Xem mẫu
- UBND TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
TOAÙN KINH TEÁ
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CĐ KẾ TOÁN- CĐ QTKD)
TỔ BỘ MÔN: TOÁN - LÝ
Đồng Tháp – 2017
(Lưu hành nội bộ)
- UBND TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
TOAÙN KINH TEÁ
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CĐ KẾ TOÁN- CĐ QTKD)
(SỐ TÍN CHỈ: 2 (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT))
TỔ BỘ MÔN: TOÁN - LÝ
Đồng Tháp – 2017
- LỜI NÓI ĐẦU
1. Đối tượng sử dụng
Tài liệu toán kinh tế dùng cho sinh viên khối ngành kinh tế, các ngành kế toán,
quản trị kinh doanh, ... và sinh viên thuộc các khối ngành khác có thể sử dụng bài
giảng xem như một tài liệu tham khảo.
2. Cấu trúc bài giảng
Bài giảng toán kinh tế được biên soạn theo đề cương môn học đã được hội đồng
khoa học trường thông qua với 30 tiết bao gồm các chương:
Chương 0. Một số khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính.
Chương 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính.
Chương 2. Phương pháp đơn hình.
Chương 3. Bài toán đối ngẫu.
Chương 4. Bài toán vận tải. Bài toán thế vị
3. Mục tiêu môn học
Quy hoạch tuyến tính là một bộ phận cơ bản và có nhiều ứng dụng trong thực
tiễn của Tối ưu hóa, được áp dụng trong kinh tế và nhiều ngành khoa học khác cả lý
thuyết lẫn thực hành, nhằm tối ưu hóa kết quả đạt được. Kiến thức về quy hoạch tuyến
tính rất cần cho sinh viên ở bậc đại học, cao đẳng nói chung và khối ngành kinh tế nói
riêng. Mục tiêu cụ thể của môn học:
Cung cấp cho sinh viên về một số dạng toán quy hoạch tuyến tính, cách xây
dựng mô hình toán học cho một số bài toán thực tế - những hiện tượng kinh tế rất
thường gặp sản xuất kinh doanh và các cách đưa bài toán QHTT tổng quát về dạng
chính tắc. Trên cơ sở đó để tìm ra các phương pháp giải tối ưu nhất.
Cung cấp cho sinh viên về cơ sở lý luận dẫn đến bảng đơn hình, từ đó có thể
giúp sinh viên giải quyết các bài toán để tìm được tính tối ưu của từng bài toán cho
phù hợp.
Giới thiệu cho sinh viên về bài toán đối ngẫu, ý nghĩa kinh tế của bài toán
đối ngẫu, sự cần thiết phải đưa về bài toán đối ngẫu.
Giới thiệu cho sinh viên về bài toán vận tải, ý nghĩa kinh tế của bài toán vận
tải. Các phương pháp giải các bài toán vận tải tổng quát và các bài toán vận tải đặc
biệt.
4. Phương pháp giảng dạy
Giảng và thảo luận, phân tích và giải quyết vấn đề đặt ra.
Nghe giảng lý thuyết : 28 tiết
Kiểm tra : 2 tiết
Tự học : 60 tiết
-1-
- MỤC LỤC
MỤC LỤC ............................................................................................................ i
Chương 0 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ............... 1
0.1 Ma trận ........................................................................................................... 2
0.1.1 Ma trận và các phép toán trên ma trận ................................................ 2
0.1.2 Định thức ............................................................................................. 9
0.1.3 Ma trận nghịch đảo ............................................................................ 11
0.1.4 Hạng của ma trận............................................................................... 12
0.2 Vectơ ............................................................................................................13
0.2.1 Vectơ ................................................................................................. 13
0.2.2 Không gian vectơ .............................................................................. 14
0.2.3 Độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính ......................................... 15
BÀI TẬP CHƯƠNG 0 .........................................................................................17
Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ................................... 18
1.1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán QHTT ..........................................................19
1.2 Phân loại dạng bài toán ...............................................................................23
1.2.1 Dạng tổng quát .................................................................................. 24
1.2.2 Dạng chính tắc ................................................................................... 25
1.2.3 Dạng chuẩn ........................................................................................ 26
1.3 Biến đổi dạng bài toán .................................................................................27
1.3.1 Đưa một bài toán dạng tổng quát về dạng chính tắc ......................... 27
1.3.2 Khái niệm tập hợp lồi, điểm cực biên, phương án cực biên. ............ 29
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 .........................................................................................32
Chương 2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH........................................................ 36
2.1 Cơ sở lý luận của phương pháp đơn hình ....................................................37
2.2 Thuật toán đơn hình với vectơ đơn vị có sẵn. .............................................38
2.2.1 Trường hợp f (x ) → min .................................................................. 38
-i-
- 2.2.2 Trường hợp f (x ) → max ................................................................... 40
2.3 Thuật toán đơn hình với vec tơ đơn vị không có sẵn (Bài toán mở rộng)...45
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 .........................................................................................53
Chương 3 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ................................................................. 56
3.1 Khái niệm .....................................................................................................57
3.1.1 Bài toán đối ngẫu của bài toán dạng chính tắc .................................. 57
3.1.2 Bài toán đối ngẫu của bài toán dạng tổng quát ................................. 58
3.2 Quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu ..........................................59
3.2.1 Các định lý đối ngẫu.......................................................................... 59
3.2.2 Tìm P.A.T.Ư của bài toán đối ngẫu qua P.A.T.Ư của bài toán gốc. 60
3.3 Ý nghĩa bài toán đối ngẫu ............................................................................63
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 .........................................................................................65
Chương 4 BÀI TOÁN VẬN TẢI. BÀI TOÁN THẾ VỊ ................................. 67
4.1 Bài toán vận tải cân bằng thu phát (bài toán cổ điển)..................................68
4.1.1 Thiết lập bài toán ............................................................................... 68
4.1.2 Đặt bài toán dưới dạng bảng ............................................................. 69
4.1.3 Các tính chất ...................................................................................... 70
4.2 Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải cân bằng thu phát ............................71
4.2.1 Lập phương án cơ bản ban đầu ......................................................... 71
4.2.2 Thuật toán “Quy 0 cước phí các ô chọn” .......................................... 73
4.2.3 Phương pháp thế vị............................................................................ 77
4.3 Bài toán vận tải có ô cấm .............................................................................80
4.4 Bài toán vận tải không cân bằng thu phát ....................................................82
4.5 Bài toán vận tải dạng bất đẳng thức.............................................................84
4.5.1 Định nghĩa ......................................................................................... 84
4.5.2 Điều kiện tối ưu ................................................................................. 85
4.5.3 Cách giải ............................................................................................ 85
- ii -
- BÀI TẬP CHƯƠNG 4 .........................................................................................87
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 91
- iii -
- Chương 0 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Mục đích yêu cầu
Nhằm củng cố các kiến thức về đại số tuyến tính cho sinh viên để có thể vận
dụng tốt và linh hoạt vào các chương sau. Sau khi học xong chương này, Sinh viên cần
đạt được:
- Sử dụng thành thạo các phép toán của ma trận: phép toán cộng, trừ, nhân.
- Tính được định thức của một ma trận cấp 2, cấp 3, …, cấp n theo công thức,
qui tắc Laplace hay bằng phép biến đổi sơ cấp.
- Thành thạo kỹ năng “phép biến đổi sơ cấp trên ma trận”, từ đó rút ra phương
pháp tìm hạng của ma trận bất kỳ.
- Áp dụng giải các hệ phương trình tuyến tính bằng hai phương pháp cơ bản:
Cramer và Gauss.
- Cần hiểu rõ cấu trúc không gian vectơ V, cách xác định một hệ độc lập độc lập
tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
- Làm được các bài tập tương tự.
Kiến thức chuẩn bị
Sinh viên cần ôn lại các khái niệm, các phép tính vectơ, thành thạo các phép tính
cũng như các bước biến đổi sơ cấp.
Trang bị các kỹ năng tính toán thông dụng (cộng, trừ, nhân,…), cách sử dụng máy
tính Casio fs 500A, Casio fs 500 ES,…
-1-
- 0.1 Ma trận
0.1.1 Ma trận và các phép toán trên ma trận
0.1.1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa ma trận
Một ma trận A cấp m × n là một bảng gồm m × n số thực được sắp xếp theo một thứ
tự thành m dòng và n cột được viết dưới dạng:
Dòng thứ 1
a11 a 12 ... a1n a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n a21 a22 ... a2n
A = ... hoặc A = ... (0.1.1)
... ... ... ... ... ...
a a ... amn a a ... amn
m1 m 2 m1 m 2
Cột thứ 2
Ký hiệu: A = (aij )m×n . (i = 1, m; j = 1, n )
Trong đó: A: là tên của ma trận.
aij : là phần tử (hay số hạng) nằm ở dòng (hay hàng) i, cột j của A.
(m, n ) : được gọi là kích thước của A.
(
Dòng thứ i của A là A(i ) = ai1 ai 2 ... a1n )
a1 j
a2 j
Cột thứ j của A là A( j ) = .
.
amj
-1 1 2
Ví dụ 1: A = là ma trận cấp 2 × 3 và a11 = -1, a12 = 1, a23 = 3....
1 1 3
12 −7 9 4 18
? Cho ma trận B = 0 3 21 12 7 . Hãy xác định:
1 15 14 −4 30
i) Loại của ma trận B? ii) Giá trị của b23 , b32 ? iii) Dòng thứ 2 và cột thứ 3?
-2-
- b) Ma trận không
aij = 0, ∀i, j.
Là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0 (0.1.2)
Ký hiệu: O = (O )m ×n .
0 0 0 0
0 0
Ví dụ 2: O2×2 = ; O3 × 4 = 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
c) Ma trận đối của ma trận A
Là ma trận được nhận từ A bằng cách đổi dấu mọi phần tử của A. Ký hiệu: − A .
1 2 −2 0 −1
Ví dụ 3: Cho ma trận A =
3 −4 5 −1 1
−1 −2 2 0 1
⇒ Ma trận đối của A là −A =
−3 4 −5 1 −1
d) Ma trận vuông
Là ma trận có số dòng = số cột = n (thuộc loại cấp n × n ) và được gọi là ma trận
vuông cấp n. Ký hiệu: A = (a ij)n ×n = (a ij)n .
Khi đó đường thẳng chứa các phần tử a11, a22, …, ann được gọi là đường chéo
chính của A.
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
A = ... ... ... ... (0.1.3)
a a ... ann
n1 n 2
0 7 8
1 3
Ví dụ 4: ma trận vuông cấp 2. 4 −2 0 ma trận vuông cấp 3
−2 7
5 0 2
Đường chéo của A là {1, 7},
Đường chéo của B là {0, -2, 2}.
Các ma trận đặc biệt
* Ma trận dòng: là ma trận có m = 1 (a11 a12 ...a1n ) := (ai )1×n . (0.1.4)
-3-
- a11
a21 := a
* Ma trận cột: là ma trận có n = 1 .. ( )m×1 .
i (0.1.5)
am 1
e) Ma trận tam giác và ma trận chéo
Ma trận vuông là ma trận tam giác, nếu các phần tử ở một phía đường chéo
bằng 0.
* Ma trận A = (aij )n được gọi là ma trận tam giác trên nếu a ij = 0 (i > j) .
* Ma trận A = (aij )n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu a ij = 0 (i < j) .
* Ma trận A = (aij )n ×n được gọi là ma trận tam giác chéo nếu aij = 0(i ≠ j )
(các phần tử nằm ngoài đường chéo đều bằng 0)
a11 a12 ... a1n a11 0 ... 0 a11 0 ... 0
0 a ... a2n
22 a21 a22 ... 0 0 a22 ... 0
... ... (0.1.6)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... ann an 1 an 2 ... ann 0 0 ... ann
ma trận tam giác trên ma trận tam giác dưới ma trận chéo.
−2 0 911 12 0 0 0 7 0 0 0
0 0 35 0 2 0 0 0 0 5 0 0
Ví dụ 5: 7 −1
0 0 5 −8 5 0 0 0 1 0
0 0 0 5 3 8 0 −5 0 0 0 2
ma trận tam giác trên ma trận tam giác dưới ma trận chéo.
f) Ma trận đơn vị cấp n
Là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, các
phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Ký hiệu: In hoặc I.
1 0 ... 0
1 0 0
1 0 0 1 ... 0
Ví dụ 6: I2 = ; I 3 = 0 1 0 , …, I n =
0 1 ... ... ... ...
0 0 1
0 0 ... 1
g) Ma trận bậc thang
Là ma trân cấp m × n có: aij = 0, ∀i > j .
-4-
- Khi: a11a22a 33 ...ar r ≠ 0 , ta nói ma trận hình thang đã chuẩn hóa
a11 a12 ... a1r ... a1n
0 a ... a2r ... a2n
22
.. .. ... .. ... ..
A= 0 (0.1.7)
0 ... ar r ... ar n
0 0 ... 0 ... 0
0 0 ... 0 ... 0
1 3 −2 1
0 3 4 0
Ví dụ 7: 0 0 5 9
0 0 0 0
h) Ma trận đối xứng
Là ma trận vuông có các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính bằng nhau.
11 4 2 0 21
4 3 4 2 −1
Ví dụ 8: 2 4 −2 22 9
0 2 22 5 −8
21 −1 9 −8 21
i) Ma trận bằng nhau.
Hai ma trận A = (aij )m ×n , B = (bij )m ×n gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
(0.1.8)
aij = bij (i = 1, m; j = 1, n )
Ký hiệu: A = B
j) Ma trận chuyển vị
Cho ma trận A = (aij)mxn . Ma trận chuyển vị của ma trận A là ma trận cấp
n × m bằng cách chuyển dòng thành cột và ngược lại. Ký hiệu: AT hoặc A*.
Tức là: AT = (aji)nxm .
-5-
- a11 a12 ... a1n a11 a21 ... am1
a21 a22 ... a2n T a12 a22 ... am 2
A= → A = (0.1.9)
.. .. ... .. .. .. ... ..
am1 am 2 ... am n a1n a2n ... an m
m ×n n ×m
1 6
1 2 5
Ví dụ 9: A= → AT = 2 7
6 7 9
2×3 5 9
3×2
Tính chất
i) (AT )T = A , AT = BT ⇔ A = B
ii) Cho A, B cùng cấp, ta có:
(A + B ) = AT + BT .
iii) Cho ma trận A = (aij)mxn , B = (bij)nxp . Ta có:
(AB )T = BT AT .
Chú ý: Nếu AT = A thì A gọi là ma trận đối xứng.
0.1.1.2 Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng hai ma trận
Tổng hai ma trận A = (aij )m ×n , B = (bij )m ×n là ma trận C = (cij )m ×n có các
phần tử tính bằng công thức:
cij = aij + bij (∀i = 1, m ; j = 1, n ).
(0.1.10)
b) Phép hiệu hai ma trận.
Hiệu hai ma trận A = (aij )m ×n , B = (bij )m ×n là ma trận C = (cij )m ×n có các
phần tử tính bằng công thức:
cij = aij − bij (∀i = 1, m ; j = 1, n ). (0.1.11)
c) Phép nhân một số thực với ma trận
Tích của số thực k với ma trận A = (aij )m ×n là ma trận C = kA = (cij )m ×n có
các phần tử được tính bằng công thức:
cij = kaij (∀i = 1, m ; j = 1, n ).
-6-
- (0.1.12)
-1 1 2 -1 0 1
Ví dụ 10: A = =
1 1 3
, B
1 -1 1
-2 1 3 0 1 1 -2 2 4
⇒ A+B = ; A−B = ; 2A =
2 0 4 0 2 2 2 2 6
Ví dụ 11: Một người có hai cửa dòng bán dòng tin học. Số lượng dòng hóa bán ra
trong tháng thứ nhất và tháng thứ hai cho bởi hai ma trận A và B. Tìm lượng dòng hóa
bán trong cả hai tháng của người đó.
Bàn phím Ram Chuột USB
2 5 10 15
Ch1
A=
4 6 9 13
Ch2
7 3 12 11
B=
6 5 8 17
Giải: Lượng dòng hóa bán ra cả 2 tháng được cho bởi ma trận C = A + B.
9 8 22 36
C =
10 11 17 30
2 0 −1 1 3 1 −2 −2 4 0
? Cho ma trận A = 1 −2 0 2 4 và B = 1 3 −1 3 0
2 5 3 −5 0 4 5 −5 3 3
Tìm ma trận: C = 2A + 3B và D = 3A − 2B .
Các tính chất
Cho A, B, C là các ma trận cùng cấp m × n , r, s là các số. khi đó:
i) A+B = B +A v) r (A + B ) = rA + rB
ii ) A + (B + C ) = (A + B ) + C vi ) (r + s )A = rA + sA
iii ) A + O = O + A = A vii ) (rs )A = r (sA)
iv ) A + (- A) = O viii ) 1.A = A
d) Phép nhân hai ma trận.
-7-
- Tích của hai ma trận Cho ma trận A = (aij )m ×n , B = (bjk )n × p là một ma trận
C = AB = (cij )m ×p có các phần tử xác định bởi công thức
n
cij = ∑a
k =1
b
ik kj (∀i = 1, m ; j = 1, n ). (0.1.13)
Nghĩa là: phần tử cij của ma trận C là tổng các tích của các phần tử ở dòng i
của ma trận A với các phần tử tương ứng ở cột j của ma trận B.
Sơ đồ thực hiện:
Chú ý: Tích AB xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận A bằng số dòng của ma
trận B.
1 2 3 -1
2 -1 1 3 5 7 -1
Ví dụ 12: .2 -1 1 0 = .
-3 2 0 1 -8 -7 3
3 0 2 2
5 3 2 0 1
−1 3 1
A= = = .
3 0 2
? 1. Cho ma trận: ; B 0 1 và C 3 1 0
−2 0 1 −1 2
Tính a) A.B, B.A của các ma trận và nhận xét 2 kết quả A.B và B.A
b) C TC ; CB − 3B.
Tính chất
Cho A = (aij )m ×n , B = (bij )n ×p , C = (cij )p ×q và I là ma trận đơn vị
i) A(BC) = (AB)C. ii) A(B + C) = AB + AC.
iii) (A + B)C = AC + BC iv) I m A = AI n = A.
-8-
- 0.1.2 Định thức
Khái niệm định thức chỉ áp dụng cho ma trận vuông. Định thức của ma trận A là
một số, kí hiệu là det(A) hay A .
0.1.2.1. Định thức cấp 2, 3
a11 a12
* Định thức cấp 2: Xét ma trận vuông cấp 2: A = a a .
21 22
a11 a12
Khi đó: A = a a = a11a:22 − a12a21 (0.1.14)
21 22
* Định thức cấp 3 (qui tắc Sarrus) :
a11 a12 a13
Xét ma trận vuông cấp 3: A = a21 a22 a23
a a a
31 32 33
a11 a12 a13
Khi đó: A = a21 a22 a23 = (a11a22a 33 + a12a23a 31 + a13a21a 32 ) (0.1.15)
a 31 a 32 a 33
− (a11a23a 32 + a12a21a 33 + a13a22a 31 )
a11 a12 a13 a11 a12
Cách nhớ: a21 a22 a23 a21 a22 (0.1.16)
a 31 a 32 a 33 a 31 a 32
+ Nhận thấy rằng, định thức cấp 3 là một tổng của sáu số hạng, có ba số hạng có
dấu +, ba số hạng có dấu -, và mỗi số hạng là tích của ba phần tử nằm trên các hàng
các cột khác nhau.
+ Định thức cấp 3 là tổng đầu gồm 3 tích số lấy theo đường chéo chính và 2
đường song song với nó nhân với phần tử đối diện. Tổng sau cùng cũng gồm 3 tích số
nhưng lấy theo đường chéo còn lại và 2 đường song song với nó nhân với phần tử đối
diện.
Ví dụ 13:
-9-
- 2 −3 4
1 2 3 = [2.2.2 + (−3).3.5 + 1.(−4).4] − [4.2.5 + (−3).1.2 + 3.(−4).2] = −63.
5 −1 2
0.1.2.2. Định thức cấp n (khai triển theo một dòng hay theo một cột)
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
Cho ma trận vuông cấp n : A = ... ... ... ... . Định thức của ma trận
a a ... ann
n1 n 2
A khai triển theo hàng một là:
A = a11A11 + a12A12 + .... + a1n A1n
(0.1.17)
Định lý Laplace: Định thức của ma trận A cấp n là:
a11 a12 ... a1n .
a21 a22 ... a2n n
A = ... ... ... ... = ∑ (−1)i + j aij det(Mij ) (0.1.18)
j =1
an 1 an 2 ... ann
Trong đó: M ij là ma trận vuông nhận từ A bằng cách bỏ đi dòng i, cột j.
Đặt Aij = (−1)i + j det(M ij ) , ta gọi là phần bù đại số của phần tử aij
Khi đó, ta có công thức khai triển định thức A theo dòng thứ i :
n
A = ∑ aij Aij = ai1Ai1 + ai 2Ai 2 + .... + ain Ain (0.1.19)
j =1
Chú ý: Có thể khai triển A theo cột thứ j
n
A = ∑ aij Aij = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + .... + anj Anj (0.1.20)
i =1
1 4 −3
Ví dụ 14: Tính định thức sau A = 5 2 1
−3 6 0
- 10 -
- Giải Khai triển theo dòng 1, ta có:
i =1
A = a11A11 + a12A12 + a13A13 = 1A11 + 4A12 + (−3)A13
2 1
Mà A11 = (−1)1+1 det(M11 ) = (−1)2 = −6
6 0
5 1
A12 = (−1)1+2 det(M12 ) = (−1)3 = −3
−3 0
5 2
1+ 3 4
A13 = (−1) det(M13 ) = (−1) = 36
−3 6
⇒ A = 1.(−6) + 4.(−3) + (−3).36 = − 126
Nhận xét: Có thể trình bày ngắn gọn như sau
i =1 2 1 5 1 5 2
2 3 4
A = 1.(−1) + 4.(−1) + (−3).(−1)
6 0 −3 0 −3 6 (khai triển theo dòng 1)
= 1.(−6) + 4.(−3) + (−3).36 = − 126
Nhận xét: Do giá trị định thức không đổi dù ta khai triển theo dòng (cột) bất kỳ nên
khi thực hành ta chọn những dòng (cột) có nhiều số 0 nhất rồi khai triển theo dòng
(cột) đó.
0.1.3 Ma trận nghịch đảo
* Định nghĩa. Ma trận vuông A cấp n được gọi là ma trận không suy biến khi
và chỉ khi A ≠ 0.
* Định nghĩa. Cho ma trận vuông A cấp n Nếu tồn tại ma trận vuông B cấp
n sao cho AB = BA = I n thì B được gọi là nghịch đảo của A (hoặc A khả nghịch).
Ký hiệu: B = A-1.
Như vậy, nếu A khả nghịch thì A.A-1 = A-1.A = I n .
1 2 7 - 2
Ví dụ 15 : Cho A = . Ma trận nghịch đảo là B =
3 7 - 3 1
1 2 7 - 2 1 0 7 - 2 1 2 1 0
Vì = và =
3 7 - 3 1 0 1 - 3 1 3 7 0 1
* Định lý: Ma trận vuông A khả nghịch ⇔ det A ≠ 0 .
- 11 -
- 0.1.4 Hạng của ma trận
0.1.4.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1
Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A.
Ký hiệu: rank (A) hay r (A) .
Chú ý: A = (0)m ×n , thì ta qui ước r (A) = 0 .
2 -1 1
Ví dụ 16: Tìm hạng của ma trận A = 0 -3 2
2 -4 3
2 -1 1
Giải + Ta có det A = 0 -3 2 = 0.
2 -4 3
3x 3
2 -1
+ Định thức con cấp 2 là = −6 ≠ 0 . Kết luận r (A) = 2 .
0 -3
* Hạng của ma trận A bằng số dòng khác 0 của ma trận dạng bậc thang tương
đương với ma trận A
Nhận xét : 0 ≤ r ( A) ≤ min(m, n) ( A là ma trận cấp mxn).
Định nghĩa 2
Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang (không nhất thiết là ma trận bậc thang rút
gọn theo dòng) tương đương ma trận A được gọi là hạng của ma trận A .
0.1.4.2 Cách tính hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp.
Biến đổi sơ cấp
i) Đổi chỗ hai hàng cho nhau ( hi ↔ h j )
ii) Nhân một hàng với một số k ≠ 0
iii) Cộng một hàng với k lần hàng khác (hi + k .h j )
Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.
Để tính hạng của ma trận A ta thường dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma
trận A về ma trận B có dạng:
- 12 -
- b11 b12 ... b1r ... b1n
0 b21 ... b2r ... b2n
... ... ... ... ... ...
B= 0 0 brr brn (0.1.21)
0 0 ... 0 ... 0
... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 ... 0
Ta có r (A) = r (B ) = r = số dòng khác không của ma trận B.
1 5 4 -13
Ví dụ 17: Tìm hạng ma trận: A = 3 -1 2 5
2 2 3 -4
Giải
1 5 4 -13 1 5 4 -13
h →h − 3h
3 -1 2 5
2 2 1
→ 0 -16 -10 44
h3 →h3 −2h1
2 2 3 -4 0 -8 -5 22
1 5 4 -13
h3 →h3 −h2
→ 0 -16 -10 44
0 0 0 0
Kết luận: r(A) = 2
1 −2 8 3
2 6 −3 4
Tìm hạng của ma trận: A=
? 4 2 13 10
5 0 21 13
0.2 Vectơ
0.2.1 Vectơ
a) Vectơ n chiều
Là một bộ n số có xếp thứ tự x = ( x1 , x2 ,..., xn ) , trong đó xi là thành
phần thứ i của vectơ x ( i = 1,2,..., n ).
- 13 -
- b) Vectơ hàng và vectơ cột
Vectơ được viết theo hàng gọi là vectơ hàng. Nếu viết theo cột gọi là vectơ cột.
x = ( x1 , x2 ,..., xn ) : vectơ hàng n chiều
y1
y
y = 2 : vectơ cột m chiều.
...
ym
0.2.2 Không gian vectơ
Định nghĩa
Cho V là một tập tùy ý khác rỗng và tập số thực ℝ . Trên V ta xác định hai
phép toán
Cộng hai phần tử của V :
+ : V ×V → V
(0.2.1)
(u , v ) ֏ u + v
Nhân phần tử của V với một số k :
. : R ×V → V
(0.2.2)
(k , u ) ֏ k .u
Ta gọi V cùng với hai phép toán trên được gọi là một không gian vectơ (hay
không gian tuyến tính) nếu 8 tiên đề sau được thỏa mãn ∀u , v, w ∈ V và k , r ∈ ℝ :
1) u + v = v + u
2) (u + v) + w = u + (v + w)
3) ∃θ ∈ V : u + θ = u , θ được gọi là phần tử không.
4) ∃ − u ∈ V : u + (−u ) = θ , −u được gọi là phần tử đối của u .
5) k (u + v) = ku + kv
6) (k + r )u = ku + ru
7) k (ru ) = (kr )u
8) 1.u = u
Mỗi phần tử của một không gian vectơ được gọi là một vectơ.
Ta còn viết u + (−v) = u − v và gọi là hiệu của u và v.
Phép toán u + v gọi là phép cộng vectơ.
- 14 -
nguon tai.lieu . vn
