: tốt trong 3 sp lấy ra.
X 0 1 Giải
pk 1/2 1/2 Gọi Ai=“lấy được i sp tốt từ kiện 1”, i=0,1,2.
b) Kỳ vọng EX = c1p1+c2p2 = 0.1/2 + Bi=“lấy được i sp tốt từ kiện 2”, i=0,1.
1.1/2=1/2 X =“Số sp tốt trong 3 sp lấy ra”
3
- 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ý nghĩa của kỳ vọng và phương sai
Ta thấy X là bnnrr, X=0,1,2,3 2 1
Kỳ vọng là số trung bình theo xác suất của tất cả
C2 C3
P ( X 0) P ( A0 B0 ) P( A0 ).P( B0 ) 2
1 0, 06 các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên.
C5 C5
P( X 1) P ( A1 B0 A0 B1 ) P ( A1 B0 ) P( A0 B1 ) Giá trị của phương sai biểu thị độ tập trung hay
1 1 1
C3 .C2 C3 C2 C2 2 1 phân tán của các giá trị biến ngẫu nhiên xung
1 1 0, 4 quanh giá trị trung bình của nó. Nếu VarX lớn thì
C52 C5 C52 C5
P ( X 2) P ( A1 B1 A2 B0 ) 0, 42 các giá trị của X phân tán nhiều. NếuVarX nhỏ thì
P ( X 3) P ( A2 B1 ) 0,12 các giá trị của X tập trung gần giá trị trung bình.
X 0 1 2 3
Dãy ppxs của X:
πi 0,06 0,4 0,42 0,12
2.2.4 Tính chất kỳ vọng và phương sai Ý nghĩa của kỳ vọng và phương sai
Định lý 2.2.1: Cho X, Y là các bnn. Khi đó: - Trong Công nghiệp, nếu X là kích cỡ nào đó
1. EC C , C const thì VarX biểu thị độ chính xác ứng với kích cỡ
2. E (CX ) C.EX , C const đó của sản phẩm.
3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) - Trong chăn nuôi, với X là mức độ tăng trưởng
4. X Y E ( X ) E (Y ) (2.2.4) thìVarX thể hiện độ tăng trưởng đồng đều của
5. VarC 0, C const loài.
6. Var (C X ) VarX , C const - Trong trồng trọt, nếu X là năng suất thì VarX
7. Var (CX ) C 2VarX , C const biểu thị mức độ ổn định năng suất.
4
- 2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức 2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức
Cho tnnn T. Gọi ω1=“thành công”, ω2=“thất bại”. Định lý 2.2.2: Cho X~b(n; p). Khi đó:
p=P(ω1), q =P(ω2)=1- p. EX np; VarX npq,(q 1 p) (2.2.5)
Thí nghiệm này gọi là phép thử Bernoulli.
Ví dụ 2.2.5: Cho một thùng đựng 16 trái táo,
Định nghĩa: Xét phép thử Bernoulli, và thực hiện trong đó có 4 trái táo tốt và 12 táo hư. Rút ngẫu
lại phép thử n lần độc lập. Đặt X=“số lần thành nhiên lần lượt 25 trái táo (rút có hoàn lại).
công trong n thí nghiệm”. Người ta gọi X là bnn a) Tìm xác suất để rút đúng một trái táo tốt
nhị thức và kí hiệu: X~b(n;p). b) Tìm xác suất để rút không quá 7 trái táo tốt.
ThS Lê Văn Minh
2.2.3 Biến ngẫu nhiên nhị thức 2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức
Ví dụ 2.2.4 Gọi ω1=“trai”, ω2=“gái”. Giải
X = “số lần sinh trai trong n lần sinh”. Đặt ω1=“táo tốt”, ω2=“táo hư”. X =“Số lần rút
Ta có: p =P(ω1)=1/2. q = P(ω2)=1-1/2 =1/2. được táo tốt trong 25 lần rút”. Ta có:
→X~b(n;1/2) 4 1 12 3
P (1 ) ; P (2 )
Định nghĩa: Cho X~b(n;p). Khi đó 16 4 16 4
Do rút có hoàn lại và các lần rút độc lập nên
k P(X k) Cn pkqnk , k 0,.., n
k
(2.2.4) X~b(25;1/4).
5
- 2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức 2.2.6 Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson
a) Gọi A=“Rút được đúng 1 trái táo tốt”={X=1}. Ví dụ 2.2.6: Xét số người đến siêu thị trong 1
13
251
25! 1 3
24
tháng. Gọi X =“Số người đến siêu thị trong 1
P( A) P( X 1) C25
1
0, 006
44 24! 4 4 ngày”
b) Gọi B=“Rút được ≤ 7 trái táo tốt” Ta thấy X=0,1,2…. Ta không đoán biết chính xác
={X ≤ 7} = {X=0}U{x=1}U…U{x=7} một ngày nào đó có bao nhiêu người đến. Nhưng ta
Vì các biến cố xung khắc nên: biết được số người TB đến siêu thị trong 1 ngày,
chẳng hạn: λ=100
P( B) P ( X 0) P( X 1) P ( X 7)
0 25 24 7 18
Khi đó: X~P0(100).
0 1 3 1 1 3 7 1 3
C25 C25 C25 0, 7
4 4 4 4 4 4
2.2.6 Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson 2.2.6 Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson
Định nghĩa 2.2.3: Biến ngẫu nhiên rời rạc X, nhận Định lý 2.2.4a: Cho X~P0(λ), (λ > 0). Khi đó:
các giá trị X =0, 1, 2, …,n,…với xác suất như sau
EX ; VarX (2.2.7)
e k
P( X k ) , k 0,1, 2,...; 0 (2.2.6)
k! Định lý 2.2.4b: Cho X là bnn nhị thức, X~b(n;p).
được gọi là bnn có phân phối Poisson, kí hiệu: Giả sử n lớn và np = λ. Khi đó: X là biến ngẫu
X~P0(λ). nhiên có phân phối Poisson với tham số λ , i.e.,
X~P0(λ).
Chú ý: Nên dùng đlý khi n≥100, p≤0,01, np≤20
6
- 2.2.6 Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội
Ví dụ 2.2.7 Trong một lô thuốc, tỷ lệ thuốc hỏng Ví dụ 2.2.8 Người ta chọn một hội đồng chấm thi
p =0,003. Kiểm tra 1000 ống. Tính xác suất để gồm 3 người từ 5 nhà Vật lý và 4 nhà Toán học.
gặp 3 ống bị hỏng. Hãy tìm xác suất để có đúng một nhà Toán học
Giải trong hội đồng này?
Gọi X số ống thuốc hỏng trong 1000 ống ktra. Giải
Đây là phép thử Benoulli với p=0,003; n=1000. Đặt X=“Số nhà Toán học trong hội đồng được
X~b(1000; 0,003).Khi đó: X~P0(3) chọn ra “, thì X H (9; 4;3), N 9, M 4, n 3
3e 33 e3
P( X 3) 0,224
3! 3!
ThS Lê Văn Minh
2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội
Định nghĩa: Cho tập hợp có N phần tử, trong đó có A=“Có đúng 1 nhà Toán học trong HĐ”={X=1}.
M phần tử loại A. Lấy ngẫu nhiên từ tập này n C4 C52 10
1
phần tử (lấy không hoàn lại). Đặt X=“Số phần tử P ( A) P{ X 1} 3
048
C9 21
loại A trong n phần tử lấy ra”. Người ta gọi X là
biến ngẫu nhiên siêu bội, kí hiệu: X~H(N;M,n) và Định lý 2.2.5a: Cho X~H(N; M; n). Khi đó:
M M M N n
C k C nk EX n ; VarX n 1 (2.2.8)
N N N N 1
P{ X k} M nN M , k 0,1,..., n (2.2.8)
CN
7
- 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội
Định lý 2.2.5b: Cho X~H(N; M; n). Nếu N lớn và Cách khác: Vì N=5000 rất lớn và n=10
- 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục
Người ta gọi hàm mật độ xác suất của bnnlt X là Định lý 2.3.1 (tt)
hàm số f ( x ) 0, x
vi ) f ( x) F ( x), taï i x laø ñieå m lieâ n tuï c cuû a f ( x)
sao cho:
n
x vii ) f ( x)dx 1 , k 1
F ( x)
f (t )dt (2.3.2)
b
k 1
viii ) f ( x)dx F (b) F (a)
a
2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục Ý nghĩa hình học của hàm mđxs
Định lý 2.3.1: Cho bnnlt X, có hàm ppxs F(x) và Xác suất để bnn X có giá trị trong khoảng (x1,x2) là
hàm mđxs f(x) . Khi đó diện tích giới hạn bởi: f(x), x=x1, x=x2 và Ox
i) 0 F ( x) 1, x
ii) Neá u a b thì F (a) F (b) f(x) x2
iii ) P{a X b} F (b) F (a) (2.3.3) P ( x1 X x2 ) f ( x)dx
x1
iv) lim F ( x) 0; lim F ( x) 1
x x
x1 x2 x
v) P{ X C} 0, C const
ThS Lê Văn Minh
9
- Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục
Kỳ vọng Phương sai
Định nghĩa 2.3.2a: Cho bnnlt X, có hàm ppxs F(x) Định nghĩa 2.3.2b: Cho bnnlt X có hàm ppxs F(x),
và hàm mđxs f(x) . Nguời ta gọi kỳ vọng của bnnlt hàm mđxs f(x) , kỳ vọng E(X). Người ta gọi
X là giá trị trung bình theo xác suất xác định bởi: phương sai của bnnlt X là số đo độ phân tán xung
quanh giá trị kỳ vọng và được xác định bởi
E( X ) xdF ( x)= xf ( x)dx
(2.3.4) VarX E ( X EX )2
( x EX ) dF( x ) = ( x EX )
2 2
f ( x )dx (2.3.5)
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên g(X) hay
2
E g ( X ) g ( x) f ( x)dx (2.3.4)
VarX EX 2 ( EX )2 x f ( x )dx xf ( x )dx
2
(2.3.5)
Trường hợp g(X) = X2 thì
Độ lệch chuẩn: X VarX
EX 2 x (2.3.4)
2
f ( x)dx
10
- 2.3.1 Biến ngẫu nhiên liên tục có pp đều 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là bnnlt có Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là
phân phối đều trên [a, b] nếu hàm mđxs của X có bnnlt có phân phối chuẩn với hai tham số μ và
dạng σ2>0, ký hiệu: X~N(μ,σ2) nếu X có hàm mật độ
1
neá u x [a, b] ( x )2
f ( x) b a 1
0 neá u x [a, b] f ( x) e 2 2
, ( x )
2
ThS Lê Văn Minh
2.3.1 Biến ngẫu nhiên liên tục có pp đều 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Định lý 2.3.1b: Cho X là bnnlt có phân có phân Đồ thị hàm mật độ của bnn có pp chuẩn
phối đều trên [a,b] . Khi đó
ab ( a b) 2
EX , VarX (2.3.6)
2 12
μ = 4 và σ2 =9
11
- 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Định lý 2.3.2a: Cho X~N(μ,σ2). Khi đó Định lý 2.3.2c: Cho Z ~N(0, 1), có hàm pp chuẩn
tắc Ф(x). Khi đó:
EX , VarX 2 (2.3.7) i ) P{a Z b} (b) ( a ) (2.3.8)
Định lý 2.3.2b: Cho X~N(μ,σ2) và Y =aX +b, (a, b ii ) ( x ) 1 ( x )
=const). Khi đó: trong đó: giá trị Ф(x) tra bảng pp chuẩn tắc.
Y ~ N ( a b; a )2 2
2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Cho X~N(μ,σ2). Người ta gọi biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.3.2a: Cho Z~N(0, 1). Tính P 1/ 2 Z 1
X
Z
là bnn chuẩn tắc, ký hiệu: Z~N(0,1) Giải
P 1/ 2 Z 1 (1) (1/ 2) (1) [1 (1 / 2)]
Hàm mật độ của bnn chuẩn tắc:
x 2 (1) (1 / 2) 1
1
( x) e 2 0,8413 0, 6914 1 0,532
2
Định lý 2.3.2d: Cho X~N(μ,σ2). Khi đó
Hàm pp chuẩn tắc: c
i ) P{ X c}
x
1
x
t2
( x) (t )dt 2
e 2
dt b
ii ) P a X b
a
(2.3.9)
12
- 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Ví dụ 2.3.2b: Cho X~N(-2, 9). Tính P(X ≤ 1) và Hệ quả 1:
P(-8 ≤ X ≤ 1).
X np
P a b (b) (a ) (2.3.11)
Giải
npq
1 (2) Hệ quả 2:
P{ X 1} (1) 0,841 x2
3 1 1 2k k np
P{ X k } e , xk , k 0,1, 2,...
1 (2) 8 (2) npq 2 npq
P{8 X 1} (1) ( 2)
3 3 (2.3.12)
(1) [1 (2)] (1) (2) 1
0,841 0,977 1 0,818
2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Định lý 2.3.2e: (Định lý giá trị trung tâm dạng De Ví dụ 2.3.2c Trong một thí trấn có 40% số dân là
Moire - Laplace) nghiện thuốc lá. Chọn 300 người dân để phỏng vấn
Cho X là bnn nhị thức X~b(n;p) và Z là bnn chuẩn (chọn một cách độc lập). Hãy tìm xác suất để:
tắc Z~N(0;1). Khi đó: a) Có không quá 140 người nghiện thuốc lá
b) Số người nghiện thuốc lá nằm trong khoảng từ
X np
lim P x ( x) (2.3.10) 100 đến 140 người
n
npq
Giải
13
- 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Gọi ω1=“nghiện”, ω2=“không nghiện” Khi đó: P ( B ) P{100 X 140}
→p=P(ω1)=4/10, q=P(ω2)=1-p=6/10. 100 120 X 120 140 120
P
8,5 8,5 8,5
Gọi X=“Số người nghiện trong 300 người được
phỏng vấn”. Do số lần thí nghiệp là độc lập nên X 120
P 2,35 2,35
8,5
X~b(300;4/10).
(2,35) (2,35)
a)
2 (2,35) 1 2.0,9906 1 0,9812
Đặt A=“Không quá 40 người nghiện”={X≤40}
2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2.3.3 Luật phân phối Chi bình phương
X np 140 np
Khi đó P ( A) P{ X 140} P Cho Xi~N(0;1), i=1,..,n và các Xi là các bnn độc
npq
npq lập.
n
X 120
P
2,35 (2,35) 0,9906 Đặt: Z X i2
8,5 i 1
b) Gọi B=“Số người nghiện từ 100 đến 140 khi đó người ta nói Z tuân theo luật pp chi bình
người”. phương với n bậc tự do. Kí kiệu: Z ~ χ2(n)
14
- 2.3.3 Luật phân phối chi bình phương 2.3.4 Luật phân phối Student
Hàm mật độ xs của bbnn chi bình phương Tính chất:
n
1
x Cho T~t(n). Khi đó
, x0
f ( x) Cx .e
2 2
n
0 , x0 E(T ) 0, VarT
n2
với
1
x
1 x
C ; ( ) e dx, ( 0)
(n / 2).2n /2 0
Tính chất: Nếu Z ~ χ2(n) thì
EZ=n và VarZ =2n
ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh
2.3.4 Luật phân phối Student
Cho 2 bnn độc lập X~N(0,1) và Y~ χ2(n). Đặt
X
T
Y /n
Khi đó ta nói T tuân theo luật pp Student với n bậc
tự do và kí hiệu: T~t(n).
Hàm mật độ xs của bnn Student:
n 1 n 1
x2 2
2
f ( x) C 1 với C
n n (n / 2)
15
nguon tai.lieu . vn