Xem mẫu
- Nội dung
1. Hai tiên đề 4. Các hệ quả khác
2. Các hệ quả a. Quan hệ nhân quả
a. Thời gian dãn ra b. Sự bất biến của
b. Chiều dài co ngắn khoảng không-thời
Thuyết tương đối lại gian
c. Tính tương đối c. Phép cộng vận tốc
Biên soạn: Lê Quang Nguyên của sự đồng thời mới
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen 3. Phép biến đổi 5. Động lượng và năng
Lorentz lượng
nguyenquangle59@yahoo.com
1. Hai tiên đề – 1 1. Hai tiên đề – 2
• Nguyên lý tương đối Galilei: các hiện tượng cơ
học diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu
quán tính.
• Tiên đề 1 mở rộng nguyên lý tương đối cho
mọi hiện tượng vật lý.
A. Einstein (1905)
• Thí nghiệm Michelson-Morley (1887): đo sự
• Các hiện tượng vật lý diễn ra như nhau trong phụ thuộc của vận tốc ánh sáng vào trạng thái
mọi hệ quy chiếu quán tính. chuyển động của nguồn nhưng thất bại.
• Vận tốc của ánh sáng trong chân không là một • Do đó đã xác nhận tiên đề 2.
hằng số (c = 3.108 m/s), không phụ thuộc vào hệ
quy chiếu và phương truyền.
- 2a. Thời gian dãn ra – 1 2a. Thời gian dãn ra – 2
• Trong hqc nhìn thấy đồng hồ chuyển động với
• Xét một đồng hồ ánh sáng, vận tốc V : ( c∆t )2 = (V ∆t )2 + ( c∆t )2
0
• Một “tích tắc” là một lần ánh
sáng đi từ dưới lên trên và
phản xạ trở về.
• Trong hệ quy chiếu gắn liền với L
đồng hồ,
cΔt/2
• thời gian của một “tích tắc” là: cΔt0/2
2L
∆t 0 =
c
VΔt/2
2a. Thời gian dãn ra – 3 2a. Thời gian dãn ra – 4
• Vậy đối với quan sát viên nhìn thấy đồng hồ • Khi hai biến cố xảy ra tại cùng một nơi trong
chuyển động, một tích tắc của đồng hồ là: một hệ quy chiếu quán tính,
∆t 0 1 • khoảng thời gian giữa chúng, đo trong hqc ấy,
∆t = γ≡ >1 được gọi là thời gian riêng (Δt0).
1 −V c 2 2
1 −V c 2 2
• Khoảng thời gian giữa hai biến cố đó, đo trong
∆t > ∆t 0 mọi hệ quy chiếu khác, đều lớn hơn thời gian
riêng:
• Theo quan sát viên nhìn thấy đồng hồ chuyển
động, đồng hồ có nhịp điệu dãn ra. ∆t 0
∆t = ≡ γ∆t 0 Minh họa.
• Mọi đồng hồ khác cũng vậy. (Theo tiên đề 1) 1 − v2 c 2
• v là vận tốc giữa hai hệ quy chiếu.
- 2a. Thời gian dãn ra – 5 2a. Thời gian dãn ra – 6
• Chuyện Từ Thức thời hiện đại. • Hạt muon đứng yên có thời gian sống là Δt0 =
• Từ Thức du hành đến một ngôi sao xa với vận 2,200 μs.
tốc V = 0,9996c. Sau 3 năm thì trở về. • Khi chuyển động với vận tốc V = 0,9994c, thời
• Theo người trên Trái Đất thì thời gian của gian sống của muon sẽ dài ra.
chuyến du hành là: ∆t = γ∆t 0 β = V c = 0,9994 γ =1 1 − β 2 = 28,87
γ =1 1 − ( 0,9996 ) = 35,36
2
∆t = γ∆t 0 = ( 28,87 )( 2,200 µ s ) = 63,51 µ s
∆t = (35,36 )(3n ) = 106,1n • Điều này đã được thực nghiệm kiểm chứng.
• Đã hơn 100 năm trôi qua trên Trái Đất!
2b. Chiều dài co ngắn lại – 1 2b. Chiều dài co ngắn lại – 2
• Chó Milou đang chạy chơi với vận tốc V thì thấy • Tuy nhiên, theo Tintin thì thời gian giữa hai
một khúc xương, và muốn đo chiều dài của nó. biến cố là: Δt = γΔt0 > Δt0
• Milou đo thời gian Δt0 giữa hai lần đi qua hai • Do đó chiều dài khúc xương là: L0 = VΔt > L
đầu khúc xương.
• Suy ra: L = L0 1 − V 2 c 2
• Và suy ra chiều dài khúc xương là: L = VΔt0
• Chiều dài vật chuyển động co ngắn lại.
VΔt0
- 2b. Chiều dài co ngắn lại – 3 2c. Tính tương đối của sự đồng thời – 1
• Chiều dài của một vật đo trong hqc quán tính • Một xung sáng được phát ra từ giữa một toa
gắn liền với vật được gọi là chiều dài riêng (L0). tàu đang đi vào ga, và truyền về hai đầu toa.
• Chiều dài của cùng vật đó, đo trong mọi hệ quy • Theo hành khách trên toa, hai tia sáng đạt tới
chiếu khác, đều nhỏ hơn chiều dài riêng: hai đầu toa cùng một lúc.
L0
L = L0 1 − v 2 c 2 ≡
γ
• v là vận tốc giữa hai hệ quy chiếu.
2c. Tính tương đối của sự đồng thời – 2 Bài tập áp dụng 1
• Theo người đứng dưới sân ga, tia sáng đi Một hạt không bền đi vào một máy dò và để lại
ngược chiều chuyển động của tàu đạt tới vách một vệt dài 1,05 mm trước khi phân rã. Vận tốc
trước. hạt đối với máy dò là 0,992c.
• Vì vận tốc ánh sáng là không đổi về cả hai phía, Thời gian sống riêng của hạt là bao nhiêu?
và vì vách này tiến lại gặp tia sáng.
• Hai biến cố xảy ra đồng thời trong một hqc, lại
không đồng thời trong một hqc khác.
- Trả lời BT 1 Bài tập áp dụng 2
• Thời gian sống của hạt đối với máy dò là: Trong một đời người, liệu có thể du hành đến
∆t = d V d là chiều dài của vệt một thiên hà ở cách xa Trái Đất 23.000 năm ánh
1,05 × 10−3 m sáng hay không?
∆t = = 3,53 ps
0,992 × 3 × 108 m s
• Thời gian sống riêng luôn luôn ngắn hơn và xác
định từ:
∆t 1
∆t 0 = γ= = 7,92
γ 1 − 0,9922
3,53 ps
∆t 0 = = 0,45 ps
7,92
Trả lời BT 2 – 1 Trả lời BT 2 – 2
Hay: β 1 − β = 287,5
2
• Gọi V = βc là vận tốc phi hành gia. •
• Ánh sáng mất 23.000 năm để bay đến thiên hà • Giải phương trình trên ta được:
thì phi hành gia phải mất 23.000/β năm, theo • β = 0,998265393
thời gian trên Trái Đất. • Cũng có thể lập luận như sau.
• Giả sử tuổi thọ trung bình của con người là 80 • Phi hành gia phải chuyển động sao cho đối với
năm. ông ta khoảng cách 23.000 nas (chiều dài
• Phi hành gia muốn thực hiện chuyến bay trong riêng) co lại còn 80β nas:
80 năm (thời gian riêng). Do đó:
γ = L0 L = 23.000nas 80β nas
γ = ∆t ∆t 0 = ( 23.000n β ) 80n
⇒ γβ = 23.000 80 = 287,5
⇒ γβ = 23.000 80 = 287,5
- 3a. Phép biến đổi Galilei 3b. Phép biến đổi Lorentz
• Hqc K’ chuyển động theo • Để phù hợp với các hiệu
trục x của hqc K với vận ứng tương đối, Lorentz
tốc V. đưa ra các phép biến đổi
• Lúc K ≡ K’ thì t = t’ = 0. mới:
• Một biến cố xảy ra trong x = γ ( x ′ + Vt ′ )
K’ có tọa độ (x’, y’, z’, t’)
Vt x’
y = y′ Vt x’
• đối với K sẽ có tọa độ:
z = z′
x = x ′ + Vt Khi V 0 và Δx’ < 0, và ∆x ′ > ∆t ′ ngược thứ tự của các
c2
V biến cố trên đây,
∆t = γ ∆t ′ − 2 ∆x ′ < 0
c • vì chúng có quan hệ nhân
• Thứ tự của hai biến cố đã bị đảo ngược! quả với nhau.
- 4a. Quan hệ nhân quả – 3 4b. Sự bất biến của khoảng không-thời gian
• Phải có thông tin được truyền đi từ nguyên • Khoảng cách không-thời gian Δs giữa hai biến
nhân đến kết quả, cố được định nghĩa bởi:
• Do đó: ∆x ′ = v∆t ′ v: tốc độ truyền thông tin
(
∆s 2 = c 2∆t 2 − ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 )
V ∆x ′ Vv
∆t = γ∆t ′ 1 − 2 = γ∆t ′ 1 − 2 • Từ phép biến đổi Lorentz, ta có thể chứng minh
c ∆t ′ c là khoảng Δs không thay đổi khi chuyển hệ quy
Vv chiếu:
< 1 ⇒ ∆t > 0
c2 ∆s 2 = ∆s′2
• Không thể đảo ngược thứ tự của hai biến cố có
quan hệ nhân quả.
4c. Công thức cộng vận tốc mới Bài tập áp dụng 3
• Xét một chất điểm chuyển động trong hqc K’ Một nhà thực nghiệm thực hiện một mạch điện
với vận tốc: giúp ông ta bật cùng một lúc hai bóng đèn, bóng
dx ′ dy′ dz′ màu đỏ ở gốc hệ quy chiếu và bóng màu vàng ở
v′x = v′y = v′z =
dt ′ dt ′ dt ′ khoảng cách x = 30 km.
• Từ phép biến đổi Lorentz, ta tìm được vận tốc Đối với quan sát viên chuyển động theo trục x
của chất điểm đối với hqc K: dương với vận tốc 0,250c:
dx v′x + V a) Khoảng thời gian giữa hai biến cố là bao
vx = = nhiêu?
dt 1 + v′xV c 2
b) Bóng nào được bật sáng trước?
dy γ v′y
vy = = tương tự cho vz
dt 1 + v′xV c 2
- Trả lời BT 3 – 1 Trả lời BT 3 – 2
• Theo qsv K’ thì K • Hay:
chuyển động với vận
1 β
tốc V = 0,250c theo V K’ ∆t ′ = − ∆x β = 0,250
chiều âm của trục x, 1− β c2
• Biến đổi Lorentz cho ta:
• Ta có: ∆x = x vang − x do = 30 km
V
t′ = γ t − 2 x Δx
c K
• Do đó: ∆t ′ = t vang
′ − t do
′ = −2,58 × 10−5 s
• Thời gian giữa hai biến
cố là:
V V • Theo K’ thì đèn vàng bật sáng trước một
∆t ′ = γ ∆t − 2 ∆x ∆t ′ = −γ ∆x khoảng thời gian là 25,8 μs.
c c2
Bài tập áp dụng 4 Trả lời BT 4 – 1
Hai thiên hà A và B đang đi ra xa khỏi chúng ta ở • Đối với thiên hà A chúng ta có vận tốc –V, do đó
hai phía đối diện với cùng vận tốc 0,55c. thiên hà B có vận tốc cho bởi:
vx − V
Tìm vận tốc của thiên hà B đối với thiên hà A. v′x =
1 − v xV c 2
• Vận tốc của thiên hà B đối với chúng ta: vx = –V
V V
V A K’ v’ A K’
B B
K K
- Trả lời BT 4 – 2 5a. Khối lượng tương đối tính
• Suy ra: • Khối lượng của một chất điểm:
• đo trong hệ quy chiếu gắn liền với chất điểm
−V − V 2 × 0,55c
v′x = =− = −0,84c đó, là khối lượng nghỉ m0 của nó.
1+V c
2 2
1 + 0,552
• đo trong một hệ quy chiếu khác, trong đó chất
• Khác với kết quả theo cơ học cổ điển (1,10c). điểm chuyển động với vận tốc v, thì lớn hơn
khối lượng nghỉ:
• Công thức cộng vận tốc của thuyết tương đối
đảm bảo rằng vận tốc tổng hợp luôn nhỏ hơn c. m0
m= ≡ γ m0
1 − v2 c 2
5b. Động lượng tương đối tính 5c. Năng lượng tương đối tính
• Động lượng của một chất điểm trong thuyết • Năng lượng của một
tương đối là: chất điểm chuyển động: E = mc 2
p = mv = γ m0v
• Năng lượng nghỉ: E0 = m0c 2
• Phương trình động lực học: • Động năng: K = ( m − m0 ) c 2
dp d ( γ m0v )
= =F
(
E 2 = ( pc ) + m0c 2 )
2
• Hệ thức giữa động 2
dt dt lượng và năng lượng:
( pc )
2
= K 2 + 2Km0c 2
- Bài tập 5.1 Trả lời BT 5.1 – 1
Một hạt pion (mπ = 273me) đang đứng yên phân • Năng lượng được bảo toàn trong phản ứng:
rã thành một muon (mμ = 207me) và một phản
mπ c 2 = K µ + mµ c 2 + Kυ + mυ c 2
neutrino (mῡ ≈ 0) theo phản ứng:
π − → µ − +υ (m π − mµ ) c 2 = K µ + K υ ≈0
Độ hụt khối Δm
Tìm (bằng eV): của phản ứng
(a)Động năng của muon. K µ + Kυ = ∆mc 2 (1 )
(b) Động năng của phản neutrino. • Động lượng được bảo toàn:
⇒ ( pµ c ) = ( pυ c )
2 2
0 = pµ + pυ
Trả lời BT 5.1 – 2 Trả lời BT 5.1 – 2
• Biểu diễn qua động năng: • Δm = (273−207)me = 66me
K µ2 + 2K µ mµ c 2 = K υ2 ( 2) 662 me2c 2 4356
Kµ = = mec 2
• Thay Kῡ từ (1): 273me 273
( )
2
K µ2 + 2K µ mµ c 2 = ∆mc 2 − K µ • mec2 = 0,511 MeV
= ( ∆mc ) − 2K ∆mc
2 • Kμ = 4,07 MeV
2
µ
2
+ K µ2
• Kῡ = 29,6 MeV
( ∆m + m )c = ( ∆mc )
2
⇒ 2K µ µ
2 2
∆m2c 2
Kµ =
mπ
nguon tai.lieu . vn
