Xem mẫu
- Nội dung
1. Vận tốc góc và gia tốc góc
2. Momen ñộng và momen lực ñối với một trục
3. Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay
Vật rắn 4. Công và năng lượng trong chuyển ñộng quay
5. Chuyển ñộng lăn
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
nguyenquangle59@yahoo.com
1a. Vị trí góc 1b. Vận tốc góc θf
• Khi vật rắn quay quanh một • Trong thời gian ∆t vật rắn θi
trục cố ñịnh mỗi chất ñiểm quay ñược một góc: ∆θ
ñều chuyển ñộng tròn, với
tâm ở trên trục quay. ∆θ = θ f − θ i
• Chọn một chất ñiểm thuộc vật ∆θ > 0, ω > 0
• Vận tốc góc trung bình ngược chiều kim ñồng hồ
rắn, có vị trí cho bởi các tọa ñược ñịnh nghĩa như sau:
ñộ cực r, θ.
• θ cũng là vị trí góc của cả vật r ∆θ
θ ωav =
rắn, chứ không phải của riêng ∆t ∆θ
chất ñiểm ñang xét.
∆θ < 0, ω < 0
cùng chiều kim ñồng hồ
- 1b. Vận tốc góc (tt) z 1c. Gia tốc góc
• Vận tốc góc tức thời là một ω • Gia tốc góc trung bình:
vectơ xác ñịnh bởi: ∆ω
α av =
ω = ω uz
ω = dθ dt
uz ∆t
• Gia tốc góc tức thời là một vectơ xác ñịnh bởi:
• với uz là vectơ ñơn vị trên
z dω dω
trục quay z, hướng theo α=
= α uz
α=
chiều thuận ñối với chiều dt dt
ngược chiều kim ñồng hồ.
• Mọi chất ñiểm trong vật rắn • Mọi chất ñiểm trong vật rắn quay ñều có cùng gia
quay ñều có cùng vận tốc tốc góc.
ω
góc.
1d. Liên hệ giữa vận tốc góc và vận tốc dài 1e. Liên hệ giữa gia tốc góc và gia tốc dài
• Ta có: s = θ r • Gia tốc tiếp tuyến:
s at
• Đạo hàm theo thời gian cho ta: θ dv d (ω r ) dω ut
r at = = =r
dt dt dt
v = ωr v =ω×r un
a
an
z at = α r
• hay tổng quát hơn nữa:
ω
v • Gia tốc pháp tuyến:
v =ω×R
v 2 (ω r )
2
r
• R là vị trí của chất ñiểm ñối an = =
R r r
với một ñiểm gốc bất kỳ trên
trục quay. an = ω 2 r
- 2a. Phụ lục toán 2a. A useful formula (cont.)
z
• Xét hình chiếu trên trục z z • From vector calculus we get:
của vectơ R × A, (a × b )⋅ c = (b × c )⋅ a = (c × a ) ⋅ b ut
A uz
• R là vị trí của chất ñiểm ñối • Applying it here gives: r
với gốc O trên trục quay, (R × A)⋅ uz = (uz × R )⋅ A
r|| R
• còn A là một vectơ xác ñịnh R • Resolve R in to r|| parallel and
ở vị trí ñang xét. uz
r perpendicular to z-axis, we ut
• Chúng ta cần tìm một biểu have:
=0
thức thuận tiện cho ñại r
u z × R = u z × r|| + u z × r = u z × r
uz
lượng:
• Furthermore:
(R × A)z = (R × A)⋅ uz
u z × r = ru t
2a. Phụ lục toán (tt) 2b. Momen ñộng ñối với trục quay
t φ A
• Momen ñộng ñối với trục
(R × A) = rut ⋅ A = rAt z
z
r φ quay z là hình chiếu của
p ut
• At là hình chiếu của A trên momen ñộng trên z.
l
phương pháp tuyến. • Với chất ñiểm ở vị trí R và r
• hay: có ñộng lượng p: R
(R × A)z = rut ⋅ A = rA cosϕ φ
Lz = (R × p ) ⋅ u z
uz
t
r cos ϕ = ±l A
l r • Dùng công thức trong phụ
(R × A)z = rut ⋅ A = ±lA
π–φ lục toán vừa rồi ta ñược:
• l là chiều dài tay ñòn của A. Lz = rpt = rmv
- z
2b. Momen ñộng ñối với trục quay (tt) 2c. Momen lực ñối với trục quay F
• Biểu diễn qua vận tốc góc ta có: • Momen lực ñối với trục
quay z là hình chiếu của
Lz = rmv = rm(ωr ) = mr 2ω
momen lực trên z.
• Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm thuộc vật rắn: R
• Với một chất ñiểm: uz
Lz = ∑ mi ri 2 ω τ z = (R × F )⋅ u z
i • Theo phụ lục ta có thể viết: F
• Momen quán tính của vật rắn ñối với trục z ñược
ñịnh nghĩa là: τ z = ±lF
I = ∑ mi ri 2 (+) khi lực có xu hướng l
i
quay chất ñiểm ngược
• Vậy: Lz = Iω chiều kim ñồng hồ.
3a. Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay 3b. Bài tập 3.1
• Khi vật rắn quay quanh trục z: • Tìm momen quán tính của một vành tròn ñồng
nhất khối lượng M, bán kính R ñối với:
dL dLz
= τ tot = τ tot , z • (a) trục ñối xứng của vành,
dt dt
• (b) trục song song với trục ñối xứng, ñi qua một
dω Tổng momen ngoại ñiểm trên vành tròn.
I = ∑ ± li Fi
dt i
lực ñối với trục quay
• Momen quán tính I càng lớn vật càng khó quay.
- 3b. Trả lời bài tập 3.1 3c. Bài tập 3.2
• Chia vành làm nhiều phần • Một ròng rọc có dạng như
tử nhỏ khối lượng dm, ta có: (b) (a)
hình vẽ.
dm
I a = ∫ r dm = R
2 2
∫ dm = MR
2
R
• Phần dây quấn quanh hình
trụ bán kính R1, tác ñộng một
• Dùng ñịnh lý Steiner: lực T1 nằm ngang lên nó.
d • Phần dây quấn quanh hình
I b = I a + Md 2 trụ bán kính R2 tác ñộng
một lực T2 hướng thẳng ñứng
• Suy ra: Momen quán tính của xuống.
I b = I a + MR = 2 MR
2 2
một số vật thường gặp.
3c. Bài tập 3.2 (tt) 3c. Trả lời bài tập 3.2
(a) Tìm biểu thức của momen lực toàn phần tác • Momen lực toàn phần tác
ñộng lên ròng rọc ñối với trục quay z. ñộng lên ròng rọc ñối với
(b) Xét trường hợp T1 = 5,0 N, R1 = 1,0 m, T2 = trục quay z là:
15,0 N và R2 = 0,50 m,
τ tot , z = − R1T1 + R2T2
– Tìm momen lực toàn phần ñối với trục quay,
– Ròng rọc sẽ quay theo chiều nào, biết rằng lúc • Thay bằng số ta có:
ñầu nó ñứng yên?
τ tot , z = −1× 5 + 0,5 × 15 = 2,5 ( N .m )
• τz > 0, ròng rọc quay ngược
chiều kim ñồng hồ.
- 3.d Bài tập 3.3 3.d Trả lời bài tập 3.3 - 1
• Hai vật khối lượng m1 và • Dùng ñịnh luật 2 T2
T1
m2 ñược nối với nhau Newton cho
y
bằng một dây nhẹ, dây • m1 trên y hướng xuống:
vắt qua hai ròng rọc m1a1 = m1 g − T1
không ma sát (hình vẽ). y m1g m2g
• m2 trên y hướng lên:
• Mỗi ròng rọc có momen
quán tính I và bán kính R. m2 a2 = T2 − m2 g
N T’ T’ N
• Tìm gia tốc của mỗi vật • ròng rọc quanh trục z R R
và các sức căng dây. hướng ra ngoài:
Iα = R(T1 − T ′) mg mg T2
T1
Iα = R(T ′ − T2 )
3.d Trả lời bài tập 3.3 - 2 3.d Trả lời bài tập 3.3 - 3
• Hai vật có gia tốc bằng nhau: • Lấy tổng các pt (1) – (4) ta ñược:
a1 = a2 ≡ a
m + m + 2 I a = (m − m ) g
• Dây không trượt nên vận tốc của một ñiểm trên 1 2 1 2
R2
vành ròng rọc = vận tốc vật:
ωR = v ⇒ αR = a (m1 − m2 )g
a=
I
• Ta có hệ phương trình sau: m1 + m2 + 2
R2
m1a = m1 g − T1 (1)
• Thế gia tốc a vào (1), (2) và (3) ta có các sức
m2 a = T2 − m2 g (2) căng.
Ia / R 2 = T1 − T ′ (3)
Ia / R 2 = T ′ − T2 (4)
- 4a. Động năng của vật rắn quay 4b. Công trong chuyển ñộng quay
• Động năng của một chất ñiểm vận tốc v ở khoảng • Công sơ cấp: z
dW = F ⋅ v dt = F ⋅ (ω × R )dt
cách r ñối với trục quay: F
ω
K = 12 mv 2 = 12 m(ωr ) = 12 mr 2ω 2 • Ta có:
2
dr
F ⋅ (ω × R ) = (R × F ) ⋅ ω
• Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm, ta có ñộng
năng của vật rắn quay: • Do ñó: R
1 dW = τ ⋅ ω dt = τ zω dt = τ z dθ
K = ∑ mi ri 2 ω 2
2 i • Suy ra công và công suất:
θf
1
K = Iω 2 W = ∫ τ z dθ P = τ zω
2 θi
4c. Bài tập 4.1 4c. Trả lời bài tập 4.1 - 1
• Một thanh ñồng nhất chiều • Vì không có ma sát nên
dài L, khối lượng m có thể cơ năng thanh bảo toàn:
quay không ma sát quanh
một trục ngang ñi qua một ∆E = ∆ (K + U g ) = 0
ñầu thanh. Thanh ñược thả
∆K = K f = 12 Iω 2
không vận tốc ñầu khi
ñang nằm ngang. Tìm: • Khối tâm là ñiểm ñặt của
• (a) vận tốc góc khi thanh ở toàn bộ trọng lượng, do
vị trí thẳng ñứng, ñó thế năng trọng trường Thế năng trọng trường
• (b) vận tốc khối tâm ở vị của thanh là: của một vật rắn:
Ug = mgyCM
trí ñó. U g = mgyCM
- 4c. Trả lời bài tập 4.1 - 2 4c. Trả lời bài tập 4.1 - 3
y
• Với trục y hướng lên ta có: • Giữa vận tốc dài của một
chất ñiểm của vật rắn và
∆U g = mg∆yCM = − mgL / 2 vận tốc góc có hệ thức:
v = ωr
• Suy ra:
• r là khoảng cách từ chất vCM
∆E = Iω − mgL = 0
1
2
2 1
2 ñiểm ñến trục quay.
Định lý Steiner: • Với khối tâm thì r = L/2:
mgL
ω= I = I CM + m( L / 2 )
2
I L 1 3g 2 1
= mL / 12 + mL / 4
2 2 vCM = ω = ⋅L = 3 gL
3g 2 2 L 2
ω= = mL2 / 3
L
4d. Bài tập 4.2 4d. Trả lời bài tập 4.2
• Hai vật khối lượng m1 và m2 • Vì không có ma sát nên cơ năng
ñược treo ở hai bên một ròng bảo toàn:
rọc không ma sát bằng một dây ∆E = ∆ (K + U g ) = 0
nhẹ. • Độ biến thiên ñộng năng:
• Ròng rọc có bán kính R và ∆K = K f = 12 m1v12 + 12 m2 v22 + 12 Iω 2
momen quán tính I ñối với trục
quay. Lúc ñầu hệ ñược thả • Ta cũng có:
không vận tốc. v1 = v2 ≡ v ωR = v
• Tìm vận tốc dài của hai vật vào • Do ñó:
lúc vật 2 xuống ñược một ∆K = 12 (m1 + m2 + I / R 2 )v 2
khoảng h.
- 4d. Trả lời bài tập 4.2 (tt) 5a. Chuyển ñộng lăn của vật rắn
• m1 ñi lên một khoảng h khi m2 ñi xuống cùng một • Khi một xe ñạp chuyển ñộng, khối tâm của mỗi
khoảng, vì vậy ñộ biến thiên thế năng của hệ là: bánh xe có chuyển ñộng tịnh tiến.
∆U g = m1 gh − m2 gh • Tuy nhiên, một ñiểm trên vành bánh xe lại có quỹ
ñạo là một cycloid.
• Vậy ta có:
• Chuyển ñộng của bánh xe là chuyển ñộng lăn.
∆E = 12 (m1 + m2 + I / R 2 )v 2 + (m1 − m2 )gh = 0
2(m2 − m1 )gh
v=
m1 + m2 + I / R 2
5b. Vận tốc của khối tâm 5c. Kết hợp tịnh tiến và quay
• Xét bánh xe lăn không • Lăn không trượt là sự kết
trượt, hợp của chuyển ñộng tịnh vrot
v
• Khi một ñiểm trên vành ñi tiến của khối tâm,
ñược một cung tròn có r
• và chuyển ñộng quay quanh
r
chiều dài s = rθ, một trục ñi qua khối tâm.
vCM
• thì khối tâm cũng tịnh tiến • Do ñó một chất ñiểm thuộc
ñược cùng một khoảng ñó. s = rθ vật có vận tốc cho bởi:
• Do ñó ta có:
v = vCM + vrot
ds dθ
=r vCM = r ω
dt dt v = vCM + ω × r
- 5c. Kết hợp tịnh tiến và quay (tt) 5d. Động năng của chuyển ñộng lăn
vrot = vCM
• Một chất ñiểm trên vành có v = 2vCM • Động năng của chuyển ñộng lăn là tổng
vận tốc quay là vrot = ωr. • ñộng năng tịnh tiến của khối tâm,
• Ở vị trí thấp nhất: vCM • và ñộng năng quay quanh trục ñi qua khối tâm.
v = vCM − vrot = 0
• Ở vị trí giữa: vrot = – vCM K = 12 MvCM
2
+ 12 Iω 2
v = vCM 2
+ vrot
2
= ωr 2 • trong ñó M, I là khối lượng và momen quán tính
v
• Ở vị trí cao nhất: vrot ñối với trục quay của vật.
v = vCM + vrot = 2ωr
vCM
• Minh họa.
5e. Bài tập 5.1 5e. Trả lời bài tập 5.1 - 1
• Một quả cầu khối lượng • Khi vật lăn không trượt vận
M và bán kính R lăn tốc của tiếp ñiểm luôn băng
xuống một mặt phẳng không,
nghiêng với vận tốc ñầu • vì vậy ma sát là ma sát tĩnh,
bằng không. không thực hiện công.
• Tìm vận tốc khối tâm quả • Cơ năng ñược bảo toàn:
cầu ở cuối mặt phẳng ∆E = ∆ (K + U g ) = 0
nghiêng.
• Độ biến thiên ñộng năng:
∆K = K f = 12 MvCM
2
+ 12 Iω 2
- 5e. Trả lời bài tập 5.1 - 2 5e. Trả lời bài tập 5.1 - 3
• Do lăn không trượt nên: • Momen quán tính của quả cầu ñối với một trục ñi
ω = vCM R qua tâm là I = 2MR2/5.
• Suy ra: • Do ñó: 2 gh 10 gh
vCM = =
∆K = 12 (M + I R 2 )vCM
2 1+ 2 5 7
• Độ biến thiên thế năng: • Nếu vật là vành tròn có cùng khối lượng và bán
∆U g = Mg∆yCM = − Mgh kính, momen quán tính sẽ là I = MR2:
2 gh
• Vậy: vCM = = gh
∆E = 12 M (1 + I MR 2 )vCM
2
− Mgh = 0 1+1
• Vật với tỷ số I/MR2 nhỏ hơn sẽ lăn xuống nhanh
2 gh
vCM = hơn (Ví dụ 1, 2).
1 + I MR 2
5f. Bài tập 5.2 5f. Trả lời bài tập 5.2 - 1
• Trong bài tập 5.1, hãy tìm • Dùng ñịnh luật 2 Newton N
biểu thức của gia tốc khối cho
tâm. • khối tâm trên trục x:
fs
MaCM = Mg sin θ − f s
• quả cầu quay quanh trục z mg x
hướng ra ngoài:
Iα = − f s R
• Vì ω (< 0) giảm dần khi Trục z hướng ra
lăn xuống nên α < 0. ngoài nên vật lăn
xuống có ω < 0.
- 5f. Trả lời bài tập 5.2 - 2
• Vì lăn không trượt nên giữa gia tốc góc và gia tốc
khối tâm có hệ thức: α = – aCM/R.
• Ta có hệ phương trình sau:
MaCM = Mg sin θ − f s
(I / R )a
2
CM = fs
• Giải hệ ta ñược:
g sin θ 5
aCM = = g sin θ
1 + I / MR 2
7
• Vật với tỷ số I/MR2 nhỏ hơn sẽ có gia tốc lớn hơn.
nguon tai.lieu . vn
