Bài giảng Toán cao cấp: Không gian véc tơ - Nguyễn Văn Phong

KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Nguyễn Văn Phong

Toán cao cấp - MS: MAT1006
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 17

Nội dung

1

KHÁI NIỆM CƠ BẢN

2

CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ

3

HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 17

Không gian véc tơ
Định nghĩa
Cho V = ∅ trên đó ta định nghĩa hai phép toán
+:V ×V →V
(u, v ) → u + v

·:R×V →V
(k, u) → ku

Với u, v , w ∈ V và α, β ∈ R, ta có một số tính chất sau:
A1) u + v = v + u

M1) α (β) = (αβ) u

A2) (u + v ) + w = u + (v + w )

M2) α (u + v ) = αu + αv

A3) ∃!0 ∈ V : u + 0 = u

M3) (α + β) u = αu + βu

A4) ∃ − u ∈ V : u + (−u) = 0

M4) 1.u = u

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

2 / 17

Không gian véc tơ
Định nghĩa
Cho V = ∅, với hai phép toán (+, ·). Khi đó, V được gọi
là không gian vec tơ trên R nếu các phép toán trên V
thoả mãn các tính chất A1 → A4 và M1 → M4.
Ví dụ.
a b
|a, b, c, d ∈ R với
c d
hai phép toán cộng và nhân môt số với một ma trận
lập thành một không gian véc tơ.

1) Cho V = M2 (R) =

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

3 / 17

Không gian véc tơ
Định nghĩa
Cho V = ∅, với hai phép toán (+, ·). Khi đó, V được gọi
là không gian vec tơ trên R nếu các phép toán trên V
thoả mãn các tính chất A1 → A4 và M1 → M4.
Ví dụ.
2) Cho V = Rn = {(x1 , x2 , ..., xn ) |xi ∈ R}, với hai
phép toán
i) (x1 , x2 , ..., xn ) + (y1 , y2 , ..., yn )
= (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn )
ii) k (x1 , x2 , ..., xn ) = (kx1 , kx2 , ..., kxn )
Cũng là một không gian véc tơ.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

4 / 17