Xem mẫu
- www.hoasen.edu.vn
Chương 1: biến cố ngẫu nhiên
Faculty of Science and Technology
và xác suất của biến cố
Thời lượng: 12 tiết
uu Probability and Statistics 1
www.hoasen.edu.vn
Nội dung
1. Ôn tập đại số tổ hợp
2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố
Faculty of Science and Technology
3. Xác suất của biến cố
4. Các định lý và công thức xác suất
uu Probability and Statistics 2
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
1
- www.hoasen.edu.vn
1. Ôn tập đại số tổ hợp – QT cộng
Để làm một công việc A có hai khả năng: khả năng thứ nhất có m
cách thực hiện; khả năng thứ hai có n cách thực hiện. Hỏi có bao
nhiêu cách để thực hiện công việc A?
Faculty of Science and Technology
Có m + n cách thực hiện công việc A.
Ví dụ
Có 12 nữ sinh và 4 nam sinh. Chọn một sinh viên bất kỳ. Có bao nhiêu
cách chọn?
Qui tắc này cũng đúng cho trường hợp công việc có nhiều hơn 2 giai đoạn.
uu Probability and Statistics 3
www.hoasen.edu.vn
1. Ôn tập đại số tổ hợp – QT nhân
Để thực hiện một công việc có hai giai đoạn A và B: giai đoạn A có
m cách thực hiện; giai đoạn B có n cách thực hiện. Hỏi có bao nhiêu
cách để thực hiện công việc?
Faculty of Science and Technology
Ứng với mỗi cách của giai đoạn A, ta có n cách thực hiện ở giai
đoạn B.
uu Probability and Statistics 4
2
- www.hoasen.edu.vn
1. Ôn tập đại số tổ hợp – QT nhân
Ví dụ
Nhóm nhảy có 5 nam và 4 nữ. Chọn 1 đôi nhảy (1 nam và 1 nữ). Hỏi đó
Faculty of Science and Technology
có bao nhiêu cách chọn?
Qui tắc này cũng đúng cho trường hợp công việc có nhiều hơn 2 giai
đoạn.
uu Probability and Statistics 5
www.hoasen.edu.vn
1. Ôn tập đại số tổ hợp – chỉnh hợp
Ví dụ
Có 3 bức tranh khác nhau cần treo lên 5 cái móc trên tường. Có bao
Faculty of Science and Technology
nhiêu cách treo (mỗi móc chỉ treo tối đa một bức tranh)?
Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (chỉnh hợp n chập k) là một cách
lấy k phần tử khác nhau (có kể thứ tự, trật tự sắp xếp,...) từ n phần tử
khác nhau.
Số chỉnh hợp:
uu Probability and Statistics 6
3
- www.hoasen.edu.vn
1. Ôn tập đại số tổ hợp – tổ hợp
Một tổ hợp chập k của n phần tử (tổ hợp n chập k) là một cách lấy k
phần tử khác nhau (không kể thứ tự, trật tự sắp xếp,...) từ n phần tử
khác nhau.
Faculty of Science and Technology
Số tổ hợp:
Ví dụ
Một lớp học có 60 sinh viên. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự:
a. Gồm 4 người ?
b. Một lớp trưởng, một lớp phó, một thư ký và một thủ quỹ?
uu Probability and Statistics 7
www.hoasen.edu.vn
1. Ôn tập đại số tổ hợp – hoán vị
Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp n phần tử đó
theo một thứ tự xác định.
Hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp với …...
Faculty of Science and Technology
Số hoán vị:
Ví dụ
Có bao nhiêu cách sắp 7 người ngồi vào:
a. Một bàn dài ?
b. Một bàn tròn ?
c. Một bàn tròn có đánh số thứ tự ?
uu Probability and Statistics 8
4
- www.hoasen.edu.vn
1. Ôn tập đại số tổ hợp
TH1: không kể đến thứ tự =>
TH2: có kể thứ tự:
2.1. k = n =>
Faculty of Science and Technology
2.2. k < n =>
Bài tập
Một mã số sinh viên (MSSV) có 4 số. Ví dụ: 0000,0001,0112,...
a. Có bao nhiêu MSSV có thể được tạo ra?
b. Có bao nhiêu MSSV gồm 4 chữ số khác nhau?
c. Có bao nhiêu MSSV gồm 4 chữ số giống nhau?
uu Probability and Statistics 9
www.hoasen.edu.vn
2.
Phép
thử
ngẫu
nhiên
và
các
loại
biến
cố
Phép thử ngẫu nhiên (phép thử): là việc thực hiện một thí nghiệm,
thực nghiệm hay quan sát một hiện tượng nào đó trong tự nhiên với một
số điều kiện nhất định. Hiện tượng ……… hay ……… xảy ra trong một
Faculty of Science and Technology
phép thử được gọi là …… ngẫu nhiên. Nó có thể dẫn đến kết cục này
hoặc kết cục khác (ít nhất là 2 kết cục). Và việc làm này có thể thực hiện
bao nhiêu lần cũng được.
Ví dụ
Trong xã hội, hiện tượng bà mẹ sinh con là một thí nghiệm ngẫu nhiên?
uu Probability and Statistics 10
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
5
- www.hoasen.edu.vn
2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại
biến cố (tt)
Không gian mẫu:
Ví dụ
Faculty of Science and Technology
Giới tính của một đứa trẻ
Kết quả của một cuộc đua của 7 con ngựa
Kết quả của việc tung một con xúc xắc
Biến cố: là …………của không gian mẫu (các kết cục của phép thử
ngẫu nhiên)
uu Probability and Statistics 11
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại
biến cố (tt)
Có 3 loại biến cố: biến cố ngẫu nhiên, biến cố chắc chắn và biến cố
không thể có.
Biến cố ngẫu nhiên (random event):
Faculty of Science and Technology
Biến cố chắc chắn (sure event/certain event):
Biến cố không thể có (null event/imposible event):
Ví dụ
Gieo một con xúc sắc đồng chất, cân đối, có các mặt được đánh số là:
1,2,3,4,5,6. Gọi A = “xuất hiện mặt có số nhỏ hơn 7”
B = “xuất hiện mặt có số lớn hơn 6”
C = “xuất hiện mặt có số là số lẻ”
………………
uu Probability and Statistics 12
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
6
- www.hoasen.edu.vn
2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại
biến cố (tt)
Biến cố tổng (hội, union): biến cố C được gọi là tổng (hội) của 2 biến
cố E và F, nếu ………….. biến cố E …… F xảy ra thì C xảy ra khi thực
hiện phép thử. Kí hiệu ………. hay
Faculty of Science and Technology
E và F đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thử được không?
Ví dụ
Một lớp học có 40 sinh viên. Trong đó có 20 sv giỏi Tiếng Anh, 8 sv giỏi
Tiếng Hoa và 5 sinh viên giỏi cả 2 môn trên. Chọn ngẫu nhiên ra một sv.
A = “sv này giỏi môn TA” B = “sv này giỏi môn TH”
C = “sv này giỏi cả 2 môn ” D = “sv này giỏi ít nhất 1 môn”
Hỏi: C = A + B? D = B + C?
Hãy suy ra biến cố tổng của n biến cố?
Dấu “+” mang ý nghĩa gì?
uu Probability and Statistics 13
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại
biến cố (tt)
Biến cố tích (giao, intersection): biến cố C được gọi là tích của 2 biến
cố A và B, nếu cả 2 biến cố A và B ………..xảy ra thì C xảy ra khi thực
hiện phép thử. Kí hiệu hay
Faculty of Science and Technology
Ví dụ
Từ một bộ bài tây có 52 lá. Chọn ngẫu nhiên ra một lá bài.
A = “lấy được lá đầm” B = “lấy được lá bích”
C = “lấy được lá đầm bích”
Hỏi: C = A.B?
Hãy suy ra biến cố tích của n biến cố?
Dấu “.” mang ý nghĩa gì?
uu Probability and Statistics 14
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
7
- www.hoasen.edu.vn
2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại
biến cố (tt)
Biến cố xung khắc (mutually exclusive):
Ví dụ
Faculty of Science and Technology
Lớp học có 40 sv, trong đó có 10 sv có tóc 3 màu (đen, vàng, nâu), 3 sinh
viên có tóc màu nâu, còn lại có tóc màu đen. Chọn ngẫu nhiên 1 sv.
A = “chọn được sv có tóc màu nâu” B = “chọn được sv có tóc màu
đen”
Hỏi: A và B có xung khắc?
Nhóm biến cố xung khắc từng đôi: nhóm biến cố {Ai}, (i=1,2,…,n)
được gọi là nhóm …………………………….nếu 2 biến cố
………..trong nhóm là xung khắc nhau (tức là )
uu Probability and Statistics 15
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại
biến cố (tt)
Biến cố đối lập (complementary):
Nhận xét: A và Ac đối lập khi
Faculty of Science and Technology
Nếu tất cả các kết cục trong A cũng là kết cục trong B thì ta nói A chứa
trong B hay B chứa A, kí hiệu
Khi và thì ta nói A và B bằng nhau, viết là
Ví dụ
Tung một con xúc sắc. Gọi A = “mặt chẵn xuất hiện”, B = “mặt lẻ xuất
hiện”. A và B có xung khắc? Tìm biến cố bằng biến cố B.
uu Probability and Statistics 16
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
8
- www.hoasen.edu.vn
2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại
biến cố (tt)
Nhóm biến cố đầy đủ:
Faculty of Science and Technology
Ví dụ
uu Probability and Statistics 17
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại
biến cố (tt)
Biến cố sơ cấp (elementary event): là biến cố
…………………………………………. thành các biến cố khác (là kết
cục tối giản của phép thử ngẫu nhiên).
Faculty of Science and Technology
Tập mọi biến cố sơ cấp là không gian các biến cố sơ cấp, hay không
gian mẫu
Ví dụ
Tung một con xúc sắc.
A = “mặt lẻ xuất hiện” B = “mặt 1 xuất hiện”
C = “mặt 3 xuất hiện” D = “mặt 5 xuất hiện”
B,C,D có là các biến cố sơ cấp? Mối liên hệ giữa A , B, C và D?
Luật DeMorgan:
uu Probability and Statistics 18
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
9
- www.hoasen.edu.vn
2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại
biến cố (tt)
Ví dụ
Hai sv đi thi.
Faculty of Science and Technology
A =“sv thứ nhất thi đậu” B = “sv thứ 2 thi đậu”
Hãy biểu diễn các biến cố sau:
a. Cả 2 sv thi đậu b. Cả 2 sv thi rớt c. Có ít nhất 1 sv thi đậu
d. Chỉ có một sv thi đậu e. Chỉ có sv 1 thi đậu f.Có nhiều nhất 1 sv thi đậu
g. Có sv thi đậu h. Sv 1 thi đậu
uu Probability and Statistics 19
Faculty of Science and Technology Probability and Statistic
www.hoasen.edu.vn
3.
Xác
suất
của
biến
cố
Khái niệm: Cho phép thử ngẫu nhiên với S là không gian mẫu và E là
các biến cố. Số thực P(E) được gọi là xác suất của E nếu 3 điều kiện sau
Faculty of Science and Technology
đây thỏa mãn:
Với Ei (i=1,2,…) là nhóm biến cố xung khắc từng đôi.
Tính chất:
uu Probability and Statistics 20
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
10
- www.hoasen.edu.vn
3. Xác suất của biến cố (tt)
Ví dụ
Giả sử một kết quả khảo sát cho thấy có 58% đàn ông Việt Nam hút
thuốc lá, 7% hút xì gà (trong đó 5% hút cả thuốc lá và xì gà). Hỏi có
Faculty of Science and Technology
bao nhiêu phần trăm không hút thuốc lá cũng không hút xì gà?
uu Probability and Statistics 21
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
3. Xác suất của biến cố (tt)
Định nghĩa cổ điển: Thực hiện một phép thử ngẫu nhiên. Giả sử có n
kết cục tối giản (biến cố sơ cấp) xảy ra. Các kết cục này gọi là
…………………. xảy ra nếu không có kết cục nào ưu tiên xảy ra hơn
Faculty of Science and Technology
kết cục nào (các kết cục có khả năng xảy ra như nhau khi thực hiện phép
thử).
Kết cục mà khi nó xảy ra thì kéo theo biến cố A xảy ra được gọi là
……………………………. cho A.
uu Probability and Statistics 22
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
11
- www.hoasen.edu.vn
3. Xác suất của biến cố (tt)
Ví dụ
1. Tung một con xúc sắc. Quan sát xem mặt nào xuất hiện.
Ai = “xuất hiện mặt có i chấm” , i = 1,2,…,6
Faculty of Science and Technology
B = “xuất hiện mặt có số chấm chẵn”
C = “xuất hiện mặt có số chấm là 3 hoặc 4”
D = “xuất hiện mặt có số chấm là 4 hoặc 6”
E = “xuất hiện mặt có số chấm lẻ”
Tính xác suất của các biến cố trên.
uu Probability and Statistics 23
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
3. Xác suất của biến cố (tt)
2. Một hộp có 10 bi đỏ và 7 bi xanh có kích thước như nhau, rút ngẫu
nhiên 1 bi.
A = “rút được bi xanh” => P(A) = ?
Faculty of Science and Technology
B = “rút được bi đỏ” => P(B) = ?
3. Một hộp có 13 bi đỏ và 7 bi xanh có kích thước như nhau, rút ngẫu
nhiên 2 bi. Tìm xác suất của các biến cố sau:
A = “rút được 2 bi xanh”
B = “rút được 2 bi đỏ”
C = “rút được 1 bi xanh và một bi đỏ”
D = “rút được ít nhất một bi đỏ”
uu Probability and Statistics 24
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
12
- www.hoasen.edu.vn
3. Xác suất của biến cố (tt)
Định nghĩa thống kê:
Tần suất: nếu lặp lại phép thử n lần, trong đó xảy ra biến cố A m lần thì
tần suất của A trong dãy n phép thử là
Faculty of Science and Technology
Người ta chứng minh được rằng khi n đủ lớn thì f(A) xấp xĩ bằng một số p
nào đó .
Định nghĩa: xác suất của biến cố A , kí hiệu P(A):
uu Probability and Statistics 25
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
4.
Các
định
lý
và
công
thức
xác
suất
Xác suất có điều kiện:
F là biến cố ngẫu nhiên có xác suất là P(F).
Đại lượng ……………………được gọi là………….
Faculty of Science and Technology
Ví dụ
1. Một hộp có 5 bi đỏ, 7 bi trắng. Lấy lần lượt không hoàn lại 2 bi. Biết
lần thứ nhất lấy được bi trắng. Tính xác suất để lần thứ 2 cũng lấy được
bi trắng
uu Probability and Statistics 26
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
13
- www.hoasen.edu.vn
4.
Các
định
lý
và
công
thức
xác
suất
(L)
2.Điều tra 500 người (240 nam và 260 nữ) về sở thích đi shopping. Kết
quả được cho trong bảng:
Thích
Không
thích
Faculty of Science and Technology
Nam
126 114
Nữ 240 20
a. Giả sử chọn được người nam. Tính xác suất người đó không thích
shopping.
b. Giả sử chọn được người thích shopping. Tính xác suất người đó là nữ.
uu Probability and Statistics 27
Faculty of Science and Technology Probability and Statistic
www.hoasen.edu.vn
4.
Các
định
lý
và
công
thức
xác
suất
(L)
Công thức nhân:
A, B là các biến cố ngẫu nhiên, xác suất tương ứng là P(A), P(B). Khi đó
xác suất để A và B đồng thời xảy ra là………………….. Công thức này
Faculty of Science and Technology
được gọi là công thức nhân xác suất.
Ví dụ
Lan Anh cho rằng có 30% khả năng công ty cô đang làm việc sẽ mở chi
nhánh mới tại Phú Quốc. Khi đó khả năng cô được làm giám đốc của
công ty mới là 60%. Hỏi Xác suất để Lan Anh trở thành giám đốc công ty
tại Phú Quốc là bao nhiêu?
uu Probability and Statistics 28
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
14
- www.hoasen.edu.vn
4.
Các
định
lý
và
công
thức
xác
suất
(L)
Một hộp có 9 bi, trong đó có 3 bi đỏ, được chia ngẫu nhiên thành 3 phần
sao cho mỗi phần có 3 bi. Tính xác suất mỗi phần đều có bi đỏ.
Faculty of Science and Technology
uu Probability and Statistics 29
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
4.
Các
định
lý
và
công
thức
xác
suất
(L)
Công thức xác suất đầy đủ: xét phép thử T, A1, A2,…, An là nhóm biến cố
đầy đủ. B là biến cố mà khi nó xảy ra thì một trong các biến cố A1, A2,…,
An cũng xảy ra. Cho biết các xác suất P (A i) và P(B|A i). Hãy tính P(B).
Faculty of Science and Technology
Công thức Bayes: giả thiết như trên. Xác suất của biến cố Ai với điều kiện
B đã xảy ra:
uu Probability and Statistics 30
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
15
- www.hoasen.edu.vn
4.
Các
định
lý
và
công
thức
xác
suất
(L)
Ví dụ
1. Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm.Tỉ lệ làm ra chính phẩm của
máy 1 là 0,85 và máy 2 là 0,9. Từ một kho chứa 1/3 sản phẩm của máy 1
Faculty of Science and Technology
và 2/3 sản phẩm của máy 2, lấy ra một sản phẩm.
a. Tính xác suất lấy được phế phẩm.
b. Nếu sản phẩm lấy ra không là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó là
do máy 2 làm ra.
uu Probability and Statistics 31
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
4.
Các
định
lý
và
công
thức
xác
suất
(L)
2.Một thiết bị gồm 3 linh kiện loại 1, 2 và 3. Chúng chiếm tương ứng là
35%, 25% và 40% tổng số linh kiện trong thiết bị. Tỉ lệ 3 loại linh kiện bị
hỏng tương ứng là 15%, 25% và 5%. Thiết bị đang hoạt động thì bị hỏng.
Faculty of Science and Technology
Linh kiện nào có nhiều khả năng bị hỏng nhất (giả sử các linh kiện không
bị hỏng đồng thời)?
uu Probability and Statistics 32
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
16
- www.hoasen.edu.vn
4.
Các
định
lý
và
công
thức
xác
suất
(L)
3. Có 2 hộp đựng bi. Hộp 1: 8 trắng, 2 đen; hộp 2: 7 trắng, 3 đen. Lấy ngẫu
nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, sau đó rút ngẫu nhiên 3 bi từ hộp 2. Tìm
Faculty of Science and Technology
xác suất có 2 bi trắng trong 3 bi rút từ hộp 2.
uu Probability and Statistics 33
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
4.
Các
định
lý
và
công
thức
xác
suất
(L)
Faculty of Science and Technology
uu Probability and Statistics 34
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
17
- www.hoasen.edu.vn
4.
Các
định
lý
và
công
thức
xác
suất
(L)
Công thức Bernoulli:
Dãy n phép thử Bernoulli: là dãy n phép thử thỏa mãn 3 điều kiện sau:
• 1
Faculty of Science and Technology
• 2
• 3
Xác suất xuất hiện x lần biến cố A trong n phép thử Bernoulli:
uu Probability and Statistics 35
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
4.
Các
định
lý
và
công
thức
xác
suất
(L)
Ví dụ
Một nhà máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất tạo ra phế phẩm
của nhà máy là 0,01.
Faculty of Science and Technology
a. Cho nhà máy sx 10 sản phẩm. Tính xác suất có 2 phế phẩm
b. Nhà máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất
một chính phẩm trên 0,99?
uu Probability and Statistics 36
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
18
- www.hoasen.edu.vn
Biến
cố
độc lập (independent
events)
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu ………….
Ngược lại ta nói A và B là 2 biến cố phụ thuộc (dependent events).
Nếu A và B độc lập thì …………………. và …………………..)?
Faculty of Science and Technology
Hãy mở rộng cho trường hợp có nhiều hơn 2 biến cố?
Hai biến cố A và B độc lập thì Ac và Bc cũng độc lập.
Ví dụ
Một văn phòng có 2 máy tính hoạt động độc lập. Trong một ngày làm việc,
xác suất để 2 máy này bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,05. Tính xác suất trong
một ngày làm việc văn phòng đó có:
a. Máy hỏng b. Một máy hỏng
uu Probability and Statistics 37
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
Bài
tập
1. Một xưởng có 3 máy hoạt động. Gọi Ai = “máy thứ i bị hỏng”, i = 1,2,3.
Hãy biểu diễn các biến cố:
a. Chỉ có máy 2 bị hỏng b. Máy 1 và 2 hỏng, máy 3 không hỏng
c. Có ít nhất 2 máy hỏng d. Không quá 2 máy hỏng
Faculty of Science and Technology
2. Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Lấy 4 sản phẩm từ
hộp để kiểm tra. Gọi A = “có không quá 2 phế phẩm”
B = “có hơn 3 phế phẩm”
c c
Hãy mô tả A , B , A ∪ B
uu Probability and Statistics 38
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
19
- www.hoasen.edu.vn
Bài
tập
(L)
3. Một hộp có 8 bi đỏ và 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tìm xác suất lấy
được 3 bi trắng trong 3 cách lấy sau:
a. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bi.
b. Lấy lần lượt 3 bi không hoàn lại.
Faculty of Science and Technology
c. Lấy lần lượt 3 bi có hoàn lại.
uu Probability and Statistics 39
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
www.hoasen.edu.vn
Bài
tập
(L)
4. Một lớp có 50 sinh viên (30 nam và 20 nữ). Chọn ngẫu nhiên một nhóm 4
sinh viên. Tìm xác suất trong số 4 sinh viên được chọn:
a. Có 2 nam. b. Có ít nhất một nam.
Faculty of Science and Technology
c. Có nhiều nhất 2 nam. d. Toàn là nữ.
uu Probability and Statistics 40
Faculty of Science and Technology Probability and Statistics
20
nguon tai.lieu . vn