Xem mẫu
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
TOÁN KINH TẾ
CHƯƠNG 3. VI PHÂN HÀM
HAI BIẾN
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 1
KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN
Cho D 2
, moät aùnh xaï f : D goïi laø haøm 2 bieán
x , y xaùc ñònh treân D. Kí hieäu: f ( x, y).
D goïi laø mieàn xaùc ñònh cuûa f .
f
( x, y)
D
z
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 2
MÔN TOÁN KINH TẾ 1
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
Ý NGHĨA
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 3
MỘT SỐ VÍ DỤ
1) f ( x, y) x ln( y 2 x )
Tập xác định
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 4
MÔN TOÁN KINH TẾ 2
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
MỘT SỐ VÍ DỤ
x 2 y2 9
2) f ( x, y)
x
Tập xác định
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 5
MỘT SỐ VÍ DỤ
3) Hàm sản xuất: mô tả những số lượng sản phẩm
(đầu ra) tối đa có thể sản xuất bởi một số lượng các
yếu tố sản xuất (đầu vào) nhất định, tương ứng với
trình kỹ thuật nhất định.
Để đơn giản, các yếu tố sản xuất chia thành hai loại
là vốn (K) và lao động (L), hàm sản xuất có dạng:
Q = f(K,L)
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 6
MÔN TOÁN KINH TẾ 3
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
MỘT SỐ VÍ DỤ
4) Hàm sản xuất Cobb – Douglas:
Q(K , L ) aK L
trong ñoù a, , laø haèng soá thoûa 1
K : chi phí ñaàu vaøo (nguyeân lieäu, maùy moùc, nhaø xöôûng,...)
L : soá giôø coâng lao ñoäng trong naêm
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 7
ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 8
MÔN TOÁN KINH TẾ 4
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 9
ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 10
MÔN TOÁN KINH TẾ 5
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
ĐẠO HÀM RIÊNG
Cho haøm soá f ( x, y).
Ñaïo haøm rieâng caáp 1 cuûa f öùng vôùi bieán x , y ñöôïc
ñònh nghóa nhö sau:
f ( x x , y ) f ( x , y )
f x' ( x , y ) lim
x 0 x
f ( x , y y ) f ( x , y )
f y' ( x , y ) lim
y 0 y
f f
Kí hieääu: f x' , f x' hay ,
x y
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 11
ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 2
Cho haøm soá f ( x, y)coùcaùc ñaïo haøm rieângcaáp1.
Ñaïo haøm rieâng caáp 2 cuûa f öùng vôùi bieán x , y ñöôïc
ñònh nghóa nhö sau:
2 f 2 f
' '
"
f xx f x' f xy'' f x'
x x 2 y xy
2 f 2 f
' '
f yx'' f y' f yy'' f y'
x yx y y 2
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 12
MÔN TOÁN KINH TẾ 6
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
NĂNG SUẤT BIÊN
Năng suất biên của một yếu tố sản xuất biến đổi là
phần thay đổi trong tổng sản lượng khi thay đổi một
đơn vị yếu tố sản phẩm biến đổi, kí hiệu MP.
Năng suất biên lao động là phần thay đổi trong
tổng sản lượng khi thay đổi một đơn vị lao động trong
sử dụng MP’L = Q’L
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 13
ĐỘ CO GIÃN ĐIỂM THÀNH PHẦN
Khái niệm:
đo lường sự thay đổi tương đối giữa chi phí sản xuất
theo sản lượng của từng loại sản phẩm
Công thức:
Cho hàm chi phí TC(Q1,Q2)
TC TC (Qi 0 ) Qi 0
EQi TCQ' i
Qi Qi 0 TC (Qi 0 )
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 14
MÔN TOÁN KINH TẾ 7
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 15
ĐIỂM CỰC TRỊ
f ( x, y) x 2 y 2 4 x 6y 17
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 16
MÔN TOÁN KINH TẾ 8
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
ĐIỂM CỰC TRỊ
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 17
ĐIỂM CỰC TRỊ
f ( x, y) y 2 x 2
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 18
MÔN TOÁN KINH TẾ 9
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
THUẬT TOÁN TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ
Giaû söû haøm f ( x , y ) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 lieân tuïc
treân mieàn D chöùa ñieåm döøng (a, b). Ñaët:
2
(a, b) f "xx (a, b). f "yy (a, b) f "xy (a, b)
* Neáu (a, b) 0 vaø f "xx (a, b) 0 thì ( a, b) laø ñieåm cöïc ñaïi.
* Neáu (a, b) 0 vaø f "xx (a, b) 0 thì ( a, b) laø ñieåm cöïc tieåu.
* Neáu (a, b) 0 thì (a, b) khoâng laø ñieåm cöïc trò.
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 19
CỰC TRỊ RÀNG BUỘC
Cho haøm hai bieán f ( x, y) xaùc ñònh treân D.
Xeùt baøi toaùn tìm cöïc trò cuûa f thoûa ñieàu kieän ( x, y) 0
Ñaët L ( x, y) f ( x , y ) ( x, y)
Lx 0
B1: Giaûi heä pt Ly 0 ñieåm döøng ( a, b) öùng vôùi 0
( x , y ) 0
B2: Tính d 2 L (a, b) L xx (a, b)dx 2 2 L xy (a, b) dxdy L yy (a, b)dy 2
* Neáu d 2 L (a, b) 0 (dx 2 dy 2 0) thì (a, b) laø ñieåm cöïc tieåu.
* Neáu d 2 L (a, b) 0 (dx 2 dy 2 0) thì (a, b) laø ñieåm cöïc ñaï i.
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 20
MÔN TOÁN KINH TẾ 10
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
TỐI ƯU TRONG KINH TẾ
Lợi nhuận nhiều nhất
Thỏa mãn tiêu dùng nhiều nhất
Chi phí sản xuất, tiêu dùng ít nhất
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 21
LỢI NHUẬN NHIỀU NHẤT
Doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm liên quan
với các yếu tố sản xuất như sau:
• Hàm chi phí là C(Qs1;Qs2)
• Doanh thu của doanh nghiệp: R = P1.Qs1 + P2.Qs2
• Lợi nhuận của doanh nghiệp: П(Qs1;Qs2) = R – C.
Tìm mức sản lượng Q’s1 và Q’s2 cần sản xuất để lợi
nhuận đạt được nhiều nhất.
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 22
MÔN TOÁN KINH TẾ 11
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
LỢI NHUẬN NHIỀU NHẤT
Thị trường cạnh tranh hoàn hảo
Giá sản phẩm do thị trường quyết định P1 = P’1 ;
P2 = P’2 ấn định trước.
Thị trường độc quyền
Giá sản phẩm do doanh nghiệp quyết định nhưng
doanh nghiệp luôn muốn tiêu thụ được hết sản phẩm
Qs1 = Qd1(P1, P2) và Qs2 = Qd2(P1, P2)
P1(Qs1, Qs2) và P2(Qs1, Qs2)
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 23
THOẢ MÃN TIÊU DÙNG NHIỀU NHẤT
Người tiêu dùng chi tiêu số tiền I cho hai loại hàng
hoá có giá bán là P1, P2.
Nhu cầu sử dụng thể hiện qua hàm tiêu dùng:
U(Q1, Q2).
Cần tìm số lượng hàng hoá làm thoả mãn nhiều
nhất cho người tiêu dùng với số tiền chi tiêu trên,
nghĩa là: P1Q1 + P2Q2 = I
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 24
MÔN TOÁN KINH TẾ 12
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
CHI PHÍ SẢN XUẤT ÍT NHẤT
Hàm sản lượng Q(x,y) sản xuất một sản phẩm từ hai
nguyên liệu đầu vào, với x và y số lượng hai nguyên
liệu.
Hai nguyên liệu này có giá mua vào là P1, P2 hàm
chi phí: C(x,y) = P1x + P2y
Với số lượng sản phẩm cần sản xuất Q(x,y) = Q0
biết trước, hãy tìm số lượng nguyên liệu cần dùng sao
cho chi phí sản xuất ít nhất.
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 25
MÔN TOÁN KINH TẾ 13
nguon tai.lieu . vn
