- Trang Chủ
- Vật lý
- Bài giảng Vật lí chất rắn - Chương 2: Dao động của mạng tinh thể (Phần 3)
Xem mẫu
- VẬT LÍ CHẤT RẮN
Phạm Đỗ Chung
Bộ môn Vật lí chất rắn – Điện tử
Khoa Vật lí, ĐH Sư Phạm Hà Nội
136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
- Chương 2
• Dao động của mạng tinh thể
1. Dao động của mạng 3 chiều
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
4. Lượng tử dao động: Phonon
5. Nhiệt dung của vật rắn
• Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển
• Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein
• Nhiệt dung theo lí thuyết Debye
6. Sự giãn nở vì nhiệt
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 2
- 5. Nhiệt dung của vật rắn
• Nhiệt dung là đại lượng vật lí đặc trưng cho
sự thay đổi năng lượng của vật rắn theo
nhiệt độ.
• Sự thay đổi năng lượng là sự thay đổi động
năng của các nguyên tử tại nút mạng.
• Nhiệt dung của vật rắn có mối liên hệ chặt
chẽ với dao động mạng.
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 3
- Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển
1. Tinh thể là hệ các nguyên tử, mỗi nguyên
tử có 3 bậc tự do.
2. Các nguyên tử ở nút mạng, luôn luôn dao
động nhiệt.
3. Ở nhiệt độ đủ cao, coi như các nguyên tử
dao động độc lập nhau.
𝜀 ҧ = 𝑘𝐵 𝑇
kB là hằng số Boltzmann
T là nhiệt độ tuyệt đối
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 4
- Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển
Nội năng của tinh thể có N nguyên tử là:
𝐸 = 3𝑁𝑘𝐵 𝑇
Nhiệt dung của vật rắn là:
𝑑𝐸
C= = 3𝑁𝑘𝐵
𝑑T
Nếu xét 1 mol vật rắn, trong đó chứa NA
nguyên tử thì nhiệt dung của nó là:
C = 3𝑁𝐴 𝑘𝐵 = 3𝑅
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 5
- Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển
• Nhiệt dung của vật rắn không phụ thuộc nhiệt
độ và như nhau với mọi chất (định luật
Dulong-Petit).
• Ở nhiệt độ thấp, nhiệt dung cổ điển không phù
hợp với thực nghiệm: T→0 thì nhiệt dung thực
nghiệm tiến đến không (định lí Nernst)
Cần có một lí thuyết mới để xác định nhiệt
dung của vật rắn phù hợp hơn với thực
nghiệm ở vùng nhiệt độ thấp.
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 6
- Sửa đổi mô hình cổ điển
Năng lượng của dao động của mạng tinh thể
1 2 3 4
𝜔2
𝜔1
𝜔4 𝜔3
n
𝑛 𝜔𝑛
E = 𝐸𝑖 𝜔 E = 𝐸 𝜔𝑖
1 𝜔𝑖
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 7
- Sửa đổi mô hình cổ điển
Tổng năng lượng của N nguyên tử trong tinh thể
Tổng năng lượng của tất cả các loại phonon
𝑛 𝜔𝑛
E = 𝐸𝑖 𝜔 E = 𝐸 𝜔𝑖
1 𝜔𝑖
Trong mạng tinh thể các dao động mạng có tần số
𝜔 khác nhau là độc lập nhau (không tương tác)
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 8
- Sửa đổi mô hình cổ điển
Yêu cầu phù hợp với các định luật cơ bản của
vật lí, phù hợp với thực nghiệm và không mâu
thuẫn với cổ điển:
1. Nhiệt dung ở 0K phải bằng không (C=0)
2. Nhiệt dung ở nhiệt độ thấp tỉ lệ với T3
3. Nhiệt dung ở nhiệt độ cao tiến tới giá trị cổ điển
(phù hợp định luật Dulong-Petit)
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 9
- Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein
1. Các nguyên tử trong vật rắn dao động với cùng
một tần số ωE (tần số Einstein)-tức là chỉ có một
loại phonon trong tinh thể.
2. Năng lượng trung bình của dao động tử có tần số
ωE là:
𝑈 = 𝑛𝐸 ℏ𝜔𝐸
Trong đó:
1
𝑛 = ℏ𝜔𝐸
𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 10
- Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein
Xét tinh thể có N nguyên tử, tổng năng lượng của tinh
thể là tổng năng lượng của 3N dao động tử có giá trị là:
3𝑁ℏ𝜔𝐸
𝑈= ℏ𝜔𝐸
𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1
Ta tính được nhiệt dung của mạng tinh thể là:
ℏ𝜔𝐸
𝜕𝑈 2
𝑒 𝑘𝐵 𝑇
𝐶𝑉 = = 3𝑁 ℏ𝜔𝐸 2
𝜕𝑇 𝑉
ℏ𝜔𝐸
𝑘𝐵 𝑇 2 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 11
- Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein
• Ở nhiệt độ cao nhiệt dung tính theo lí thuyết Einstein là:
ℏ𝜔𝐸
2
𝑒 𝑘𝐵 𝑇
𝐶𝑉 = 3𝑁 ℏ𝜔𝐸 2 = 3𝑁𝑘𝐵
ℏ𝜔𝐸
𝑘𝐵 𝑇 2 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1
Nhiệt dung tính theo lí thuyết Einstein
phù hợp với định luật Dulong-Petit
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 12
- Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein
• Ở nhiệt độ thấp nhiệt dung tính theo lí thuyết
Einstein giảm theo nhiệt độ:
ℏ𝜔𝐸
−
𝐶𝑉 ~𝑒 𝑘𝐵 𝑇
• Khi T = 0 K nhiệt dung giảm đến không.
Nhiệt dung tính theo lí thuyết Einstein chưa
phù hợp với thực nghiệm ở vùng nhiệt độ
thấp vì trong thực tế C ~ T3
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 13
- Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein
Hạn chế của lí thuyết Einstein:
1. Cho rằng chỉ có một tần số dao động duy
nhất trong tinh thể. Tức là chỉ xét đến các
phonon quang có tần số thay đổi không
đáng kể theo vectơ sóng K.
2. Bỏ qua vai trò của các phonon âm, trong khi
ở khu vực nhiệt độ thấp phonon âm đóng
vai trò chủ yếu.
Cần có lí thuyết phù hợp hơn cho nhiệt
dung trong vùng nhiệt độ thấp
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 14
- Nhiệt dung theo lí thuyết Debye
• Năng lượng trung bình của dao động có tần số ωs là:
ℏ𝜔𝑝 𝐾
𝜖𝑝 (𝐾) =
ℏ𝜔𝑝 𝐾
𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1
• Năng lượng trung bình của các dao động trong
tinh thể là:
ℏ𝜔𝑝 𝐾
𝑈 = 𝜖𝑝 (𝐾) =
ℏ𝜔𝑝 𝐾
𝐾 𝑝 𝐾,𝑝 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 15
- Nhiệt dung theo lí thuyết Debye
Tinh thể có chứa N nguyên tử, thì trong vùng Brillouin
thứ nhất có N giá trị của K. Do N rất lớn nên ta có thể
thay tổng theo K bằng tích phân theo K như sau:
𝑈 = න 𝜖𝑝 𝐾 𝐷 𝐾 𝑑𝐾
𝐾
D(K) là mật độ trạng thái theo K
Do 𝜔 là hàm của K, ta có:
ℏ𝜔
𝑈 = න 𝜖𝑝 𝜔 𝐷 𝜔 𝑑𝜔 = න ℏ𝜔
𝐷 𝜔 𝑑𝜔
𝜔 𝜔 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 16
- Nhiệt dung theo lí thuyết Debye
Hàm mật độ trạng thái một chiều
𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑠
𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑠 𝑒 𝑖𝑁𝐾𝑎
2𝜋
∆𝐾 =
𝐿
Mật độ trạng thái trong
không gian K là:
𝐿
𝐷(𝐾) =
2𝜋
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Fig 4, p110, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th 17
- Nhiệt dung theo lí thuyết Debye
Hàm mật độ trạng thái một chiều
𝐿 𝐿 𝑑𝐾 𝐿 𝑑𝜔
𝐷 𝜔 𝑑𝜔 = 2𝑑𝐾 = 𝑑𝜔 =
2𝜋 𝜋 𝑑𝜔 𝜋 𝑑𝜔/𝑑𝐾
𝑑𝜔/𝑑𝐾 là vận tốc nhóm trong tinh thể
Hàm mật độ trạng thái một chiều trong gần
đúng Debye:
𝐿 𝑑𝜔 𝐿
𝐷 𝜔 𝑑𝜔 = ⟹𝐷 𝜔 =
𝜋 𝑑𝜔/𝑑𝐾 𝜋𝜐
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 18
- Nhiệt dung theo lí thuyết Debye
Hàm mật độ trạng thái ba chiều
Mật độ trạng thái trong không gian K là:
𝐿 3 𝑉
𝐷 𝐾 = = 3
2𝜋 8𝜋
Số mode dao động trong hình cầu có bán kính
K là:
𝐿 34
𝑁= 𝜋𝐾 3
2𝜋 3
Mật độ trạng thái theo tần số là:
𝑑𝑁 𝑉𝐾 2 𝑑𝐾
𝐷 𝜔 = =
𝑑𝜔 2𝜋 2 𝑑𝜔
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 19
- Nhiệt dung theo lí thuyết Debye
• Trong gần đúng Debye:
𝑉𝐾 2 𝑑𝐾 𝑉𝜔2
𝐷 𝜔 = 2
= 2 3
2𝜋 𝑑𝜔 2𝜋 𝜐
• Nếu tinh thể có chưa N nguyên tử (N ô sơ cấp) thì số mode
dao động cũng là N:
2 1/3
6𝜋 𝑁
𝐾𝐷 =
𝑉
2 1/3
6𝜋 𝑁 6𝜋 2 𝜐 3 𝑁
𝜔𝐷 = 𝜐𝐾𝐷 = 𝜐 𝜔𝐷 3 =
𝑉 𝑉
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 20
nguon tai.lieu . vn
