- Trang Chủ
- Vật lý
- Bài giảng Vật lí chất rắn - Chương 2: Dao động của mạng tinh thể
Xem mẫu
- VẬT LÍ CHẤT RẮN
Phạm Đỗ Chung
Bộ môn Vật lí chất rắn – Điện tử
Khoa Vật lí, ĐH Sư Phạm Hà Nội
136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
- Chương 2
• Dao động của mạng tinh thể
1. Dao động của mạng 3 chiều
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
4. Lượng tử dao động: Phonon
5. Nhiệt dung của vật rắn
6. Sự giãn nở vì nhiệt
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 2
- Dao động của mạng tinh thể
Mạng
không gian
Mạng tinh
thể
Gốc Các cấu
trúc xếp
Gốc hình chặt Các loại tinh
cầu cứng thể (ion,…)
Gốc tương
tác lẫn nhau
Gốc dao
động
Dao động mạng
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 3
- Dao động của mạng tinh thể
Tại sao cần nghiên cứu?
• Trong mạng tinh thể các nguyên tử luôn dao
động quanh vị trí cân bằng (nút mạng)
• Dao động mạng liên quan đến nhiệt dung của
vật rắn (khả năng dự trữ năng lượng)
• Dao động mạng giải thích được lí do vật giãn
nở nhiệt
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 4
- 1. Dao động của mạng ba chiều
• Sóng đàn hồi truyền theo một số
phương đối xứng cao: ,
,
• Chỉ xét sóng thuần túy dọc hoặc
ngang
Dao động
• Các sóng phức tạp hơn có thể biểu
diễn bằng tổ hợp tuyến tính của của mạng
các sóng phẳng. 1 chiều
• Trên một mặt phẳng tinh thể
vuông góc với phương truyền sóng
các nguyên tử dao động giống
nhau.
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 5
- 1. Dao động của mạng ba chiều
Sóng dọc
Fig 2, p90, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 6
- 1. Dao động của mạng ba chiều
Sóng ngang
Fig 3, p90, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 7
- 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Dao động của mạng tinh thể có một loại
nguyên tử có khối lượng m, cách nhau một
khoảng a.
• Coi như chỉ có tương tác giữa các nguyên
tử lân cận.
• Giả sử lực tương tác giữa các nguyên tử
là lực đàn hồi
• Độ lệch ra khỏi vị trí cân bằng: us
a a a a
-1 0 s-1 s s+1 s+2
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 8
- 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Phương trình cho nguyên tử thứ m
a a a a
-1 0 s-1 s s+1 s+2
𝐹𝑠 = 𝐶(𝑢𝑠+1 -𝑢𝑠 ) + 𝐶(𝑢𝑠−1 −𝑢𝑠 )
𝑑 2 𝑢𝑠
𝑀 2
= 𝐶(𝑢𝑠+1 + 𝑢𝑠−1 −2𝑢𝑠 )
𝑑𝑡
𝑢𝑠 = 𝑢𝑒 𝑖𝑠𝐾𝑎−𝑖𝜔𝑡
us là độ dời khỏi vị trí cân bằng của nguyên tử ở
thứ s
a.s là vị trí của nguyên tử thứ s
K là vector sóng (K=2𝜋/a)
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 9
- 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Ta có:
𝑑 2 𝑢𝑠 2𝑢
= −𝜔 𝑠
𝑑𝑡 2
• Thay dạng nghiệm của us vào phương trình dao
động
−𝑀𝜔2 = 𝐶(𝑢𝑠+1 + 𝑢𝑠−1 −2𝑢𝑠 )
• Lưu ý: 𝑢𝑠±1 = 𝑢𝑒 𝑖𝑠𝐾𝑎 𝑒 ±𝑖𝐾𝑎
−𝑀𝜔2 = 𝐶(𝑒 𝑖𝐾𝑎 + 𝑒 −𝑖𝐾𝑎 −2)d
• Thay eiKa = cos Ka + isin Ka ta có:
2
2𝐶
𝜔 = (1 − cos 𝐾𝑎)
𝑀
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 10
- 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Tần số góc ω của dao động phụ thuộc vào
độ lớn của vectơ sóng K như sau:
2𝐶
𝜔2 = 1 − cos 𝐾𝑎
𝑀
2
4𝐶 2
𝐾𝑎
𝜔 = sin
𝑀 2
𝐶 𝐾𝑎
𝜔=2 sin
𝑀 2
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 11
- 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
𝐶 𝐾𝑎
𝜔=2 sin
𝑀 2
Fig 4, p92, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 12
- 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Chu kỳ của 𝜔 theo K là 2𝜋 (từ −𝜋/𝑎 < 𝐾 < 𝜋/𝑎)
Dao động của 2 nút lân cận lệch pha nhau: Ka
𝑢𝑠±1 = 𝑢𝑒 𝑖𝑠𝐾𝑎 𝑒 ±𝑖𝐾𝑎
𝑢𝑠+1
= 𝑒 𝑖𝐾𝑎
𝑢𝑠
−𝜋/𝑎 < 𝐾 < 𝜋/𝑎: sẽ chứa mọi trạng thái dao động độc
𝜋 lập
Khi 𝐾max = ± (tức là khi 𝜔max): 2 nút mạng lân cận
𝑎
dao động ngược pha
𝑢𝑠 = 𝑢𝑒 𝑖𝑠𝐾𝑎−𝑖𝜔𝑡 = 𝑢 −1 𝑠 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
Đây là phương trình của sóng dừng
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 13
- 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
• K có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài nên là đại
lượng được xét trong không gian mạng đảo
• Mạng thuận có chu kì a thì mạng đảo có chu kì
2π/a
• Khoảng -π/a ≤ K ≤ π/a trong mạng đảo gọi là vùng
Brillouin thứ nhất
• Vùng Brillouin thứ nhất chứa mọi giá trị khả dĩ của
ω
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 14
- 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Vận tốc nhóm: vận tốc truyền năng lượng dao động
𝐶 𝐾𝑎
𝜔=2 sin
𝑀 2
𝑑𝜔 𝐶𝑎2 𝐾𝑎
𝑣𝑔 = = . cos
𝑑𝐾 𝑀 2
Fig 6, p95, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
Tâm vùng Brillouin: vg là hằng số
Biên vùng Brillouin: vg=0 sóng bị phản xạ
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 15
- 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Điều kiện biên tuần hoàn Born-Karman
𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑠
𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑒 𝑖(𝑠+N)𝐾𝑎 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
x(0)
𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑠 𝑒 𝑖𝑁𝐾𝑎
eiKNa = 1 hay KNa = 2πn
Ta có vectơ sóng K thỏa mãn:
2𝜋
𝐾=𝑛
𝐿
vectơ sóng K bị lượng tử hoá
16
- 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Với mạng một chiều:
-π/a ≤K ≤ π/a do vậy –N/2 ≤n≤N/2
• K nhận N giá trị gián đoạn từ -π/a đến π/a, các
giá trị này cách nhau một lượng 2π/(Na)
• Trong mạng tinh thể có N tần số dao động ω(q)
ứng với N giá trị K ở trên.
• N rất lớn nên 2π/(Na) rất nhỏ và K gần như liên
tục nên không ảnh hưởng đến kết quả bài toán.
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 17
- 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
• Dao động của mạng tinh thể tuần hoàn chỉ có
các tần số từ 0 đến một giá trị ωmax hữu hạn.
• Sự hữu hạn của tinh thể thực dẫn đến vectơ
sóng K cũng chỉ có hữu hạn các giá trị và các
giá trị này không còn liên tục mà bị lượng tử
hóa.
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 18
- 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
Bài toán mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử khác nhau
có thể ứng dụng cho mạng 3 chiều chứa hai loại nguyên tử
khác nhau (NaCl) khi xét sự lan truyền sóng theo các
phương đối xứng ()
a/2 a/2 a/2 a/2 a/2 a/2
M2 M1 M2 M1 M2 M1
m-1 m m+1
Mạng một chiều có 2 loại nguyên tử M1 và M2 (M1 >M2)
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 19
- 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
𝑑 2 𝑢𝑠
𝑀1 2
= 𝐶(𝑣𝑠 + 𝑣𝑠−1 −2𝑢𝑠 )
𝑑𝑡
𝑑2 𝑣𝑠
𝑀2 2
= 𝐶(𝑢𝑠+1 + 𝑢𝑠 −2𝑣𝑠 )
𝑑𝑡
𝑢𝑠 = 𝑢𝑒 𝑖𝑠𝐾𝑎−𝑖𝜔𝑡 𝑣𝑠 = 𝑣𝑒 𝑖𝑠𝐾𝑎−𝑖𝜔𝑡
Fig 9, p97, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 20
nguon tai.lieu . vn
