Xem mẫu
- Nội dung
1. Khối tâm
2. Định luật 2 Newton cho hệ chất ñiểm
3. Momen ñộng lượng
Hệ chất ñiểm
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
nguyenquangle59@yahoo.com
1a. Chuyển ñộng của hệ chất ñiểm 1b. Khối tâm
• Cho ñến nay chúng ta chỉ mới xét chuyển ñộng của • Thử xem lại các ví dụ vừa rồi: cây thước, vận
các hệ có thể coi là chất ñiểm. ñộng viên vượt rào.
• Chuyển ñộng của các vật thể lớn hay hệ chất ñiểm • Với mỗi hệ ta có thể ñịnh một vị trí có chuyển
thường phức tạp hơn. ñộng tuân theo ñịnh luật 2 Newton: khối tâm của
• Ví dụ 1: cây thước. hệ.
• Ví dụ 2: vận ñộng viên vượt rào. • Khối tâm (CM) có vị trí:
1
rCM = ∑ mi ri
M i
• M là khối lượng hệ, tổng ñược lấy trên tất cả các
chất ñiểm có khối lượng mi và vị trí ri của hệ.
Chuyển ñộng của mỏ lết
- 1c. Bài tập 1.1 1.c Trả lời bài tập 1.1
• Một hệ gồm ba chất • Tọa ñộ của khối tâm:
ñiểm có vị trí như trên m x + m2 x2 + m3 x3
hình vẽ, với m1 = m2 = xCM = 1 1
m1 + m2 + m3
1,0 kg và m3 = 2,0 kg.
m y + m2 y2 + m3 y3
• Hãy tìm khối tâm của yCM = 1 1
m1 + m2 + m3
hệ. rCM
• Thay bằng số ta ñược:
1+ 2 + 2× 0 3
xCM = = = 0,75 ( m )
1+1+ 2 4
1× 0 + 1× 0 + 2 × 2 4
yCM = = = 1,0 ( m )
1+1+ 2 4
1d. Bài tập 1.2 1.d Trả lời bài tập 1.2
• Hãy chứng tỏ rằng khối tâm của một thanh có • Chọn trục x theo chiều
khối lượng M và chiều dài L nằm ở trung ñiểm dài thanh. Đoạn vi phân
x
của nó. Giả sử khối lượng trên một ñơn vị dài của dx ở vị trí x có
thanh là hằng số. • khối lượng dm = λdx.
• λ là khối lượng trên một
dx
ñơn vị dài.
• Khối tâm có tọa ñộ cho
bởi:
1
xCM = ∫ xdm
M
- 1.d Trả lời bài tập 1.2 (tt) 1e. Bài tập 1.3
• Suy ra: • Xét một thanh không ñồng nhất, có khối lượng
trên một ñơn vị dài thay ñổi theo vị trí x: λ = αx,
λ
L L
1 α là hằng số. Tìm vị trí khối tâm theo chiều dài L
xCM = ∫ xdx = ∫ xdx
M0 L0 của thanh.
• trong ñó λ/M = 1/L
• Tích phân trên cho ta:
xCM =
2L
[x ]0 = 2
1 2 L L
1.e Trả lời bài tập 1.3 1.e Trả lời bài tập 1.3 (tt)
• Làm tương tự như bài tập 1.2 ta có: • Khối lượng của thanh ñược xác ñịnh bởi:
1
L
α
L
M = ∫ dm = ∫ λdx
xCM = ∫ xλdx = ∫ x 2 dx
M0 M0
• Thay thế biểu thức của λ ta có:
• Tích phân cho ta:
α αL2
L
α αL3
M = α ∫ xdx = [x ]
2 L
0 =
xCM =
3M
[x ] 3 L
0 =
3M
0
2 2
• Do ñó:
αL32
xCM = = L
3M 3
- 2a. Động lượng của hệ chất ñiểm 2b. Định luật 2 Newton cho hệ chất ñiểm
• Lấy ñạo hàm vị trí khối tâm theo thời gian, ta • Đạo hàm vận tốc khối tâm theo thời gian:
ñược vận tốc khối tâm:
dpi dP dpi
MaCM = ∑ = = Fi , tot
1 1 dt dt
vCM = ∑ mi vi = ∑ pi i dt
M i M i • trong ñó ta ñã dùng ñịnh luật 2 Newton cho từng
• Hay: chất ñiểm.
MvCM = ∑ pi ≡ P
• Suy ra:
dP Ftot là tổng ngoại lực
= Ftot
i
dt tác ñộng lên hệ.
• Động lượng của hệ bằng ñộng lượng của một chất
ñiểm có khối lượng bằng khối lượng của hệ M, • Khi Ftot = 0, ñộng lượng của hệ bảo toàn, do ñó
chuyển ñộng với vận tốc khối tâm vCM. khối tâm chuyển ñộng thẳng ñều.
2c. Chuyển ñộng của khối tâm 2d. Bài tập 2.1
• Ta có thể viết: • Mộ tên lửa nổ tung
thành nhiều mảnh trên
MaCM = Ftot
không.
• Khối tâm của một hệ có khối lượng M chuyển • Tìm quỹ ñạo khối tâm
ñộng như một chất ñiểm thực khối lượng M dưới của các mảnh vỡ sau
tác ñộng của tổng ngoại lực tác ñộng lên hệ. khi nổ.
• Khối tâm của cây thước.
• Khối tâm của vñv vượt rào.
- 2d. Trả lời bài tập 2.1 2e. Bài tập 2.2
• Trước khi nổ tên lửa chuyển • Hai xe trượt trên ñệm khí ñến va chạm nhau.
ñộng như một chất ñiểm, có • (a) Tìm vận tốc của chúng sau va chạm.
quỹ ñạo là một parabol.
• (b) Tìm vận tốc khối tâm của hệ hai xe trước và
• Gia tốc của khối tâm sau khi
sau va chạm.
nổ thỏa phương trình:
MaCM = Ftot
v = 1,0 m/s v = 0,0 m/s
• Lực toàn phần tác ñộng lên
hệ vẫn là trọng lực Mg.
• Suy ra: aCM = g.
• Do ñó khối tâm vẫn chuyển
ñộng theo quỹ ñạo parabol.
2e. Trả lời bài tập 2.2(a) 2e. Trả lời bài tập 2.2(b)
• Lực toàn phần trên phương ngang bằng không, do • Vận tốc khối tâm ñược xác ñịnh bởi:
ñó ñộng lượng trên phương ngang ñược bảo toàn. MvCM = P
• Trên trục x hướng sang phải ta có: • Vì ñộng lượng của hệ nằm ngang nên chiếu lên
m1v = m1v1 + m2 v2 ⇒ 1 = v1 + 0,7v2 trục x ta ñược:
• Công toàn phần tác ñộng lên hệ bằng không, do MvCM = P
ñó ñộng năng hệ cũng bảo toàn: • Trước va chạm:
2 m1v = 2 m1v1 + 2 m2 v2
1 2 1 2 1 2
⇒ 1 = v12 + 0,7v22 P =1 ⇒ vCM = 1 1,7 = 0,59m / s
• Giải hệ ta ñược: v1 = 0,18, v2 = 1,18 m/s. • Vì ñộng lượng ñược bảo toàn nên sau va chạm
• Minh họa. vận tốc khối tâm không thay ñổi.
∆Khệ = tổng công của các lực tác ñộng lên hệ
- 2f. Bài tập 2.3 2f. Trả lời bài tập 2.3(a)
• Hai vật khối lượng M và 3M • Vì lực toàn phần trên phương ngang bằng không
ñược ñặt trên một mặt phẳng nên ñộng lượng của hệ trên x ñược bảo toàn:
ngang không ma sát như Pi = Pf ⇔ 0 = 3Mv1 + Mv2
hình vẽ. Sau khi ñốt sợi dây • Nếu chọn trục x hướng sang phải thì:
giữa hai vật, vật 3M chuyển
ñộng sang phải với vận tốc v2 = −3v1 = −3 × 2(m / s ) = −6(m / s )
2,00 m/s. • Cơ năng của hệ cũng ñược bảo toàn vì không có
• (a) Tìm vận tốc của vật M ? ma sát:
• (b) Tìm thế năng ñàn hồi ∆E = 0 = ∆ (K + U g + U s )
ban ñầu của lò xo, cho biết • Ta có:
3 1
M = 0,350 kg. ∆K = K f = Mv12 + Mv22 = 6 Mv12
2 2
2f. Trả lời bài tập 2.3(b) 3a. Momen ñộng lượng của chất ñiểm
∆U g = 0 • Momen ñộng lượng của một z
∆U s = −U si chất ñiểm ñối với gốc O là:
L
• Suy ra: L=r×p
∆E = 6 Mv12 − U si = 0 y
• L có ñộ lớn: L = rp sin ϕ r
U si = 6 Mv12 = 6 × 0,350 × 4 = 8,4 ( J ) • phương vuông góc với mặt x p
φ
• Theo trên, thế năng ñàn hồi ban ñầu của lò xo ñã phẳng (r, p).
chuyển hoàn toàn thành ñộng năng của hệ. • chiều cho bởi quy tắc bàn tay
• Nếu có ma sát thì chỉ một phần của năng lượng phải.
này chuyển thành ñộng năng. • L ñặc trưng cho chuyển ñộng
quay.
- 3b. Bài tập 3.1 3b. Trả lời bài tập 3.1
z
• Một chất ñiểm chuyển • L vuông góc mặt phẳng xy
ñộng trong mặt phẳng xy và hướng theo chiều dương
trên một ñường tròn bán trục z (hình vẽ). L
kính r tâm O. • Trong chuyển ñộng tròn
y
• Tìm ñộ lớn và chiều ñộng lượng vuông góc với r
momen ñộng của chất vectơ vị trí, do ñó ta có: p
ñiểm ñối với tâm O, nếu x φ
L = rp sin ϕ = rp = rmv
vận tốc chất ñiểm là v.
3c. Momen lực 3c. Bài tập 3.2
• Momen của một lực ñối với z • Một con lắc gồm một vật khối O
gốc O ñược ñịnh nghĩa bởi: lượng m chuyển ñộng trên một
τ
quỹ ñạo tròn nằm ngang. Trong
τ =r ×F suốt chuyển ñộng dây treo
y chiều dài l hợp một góc không
• τ có ñộ lớn: τ = rF sin ϕ r ñổi θ với phương thẳng ñứng.
• phương vuông góc mặt x F • Tìm momen của trọng lực ñối
φ
phẳng (r, p). với ñiểm treo O.
• và chiều xác ñịnh bởi quy tắc
bàn tay phải.
• τ ñặc trưng cho chuyển ñộng
quay.
- 3c. Trả lời bài tập 3.2 3e. Định lý momen ñộng
O
• Định luật 2 Newton: F = dp dt
• Momen của trọng lực vuông
góc với mặt phẳng tạo bởi dây • Nhân hữu hướng hai vế với r:
treo và phương thẳng ñứng
dp
(mặt phẳng hình vẽ), và hướng r×F =r×
vào trong. dt
r • Ta có:
x τ
• τ có ñộ lớn: 0
=
d dr dp dp
τ = lmg sin θ θ (r × p ) = × p + r × = r ×
r dt dt dt dt
mg
θ • Suy ra:
( )
mg d r × p d L
r×F = τ =
dt dt
3e. Định lý momen ñộng (tt) 3f. Bài tập 3.3
• Đối với hệ chất ñiểm ta có: • Xét một cái cân ở trạng thái cân bằng (hình vẽ).
• Nếu vật nặng 5 N, WP = 45,7 cm và PS = 51,4
dL
τ ext = cm, hãy tìm chỉ số của lực kế lò xo.
dt
• τext là momen toàn phần của các ngoại lực tác
ñộng lên hệ.
• Minh họa: bánh xe quay, con quay.
• Khi tổng momen ngoại lực bằng không thì
momen ñộng của hệ ñược bảo toàn.
- 3f. Trả lời bài tập 3.3 3f. Trả lời bài tập 3.3 (tt)
• Hệ cân bằng ñối với ñiểm tựa P nên momen ngoại • Để chúng khử lẫn nhau ta phải có:
lực toàn phần ñối với P phải bằng không. τ1 = τ 2
• Momen của T1 hướng ra ngoài.
r1Mg = r2T2
• Momen của T2 thì hướng vào trong. τ1
r1
• • Chỉ số của lực kế, hay ñộ lớn lực T2, là:
r1 r2 r
T2 = 1 Mg
T2 T1 r2
T1 = Mg
45,7
T2 = × 5 ( N ) = 4,45 ( N )
51, 4
• Minh họa.
3g. Bài tập 3.4 3g. Trả lời bài tập 3.4
• Một con lắc gồm một vật khối • Ở vị trí ñang xét ñộng lượng
lượng m chuyển ñộng trên một của vật vuông góc với mặt
quỹ ñạo tròn nằm ngang. Trong phẳng hình vẽ. Giả sử nó
suốt chuyển ñộng dây treo hướng vào trong.
chiều dài l hợp một góc không
• L hướng thẳng ñứng lên trên.
ñổi θ với phương thẳng ñứng. L
• và có ñộ lớn:
• Hãy chứng tỏ rằng momen
ñộng của vật ñối với tâm vòng L = rmv
tròn O có ñộ lớn cho bởi: O L O r
1/ 2
m 2 gl 3 sin 4 θ
L= p x
cos θ r
- 3g. Trả lời bài tập 3.4 (tt)
• Dùng ñịnh luật 2 Newton
trên phương x và y: y
mv 2 / r = T sin θ
mg = T cosθ x
• lập tỷ số ta ñược: θ
T
v = rg tan θ
• Suy ra:
L = r 3 m 2 g tan θ
• Ta có: r = l sin θ mg
m 2 gl 3 sin 4 θ
⇒ L=
cosθ
nguon tai.lieu . vn
