Xem mẫu
- Nội dung
1. Lưỡng tính sóng-hạt của vật chất
2. Phương trình Schrödinger
3. Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều
Cơ sở 4. Hệ thức bất định Heisenberg
Cơ Học Lượng Tử 5. Kính hiển vi quét dùng hiệu ứng đường ngầm
(STM)
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
nguyenquangle59@yahoo.com
1. Lưỡng tính sóng hạt của vật chất 1a. Giả thuyết De Broglie
a. Giả thuyết De Broglie • Ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt.
b. Ví dụ • Các hạt vật chất phải chăng cũng có lưỡng tính
sóng-hạt?
c. Kiểm chứng
• De Broglie, 1923 − các hạt vật chất cũng là
d. Ứng dụng
sóng, bước sóng vật chất (hay sóng De Broglie)
e. Bản chất của sóng vật của một hạt có động lượng p là:
chất
f. Bài tập h
λ=
p
Louis De Broglie
1892-1987
- 1b. Ví dụ 1 1b. Ví dụ 2
• Voi Dumbo khối lượng • Bước sóng De Broglie của một hạt bụi khối
1000 kg, bay với vận tốc lượng 10−9 kg rơi với vận tốc 0,020 m/s.
10 m/s sẽ có bước sóng
h 6,626 × 10−34 J ⋅ s
De Broglie là bao nhiêu? λ = = −9 = 3,313 × 10−23 m
p 10 kg × 0,020m s
h 6,626 × 10−34 J ⋅ s
λ= = = 6,626 × 10−38 m
p 10 kg × 10m s
3 • Bước sóng này cũng quá nhỏ để có thể quan sát
được.
• Bước sóng này quá nhỏ • Các hạt vĩ mô không thể hiện rõ tính sóng.
để có thể quan sát được.
1b. Ví dụ 3 1c. Kiểm chứng thực nghiệm 1
• Một electron trong mạch điện hay trong • Davisson và Germer, 1927: electron có thể
nguyên tử có động năng trung bình vào khoảng nhiễu xạ trên tinh thể Nickel giống như tia X
1 eV, có bước sóng De Broglie bằng: vậy.
h 6,626 × 10−34 J ⋅ s • Nhiễu xạ của electron trên tinh thể cũng tuân
λ= = theo định luật Bragg.
2mK ( ) (
2 × 9,11 ⋅ 10−31 kg × 1,6 ⋅ 10−19 J ) • Bước sóng electron đo được phù hợp với giả
= 10−9 m = 10Å thuyết De Broglie.
• Bước sóng này vào cỡ kích thước của nguyên
tử nên có thể quan sát được.
• Các hạt vi mô thể hiện rõ tính sóng.
- 1c. Kiểm chứng thực nghiệm 2 1c. Kiểm chứng thực nghiệm 3
• G. P. Thomson, 1927: electron có thể nhiễu xạ • Zeilinger et al., 1988: Nhiễu xạ neutron trên hai
trên màng mỏng kim loại, tạo ra vân tròn khe.
tương tự như tia X nhiễu xạ trên bột đa tinh
thể.
Electron Tia X
1c. Kiểm chứng thực nghiệm 4 1d. Ứng dụng của sóng De Broglie
• Kính hiển vi điện tử dùng sóng electron thay
cho sóng ánh sáng, có độ phóng đại lên đến 2
triệu lần.
• Nhiễu xạ electron, nhiễu xạ neutron được dùng
để tìm hiểu cấu trúc vật chất, tương tự như
nhiễu xạ tia X.
• Sóng dừng của electron trên bề mặt đồng, ảnh
chụp bằng Scanning Tunneling Microscope (IBM
Almaden Research Center).
- 1e. Bản chất của sóng De Broglie − 1 1e. Bản chất của sóng De Broglie − 2
• Giao thoa của sóng electron trên hệ hai khe: • Max Born, 1928: sóng vật chất là sóng xác suất.
• Bình phương biên độ hàm sóng ở một vị trí thì
tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại đó.
• Gọi Ψ(x,y,z) là hàm sóng vật chất tại vị trí (x,y,z)
của một hạt, dV là một thể tích nhỏ bao quanh
100 electrons 3000 electrons
vị trí này, xác suất tìm thấy hạt trong thể tích
dV là:
Càng nhiều hạt, quy luật
dP = Ψ ( x , y , z ) dV
2
sóng càng rõ.
Nơi hạt đến nhiều
• |Ψ(x,y,z)|2 là mật độ xác suất của hạt tại (x,y,z).
cũng là nơi có cường
70 000 electrons độ sóng lớn.
1e. Bản chất của sóng De Broglie − 3 1f. Bài tập 1
• Ψ(x,y,z) là một số phức, nên ta còn có: • Hình bên cho thấy sóng
dừng trong một lò vi ba,
Ψ ( x , y, z ) = Ψ ⋅ Ψ*
2
màu xám là nơi sóng điện
từ bằng không, còn màu
• Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian
trắng và đen là nơi sóng
V, trong đó hạt tồn tại, phải bằng đơn vị, do đó:
cực đại.
∫ Ψ ( x , y , z ) dV = 1
2 • Hãy so sánh mật độ photon
V
ở các vị trí A, B và C trên củ
cà-rốt.
• Đó là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng vật
chất.
- 1f. Bài tập 1 1f. Bài tập 2
• Mật độ hạt (hay xác suất) tỷ Hàm sóng của một hạt bị “giam” trong khoảng
lệ với bình phương biên độ từ 0 đến L là Asin(πx/L), A là một hằng số. Xác
sóng vật chất (sóng điện từ suất tìm thấy hạt ở vị trí nào sau đây là lớn
đối với photon). nhất?
• Biên độ sóng cực đại ở A và
C, (a) L/4
• do đó mật độ photon cũng (b) L/2
cực đại ở A và C. (c) 3L/4
(d) L
1f. Trả lời bài tập 2 1f. Bài tập 3
• Mật độ xác suất:
• w = A2sin2(πx/L) Bước sóng De Broglie của một electron được
Hàm tăng tốc không vận tốc đầu bởi hiệu điện thế U
• Cực trị của w được sóng
cho bởi: bằng:
• sin(πx/L)cos(πx/L) =
h h
0 (a) (b)
• πx/L = 0, π/2, π
2meeU meeU
• x = 0, L/2, L Mật độ
xác suất 2h h
• w cực đại ứng với x = (c) (d)
L/2. 2meeU 2 meeU
L/2
• Câu trả lời đúng là
(b).
- 1f. Trả lời bài tập 3 2. Phương trình Schrödinger
• Động năng của electron sau khi tăng tốc: a. Phương trình
2
p Schrödinger tổng quát
K= = eU
2me b. Phương trình
• Suy ra động lượng: p = 2meeU Schrödinger dừng
• Vậy bước sóng De Broglie là: c. Hàm sóng của hạt tự do
h
λ=
2meeU
• Câu trả lời đúng là (a).
Erwin Schrödinger
1887-1961
2a. Phương trình Schrödinger tổng quát 2b. Phương trình Schrödinger dừng
• Hàm sóng Ψ(x,y,z,t) của một hạt khối lượng m, • Khi thế năng U không phụ thuộc vào thời gian
chuyển động trong trường có thế năng thì nghiệm của phương trình Schrödinger có
U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrödinger tổng thể viết dưới dạng:
quát: E
−i t
Ψ ( x , y , z ,t ) = e ℏ
Φ( x , y,z )
∂Ψ ℏ2
iℏ =− ∆ +U Ψ i = −1 • với E là năng lượng của hạt, Φ(x,y,z) là hàm
∂t 2m sóng dừng, thỏa phương trình Schrödinger
• trong đó ħ = h/2π, và Δ là Laplacian: dừng:
∂2 ∂2 ∂2 ℏ2 2m
∆= 2 + 2 + 2
∂x ∂y ∂z
− 2m ∆ + U Φ = E Φ ∆Φ + (E −U )Φ = 0
ℏ2
- 2c. Hàm sóng của hạt tự do − 1 2c. Hàm sóng của hạt tự do − 2
• Phương trình Schrödinger dừng của một hạt tự • Hàm sóng ứng với số hạng thứ nhất:
do chuyển động theo dọc trục x: E p i
−i t i x − ( Et − px )
Ψ =e ℏ
⋅ Ae ℏ
= Ae ℏ
∂ 2Φ 2m
+ EΦ = 0 − i (ωt −kx ) E p
∂x 2 ℏ2 Ψ = Ae ω= k=
ℏ ℏ
• với E bây giờ là động năng của hạt. Phương • là một sóng phẳng truyền theo trục x > 0, có tần
trình này có nghiệm tổng quát là: số góc ω, vectơ sóng k, và bước sóng phù hợp
2mE p với giả thuyết De Broglie:
Φ = Aeikx + Be −ikx k= =
ℏ2 ℏ 2π h
λ= =
k p
3. Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều 3a. Giếng thế vô hạn một chiều
• Hạt chuyển động trong U→∞
giếng thế vô hạn một
chiều có thế năng xác
a. Giếng thế vô hạn một chiều định bởi :
b. Năng lượng bị lượng tử hóa
0 0< x
- 3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 1 3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 2
• Sóng vật chất chuyển động lui tới giữa hai vách • Do đó năng lượng của hạt là:
giếng thế, tạo nên sóng dừng.
• Khi đó bề rộng của giếng thế phải là một bội số p2 h2
của một nửa bước sóng: En = =n2
n=3 2m 8ma2
λ
a=n n = 1,2… • Năng lượng hạt đã bị lượng tử hóa.
2
n=2 • Số n được gọi là số lượng tử năng lượng.
• Suy ra động lượng hạt:
• Mức năng lượng thấp nhất, ứng với n = 1, là
h h h khác không, trái với quan niệm cổ điển.
p= = =n
λ 2a n 2a n=1
a
3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 3 3c. Hàm sóng − 1
• Phương trình Schrodinger dừng của hạt trong
U→∞ giếng thế:
a = 3(λ/2)
∂ 2Φ 2m
n=4 + EΦ = 0
∂x 2 ℏ2
n=3 a = 2(λ/2)
• Phương trình này có nghiệm tổng quát:
n=2
n=1 a = λ/2
0 a x Φ ( x ) = A sin ( kx ) + B cos ( kx )
k = 2mE ℏ = p ℏ
- 3c. Hàm sóng − 2 3c. Hàm sóng − 3
• Hàm sóng ở ngoài giếng là bằng không, vì hạt bị • Hàm sóng dừng phụ thuộc vào n:
giam trong giếng thế vô hạn. π
• Ngoài ra, để hàm sóng biến thiên liên tục thì ở Φ n ( x ) = A sin n x
a
hai vách giếng nó cũng phải bằng không: • Vì k bị lượng tử hóa nên năng lượng cũng vậy:
Φ ( 0) = 0, Φ (a) = 0
( ℏk )
2
ℏ2π 2 h2
En = =n =n
22
Φ ( 0 ) = A sin ( 0 ) + B cos ( 0 ) = 0 ⇒ B = 0 2m 2ma2 8ma2
Φ ( a ) = A sin ( ka ) = 0 ⇒ sin ( ka ) = 0 • Từ điều kiện chuẩn hóa ta tìm được hằng số A:
k = nπ a n = 1,2 … 2 π
Φn ( x ) = sin n x
a a
3c. Hàm sóng − 4 3c. Hàm sóng − 5
• Hàm sóng (phụ thuộc thời gian) sẽ là:
n=3 Hàm sóng dừng
2 E π
Ψ n ( x ,t ) = exp −i n t sin n x
a ℏ a
Mật độ xác suất
• Mật độ xác suất của hạt (độc lập với thời gian): n=2
2 π
Ψ n ( x ,t ) = Ψ n ⋅ Ψ n* = sin2 n x
2
a a
n=1
- 3d. Bài tập 1 3d. Trả lời bài tập 1
Một vi hạt khối lượng m, chuyển động trên trục x • Năng lượng của vi hạt trong hố thế vô hạn:
trong trường thế có dạng hố thế cao vô hạn, bề • En = n2π2ħ2/2ma2
rộng a. Khi hạt có năng lượng: • Trong trường hợp đang xét:
E = 2π 2ℏ2 ma2 • E = 2π2ħ2/ma2
thì khả năng tìm thấy hạt là lớn nhất ở tọa độ x • n = 2, câu trả lời đúng là (a).
bằng:
n=3
(a) a/4 và 3a/4
(b) a/2 Hàm sóng dừng Mật độ xác suất
n=2
(c) a/4
(d) 3a/4
n=1
3d. Bài tập 2 3d. Trả lời bài tập 2
Xét một vi hạt trong giếng thế cao vô hạn, bề • Ở vị trí cần tìm mật độ
rộng a. Ở vị trí nào sau đây thì xác suất tìm thấy xác suất của hai trạng w1
w2
hạt ở trạng thái n = 1 và n = 2 là như nhau (trừ thái là như nhau:
tại hai vách giếng thế): • w1 = w2
• sin2(πx/a) =
(a) a/3 sin2(2πx/a)
(b) 2a/3 • cos(πx/a) = ±1/2
(c) (a) và (b) đúng. • πx/a = π/3, 2π/3
(d) (a) và (b) sai. • x = a/3, 2a/3 a/3 2a/3
• Câu trả lời đúng là (c).
- 3d. Bài tập 3 3d. Trả lời bài tập 3
• Khi electron chuyển từ mức n2 về mức n1 thì nó
Một electron trong một giếng thế vô hạn có bề
phát ra một photon có năng lượng:
rộng 2 nm chuyển từ mức có n = 5 xuống mức
có n = 3. Bước sóng của photon phát ra là: h2
c
λ
(
h = E n2 − E n1 = n − n
2
2
2
1 )
8ma2
(a) 97,8 nm
(b) 824 nm • Suy ra bước sóng của photon:
(c) 2 nm hc 1 8cma2 1
λ= 2 ⋅ 2 2= ⋅ 2 2
(d) 8971 nm h 8ma n2 − n1
2
h n2 − n1
3d. Trả lời bài tập 3 (tt) 4. Hệ thức bất định Heisenberg
a. Hệ thức bất định của
( )( )( )
2
−31 −9
8 × 3 ⋅ 10 m / s 9,1 ⋅ 10
8
kg 2 ⋅ 10 m 1 vị trí và động lượng
λ= ⋅
6,626 ⋅ 10−34 J ⋅ s 52 − 32 b. Ví dụ
c. Hệ thức bất định của
• λ = 824 nm, câu trả lời đúng là (b). thời gian và năng
lượng
d. Hiệu ứng đường
ngầm
Werner Heisenberg
1901-1976
- 4a. Bất định của vị trí và động lượng 4b. Ví dụ 1
• Giữa độ bất định (độ chính xác) của tọa độ và • Một electron có vận tốc bằng 2,05 × 106 m/s,
động lượng có hệ thức: được đo với độ chính xác là 1,5 %. Tìm Δx.
∆x ⋅ ∆px >ɶ h • Động lượng của electron:
p = mv = (9,11 ⋅ 10−31 kg) ⋅(2,05 ⋅ 106 m s )
∆y ⋅ ∆p y >ɶ h
= 1,87 ⋅ 10−24 kg.m s
∆z ⋅ ∆pz >ɶ h • Độ bất định động lượng:
• Không thể xác định được chính xác đồng thời ∆p = 1,5%p = 2,80 ⋅ 10−26 kg.m s
tọa độ và động lượng của các vi hạt. h
∆x >ɶ = 2,4 × 10−8 m = 24nm
• Không thể xác định quỹ đạo vi hạt. ∆p x
• Δx ~ 200 lần kích thước nguyên tử !
4b. Ví dụ 2 4b. Ví dụ 3
• Electron trong nguyên tử có Δx ~ kích thước • Một quả banh golf có khối lượng 45 g đang bay
của nguyên tử, tức là 0,1 nm. Tìm Δp. với vận tốc 35 m/s. Vận tốc được đo với độ
h 6,626 ⋅ 10−34 J ⋅ s chính xác là 1,5 %. Tìm Δx.
∆px >ɶ = −9
= 6,626 ⋅ 10−24 kg.m s • Làm tương tự như trong Ví dụ 1, ta suy ra độ
∆x 0,1 ⋅ 10 m
bất định về vị trí của quả banh:
• Electron trong nguyên tử có động năng vào
∆x >ɶ 3 × 10−32 m
khoảng 1 eV, do đó có động lượng :
( )(
px = 2mK = 2 ⋅ 9,11 ⋅ 10−31 kg ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 J ) • Độ bất định này rất nhỏ: với các vật vĩ mô vẫn
xác định được chính xác đồng thời vị trí và
= 5,4 × 10−25 kg. m s động lượng.
• Δp ~ 10 p !
- 4b. Ví dụ 4 4c. Bất định của thời gian và năng lượng
• Bó sóng là tổ hợp tuyến tính của nhiều sóng • Gọi Δt là thời gian hạt tồn tại ở một trạng thái;
hình sin có động lượng rất gần nhau. • ΔE là độ bất định của năng lượng hạt ở trạng
• Phân bố của động lượng càng rộng (Δp lớn), thái đó.
• thì bó sóng càng hẹp (Δx nhỏ). • Giữa chúng có hệ thức:
∆t ⋅ ∆E >ɶ h
• Độ bất định năng lượng của một trạng thái
càng lớn thì thời gian tồn tại của trạng thái đó
càng ngắn.
• Do đó một bó sóng không thể tồn tại lâu.
4d. Hiệu ứng đường ngầm – 1 4d. Hiệu ứng đường ngầm – 2
• Xét một hạt bị giam trong giếng thế có độ sâu U.
• Giả sử trạng thái hạt là không bền, chỉ tồn tại
trong thời gian rất ngắn Δt ≈ h/U .
• Trong khoảng thời gian đó độ bất định năng
lượng của hạt là :
h h ΔE
∆E >ɶ = =U
∆t h U U
• Hạt có độ bất định năng lượng lớn hơn độ sâu
giếng thế, do đó có thể thoát ra khỏi giếng thế! E
- 4d. Hiệu ứng đường ngầm – 3 5. Scanning Tunneling Microscope
• Hiệu ứng cũng xảy ra đối U0 Khi quét trên bề
với một rào thế (hay E mặt mẫu đầu
tường thế). Hạt có thể kim được kéo
chui qua rào dù có năng lên hay hạ xuống
lượng nhỏ hơn chiều cao thấp để giữ cho
dòng e- chui
của rào thế.
0 a ngầm không đổi.
• Xác suất vượt rào (hệ số x
Độ cao của đầu
truyền qua) là:
kim được hiển
2a
D ≈ exp − 2m (U0 − E ) thị trên màn
ℏ hình, đó chính là
• Minh họa. hình ảnh bề mặt
mẫu. Minh họa
nguon tai.lieu . vn
