Xem mẫu
- Nội dung
1. Thông lượng dòng nước
2. Thông lượng ñiện trường (ñiện thông)
3. Định luật Gauss
Định luật Gauss 4. Dạng vi phân của ñịnh luật Gauss
5. Bài tập áp dụng
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
nguyenquangle@zenbe.com
1. Thông lượng dòng nước – 1 1. Thông lượng dòng nước – 2
• Xét một dòng nước chảy thẳng ñều với vận tốc v, • Nếu (S) tạo một góc với dòng nước thẳng ñều,
và một mặt phẳng (S), ñặt vuông góc với dòng • thông lượng của nước qua (S) là:
chảy. Φ = vS cos α = v ⋅ n S
• Thông lượng Φ của nước qua (S) (thể tích nước • Dấu của Ф phụ thuộc vào góc α.
qua (S) trong một ñơn vị thời gian):
Thể tích nước
• Ф = v.S Thể tích nước v trong hình trụ
v trong hình trụ nghiêng này
này sẽ ñi qua n sẽ ñi qua (S)
(S) trong một α trong một
giây. giây.
S
- 1. Thông lượng dòng nước – 3 1. Thông lượng dòng nước – 4
• Dòng nước bất kỳ, mặt cong (S) bất kỳ. • Có thể coi mỗi phần dS là phẳng, và dòng chảy
• Chia (S) làm nhiều phần nhỏ diện tích dS. qua ñó là thẳng ñều. Do ñó,
• thông lượng qua dS là:
dΦ = vdS cos α = v ⋅ n dS
Dòng nước
• v, n là vectơ vận tốc và pháp vectơ trên dS.
v • Thông lượng qua cả mặt cong (S) sẽ là tổng thông
n
lượng qua tất cả các phần dS:
dS Φ = ∫ dΦ = ∫ v ⋅ n dS
(S )
Mặt cong (S)
1. Thông lượng dòng nước – 5 2. Thông lượng ñiện trường – Định nghĩa
• Nếu mặt (S) là một mặt kín thì ta quy ước chọn n • Tương tự, chúng ta cũng ñịnh nghĩa thông lượng
hướng ra ngoài mặt (S). ñiện trường qua một mặt (S) bất kỳ là:
• Do ñó thông lượng nước qua một mặt kín = lưu
Φ = ∫ dΦ = ∫ E ⋅ n dS
lượng nước ñi ra ở một bên trừ ñi lưu lượng nước (S )
ñi vào ở phía bên kia.
• với E, n là vectơ ñiện trường và pháp vectơ trên
Thông
dS.
n n lượng ra
v là dương • Điện thông cũng là số ñại số.
v • Đối với mặt (S) kín, pháp vectơ cũng ñược chọn
hướng ra ngoài.
Thông
lượng
vào là âm
- 2. Thông lượng ñiện trường – Ý nghĩa 3a. Định luật Gauss – 1
• Điện thông qua mặt dS vuông góc với ñiện trường • Điện thông qua một mặt kín (S) bằng tổng các
là dΦ = EdS, ñiện tích bên trong (S) chia cho ε0:
• dΦ = số ñường sức ñi qua dS. Q Điện trường do tất
Φ S = ∫ E ⋅ n dS = in
cả các ñiện tích có
• Do ñó ñiện thông Φ qua (S) bằng tổng số ñường (S ) ε0 mặt tạo ra, nhưng
sức qua (S). q3 chỉ các ñiện tích
• Φ > 0 khi các ñường sức ñi theo chiều của pháp bên trong (S) mới
vectơ, ñóng góp vào ñiện
q5 thông qua (S). Tại
• Φ < 0 khi chúng theo chiều ngược lại. q1 sao?
E
• Φ qua một mặt kín = số ñường sức ñi ra trừ số q4
ñường sức ñi vào. q2 Qin = q2 + q5 − q1
3a. Định luật Gauss – 2 3b. Định luật Gauss & dòng nước – 1
Mặt kín
(S)
q>0 q0 Ф
- 3b. Định luật Gauss & dòng nước – 2 3b. Định luật Gauss & dòng nước – 3
Mặt kín Mặt kín
(S) (S)
Nước vào Nước ra Nước vào Nước ra
Nước vào < Nước ra Lưu lượng qua (S) > 0 Nước vào > Nước ra Lưu lượng qua (S) < 0
Cá phun nước ~ ñiện tích dương Cá uống nước ~ ñiện tích âm
3b. Định luật Gauss & dòng nước – 4 4a. Divergence (div) – ñịnh nghĩa
• Xét một mặt kín nhỏ (∆S) bao quanh một ñiểm
Mặt kín M(x,y,z).
(S)
• Thể tích giới hạn bởi mặt kín này là ∆V và ñiện
thông qua (∆S) là ∆Φ.
Nước vào Nước ra
(∆S) E
M(x,y,z)
∆V
Nước vào = Nước ra Lưu lượng qua (S) = 0
Cá ở ngoài không thể thay ñổi lưu lượng.
- 4a. Divergence (div) – ñịnh nghĩa (tt) 4b. Divergence trong tọa ñộ Descartes
• Giới hạn của ∆Ф/∆V khi (∆S) tiến rất gần tới M • Trong tọa ñộ Descartes divE tại M(x,y,z) có biểu
ñược gọi là divergence của ñiện trường tại M: thức:
∆Φ ∂E ∂E ∂E
divE = lim divE = x + y + z
∆V → 0 ∆V ∂x ∂y ∂z
• Như vậy divergence là thông lượng tính trên một • trong ñó các ñạo hàm riêng ñược thực hiện ở vị trí
ñơn vị thể tích trong (∆S). M(x,y,z).
4c. Dạng vi phân của ñịnh luật Gauss 5a. Bài tập 1 – ñối xứng trụ
• Áp dụng ñịnh luật Gauss cho (∆S), trong ñó có • Cho một dây không dẫn ñiện, dài vô hạn, tích
chứa ñiện tích ∆Q: ñiện ñều với mật ñộ λ > 0. Tìm ñiện trường ở
∆Q khoảng cách r tính từ trục của dây.
∆Φ =
ε0 • Nhận xét:
• Chia hai vế cho thể tích ∆V trong mặt kín rồi lấy • Dây có tính ñối xứng trụ, tức là ñối xứng ñối với
giới hạn khi ∆V tiến tới không: trục của nó.
∆Φ ∆Q Mật ñộ ñiện tích • Do ñó ñiện trường do dây tạo ra cũng có tính ñối
lim = lim
∆V → 0 ∆ V ∆V → 0 ∆V ởM xứng trụ.
ρ
divE =
ε0
- 5a. Trả lời BT 1 – 1 5a. Trả lời BT 1 – 2
Mặt trụ
• Do tính ñối xứng trụ, ñiện trường có tính chất như ñồng trục
sau: λ
• Đường sức ñiện trường là những ñường thẳng
xuyên tâm trong các mặt phẳng cắt trục ñối xứng. E E
• Xét một mặt trụ ñồng trục với dây;
r
• Điện trường vuông góc với mặt trụ này và có ñộ l
lớn không ñổi trên ñó.
E
Nhìn từ trên
xuống
Nhìn ngang
5a. Trả lời BT 1 – 3 5b. Bài tập 2 – ñối xứng phẳng
• Xét mặt kín (S) gồm mặt trụ ñồng trục với dây, có • Cho một bản phẳng vô hạn, không dẫn ñiện, tích
bán kính r và chiều cao l và hai ñáy của nó. ñiện ñều với mật ñộ σ > 0. Xác ñịnh ñiện trường ở
• Điện thông qua (S) bằng ñiện thông qua mặt bên khoảng cách r tính từ bản phẳng.
hình trụ: • Nhận xét:
Φ = ∫ EdS = E ⋅ 2πrl • Hệ có tính ñối xứng ñối với mặt phẳng ñi qua bản
• Mặt khác, theo ñịnh luật Gauss thì: tích ñiện,
Q λ ⋅l • do ñó ñiện trường do bản tạo ra cũng ñối xứng ñối
Φ = in =
ε0 ε0 với bản phẳng.
• Do ñó: λ
E=
2πε 0 r
- 5b. Trả lời BT 2 – 1 5b. Trả lời BT 2 – 2
• Điện trường này có ñặc ñiểm: Mặt trụ kín
vuông góc
• Đường sức là những ñường thẳng song song với bản
vuông góc với bản phẳng tích ñiện, có chiều ñối
xứng qua bản.
• Trên một mặt phẳng song song với bản thì ñiện E
trường có ñộ lớn không ñổi.
A
E
Đáy (A)
Nhìn ngang
5b. Trả lời BT 2 – 3 5c. Bài tập 3 – ñối xứng cầu
• Xét mặt kín (S) là một mặt trụ vuông góc với bản, • Một vỏ cầu mỏng bán kính R có ñiện tích q > 0
nhận bản làm mặt phẳng ñối xứng. phân bố ñều trên bề mặt. Tìm ñiện trường do vỏ
• Điện thông qua (S) bằng hai lần ñiện thông qua cầu tạo ra ở bên trong và bên ngoài nó.
mặt ñáy (A): • Nhận xét:
• Hệ có tính ñối xứng cầu ñối với tâm của vỏ cầu,
Φ S = 2∫ E ⋅ ndS = 2 E ∫ dS = 2 EA
( A) ( A) • ñiện trường do hệ tạo ra cũng có tính ñối xứng
• Mặt khác, theo ñịnh luật Gauss thì: cầu ñối với tâm vỏ cầu.
Qin σA σ
ΦS = = E=
ε0 ε0 2ε 0
- 5c. Trả lời BT 3 – 1 5c. Trả lời BT 3 – 2
• Xét mặt kín (S) là một mặt cầu bán kính r ñồng
Đường sức là những tâm với vỏ cầu. Điện trường trên (S) không ñổi
ñường xuyên tâm. nên ñiện thông qua nó là:
Φ S = ∫ E ⋅ n dS = E ∫ dS = E.4πr 2
Trên một mặt cầu tâm (S ) (S )
O, ñiện trường có ñộ • Mặt khác theo ñịnh luật Gauss thì:
O
lớn không ñổi.
Qin
ΦS =
ε0
E Qin
• Do ñó: E=
4πε 0 r 2
5c. Trả lời BT 3 – 3
• Để tìm Qin chúng ta phân biệt hai trường hợp, khi
r < R và r ≥ R:
Điện trường bên
r
nguon tai.lieu . vn
