Xem mẫu
- HỌC VIỆN NGÂN HÀNG
BỘ MÔN TOÁN
———————o0o——————–
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: Trần Thị Xuyến
HÀ NỘI - 2013
- GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP
Số tín chỉ: 3.
Phân bố thời gian:
Lý thuyết 60 %
Bài tập 40 %
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Chương 2: Đạo hàm
Chương 3: Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến.
Chương 4: Tích phân
Chương 5: Phương trình vi phân
Chương 6: Phương trình sai phân
TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN
Điểm chuyên cần: 10 %
Điểm kiểm tra giữa kì: 2 bài chiếm 30 %
Thi hết học phần: 60%
Thang điểm 10.
Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương 3
Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương 6
1
- CẤU TRÚC ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP DỰ KIẾN
Câu 1 (2 điểm)
• Xây dựng mô hình toán trong kinh tế bằng các hàm số 1 biến hoặc 2 biến
• Ứng dụng đạo hàm 1 biến trong kinh tế: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ
nhất của hàm số 1 biến trong kinh tế; tính giá trị cận biên; tính hệ số co
dãn.
• Ứng dụng đạo hàm nhiều biến trong kinh tế: Tìm giá trị lớn nhất hoặc
nhỏ nhất của hàm số 1 biến trong kinh tế; tính giá trị cận biên; tính hệ
số co dãn.
• Các bài toán liên quan đến lãi đơn, lãi gộp, lãi gộp liên tục.
Câu 2 (2 điểm)
Có 2 bài tính giới hạn mức độ trung bình về tính giới hạn các dạng vô định
của hàm số.
Câu 3 (2 điểm): Có 1 bài về hàm 2 biến thuộc một trong 3 loại
• Tìm cực trị tự do của hàm 2 biến.
• Tìm cực trị của hàm 2 biến với điều kiện dạng φ(x, y) = 0.
• Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm 2 biến trong miền đóng và bị
chặn.
Câu 4 (2 điểm): Có 2 bài thuộc 3 loại sau
• Ứng dụng của tích phân trong kinh tế
• Tính tích phân xác định
• Tính tích phân suy rộng
Câu 5 (2 điểm) Có 2 bài bao gồm:
• Phương trình vi phân cấp 1
• Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 hoặc cấp 3
2
- CHƯƠNG 1
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
1.1 HÀM SỐ
1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
A. Biến số
Định nghĩa 1.1.1. Biến số là đại lượng mà giá trị của nó có thể thay đổi trên
một tập số X 6= ∅.
Ta thường kí hiệu biến số là chữ cái: x, y, z... và X gọi là miền biến thiên.
Các biến số kinh tế hay gặp
p: giá cả.
QS : Lượng cung.
QD : Lượng cầu.
π : Lợi nhuận
T C : Tổng chi phí
V C : Chi phí biến đổi
F C : Chi phí cố định
AT C : Tổng chi phí bình quân
AV C : Chi phí biến đổi bình quân
T R: Tổng doanh thu
K : Vốn
L: Lao động
C : Lượng tiêu dùng
S : Lượng tiết kiệm.
Y : Thu nhập.
B.Hàm số
Định nghĩa 1.1.2. Một hàm số f xác định trên X ⊂ R là một quy tắc cho tương
ứng mỗi số thực x ∈ X với một và chỉ một số thực y .
Kí hiệu: y = f (x)
3
- x gọi là biến độc lập.
X gọi là miền xác định.
y gọi là biến phụ thuộc.
f (X) = {y ∈ R|y = f (x), x ∈ X} là miền giá trị của hàm số.
Đồ thị hàm số là: {(x, y)|y = f (x), x ∈ X}
C. Các cách cho hàm số
1. Hàm số cho bởi bảng.
2. Hàm số cho bởi biểu thức giải tích.
√ x3 − 1, x > 3
2
Ví dụ 1.1.1. y = 5 − x hay y =
5 + x, x ≤ 3
3. Hàm số cho bởi đồ thị hàm số.
D. Hàm ẩn
Định nghĩa 1.1.3. Hàm y(x) thỏa mãn hệ thức liên hệ giữa x và y : F (x, y) = 0
thì y gọi là hàm ẩn của x.
Ví dụ 1.1.2. x2 + y 2 − 1 = 0 hay x3 − y 3 + 1 = 0
E. Hàm ngược
Định nghĩa 1.1.4. Cho hàm số y = f (x) với miền xác định X, miền giá trị Y.
Nếu ∀y0 ∈ Y , phương trình f (x) = y0 có nghiệm duy nhất thuộc X thì ta có thể
xác định một hàm số cho tương ứng mỗi y0 ∈ Y một và chỉ một x0 ∈ X sao cho
f (x0 ) = y0 .
Hàm số này gọi là hàm ngược của hàm số y = f (x), kí hiệu là: f −1 .
Cách tìm hàm ngược
• Viết f (x) = y và tìm x theo y
• Đổi chỗ kí hiệu x, y cho nhau để biểu diễn f −1 như là hàm của x.
Ví dụ 1.1.3. Tìm hàm ngược của hàm sau
y = (x − 1)2 , ∀x ≥ 1
4
- Các hàm ngược của các hàm số cơ bản
1. Hàm số y = sin x xác định trên X = − π2 , π2 và có MGT [−1, 1] có hàm ngược
là y = arcsin x xác định trên [−1, 1] và có MGT là − π2 , π2 .
2. Hàm số y = cos x xác định trên X = [0; π] và có MGT [−1, 1] có hàm ngược là
y = arccos x xác định trên [−1, 1] và có MGT là [0; π].
3. Hàm số y = tan x xác định trên X = − π2 , π2 và có MGT R có hàm ngược là
y = arctan x xác định trên R và có MGT là − π2 , π2 .
4. Hàm số y = cot x xác định trên X = (0; π) và có MGT R có hàm ngược là y =
arccot x xác định trên R và có MGT là (0; π).
5. Hàm số y = ax xác định trên R và có MGT (0; +∞) có hàm ngược là y = loga x
xác định trên (0; +∞) và có MGT là R.
F. Một số đặc trưng của hàm số
Hàm số đơn điệu
• Hàm số y = f (x) gọi là đơn điệu tăng trên miền X nếu x1 < x2 thì f (x1 ) <
f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X .
• Hàm số y = f (x) gọi là đơn điệu giảm trên miền X nếu x1 > x2 thì f (x1 ) <
f (x2 ); ∀x1 , x2 ∈ X .
Hàm số bị chặn
• Hàm số f (x) xác định trong X được gọi là bị chặn trên trong X nếu ∃M sao
cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ X .
• Hàm số f (x) xác định trong X được gọi là bị chặn dưới trong X nếu ∃m sao
cho f (x) ≥ m, ∀x ∈ X .
• Hàm số f (x) bị chặn trên và bị chặn dưới thì được gọi là bị chặn.
f (x) bị chặn trong X ⇔ ∃a : |f (x)| ≤ a, ∀x ∈ X
Hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Hàm số f (x) xác định trên X được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ X , ta có
−x ∈ X và f (−x) = f (x).
• Hàm số f (x) xác định trên X được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ X , ta có −x ∈ X
và f (−x) = −f (x).
5
- Hàm số tuần hoàn
Hàm số f (x) xác định trên X được gọi là hàm tuần hoàn với chu kì T nếu ∀x ∈ X ,
ta có x + T ∈ X và f (x + T ) = f (x).
Khi nói chu kì của hàm tuần hoàn ta thường lấy chu kì dương nhỏ nhất.
G. Các hàm số sơ cấp cơ bản và các phép toán sơ cấp
Các hàm số sơ cấp cơ bản
1. f (x) = C, C là hằng số.
2. Hàm lũy thừa f (x) = xα , α là hằng số.
• α ∈ N thì TXĐ D = R.
• α là số nguyên âm thì TXĐ D = R\{0}.
• α không là số nguyên thì TXĐ D = (0; +∞).
m √
Chú ý: x n = n xm khi x > 0.
3. Hàm số mũ f (x) = ax (a > 0, a 6= 1).
TXĐ: D = R.
4. Hàm số logarit f (x) = loga x (a > 0, a 6= 1).
Khi a = 10, ta có hàm f (x) = lgx.
TXĐ: D = (0; +∞).
5. Các hàm lượng giác: y = sin x; y = cos x, y = tan x, y = cot x
6. Các hàm lượng giác ngược: y = arcsin x; y = arccos x, y = arctan x, y = arccotx
Các phép toán sơ cấp
1. Phép toán cộng, trừ, nhân, chia đối với các hàm số.
2. Phép hợp hàm
Giả sử khi x thay đổi trong X , các giá trị của hàm số u = ϕ(x) luôn thuộc
miền xác định của hàm số y = f (u).
Khi đó, ta có quy tắc: x 7→ u = ϕ(x) 7→ y = f [ϕ(x)].
Hàm y = f [ϕ(x)] gọi là hàm hợp của hàm y = f (u), u = ϕ(x).
Các hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép toán
số học và phép lấy hàm hợp.
3
−1
Ví dụ 1.1.4. Các hàm sơ cấp: lg(x2 + sin x), xx+1 , cos3 5x
6
- Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế
1. Hàm cung Qs = S(p)
2. Hàm cầu Qd = D(p)
3. Hàm sản xuất Q = f (L)
4. Hàm doanh thu T R = T R(Q)
5. Hàm tổng chi phí T C = T C(Q) = V C(Q) + F C
T C(Q)
6. Hàm tổng chi phí bình quân AT C = Q
V C(Q)
7. Hàm chi phí biến đổi bình quân AV C = Q
8. Hàm lợi nhuận π = T R − T C
9. Hàm tiêu dùng C = C(Y )
10. Hàm tiết kiệm S = S(Y )
1.1.2 DÃY SỐ
Định nghĩa 1.1.5. Hàm số
f : N∗ → R
n 7→ f (n)
được gọi là một dãy số. Kí hiệu: (xn )
xn được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.
Ví dụ: xn = 100(1 + 0.14)n có các số hạng là 114; 129.96; ...
Bài toán lãi đơn
Cho vay một khoản vốn v0 với lãi suất mỗi kì là r trong vòng n kì và cuối mỗi kì
đều lấy lãi chỉ để lại vốn. Sau n kì thì tổng giá trị lãi và vốn là bao nhiêu?
Cấp số cộng
vn = v0 (1 + nr)
vn là cấp số cộng với công sai d = v0 .r.
Bài toán lãi gộp
Cho vay một khoản vốn v0 với lãi suất mỗi kì là r trong vòng n kì và cuối mỗi kì
7
- lãi được nhập vào vốn để tính lãi cho kì sau.
Sau n kì thì tổng giá trị lãi và vốn là bao nhiêu?
Cấp số nhân
vn = v0 .(1 + r)n
vn là cấp số nhân với công bội q = 1 + r.
n
Tổng cấp số nhân: Sn = v1 + .... + vn = v1 1−q
1−q .
v1
Tổng của cấp số nhân giảm dần: Sn = 1−q , (q < 1).
Cấp số nhân và ứng dụng trong phân tích tài chính
Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ
B = A + tiền lãi
B đồng là giá trị tương lai của A đồng ngày hôm nay.
A đồng là giá trị hiện tại của B đồng mà bạn sẽ có được trong tương lai.
Với mức lãi gộp r , giá trị tương lai của A đồng hiện tại sau n kì là:
B = A(1 + r)n
Với mức lãi gộp r , giá trị hiện tại của B đồng mà bạn sẽ nhận được sau n kì là:
A = B(1 + r)−n
Ví dụ 1.1.5. Cho biết lãi gộp 0,9 % một tháng. Muốn nhận được 1,2 tỷ đồng sau
3 năm thì hiện tại phải gửi ngân hàng bao nhiêu tiền?
Trả lời:
n = 3.12 = 36
Số tiền bây giờ phải gửi là:
A = 1, 2.(1 + 0.009)−36 ≈ 0, 8692 tỷ đồng ≈ 869, 2 triệu đồng
Giá trị hiện tại ròng dự án (NPV) bằng hiệu giá trị hiện tại của khoản tiền
thu về trong tương lai và chi phí triển khai dự án.
Điều kiện để thực hiện dự án là: N P V > 0.
1. Loại 1: Lợi tức thu về 1 lần
N P V = B(1 + r)−n − Chi phí
2. Loại 2: Lợi tức thu về hữu hạn lần
B1 B2 Bn
NP V = [ + 2
+ ... + ] − Chi phí
(1 + r) (1 + r) (1 + r)n
8
- Ví dụ 1.1.6. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 1 tỷ đồng và sẽ mang về 2
tỷ đồng trong 5 năm. Với lãi suất gửi ngân hàng là lãi gộp 10 % một năm. Ta có
nên thực hiện dự án hay không?
Trả lời:
N P V = 2.(1 + 0.1)−5 − 1 = 0.2418 > 0
Vậy ta nên thực hiện dự án.
Ví dụ 1.1.7. Cho lãi suất ngân hàng là 9 % một năm. Một công ty đề nghị bạn
góp vốn 600 triệu vào đầu năm và cam kết sẽ trả hàng năm (vào cuối các năm)
100 triệu liên tục trong 7 năm. Bạn có góp vốn không?
Trả lời:
100 100 100
NP V = [ + + ... + ] − 600
1 + 0.09 (1 + 0.09)2 (1 + 0.09)7
100 100 100 100 1
Ta có dãy số 1+0.09 , (1+0.09)2 , .., (1+0.09)7 là cấp số nhân có v1 = 1+0.09 , q = 1+0.09 nên
1
1 − qn 100 1 − 1.097
S7 = v1 = 1
= 503.295
1−q 1.09 1 − 1.097
N P V = 503.295 − 600 = −96, 705 < 0
Vậy không nên góp vốn.
1.2 GIỚI HẠN
1.2.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Định nghĩa giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.2.1. Ta nói dãy số xn có giới hạn là a (hay xn hội tụ đến a) nếu
∀ > 0, ∃n0 : ∀n > n0 , |xn − a| < .
(Nói cách khác: ta làm cho các số hạng của dãy gần a bao nhiêu cũng được bằng
cách chọn chỉ số n đủ lớn )
Kí hiệu:
lim xn = a
n→+∞
9
- Dãy số xn gọi là phân kì nếu không có giới hạn hữu hạn.
Các định lí cơ bản về giới hạn của dãy số
Định lí 1.2.1. 1. Giới hạn của một dãy số hội tụ là một số thực duy nhất.
2. Nếu dãy số xn hội tụ thì nó bị chặn.
3. Nếu xn ≥ yn và cả hai dãy xn , yn đều hội tụ thì
lim xn ≥ lim yn
n→+∞ n→+∞
Giới hạn của dãy số đơn điệu
Định lí 1.2.2. 1. Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
2. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.
Ví dụ 1.2.1. Chứng minh dãy số sau có giới hạn hữu hạn
1
n
xn = 1 +
n
số e và logarit tự nhiên
1
n
e = lim 1+
n→+∞ n
Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe.
ln x = loge x
Ứng dụng kinh tế của số e.
Lãi gộp liên tục là lãi có tính lý thuyết được sử dụng trong trường hợp các dòng
lợi tức là các dòng liên tục.
Xét tình huống: Lãi suất ngân hàng là r cho 1 chu kì, tiền gốc A. Giả sử 1 chu kì
được chia thành m chu kì nhỏ và lãi suất của từng chu kì nhỏ là mr .
Trong trường hợp lý tưởng số lần tính lãi m → +∞. Khi đó, lãi rời rạc trở thành
lãi liên tục và sau 1 chu kì số tiền được tính phải là:
m
r m r
lim A(1 + ) = A lim [(1 + ) r ]r = Aer
m→+∞ m m→+∞ m
10
- Với mức lãi gộp liên tục r , giá trị tương lai của A đồng hiện tại sau n kì là:
B = Aer.n
Với mức lãi gộp liên tục r , giá trị hiện tại của B đồng mà bạn sẽ nhận được sau
n kì là:
A = Be−r.n
Ví dụ 1.2.2. Cho biết lãi suất gộp liên tục r một năm là bao nhiêu thì tương đương
với lãi đơn gộp 8 % một năm, tính lãi 1 năm 1 lần.
Trả lời:
Giả sử tiền gốc là A.
Sau 1 năm gửi với lãi gộp 8 % thì số tiền nhận được là: A.(1 + 0.08)
Sau 1 năm gửi với lãi gộp liên tục r thì số tiền nhận được là: A.er
Điều kiện tương đương của 2 loại lãi suất là:
A.(1 + 0.08) = A.er ⇔ r = ln(1.08) ≈ 0.077
Vậy lãi suất gộp liên tục xấp xỉ 7.7 % thì thỏa mãn đề bài
1.2.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Khái niệm giới hạn của hàm số
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử f (x) xác định trên D.
f (x) có giới hạn là L khi x → x0 nếu ∀xn ∈ D\{x0 } : xn → x0 thì
lim f (xn ) = L.
n→+∞
Kí hiệu:
lim f (x) = L
x→x0
Nhận xét:
1. Hàm số f (x) có giới hạn là L khi x → x0 thì f (x) không cần thiết phải xác
định tại x0 .
11
- 2. Để chứng minh f (x) không có giới hạn khi x → x0 ta lấy hai dãy xn , x0n cùng
tiến về x0 nhưng
lim f (xn ) 6= lim f (x0n )
n→+∞ n→+∞
Giới hạn một phía
Định nghĩa 1.2.3. 1. Giới hạn bên trái
lim f (x) = lim f (x)
x→x−
0
x → x0
x < x0
2. Giới hạn bên phải
lim f (x) = lim f (x)
x→x+
0
x → x0
x > x0
Định lí 1.2.3. Hàm số f (x) có giới hạn là L khi x → x0
⇔ lim f (x) = lim f (x) = L
x→x−
0 x→x+
0
Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản
Giới hạn của hàm sơ cấp cơ bản f (x) tại điểm a ∈ MXĐ là:
lim f (x) = f (a)
x→a
Giới hạn của hàm lượng giác ngược tại các điểm đầu mút
π π
lim arctan x = , lim arctan x = −
x→+∞ 2 x→−∞ 2
lim arccotx = 0, lim arccotx = π
x→+∞ x→−∞
Các định lí cơ bản về giới hạn hàm số
Định lí 1.2.4. Nếu khi x → a, hàm số f (x), g(x) có giới hạn là các số thực b1 , b2
thì
1. lim [f (x) ± g(x)] = b1 ± b2
x→a
12
- 2. lim [kf (x)] = kb1
x→a
3. lim [f (x).g(x)] = b1 .b2
x→a
f (x) b1
4. lim = , (b2 6= 0)
x→a g(x) b2
5. lim [f (x)]g(x) = bb12 , (b1 > 0)
x→a
Định lí 1.2.5. (Định lí kẹp) Nếu f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) khi x gần a và
lim f (x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L
x→a x→a x→a
Ví dụ 1.2.3. Tính giới hạn sau
1
lim x2 sin
x→0 x
Lời giải:
Ta có:
1
≤1
−1 ≤ sin
x
1
⇔ −x2 ≤ x2 sin ≤ x2
x
Mà
lim (−x2 ) = lim x2 = 0
x→0 x→0
Do đó:
1
lim x2 sin =0
x→0 x
Định lí 1.2.6. Nếu f (x) là hàm bị chặn và g(x) thỏa mãn limx→a g(x) = 0 thì
lim f (x).g(x) = 0
x→a
Ví dụ 1.2.4. Tính giới hạn sau
√ √
lim (sin x + 1 − sin x)
x→+∞
Lời giải:
√ √ √ √
√ √ x+1+ x x+1− x
lim (sin x + 1 − sin x) = lim 2 cos sin
x→+∞ x→+∞ 2 2
13
- √ √
x+1+ x 1
= lim 2 cos sin √ √
x→+∞ 2 2( x + 1 + x)
Ta có
- √ √
-
- x + 1 + x
-
nguon tai.lieu . vn
