Xem mẫu
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
TOÁN KINH TẾ
CHƯƠNG 2.
VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Cấp số và lãi suất.
Đạo hàm.
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1
CẤP SỐ VÀ LÃI SUẤT
Nhắc lại cấp số.
Các bài toán tiền tệ theo lãi suất đơn.
Các bài toán tiền tệ theo lãi suất kép.
Chuỗi tiền tệ và vay góp, trả góp.
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2
MÔN TOÁN KINH TẾ 1
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
NHẮC LẠI CẤP SỐ
Cấp số cộng
Cấp số nhân
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3
CẤP SỐ CỘNG
Định nghĩa: Dãy số {u1, u2, …. , un} được gọi là
cấp số cộng nếu
un = un – 1 + d, với mọi n ϵ N
d là hằng số ≠ 0, được gọi là công sai
Tính chất: uk + 1 + uk – 1 = 2uk
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 4
MÔN TOÁN KINH TẾ 2
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
CẤP SỐ CỘNG
Số hạng tổng quát: un = u1 + (n – 1)d
Tổng n số hạng đầu:
u1 un .n
Sn u1 u2 ... un
2
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 5
CẤP SỐ NHÂN
Định nghĩa: Dãy số {u1, u2, …. , un} được gọi là
cấp số nhân nếu
un = un – 1.q, với mọi n ϵ N
q là hằng số ≠ 0, 1, được gọi là công bội
Tính chất: uk + 1.uk – 1 = (uk)2
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 6
MÔN TOÁN KINH TẾ 3
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
CẤP SỐ NHÂN
Số hạng tổng quát: un = u1.qn–1
Tổng n số hạng đầu:
u1 1 q n
Sn u1 u2 ... un
1 q
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7
NHỮNG KHÁI NIỆM TÀI CHÍNH CƠ BẢN
Tiền lãi / lợi tức (interest): Là số tiền có được (hoặc
phải trả) dựa trên việc đầu tư (hoặc được sử dụng)
một lượng tiền ban đầu (vốn) trong một đơn vị thời
gian, kí hiệu i.
Kì hạn / chu kì (tenor): đơn vị thời gian thương
mại được chọn để tính mức tiền lãi: ngày, tháng, quý,
nửa năm, năm. Kí hiệu T
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 8
MÔN TOÁN KINH TẾ 4
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
NHỮNG KHÁI NIỆM TÀI CHÍNH CƠ BẢN
Thời gian thương mại được quy đổi theo ngày như
sau: tháng = 30 ngày; quý = 90 ngày; năm = 360
ngày.
tiền lãi trong một kì hạn
Lãi suất (rate) =
tiền vốn đầu tư
kí hiệu r (%/T).
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 9
NHỮNG KHÁI NIỆM TÀI CHÍNH CƠ BẢN
Giá trị hiện tại (Present value): trị giá hiện tại của
lượng tiền tệ hình thành trong tương lai ứng với mức
lãi suất xác định, kí hiệu PV.
Giá trị tương lai (Future value): trị giá tương lai
của lượng tiền tệ hiện tại ứng với mức lãi suất xác
định, kí hiệu FV.
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 10
MÔN TOÁN KINH TẾ 5
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
NHỮNG KHÁI NIỆM TÀI CHÍNH CƠ BẢN
Lãi suất tương đương: hai mức lãi suất ra(%/Ta) và
rb(%/Tb) được gọi là tương đương nếu trong cùng
khoảng thời gian và phương thức tính lãi, lợi tức có
được không đổi. Kí hiệu: ra rb.
Lãi suất trung bình: là lãi suất thay thế cho m mức
lãi suất khác nhau của m giai đoạn khác nhau với
cùng phương thức tính lãi sao cho lợi tức có được
không đổi.
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 11
PHƯƠNG THỨC LÃI ĐƠN
Khái niệm: Tiền lãi sau mỗi kì hạn được rút / tách
ra, không được nhập vào vốn để sinh lãi cho kì hạn
sau tiền lãi được tính theo vốn gốc ban đầu và
luôn bằng nhau trong mỗi kì hạn.
Công thức: Giả sử tiền vốn ban đầu là PV
I = PV.r
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 12
MÔN TOÁN KINH TẾ 6
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
PHƯƠNG THỨC LÃI ĐƠN
Giá trị tương lai của tiền vốn ban đầu sau mỗi kì
hạn là tạo thành cấp số cộng với công sai d = I.
Tiền lãi sau n kì hạn: In = n.PV.r
Giá trị tương lai sau n kì hạn:
FVn = PV.(1 + n.r)
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 13
PHƯƠNG THỨC LÃI ĐƠN
Lãi suất tương đương trong lãi đơn:
ra rb và Ta = k.Tb ra = k.rb
Lãi suất trung bình trong lãi đơn:
Có m giai đoạn, giai đoạn i có ni kì hạn với lãi suất ri
ni .ri n1.r1 n2 .r2 ... nm .rm
r
ni n1 n2 ... nm
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 14
MÔN TOÁN KINH TẾ 7
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
PHƯƠNG THỨC LÃI ĐƠN
Các dạng bài tập:
Xác định giá trị đạt được vào cuối đợt đầu tư
(FV)
Xác định thời gian đầu tư để đạt giá trị mong
muốn
Xác định lãi suất tiền gởi
Xác định số vốn đầu tư ban đầu (trị giá hiện tại
của vốn đầu tư) (PV)
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 15
PHƯƠNG THỨC LÃI KÉP
Khái niệm: Tiền lãi sau mỗi kì khoản không được
rút / tách ra mà phải nhập tiếp vào vốn thành vốn
mới để sinh lãi cho kì hạn sau tiền lãi ở mỗi kì hạn
khác nhau và kì hạn sau lớn hơn kì hạn trước.
Từ đồng nghĩa: lãi nhập/gộp/ghép vốn
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16
MÔN TOÁN KINH TẾ 8
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
PHƯƠNG THỨC LÃI KÉP
Giá trị tương lai của tiền vốn ban đầu sau mỗi kì
hạn là tạo thành cấp số nhân với công bội q = 1 + r.
Giả sử tiền vốn ban đầu là PV:
giá trị tương lai sau n kì hạn:
FVn = PV.(1 + r)n
tiền lãi sau n kì hạn:
In = PV.[(1 + r)n – 1]
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 17
PHƯƠNG THỨC LÃI KÉP
Lãi suất tương đương trong lãi kép:
ra rb và Ta = k.Tb 1 + ra = (1 + rb)k
Lãi suất trung bình trong lãi kép:
Có m giai đoạn, giai đoạn i có ni kì hạn với lãi suất ri
n1 n2 ... nm n n n
r (1 r1 ) 1 .(1 r2 ) 2 ...(1 rm ) m 1
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 18
MÔN TOÁN KINH TẾ 9
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
PHƯƠNG THỨC LÃI KÉP
Các dạng bài tập:
Xác định giá trị đạt được vào cuối đợt đầu tư
(FV)
Xác định thời gian đầu tư để đạt giá trị mong
muốn
Xác định lãi suất tiền gởi
Xác định số vốn đầu tư ban đầu (trị giá hiện tại
của vốn đầu tư) (PV)
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 19
CHUỖI TIỀN TỆ
Khái niệm: là một chuỗi các khoản tiền phát sinh
mới sau mỗi kì hạn.
Chuỗi tiền tệ hình thành khi đủ các yếu tố:
số lượng kì hạn (thời gian): n
số tiền mỗi kì hạn: a1, a2, …, an.
lãi suất: r
Chuỗi tiền tệ được thực hiện với mục đích góp dần
để tích luỹ một khoản vốn hay trả dần một khoản nợ.
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 20
MÔN TOÁN KINH TẾ 10
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
CHUỖI TIỀN TỆ
Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ:
n
FV ai .(1 r )n i
a1.(1 r )n 1
a2 .(1 r )n 2
... an
i 1
Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ:
n
i 1 2 n
PV ai .(1 r) a1.(1 r) a2 .(1 r) ... an .(1 r)
i 1
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 21
CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU
Khái niệm: là chuỗi mà số tiền mọi kì hạn bằng
nhau: a1 = a2 = … = an = a
Giá trị tương lai của số tiền phát sinh mỗi kì là cấp
số nhân với:
- công bội q = 1/(1 + r)
- Số hạng kì đầu tiên: u1 = a.(1 + r)n – 1
- Số hạng tổng quát kì thứ k: uk = a.(1 + r)n – k
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 22
MÔN TOÁN KINH TẾ 11
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU
Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ đều = tổng n số
hạng đầu của cấp số nhân giá trị tương lai số tiền phát
sinh mỗi kì:
n
1 r 1
FV a
r
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 23
CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU
Giá trị hiện tại của số tiền phát sinh mỗi kì là cấp số
nhân với:
- công bội q = (1 + r)
- Số hạng kì đầu tiên: u1 = a.(1 + r)–n
- Số hạng tổng quát kì thứ k: uk = a.(1 + r)–(n – k)
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 24
MÔN TOÁN KINH TẾ 12
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU
Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ đều = tổng n số
hạng đầu của cấp số nhân giá trị hiện tại số tiền phát
sinh mỗi kì: n
1 1 r
PV a
r
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 25
CHUỖI TIỀN TỆ CẤP SỐ CỘNG
Khái niệm: là chuỗi mà số tiền kì hạn sau tăng hơn
số tiền kì hạn liền trước một lượng cố định
ai+1 = ai + d
Giá trị tương lai:
n
d 1 r 1 nd
FV a
r r r
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 26
MÔN TOÁN KINH TẾ 13
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
CHUỖI TIỀN TỆ CẤP SỐ NHÂN
Khái niệm: là chuỗi mà số tiền kì hạn sau tăng hơn
số tiền kì hạn liền trước một tỷ lệ cố định
ai+1 = ai.q
Giá trị tương lai:
n
qn 1 r
FV a
q 1 r
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 27
CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU
Các dạng bài tập:
- Tính tiền phát sinh mỗi kì hạn
- Tính lãi suất
- Tính số lượng kì hạn
- Tính giá trị tương lai, hiện tại của chuỗi
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 28
MÔN TOÁN KINH TẾ 14
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
TRẢ NỢ DẦN ĐỊNH KỲ
Giả sử số tiền vay là K được trả nợ trong thời gian n
kì hạn với lãi suất r, ta đặt các kí hiệu sau:
- ai: số tiền phải trả kì thứ i
- Ii: tiền lãi phải trả kì thứ i
- Mi: vốn gốc phải trả kì thứ i
- Vi: dư nợ gốc đầu kì thứ i
i = 1, 2, 3, …, n
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 29
TRẢ NỢ DẦN ĐỊNH KỲ
Tính chất:
• ai = Ii + Mi
• Ii = Vi – 1.r
• Vi = Vi – 1 – Mi
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30
MÔN TOÁN KINH TẾ 15
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
TRẢ NỢ DẦN ĐỊNH KỲ
Bảng hoàn trả:
Kì Lãi trả Vốn gốc trả Tiền trả nợ
Dư nợ
hạn trong kì trong kì trong kì
1 V0 = K I1 = V0.r M1 a1 = I1 + M1
2 V1 = V0 – M1 I2 = V1.r M2 a2 = I2 + M2
… …. …. …. ....
n Vn–1 = Vn–2 – Mn–1 In = Vn–1.r Mn an = In + Mn
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 31
TRẢ NỢ DẦN VỚI SỐ TIỀN MỖI KỲ
CỐ ĐỊNH
Chuỗi tiền tệ đều có giá trị hiện tại là số vốn vay K
số tiền phải trả (vốn + lãi) cố định mỗi kì:
r
a K n
1 1 r
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 32
MÔN TOÁN KINH TẾ 16
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
TRẢ NỢ DẦN VỚI SỐ TIỀN MỖI KỲ
CỐ ĐỊNH
Vốn gốc phải trả trong mỗi kì tạo thành cấp số nhân
với công bội q = 1/(1 + r):
r (n i 1)
M1 K n
; Mi a.(1 r)
1 r 1
Số nợ đã trả sau i kì:
i
1 r 1
Ri K n
1 r 1
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 33
TRẢ NỢ DẦN CỐ ĐỊNH PHẦN
VỐN GỐC
Vốn gốc phải trả trong mỗi kì bằng nhau:
M1 = M2 = … = Mn = K/n
Số tiền phải trả (vốn + lãi) mỗi kì tạo thành một cấp
số cộng với công sai:
K
d i
n
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 34
MÔN TOÁN KINH TẾ 17
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
TRẢ NỢ DẦN ĐỊNH KỲ
Các dạng bài tập:
- Tính tiền phát sinh, lãi suất, vốn phải trả trong kì hạn
bất kì.
- Tính số vốn vay ban đầu, vốn đã trả, vốn còn nợ.
- Lập bảng hoàn trả.
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 35
KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a ; b).
Lấy x0 ϵ (a ; b), gọi ∆x là lượng thay đổi từ x0 đến x ϵ
(a ; b) thì y sẽ có lượng thay đổi ∆y từ f(x0) đến f(x).
y y
Neáu giôùi haïn khi x 0 laø höõu haïïn töùc lim k
x x 0 x
thì số k được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại
x0, kí hiệu f’(x).
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 36
MÔN TOÁN KINH TẾ 18
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
QUY TẮC ĐẠO HÀM HÀM SƠ CẤP
1) Haøøm luyõ thöøa : x ' .x 1
2)Haøm löôïnggiaùc :
sin x ' cos x; cos x ' sin x;
tan x ' tan 2 x 1; cot x ' cot 2 x 1
3) Haøm muõ : a x ' a x .ln a
1
4) Haøm log : log a x '
x.ln a
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37
TÍNH CHẤT ĐẠO HÀM
Cho hai hàm số u(x) và v(x), ta có:
1) u v ' u' v'
2) u.v ' u '.v v '.u
'
u u '.v v '.u
3)
v v2
4) k . f ( x ) ' k . f '( x )
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 38
MÔN TOÁN KINH TẾ 19
- KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
ĐẠO HÀM HÀM HỢP
Cho hàm số f(t) và t(x), ta có: f x
'
ft' .tx'
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 39
Ý NGHĨA ĐẠO HÀM
y
lim f ' ( x) y f ' ( x ). x
x 0 x
cho biết giá trị gần đúng lượng thay đổi ∆y của
biến y khi biến x thay đổi một lượng nhỏ ∆x.
Hay nói cách khác, đạo hàm phản ánh tốc độ thay
đổi của y so với thay đổi của x.
16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 40
MÔN TOÁN KINH TẾ 20
nguon tai.lieu . vn
