Xem mẫu
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
TOÁN CAO C P C1 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2, 3)
– NXB Giáo dục.
Đ IH C 3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2
– ĐH Kinh tế TP. HCM.
PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH 4. Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao cấp (Giải tích)
S ti t: 45 – ĐH Kinh tế - Tài chính TP. HCM – NXB Thống kê.
5. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 3, 4)
Chương 1. Hàm số một biến số
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số – NXBĐHQG TP.HCM.
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 6. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1, 2)
Chương 4. Hàm số nhiều biến số – NXB Giáo dục.
Chương 5. Phương trình vi phân
Chương 6. Bài toán kinh tế – Lý thuyết chuỗi Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên
ThS. Đoà
Tài liệu tham khảo T i Slide bài gi ng Toán C1 Đ i h c t i
Toá
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1–C1 dvntailieu.wordpress.com
– ĐH Công nghiệp TP. HCM.
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
§1. Bổ túc về hàm số – Nếu f (x1 ) = f (x 2 ) ⇒ x1 = x 2 thì f là đơn ánh.
§2. Giới hạn của hàm số
§3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh.
§4. Hàm số liên tục – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh.
…………………………….
VD 1.
§1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ
a) Hàm số f : ℝ → ℝ thỏa y = f (x ) = 2x là đơn ánh.
1.1. Khái niệm cơ bản
b) Hàm số f : ℝ → [0; +∞) thỏa f (x ) = x 2 là toàn ánh.
1.1.1. Định nghĩa hàm số
• Cho X ,Y ⊂ ℝ khác rỗng. c) Hsố f : (0; +∞) → ℝ thỏa f (x ) = ln x là song ánh.
Ánh xạ f : X → Y với x ֏ y = f (x ) là một hàm số. • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu:
Khi đó: f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df .
– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X.
– Miền giá trị (MGT) của f là: • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu:
{
G = y = f (x ) x ∈ X . } f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df .
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
Nhận xét 1.1.3. Hàm số ngược
– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
– Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. • Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,
ký hiệu g = f −1 , nếu x = g(y ), ∀y ∈ G f .
1.1.2. Hàm số hợp
• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện Gg ⊂ D f . Nhận xét
Khi đó, hàm số h(x ) = ( f g )(x ) = f [g(x )] được gọi là – Đồ thị hàm số y = f −1(x )
hàm số hợp của f và g. đối xứng với đồ thị của
hàm số y = f (x ) qua
Chú ý đường thẳng y = x .
(f g )(x ) ≠ (g f )(x ).
VD 2. Hàm số y = 2(x 2 + 1)2 − x 2 − 1 là hàm hợp của VD 3. Cho f (x ) = 2x thì
f (x ) = 2x 2 − x và g(x ) = x 2 + 1 . f −1(x ) = log2 x , mọi x > 0.
Toán cao c p C1 Đ i h c 1
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
1.2. Hàm số lượng giác ngược 1.2.2. Hàm số y = arccos x
1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số y = cos x có hàm ngược trên [0; π] là
π π
• Hàm số y = sin x có hàm ngược trên − ; là f −1 : [−1; 1] → [0; π]
2 2
π π x ֏ y = arccos x .
f −1 : [−1; 1] → − ;
2 2 π
VD 5. arccos 0 = ;
x ֏ y = arcsin x . 2
arccos(−1) = π ;
VD 4. arcsin 0 = 0 ;
3 π −1 2π
π arccos = ; arccos = .
arcsin(−1) = − ; 2 6 2 3
2 Chú ý
3 π π
arcsin = . arcsin x + arccos x = , ∀x ∈ [−1; 1].
2 3 2
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
1.2.3. Hàm số y = arctan x 1.2.4. Hàm số y = arccot x
π π
• Hàm số y = tan x có hàm ngược trên − ; là
• Hàm số y = cot x có hàm ngược trên (0; π) là
π π 2 2
f : ℝ → − ;
−1
f −1 : ℝ → (0; π)
2 2
x ֏ y = arctan x . x ֏ y = arc cot x .
π
VD 6. arctan 0 = 0 ; VD 7. arc cot 0 = ;
π 2
arctan(−1) = − ; 3π
4 arc cot(−1) = ;
π 4
arctan 3 = . π
3 arc cot 3 = .
6
π π
Quy ước. arctan (+∞) = , arctan (−∞) = − . Quy ước. arc cot(+∞) = 0, arc cot(−∞) = π.
2 2
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞ ,
2.1. Các định nghĩa
ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho trước ta tìm
Định nghĩa 1 x →+∞
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f (x ) − L < ε .
hạn là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a ; b ], ký hiệu
• Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho
lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho trước ta tìm được δ > 0 x →−∞
x →x 0 trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho
sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) − L < ε . khi x < N thì f (x ) − L < ε .
Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới • Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi x → x 0 , ký hiệu
hạn là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a ; b ], ký hiệu lim f (x ) = +∞ , nếu ∀ M > 0 lớn tùy ý cho trước ta
lim f (x ) = L , nếu mọi dãy {xn} trong (a ; b ) \ {x 0 } mà x →x0
x →x 0
tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì
x n → x 0 thì lim f (x n ) = L . f (x ) > M .
n →∞
Toán cao c p C1 Đ i h c 2
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
• Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = − ∞ , nếu ∀ M < 0 có trị 2.2. Tính chất
x →x0
tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được δ > 0 sao cho Cho lim f (x ) = a và lim g (x ) = b . Khi đó:
x →x 0 x →x 0
khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) < M .
1) lim [C .f (x )] = C .a (C là hằng số).
Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) x →x 0
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x 0 2) lim [ f (x ) ± g (x )] = a ± b .
x →x 0
với x > x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu
hạn), ký hiệu lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L . 3) lim [ f (x )g (x )] = ab ;
x →x0 +0 x →x 0
x →x+
0
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x 0
f (x ) a
4) lim = , b ≠ 0;
với x < x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu g (x )
x →x 0 b
hạn), ký hiệu lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L . 5) Nếu f (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) thì a ≤ b .
x → x 0 −0 x →x−
0 6) Nếu f (x ) ≤ h (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) và
Chú ý. lim f (x ) = L ⇔ lim− f (x ) = lim+ f (x ) = L . lim f (x ) = lim g (x ) = L thì lim h (x ) = L .
x →x0 x →x x→x
0 0
x →x 0 x →x 0 x →x 0
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
Định lý an x n + an −1x n −1 + ... + a0
• Nếu lim u(x ) = a > 0, lim v(x ) = b thì: 2) Xét L = lim , ta có:
x →x 0 x →x 0 x →∞ b x m
m
+ bm−1x m−1 + ... + b0
lim [u(x )]v (x ) = a b . an
x →x 0 a) L = nếu n = m ;
2x bn
2x x −1 b) L = 0 nếu n < m ;
VD 1. Tìm giới hạn L = lim
. c) L = ∞ nếu n > m .
x →∞ x + 3
sin αx tan αx
A. L = 9 ; B. L = 4 ; C. L = 1; D. L = 0 . 3) lim = lim = 1.
αx → 0 α x αx → 0 αx
4) Số e:
Các kết quả cần nhớ
x 1
1
1) lim = −∞, lim = +∞.
1 1 + 1 = lim (1 + x )x = e.
lim
− + x →±∞
x
x →0
x →0 x x →0 x
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
2x
3x §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
VD 2. Tìm giới hạn L = lim 1 +
.
x →∞
2x + 1
2
3.1. Đại lượng vô cùng bé
3 2 a) Định nghĩa
A. L = ∞ ; B. L = e ; C. L = e ; D. L = 1.
• Hàm số α(x ) được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB)
khi x → x 0 nếu lim α(x ) = 0 (x0 có thể là vô cùng).
1 x →x 0
VD 3. Tìm giới hạn L = lim 1 + tan
x → 0+
( 2
x ) 4x
.
A. L = ∞ ; B. L = 1; C. L = 4 e ; D. L = e . ( )
VD 1. α(x ) = tan3 sin 1 − x là VCB khi x → 1− ;
1
β(x ) = là VCB khi x → +∞ .
ln2 x
Toán cao c p C1 Đ i h c 3
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
c) So sánh các VCB
b) Tính chất của VCB
• Định nghĩa
1) Nếu α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 thì α(x )
Cho α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 , lim = k.
α(x ) ± β(x ) và α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 . x →x 0 β(x )
Khi đó:
2) Nếu α(x ) là VCB và β(x ) bị chận trong lân cận x 0 – Nếu k = 0 , ta nói α(x ) là VCB cấp cao hơn β(x ),
thì α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 . ký hiệu α(x ) = 0(β(x )) .
– Nếu k = ∞ , ta nói α(x ) là VCB cấp thấp hơn β(x ).
3) lim f (x ) = a ⇔ f (x ) = a + α(x ), trong đó α(x ) là
x →x 0
– Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB
VCB khi x → x 0 . cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB
tương đương, ký hiệu α(x ) ∼ β(x ) .
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
2
VD 2 • 1 − cos x là VCB cùng cấp với x khi x → 0 vì: • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
x Cho α(x ), β(x ) là tổng các VCB khác cấp khi x → x 0
2 sin2
1 − cos x 2 = 1.
lim = lim α(x )
2 2 2 thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp
x →0 x x →0 x x →x 0 β(x )
4
2 nhất của tử và mẫu.
• sin 2 3(x − 1) ∼ 9(x − 1)2 khi x → 1 . x 3 − cos x + 1
VD 3. Tìm giới hạn L = lim .
x →0 x4 + x2
• Tính chất của VCB tương đương khi x → x0
1) α(x ) ∼ β(x ) ⇔ α(x ) − β(x ) = 0(α(x )) = 0(β(x )). • Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0
2) Nếu α(x ) ∼ β(x ), β(x ) ∼ γ(x ) thì α(x ) ∼ γ(x ). 1) sin x ∼ x ; 2) tan x ∼ x ;
3) Nếu α1(x ) ∼ β1(x ), α 2(x ) ∼ β2(x ) thì 3) arcsin x ∼ x ; 4) arctan x ∼ x
α1(x )α 2 (x ) ∼ β1(x )β2(x ). x2
5) 1 − cos x ∼ ; 6) e x − 1 ∼ x ;
4) Nếu α(x ) = 0(β(x )) thì α(x ) + β(x ) ∼ β(x ). 2
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
x x2 x2
7) ln(1 + x ) ∼ x ; 8) 1 + x − 1 ∼ .
n
A. f (x ) ∼ ; B. f (x ) ∼ ;
n 4 2
Chú ý. Nếu u(x ) là VCB khi x → 0 thì ta có thể thay x
x
bởi u(x ) trong 8 công thức trên. C. f (x ) ∼ ; D. f (x ) ∼ −3x 2 .
ln(1 − 2x sin2 x ) 2
VD 4. Tính giới hạn L = lim . Chú ý
x →0 sin x 2 . tan x Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho
VD 5. Tính L = lim
sin ( )
x + 1 − 1 + x 2 − 3 tan2 x
.
hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu
tử hoặc mẫu của phân thức.
x →0 sin x 3 + 2x e x + e −x − 2 (e x − 1) + (e −x − 1)
x = 2t − t 2 VD. lim = lim
x →0 x2 x →0 x2
VD 6. Cho hàm số y = f (x ) thỏa: .
2 4 x + (−x )
y = t + 3t
= lim = 0 (Sai!).
Khi x → 0 , chọn đáp án đúng?
x →0 x2
Toán cao c p C1 Đ i h c 4
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
3.2. Đại lượng vô cùng lớn b) So sánh các VCL
a) Định nghĩa • Định nghĩa
• Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) f (x )
khi x → x 0 nếu lim f (x ) = ∞ (x0 có thể là vô cùng). Cho f (x ), g(x ) là các VCL khi x → x 0 , lim =k.
x →x 0
x →x 0 g(x )
Khi đó:
cos x + 1 – Nếu k = 0 , ta nói f (x ) là VCL cấp thấp hơn g(x ).
VD 7. là VCL khi x → 0 ;
2x 3 − sin x
x3 + x −1 – Nếu k = ∞ , ta nói f (x ) là VCL cấp cao hơn g(x ).
là VCL khi x → +∞ .
x 2 − cos 4x + 3 – Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL
cùng cấp.
Nhận xét. Hàm số f (x ) là VCL khi x → x 0 thì
– Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL
1
là VCB khi x → x 0 . tương đương. Ký hiệu f (x ) ∼ g(x ) .
f (x )
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
VD 8. • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp
Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi x → x 0
3 1
• là VCL khác cấp với khi x → 0 vì: f (x )
3 3
x 2x + x thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất
x →x 0 g(x )
3 1 2x 3 + x x
lim :
= 3 lim = 3 lim = ∞. của tử và mẫu.
x →0
x 3 2x 3 + x
x →0 3 x →0 x 3
x
VD 9. Tính các giới hạn:
3
• 2 x + x − 1 ∼ 2 x khi x → +∞ . 3
x 3 − cos x + 1 x 3 − 2x 2 + 1
A = lim ; B = lim .
3
x →∞ 3x + 2x x →+∞
2 x 7 − sin2 x
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
§4. HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.2. Định lý
• Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại
4.1. Định nghĩa x0 là hàm số liên tục tại x0.
• Số x 0 ∈ Df được gọi là điểm cô lập của f (x ) nếu • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó.
• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và
∃ε > 0 : ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) \ {x 0 } thì x ∉ D f . nhỏ nhất trên đoạn đó.
4.3. Hàm số liên tục một phía
• Hàm số f (x ) liên tục tại x 0 nếu lim f (x ) = f (x 0 ).
x →x 0 • Định nghĩa
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu
• Hàm số f (x ) liên tục trên tập X nếu f (x ) liên tục tại
lim f (x ) = f (x 0 ) ( lim f (x ) = f (x 0 )).
mọi điểm x 0 ∈ X . −
x →x 0 +
x →x 0
Chú ý. Hàm f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ] thì có đồ thị là • Định lý
Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu
một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó.
lim f (x ) = lim f (x ) = f (x 0 ).
Quy ước. Hàm f (x ) liên tục tại mọi điểm cô lập của nó. −
x →x 0 +
x →x 0
Toán cao c p C1 Đ i h c 5
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
3 tan2 x + sin2 x
4.4. Phân loại điểm gián đoạn
, x >0
VD 1. Cho hàm số f (x ) =
2x . • Nếu hàm f (x ) không liên tục y
(C )
α, x ≤ 0 tại x 0 thì x 0 được gọi là
Giá trị của α để hàm số liên tục tại x = 0 là: điểm gián đoạn của f (x ).
O x0 x
1 3
A. α = 0 ; B. α = ; C. α = 1; D. α = . • Nếu tồn tại các giới hạn:
2 2 − +
lim f (x ) = f (x 0 ), lim f (x ) = f (x 0 )
ln(cos x ) −
x →x 0 +
x →x 0
,x ≠0
VD 2. Cho hàm số f (x ) = arctan2 x + 2x 2 . nhưng −
f (x 0 ), +
và f (x 0 ) không đồng thời bằng
f (x 0 )
2α − 3, x = 0
nhau thì ta nói x 0 là điểm gián đoạn loại một.
Giá trị của α để hàm số liên tục tại x = 0 là:
Ngược lại, x 0 là điểm gián đoạn loại hai.
17 17 3 3
A. α = ; B. α = − ; C. α = − ; D. α = . ……………………………………………………………………………
12 12 2 2
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
§1. Đạo hàm Nhận xét. Do ∆x = x − x 0 nên:
§2. Vi phân
f (x ) − f (x 0 )
§3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị f ′(x 0 ) = lim .
§4. Quy tắc L’Hospital x →x 0 x − x0
………………………………………………………
§1. ĐẠO HÀM b) Đạo hàm một phía
1.1. Các định nghĩa Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận phải
a) Định nghĩa đạo hàm f (x ) − f (x 0 )
(x 0 ; b ) của x 0 . Giới hạn lim (nếu có)
Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận (a ; b) của +
x →x 0 x − x0
x 0 ∈ (a ; b ). Giới hạn: được gọi là đạo hàm bên phải của y = f (x ) tại x 0 .
∆y f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) + −
lim = lim Ký hiệu là f ′(x 0 ). Tương tự, f ′(x 0 ).
∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x
(nếu có) được gọi là đạo hàm của y = f (x ) tại x 0 . Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi
− +
Ký hiệu là f ′(x 0 ) hay y ′(x 0 ). f ′(x 0 ) = f ′(x 0 ) = f ′(x 0 ).
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
c) Đạo hàm vô cùng 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm
∆y
• Nếu tỉ số → ∞ khi ∆x → 0 thì ta nói y = f (x ) có 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số:
∆x (u ± v )′ = u ′ ± v ′ ; (uv )′ = u ′v + uv ′ ;
đạo hàm vô cùng tại x 0 .
k ′ u ′ u ′v − uv ′
• Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng = −kv ′ , k ∈ ℝ ;
=
.
một phía.
v v 2
v
v2
VD 1. Cho f (x ) = 3 x ⇒ f ′(0) = ∞, 2) Đạo hàm của hàm số hợp f (x ) = y[u(x )]:
f (x ) = x ⇒ f ′(0+ ) = +∞ . f ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) hay y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ).
Chú ý 3) Đạo hàm hàm số ngược của y = y(x ):
Nếu f (x ) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x 0 thì tiếp 1
x ′(y ) = .
tuyến tại x 0 của đồ thị y = f (x ) song song với trục Oy . y ′(x )
Toán cao c p C1 Đ i h c 6
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
′
Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp
( )
7) e x = ex ; ( )′ = a .ln a ;
8) a x x
( )′ = α.x
1) x α α−1
; 2) ( x )′ = 2 1x ;
(
9) ln x )′ = x ;
1
(
10) loga x )′ = x .ln a ;
1
3) (sin x )′ = cos x ; 4) (cos x )′ = − sin x ; −1
11) (arcsin x )′ = 12)(arccos x )′ =
1
; ;
1− x2 1 − x2
5) (tan x )′ = 6) (cot x )′ = −
1 1
;
2
cos x sin2 x −1
13) (arctan x )′ = 14) (arc cot x )′ =
1
= 1 + tan2 x ; ; .
1 + x2 1 + x2
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số 1.4. Đạo hàm cấp cao
• Cho hàm số y = f (x ) có phương trình dạng tham số • Giả sử f (x ) có đạo hàm f ′(x ) và f ′(x ) có đạo hàm thì
x = x (t ), y = y(t ). Giả sử x = x (t ) có hàm số ngược
( f ′(x ))′ = f ′′(x ) là đạo hàm cấp hai của f (x ).
và hàm số ngược này có đạo hàm thì: • Tương tự ta có:
y ′(t ) y′ ′
y ′(x ) =
x ′(t )
′
hay yx = t .
x t′ ( )
f (n )(x ) = f (n −1)(x ) là đạo hàm cấp n của f (x ).
x = 2t 2 − 1
VD 2. Tính y ′(x ) của hàm số cho bởi , t ≠ 0. VD 4. Cho hàm số f (x ) = sin 2 x . Tính đạo hàm f (6)(0).
y = 4t 3
A. f (6)(0) = 32 ; B. f (6)(0) = −32 ;
x = et
C. f (6)(0) = −16 ; D. f (6)(0) = 0 .
′
VD 3. Tính yx (1) của hàm số cho bởi .
2
y = t − 2t
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
(n ) n +1
VD 5. Tính f (x ) của hàm số f (x ) = (1 − x ) . 1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn
• Cho phương trình F (x , y ) = 0 (*).
Nếu y = y(x ) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó
sao cho khi thế y(x ) vào (*) ta được đồng nhất thức thì
1 y(x ) được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*).
VD 6. Tính y(n ) của hàm số y = .
2
x − 3x − 4 • Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được Fx′ + Fy′.yx = 0 .
′
Fx′
′
Vậy yx = − , F ′ ≠ 0.
Fy′ y
VD 7. Tính đạo hàm f (n )(x ) của hàm số f (x ) = sin x .
y ′(x ) = yx được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn y(x ).
′
Toán cao c p C1 Đ i h c 7
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
VD 8. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi xy − e x + e y = 0 . §2. VI PHÂN
Tính y ′(x ). 2.1. Vi phân cấp một
VD 9. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: • Hàm số y = f (x ) được gọi là khả vi tại x 0 ∈ D f nếu
xy − e x + ln y = 0 (*). Tính y ′(0). ∆f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) có thể biểu diễn dưới
dạng: ∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x )
VD 10. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi:
với A là hằng số và 0(∆x ) là VCB khi ∆x → 0 .
y
ln x 2 + y 2 = arctan . Tính y ′(x ). Khi đó, đại lượng A.∆x được gọi là vi phân của hàm số
x
Chú ý y = f (x ) tại x0. Ký hiệu df (x 0 ) hay dy(x 0 ).
Ta có thể xem hàm ẩn y(x ) như hàm hợp u(x ) và thực
hiện đạo hàm như hàm số hợp. Nhận xét
∆f (x 0 ) 0(∆x )
VD 11. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: • ∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x )⇒ =A+
∆x ∆x
y 3 − (x 2 − 2)y − 2x 4 = 0 (*). Tính y ′′(1).
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
∆f (x 0 ) 2.2. Vi phân cấp cao
⇒ →0 A ⇒ f ′(x 0 ) = A .
∆x
→
∆x • Giả sử y = f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì
⇒ df (x 0 ) = f ′(x 0 ).∆x hay df (x ) = f ′(x ).∆x . d n y = d (d n −1y ) = y (n )dx n
• Chọn f (x ) = x ⇒ df (x ) = ∆x ⇒ dx = ∆x . được gọi là vi phân cấp n của hàm y = f (x ).
Vậy df (x ) = f ′(x )dx hay dy = y ′dx .
VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số y = ln(sin x ).
VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f (x ) = x 2e 3x tại x 0 = −1.
VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số y = e 2x .
VD 2. Tính vi phân cấp 1 của y = arctan(x 2 + 1) .
π
VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y = 2ln(arcsin x ) . VD 6. Tính vi phân cấp 3 của f (x ) = tan x tại x 0 = .
4
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
Chú ý §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI
Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
d n y = y (n )dx n không còn đúng nữa. 3.1. Các định lý
3.1.1. Bổ đề Fermat
Quy tắc tính vi phân cấp n Cho hàm số f (x ) xác định trong (a;b ) và có đạo hàm tại
x 0 ∈ (a ;b ). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất)
1) d n (k .u ) = k .d nu ; d n (u + v ) = d nu + d nv ; tại x 0 trong (a ;b) thì f ′(x 0 ) = 0 .
n
2) d n (uv ) = ∑C nd n−k u.d kv với d 0u = u, d 0v = v .
k
3.1.2. Định lý Rolle
k =0
Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ] và khả vi trong
VD 7. Tính vi phân cấp 10 của hàm số y = (x − x )e . 3 x (a;b ). Nếu f (a ) = f (b ) thì ∃c ∈ (a;b ) sao cho f ′(c ) = 0 .
Toán cao c p C1 Đ i h c 8
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
3.1.3. Định lý Cauchy 3.2. Cực trị của hàm số
• Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi
trong (a ;b) và g ′(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a;b ). 3.2.1. Hàm số đơn điệu
a) Định nghĩa
Khi đó, ∃c ∈ (a;b ) sao cho:
Cho hàm số f (x ) liên tục trong trong (a;b ).
f (b ) − f (a ) f ′(c ) Khi đó:
= .
g (b ) − g (a ) g ′(c ) • f (x ) được gọi là tăng ngặt trong (a;b) nếu
f (x1 ) − f (x 2 )
3.1.4. Định lý Lagrange > 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a ;b) và x1 ≠ x 2 .
x1 − x 2
• Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a;b ], khả vi trong
• f (x ) được gọi là giảm ngặt trong (a;b ) nếu
(a;b ). Khi đó, ∃c ∈ (a;b ) sao cho:
f (x1 ) − f (x 2 )
f (b ) − f (a ) < 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a;b) và x1 ≠ x 2 .
= f ′(c ). x1 − x 2
b −a
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
• f (x ) được gọi là tăng hay giảm không ngặt trong (a;b) b) Định lý 1
Cho hàm số f (x ) khả vi trong trong (a ;b ). Khi đó:
f (x1 ) − f (x 2 ) f (x1 ) − f (x 2 )
nếu ≥ 0 hay ≤ 0, • Nếu f ′(x ) > 0, ∀x ∈ (a ;b ) thì f (x ) tăng ngặt trong (a ;b ).
x1 − x 2 x1 − x 2 • Nếu f ′(x ) < 0, ∀x ∈ (a;b ) thì f (x ) giảm ngặt trong (a ;b).
∀x1, x 2 ∈ (a;b ) và x1 ≠ x 2 . • Nếu f ′(x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a ;b ) hay f ′(x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a;b ) thì
f (x ) tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong (a ;b ).
• f (x ) được gọi là đơn điệu trong (a;b ) nếu
f (x ) tăng ngặt hay giảm ngặt trong (a;b ). c) Định lý 2
• Nếu f (x ) tăng ngặt trong (a ;b ) thì f ′(x ) ≥ 0 trong (a ;b)
• f (x ) đơn điệu trong (a;b ) và liên tục trong (a;b ] thì và không tồn tại (α; β) ⊂ (a;b ) sao cho f (x ) ≡ 0 .
f (x ) đơn điệu trong (a;b ] (trường hợp khác tương tự). • Nếu f (x ) giảm ngặt trong (a;b ) thì f ′(x ) ≤ 0 trong
(a ;b ) và không tồn tại (α; β) ⊂ (a ;b ) sao cho f (x ) ≡ 0 .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
2
3.2.2. Cực trị
VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của y = ln(x + 1). a) Định nghĩa
• Nếu f (x ) liên tục trong (a;b) chứa x 0 và f (x 0 ) < f (x ),
x2 + 1 ∀x ∈ (a ;b ) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 .
VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của f (x ) = . • Nếu f (x ) liên tục trong (a;b) chứa x 0 và f (x 0 ) > f (x ),
(x − 1)2
∀x ∈ (a ;b ) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 .
1 b) Định lý
VD 3. Tìm các khoảng đơn điệu của y = .
2
x − 2x Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n trong (a ;b) chứa x 0
thỏa f ′(x 0 ) = ... = f (2n −1)(x 0 ) = 0 và f (2n )(x 0 ) ≠ 0 .
• Nếu f (2n )(x 0 ) > 0 thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 .
x 3 −4
VD 4. Tìm các khoảng đơn điệu của y = e .
• Nếu f (2n )(x 0 ) < 0 thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 .
Toán cao c p C1 Đ i h c 9
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
VD 5. Tìm cực trị của hàm số f (x ) = −x 6 − 2x 3 + 3 . • Nếu M = max f (x ) và m = min f (x ) thì:
x ∈X x ∈X
3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X .
a) Định nghĩa b) Phương pháp tìm max – min
Cho hàm số y = f (x ) có MXĐ D và X ⊂ D . Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f (x ) trên X nếu: Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ].
∃x 0 ∈ X : f (x 0 ) = M và f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X . Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bước sau:
x ∈[a ;b ] x ∈[a ;b ]
Ký hiệu là: M = max f (x ).
x ∈X • Bước 1. Giải phương trình f ′(x ) = 0 . Giả sử có n
• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f (x ) trên X nếu: nghiệm x 1,..., x n ∈ [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]).
∃x 0 ∈ X : f (x 0 ) = m và f (x ) ≥ m, ∀x ∈ X .
• Bước 2. Tính f (a ), f (x 1 ),..., f (x n ), f (b).
Ký hiệu là: m = min f (x ).
x ∈X • Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã
Chú ý
tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm.
• Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X ⊂ D .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Hàm số liên tục trên khoảng (a; b)
3 Cho hàm y = f (x ) liên tục trên (a; b) (a, b có thể là ∞ ).
f (x ) = x 4 − x 2 − x + 3 trên đoạn [0; 2].
2 Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bước:
Chú ý x ∈(a ;b ) x ∈(a ;b )
• Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b ] thì ta phải tìm MXĐ • Bước 1. Giải phương trình f ′(x ) = 0 . Giả sử có n
của hàm số trước khi làm bước 1. nghiệm x 1,..., x n ∈ [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]).
• Có thể đổi biến số t = t (x ) và viết y = f (x ) = g(t (x )).
Gọi T là miền giá trị của hàm t (x ) thì: • Bước 2. Tính f (x 1 ),..., f (x n ) và hai giới hạn
max f (x ) = max g(t ), min f (x ) = min g(t ). L1 = lim f (x ), L2 = lim f (x ).
+ −
x ∈X t ∈T x ∈X t ∈T x →a x →b
• Bước 3. Kết luận:
VD 7. Tìm max, min của f (x ) = −x 2 + 5x + 6 .
1) Nếu max{f (x 1 ),..., f (x n )} > max{L1, L2 } thì
sin x + 1
VD 8. Tìm max, min của y = . max f = max{f (x 1 ),..., f (x n )}.
sin2 x + sin x + 1 x ∈(a ;b )
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
2) Nếu min{f (x 1 ),..., f (x n )} < min{L1, L2 } thì 3.3. Khoảng lồi, lõm của đồ thị – điểm uốn
min f = min{f (x 1 ),..., f (x n )} . a) Định nghĩa
x ∈(a ;b )
3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt • Hàm số f (x ) được gọi là hàm lồi trong (a; b ) nếu f ′(x )
max (hoặc min). tăng trong (a; b). Khi đó, đồ thị y = f (x ) được gọi là
VD 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đồ thị lõm trong (a; b ).
x3
f (x ) = 2 trên khoảng (1; +∞). • Hàm số f (x ) được gọi là hàm lõm trong (a; b) nếu
x −1
f ′(x ) giảm trong (a; b). Khi đó, đồ thị y = f (x ) được
Chú ý
Ta có thể lập bảng biến thiên của f (x ) thay cho bước 3. gọi là đồ thị lồi trong (a; b).
VD 10. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình • Điểm M 0 (x 0 ; y0 ) trên đồ thị nằm giữa phần lõm và lồi
sau có nghiệm: m ( )
x 2 + 2 − 1 − x = 0. được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x ).
Toán cao c p C1 Đ i h c 10
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
VD 11. Hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 VD 12. Xác định tính lồi, lõm của hàm số:
lõm và có đồ thị lồi trong (−∞; 1);
y = x 2 − 8 ln x .
3 2
hàm y = x − 3x + 1 lồi và có đồ
thị lõm trong (1; +∞).
M (1; 1) là điểm uốn của đồ thị.
VD 13. Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số:
b) Định lý y = arccos x .
• Nếu f ′′(x ) > 0 (hay f ′′(x ) < 0 ) với mọi x ∈ (a; b) thì
đồ thị hàm số y = f (x ) lõm (hay lồi) trong (a; b).
• Nếu f ′′(x 0 ) = 0 và f ′′(x ) đổi dấu khi x chuyển từ trái VD 14. Xác định tính lồi, lõm của hàm số y = arctan 2x
sang phải qua điểm x 0 thì M 0 (x 0 ; y0 ) là điểm uốn của và đồ thị của hàm số y = arctan 2x .
đồ thị hàm số y = f (x ).
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
3.4. Tiệm cận của đồ thị VD 15. Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số:
• Tiệm cận đứng ln(1 − x 2 )
Đường cong y = f (x ) có tiệm cận đứng x = x 0 nếu y= .
x3
lim f (x ) = ∞.
x →x 0
VD 16. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số:
• Tiệm cận xiên
y = 3 x 2(x − 1) .
Đường cong y = f (x ) có tiệm cận xiên y = ax + b nếu
f (x )
lim = a, lim f (x ) − ax = b. VD 17. Tìm tiệm cận xiên (ngang) của đồ thị hàm số:
x →∞ x x →∞
y = x + x 2 − 4x + 5 .
Chú ý
Khi a = 0 thì đồ thị có tiệm cận ngang y = b . …………………………………………………………….
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
§4. QUY TẮC L’HOSPITAL x 2 − sin2 x
VD 2. Tìm giới hạn L = lim .
Định lý (quy tắc L’Hospital) x 2 .arctan2 x
x →0
Cho hai hàm số f (x ), g(x ) khả vi trong lân cận của điểm 1 1
A. L = 0 ; B. L = ∞ ; C. L = ; D. L = .
x 0 và g ′(x ) ≠ 0 trong lân cận của x 0 (có thể g ′(x 0 ) = 0 ). 2 3
Nếu lim f (x ) = lim g(x ) = 0 (hoặc ∞ ) và
x →x 0 x →x 0 ( )
VD 3. Tìm giới hạn L = lim x 3 ln x (dạng 0 ×∞ ).
x → 0+
f ′(x ) f (x )
lim = k ∈ ℝ thì lim = k. 1
x →x 0 g ′(x ) x →x 0 g (x ) VD 4. Tính L = lim cot x − (dạng ∞ − ∞ ).
x →0
x
Chú ý
1
Chiều ngược lại trong định lý là không đúng.
Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. VD 5. Tìm giới hạn L = lim x x −1 (dạng 1∞ ).
x →1
e x + e −x − 2 1
VD 1. Tìm giới hạn L = lim . VD 6. Tìm giới hạn L = lim (x + 3x )x (dạng ∞0 ).
x →0 x2 x →+∞
Toán cao c p C1 Đ i h c 11
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
§1. Tích phân bất định Tính chất
§2. Tích phân xác định
§3. Ứng dụng của tích phân xác định 1) ∫ k .f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ
§4. Tích phân suy rộng
………………………… 2) ∫ f ′(x )dx = f (x ) + C
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH d
dx ∫
3) f (x )dx = f (x )
1.1. Định nghĩa
• Hàm số F (x ) được gọi là một nguyên hàm của f (x ) trên 4) ∫ [ f (x ) + g(x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g(x )dx .
khoảng (a; b ) nếu F ′(x ) = f (x ), ∀x ∈ (a ; b ).
MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
Ký hiệu ∫ f (x )dx (đọc là tích phân).
Nhận xét
1) ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ℝ
• Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x ) + C cũng là α x α+1
nguyên hàm của f (x ).
2) ∫x dx =
α +1
+ C , α ≠ −1
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
dx dx x −a
3) ∫ x
= ln x + C ; 4) ∫ x
= 2 x +C 13)
dx
∫ x 2 −a2 =
1
ln +C
2a x + a
ax
5) ∫ e xdx = e x + C ; 6) ∫ a xdx = +C dx x
ln a 14) ∫ sin x
= ln tan + C
2
7) ∫ cos xdx = sin x + C ; 8) ∫ sin xdx = − cos x + C
dx dx dx x π
9) ∫ = tan x + C ; 10) ∫ = − cot x + C 15) ∫ = ln tan + + C
2
cos x sin x 2 cos x 2 4
dx 1 x
11) ∫ = arctan + C
x 2 + a2 a a 16) ∫
dx
= ln x + x 2 + a + C
2
dx x x +a
12) ∫ = arcsin + C , a > 0
a
a2 − x 2
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
dx 1.2. Phương pháp đổi biến
VD 1. Tính I =
4 − x2
∫ . a) Định lý
1 2+x 1 2−x Nếu ∫ f (x )dx = F (x ) + C với ϕ(t ) khả vi thì:
A. I = ln +C ; B. I = ln +C ;
2−x 4 2+x
4
∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt = F (ϕ(t )) + C .
1 x −2 1 x +2
C. I = ln +C ; D. I = ln +C . dx
2 x +2 2 x −2 VD 3. Tính I = ∫ .
x 3 − ln 2 x
dx
dx
VD 4. Tính I = ∫ x (x 3 + 3)
.
VD 2. Tính I = ∫ x2 − x − 6
.
cot x
VD 5. Tính I = ∫ 2 sin 4 x + 3 dx .
Toán cao c p C1 Đ i h c 12
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
tan x π 2
dx , x ∈ 0; . 1 1
VD 6. Tính I = ∫
2
= ∫
2x + 1
+ dx = ln 2x + 1 −
2
(2x + 1)
2(2x + 1)
+C .
cos x cos2 x + 1
b) Một số dạng tích phân hữu tỉ (tham khảo) αx + β
αx + β
Dạng 2: I = ∫ ax 2 + bx + c dx, a ≠ 0, ∆ > 0.
Dạng 1: I = ∫ dx, a ≠ 0.
p
(ax + b )2 1 q
a∫
Cách giải. Biến đổi I =
x − x + x − x dx ,
1 2
p q
Cách giải. Biến đổi I = ∫ ax + b + (ax + b)2 dx .
(x 1, x 2 là nghiệm của mẫu thức).
3x + 2 1 3x + 2
4x + 3 2(2x + 1) + 1 VD 8. ∫ dx =
2∫
dx
VD 7. ∫ 4x 2 + 4x + 1
dx = ∫ (2x + 1)2
dx 2
2x + 3x − 5 x + 5
(x − 1)
2
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
3x + 2 5 1 1 2x − 1 2
= ∫ (x − 1)(2x + 5) dx = ∫ .
11
+ . dx
= ∫ (2x − 1)2 + 4 dx + ∫ (2x − 1)2 + 4 dx .
7 x − 1 7 2x + 5
5 11 I1 I2
= ln x − 1 + ln 2x + 5 + C .
7 14 2
1 d[(2x − 1) + 4] 1
4 ∫ (2x − 1)2 + 4
• I1 = = ln[(2x − 1)2 + 4] + C .
αx + β 4
Dạng 3: I = ∫ ax 2 + bx + c dx, a ≠ 0, ∆ < 0. 2x − 1
d
1
2 1 2x − 1
• I2 = ∫ = arctan +C .
X p
2
Cách giải. Biến đổi I = ∫ X 2 + γ + X 2 + γ dx .
2
1+
2x − 1
2 2
2
2x + 1 (2x − 1) + 2 2x − 1
VD 9. I = ∫ 2
4x − 4x + 5
dx = ∫ (2x − 1)2 + 4 dx 1
( 1
Vậy I = ln 4x 2 − 4x + 5 + arctan ) +C .
4 2
2
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
1
Dạng 4. Tích phân hàm hữu tỉ bậc cao 1 1 = 1 + ln x − 1 + C .
Cách giải. Biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các Vậy I = ∫ − x
2
− +
dx
x x − 1 x x
phân thức tối giản.
x 2 + 4x + 4
VD 10. Tính I = ∫ 2
dx
.
VD 11. Tính I = ∫
x (x − 1)2
dx .
x (x − 1)
x 2 + 4x + 4 A B C
Giải. Ta có: = + + .
1 A B C x (x − 1)2 x x − 1 (x − 1)2
Giải. Ta có: = + +
x 2 (x − 1) x 2 x x −1 Đồng nhất các hệ số, ta được: A = 4, B = −3, C = 9 .
(B + C )x 2 + (A − B )x − A
= . dx dx dx
x 2 (x − 1) Vậy I = 4 ∫ − 3∫ + 9∫
x x −1 (x − 1)2
Đồng nhất các hệ số, ta được:
9
A = −1, B = −1, C = 1. = 4 ln x − 3 ln x − 1 − +C .
x −1
Toán cao c p C1 Đ i h c 13
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
x2 − 3 c) Tích phân hàm lượng giác
VD 12. Tính I = ∫ 3 dx .
x − 7x + 6
I = ∫ R(sin x , cos x )dx .
Cách giải
x −3
2
x2 − 3 • Nếu R(− sin x , cos x ) = −R(sin x , cos x ) (nghĩa là bậc
Giải. Ta có: 3 =
x − 7x + 6 (x − 1)(x − 2)(x + 3) của sin lẻ) thì ta đặt t = cos x .
A B C • Nếu R(sin x , − cos x ) = −R(sin x , cos x ) (nghĩa là bậc
= + + .
x −1 x − 2 x + 3 của cosin lẻ) thì ta đặt t = sin x .
1 1 3 • Nếu R(− sin x , − cos x ) = R(sin x , cos x ) (nghĩa là bậc
Đồng nhất các hệ số, ta được: A = , B = , C = .
2 5 10 của sin và cosin chẵn) thì ta đặt t = tan x hoặc hạ bậc.
1 dx 1 dx 3 dx 1
Vậy I = ∫
2 x − 1 5 ∫ x − 2 10 ∫ x + 3
+ + • Nếu R(sin x , cos x ) = thì ta đặt:
a sin x + b cos x + c
1 1 3 x 2t 1 − t2
= ln x − 1 + ln x − 2 + ln x + 3 + C . t = tan ⇒ sin x = , cos x = .
2 5 10 2 1 + t2 1 + t2
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
VD 13. Tính I = ∫ sin
3 2
2x cos x dx . VD 16. Tính I = ∫ x ln x dx .
dx x
VD 14. Tính I = ∫ 2
sin x + sin 2x − cos x 2
. VD 17. Tính I = ∫ 2x
dx .
dx
VD 15. Tính I = ∫ 4 sin x + 3 cos x + 5
. Chú ý
Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước
khi lấy từng phần.
1.3. Phương pháp tích phân từng phần
∫ cos
3
a) Công thức VD 18. Tính I = x e sin x dx .
∫ u(x )v ′(x )dx = u(x )v(x ) − ∫ u ′(x )v(x )dx
∫ cos
3
VD 19. Tính I =
hay ∫ udv = uv − ∫ vdu. x dx .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
VD 20. Tính I = ∫ cos(ln x )dx . 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f (x ) xác định trên [a; b ].
b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp Ta chia đoạn [a; b ] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
αx
x 0 = a < x1 < ... < xn −1 < xn = b .
• Đối với dạng tích phân ∫ P(x )e dx , P (x ) là đa thức,
Lấy điểm ξk ∈ [x k −1; x k ] tùy ý (k = 1, n ).
thì ta đặt: n
αx Lập tổng tích phân: σ = ∑ f (ξk )(x k − x k −1 ).
u = P (x ), dv = e dx . k =1
α Giới hạn hữu hạn (nếu có) I = lim σ được gọi
• Đối với dạng tích phân ∫ P(x )ln x dx , max(x k −x k −1 )→ 0
k
P (x ) là đa thức, thì ta đặt: là tích phân xác định của f (x ) trên đoạn [a ; b ].
b
α
u = ln x , dv = P (x )dx . Ký hiệu là I = ∫ f (x )dx .
a
Toán cao c p C1 Đ i h c 14
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
Tính chất b b
b b 6) f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a ; b ] ⇒ ∫ f (x )dx ≤ ∫ g(x )dx
1) ∫ k .f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ a a
a a b b
b b b 7) a < b ⇒ ∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx
2) ∫ [ f (x ) ± g (x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g (x )dx a a
a a a
a b a 8) m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a; b ]
3) ∫ f (x )dx = 0; ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx b
a a b ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a )
b c b
∫ ∫ ∫
a
4) f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx , c ∈ [a ; b ] 9) Nếu f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ] thì
a a c
b b
∃c ∈ [a; b ] : ∫ f (x )dx = f (c )(b − a ).
5) f (x ) ≥ 0, ∀ x ∈ [a ; b ] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ 0
a a
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
1
b 2.2. Công thức Newton – Leibnitz
Khi đó, đại lượng f (c ) =
b −a ∫ f (x )dx được gọi là a) Tích phân với cận trên thay đổi (tham khảo)
a Cho hàm f (x ) khả tích trên [a; b ], với mỗi x ∈ [a; b ] thì
giá trị trung bình của f (x ) trên đoạn [a; b]. x
1
dx
hàm số ϕ(x ) = ∫ f (t )dt liên tục tại mọi x 0 ∈ [a; b ]
VD 1. Tích phân ∫
x 2 + cos2 x
bị chặn (hữu hạn) vì a
0 và ϕ′(x ) = f (x ).
x
1 t2
hàm số f (x ) =
x + cos 2 x
2
liên tục trên đoạn [0; 1]. VD 3. Xét ϕ(x ) = ∫e dt, x > 0 .
0
1 2 2
VD 2. Giá trị trung bình của hàm số f (x ) = trên [1; e ] Ta có: f (t ) = et và ϕ ′(x ) = f (x ) = e x .
x x2
e
1 dx 1
∫t ln tdt, x > 0 . Tìm ϕ ′(x ).
3
VD 4. Cho ϕ(x ) =
e −1 ∫ x
là = .
1
e −1 1
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
b) Công thức Newton – Leibnitz 3) f (x ) liên tục và chẵn trên [−α; α ] thì:
Nếu f (x ) liên tục trên [a ; b ] và F (x ) là một nguyên hàm α α
x
tùy ý của f (x ) thì ϕ(x ) = ∫ f (t )dt và F (x ) = ϕ(x )+C ∫ f (x )dx = 2∫ f (x )dx .
−α 0
a
b
là nguyên hàm của f (x ) trên [a; b ].
b
4) Để tính ∫ f (x ) dx ta dùng bảng xét dấu của f (x ) để
b a
Vậy ta có: ∫ f (x )dx = F (x ) a = F (b) − F (a ). tách f (x ) thành tổng của các hàm trên mỗi đoạn nhỏ.
a
Nhận xét Đặc biệt
1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1. b b
α
∫ f (x ) dx = ∫ f (x )dx nếu f (x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a ;b ).
2) f (x ) liên tục và lẻ trên [−α; α ] thì ∫ f (x )dx = 0 . a a
−α
Toán cao c p C1 Đ i h c 15
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
3
dx §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
VD 5. Tính I = ∫ x 2 − 2x + 5 . 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng
1
a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát
e
(x 2 + 1)ln x
VD 6. Tính I = ∫ x
dx .
1
1 S S
VD 7. Tính I = ∫ x 2 + 1. sin 3 x dx .
−1
3 b d
3
VD 8. Tính I = ∫ x − 4 x dx . S = ∫ f2 (x ) − f1 (x ) dx S = ∫ g 2 (y ) − g1 (y ) dy
−3 a c
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường y = x 2 và y = x 4 . các đường y = e x − 1, y = e 2x − 3 và x = 0.
1 2 1 ln 4 − 1 1 − ln 2 1
A. S = ; B. S = A. ln 4 − ; B. ; C. ; D. ln 2 −
15 15 2 2 2 2
4 8
C. S = ; D. S = . b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số
15 15
Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình
x = x (t ), y = y(t ) với t ∈ [α; β] thì:
β
S = ∫ y(t ).x ′(t ) dt .
VD 2. Tính diện tích hình phẳng S α
giới hạn bởi x = y 2 và y = x − 2 . x2 y2
VD 4. Tính diện tích hình elip S : + ≤ 1.
a2 b2
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
3.2. Tính độ dài l của đường cong b) Đường cong có phương trình tham số
a) Đường cong có phương trình tổng quát Cho cung AB có phương trình tham số
x = x (t )
Cho cung AB có phương trình y = f (x ), x ∈ [a ; b ] thì: , t ∈ [α; β] thì:
y = y(t )
b
l =∫ 1 + [ f ′(x )]2 dx . β
AB
a l = ∫ [x ′(t )]2 + [y ′(t )]2 dt .
AB
α
2
x VD 6. Tính độ dài cung C có phương trình:
VD 5. Tính độ dài cung parabol y = từ gốc tọa độ
2
x = t 2 + 1
O(0; 0) đến điểm M 1;
1
. , t ∈ 0; 1 .
2 y = ln t + t 2 + 1
Toán cao c p C1 Đ i h c 16
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay b) Vật thể quay quanh Oy
a) Vật thể quay quanh Ox Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi x = g(y ), x = 0 , y = c và y = d quay quanh Oy là:
y = f (x ), y = 0 , x = a , x = b quay quanh Ox là: d
b V = π ∫ [g(y )]2dy.
V = π∫ [ f (x )]2 dx . c
a VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng
S giới hạn bởi y = 2x − x 2 , y = 0
VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi
quay xung quanh Oy.
y = ln x , y = 0 , x = 1, x = e quay xung quanh Ox.
Giải. Ta có:
x = 1 + 1 − y , x ≥ 1
x2 y2
y = 2x − x 2 ⇔
VD 8. Tính V do (E ) : + = 1 quay quanh Ox. .
a 2
b2 x = 1 − 1 − y , x < 1
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
1 2
( ) − (1 − )
2 §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Vậy V = π∫ 1 + 1−y 1 − y dy
4.1. Tích phân suy rộng loại 1
0
1 1
4.1.1. Định nghĩa
8π 8π • Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; +∞), khả tích trên
= 4π∫ 1 − y dy = − (1 − y )3 = .
0
3 0 3 mọi đoạn [a ; b ] (a < b ).
b
Chú ý. Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới
hạn bởi y = f (x ), y = 0 , x = a và x = b quay quanh
Giới hạn (nếu có) của ∫ f (x )dx khi b → +∞ được gọi
a
Oy còn được tính theo công thức: là tích phân suy rộng loại 1 của f (x ) trên [a ; +∞).
b
Ký hiệu:
V = 2π ∫ xf (x )dx (*). +∞ b
a
∫ f (x )dx = lim
b →+∞
∫ f (x )dx .
VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9. a a
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
+∞
• Định nghĩa tương tự: dx
b b VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = ∫ xα
.
∫ f (x )dx = lim
a →−∞
∫ f (x )dx ;
Giải • Trường hợp α = 1:
1
−∞ a b
+∞ b dx b
∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx .
I = lim
b →+∞
∫ x
= lim ln x = +∞ (phân kỳ).
b →+∞ 1
b →+∞ 1
−∞ a →−∞ a
• Trường hợp α khác 1:
b
1
dx b
• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân I = lim ∫ xα =lim x 1−α
hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. b →+∞ 1 − α b →+∞ 1
1
1
, α >1
( )
• Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là khảo 1
sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó). = lim b1−α − 1 = − 1
α
1 − α b →+∞ + ∞, α < 1.
Toán cao c p C1 Đ i h c 17
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
1 • Nếu tồn tại lim F (x ) = F (−∞), ta dùng công thức:
Vậy: • Với α > 1 : I = (hội tụ). x →−∞
α −1 b
• Với α ≤ 1: I = +∞ (phân kỳ). b
0
dx
∫ f (x )dx = F (x )
−∞
.
VD 2. Tính tích phân I = ∫ 2
. −∞
−∞ (1 − x )
• Tương tự:
+∞ +∞
dx +∞
VD 3. Tính tích phân I = ∫ 2
. ∫ f (x )dx = F (x )
−∞
.
−∞ 1 + x −∞
Chú ý
4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
• Nếu tồn tại lim F (x ) = F (+∞), ta dùng công thức: a) Tiêu chuẩn 1. Nếu 0 ≤ f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a; +∞)
x →+∞
+∞ +∞ +∞
+∞
∫ f (x )dx = F (x )
a
. và ∫ g(x )dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ.
a a a
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
• Các trường hợp khác tương tự. c) Tiêu chuẩn 3
+∞ • Cho f (x ), g(x ) liên tục, luôn dương trên [a ; +∞)
10
VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ e −x dx . f (x )
và lim = k . Khi đó:
1 x →+∞ g(x )
b) Tiêu chuẩn 2
+∞ +∞ Nếu 0 < k < +∞ thì:
• Nếu ∫ f (x ) dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ (ngược lại +∞ +∞
a a ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ.
không đúng). a a
• Các trường hợp khác tương tự. +∞ +∞
+∞ Nếu k = 0 và ∫ g(x )dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ.
VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ e −x cos 3x dx . a a
1
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
k = +∞
+∞
+∞ dx
Nếu +∞
thì ∫ f (x )dx phân kỳ.
VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ 1 + sin x + x
.
∫ g(x )dx phaân kyø
1
a
a
+∞
dx
• Các trường hợp khác tương tự.
+∞
VD 8. Điều kiện của α để I = ∫ hội tụ là:
dx 1 x . lnα x + 1
3
VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ 1 + x 2 + 2x 3
.
A. α > 3 ;
3
B. α > ; C. α > 2 ;
1
D. α > .
1
2 2
Chú ý
• Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → +∞) thì +∞
(x 2 + 1)dx
+∞ +∞ VD 9. Điều kiện của α để I = ∫ hội tụ?
∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx có cùng tính chất. 1 2x α + x 4 − 3
a a
Toán cao c p C1 Đ i h c 18
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
• Định nghĩa tương tự:
4.2. Tích phân suy rộng loại 2 b b
4.2.1. Định nghĩa
• Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; b ) và không xác định ∫ f (x )dx = lim
ε→ 0
∫ f (x )dx (suy rộng tại a );
a a+ε
tại b , khả tích trên mọi đoạn [a ; b − ε] (ε > 0). b b −ε
b −ε ∫ f (x )dx = lim
ε→ 0
∫ f (x )dx (suy rộng tại a , b ).
a+ε
∫ f (x )dx khi ε → 0 được gọi là a
Giới hạn (nếu có) của
• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân
a
hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.
tích phân suy rộng loại 2 của f (x ) trên [a ; b ). b
dx
Ký hiệu:
b b−ε
VD 10. Khảo sát sự hội tụ của I = ∫ x α , b > 0.
Giải. • Trường hợp α = 1: 0
∫ f (x )dx = lim
ε→0
∫ f (x )dx . b
dx b
a a I = lim ∫ = lim ln x = ln b − lim ln ε = +∞ .
ε→ 0+ x ε→0+ ε
ε→0+
ε
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
1
• Trường hợp α khác 1: 3
3dx
b VD 11. Tính tích phân I = ∫
b b
dx 1 .
I = lim ∫ = lim ∫ x −αdx = lim x 1−α
1 − 9x 2
ε→ 0 xα ε→ 0 1 − α ε→0
ε
1
ε ε 6
b1−α
π π π
A. I = − ; B. I = ; C. I = ; D. I = +∞ .
=
1
1−α
lim b
ε→0
1−α
(
−ε1−α
= 1 − α
, α 1.
e
dx
Vậy VD 12. Tính tích phân I = ∫ 3
.
b 1−α
1 x . ln 2 x
Với α < 1: I = (hội tụ).
1−α 2
dx
Với α ≥ 1 : I = +∞ (phân kỳ). VD 13. Tính tích phân I = ∫ 2
x −x
.
1
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
1
4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ xα + 1
• Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1. VD 15. Tích phân suy rộng I = ∫ dx
0 (x 2 + 1)sin x
Chú ý
b b phân kỳ khi và chỉ khi:
• Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → b ) thì ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx 1 1
A. α ≤ −1; B. α ≤ − ; C. α ≥ − ; D. α ∈ ℝ .
a a 2 2
có cùng tính chất (với b là cận suy rộng).
1
x αdx
VD 14. Tích phân suy rộng I = ∫ x (x + 1)(2 − x )
Chú ý
0 • Cho I = I 1 + I 2 với I , I 1 , I 2 là các tích phân suy rộng
hội tụ khi và chỉ khi: ta có:
1 1 1) I 1 và I 2 hội tụ ⇒ I hội tụ.
A. α < −1; B. α < − ; C. α > − ; D. α ∈ ℝ .
2 2
Toán cao c p C1 Đ i h c 19
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 4. Hàm s nhi u bi n s
I → −∞ ( phaân kyø )
I
→ +∞ ( phaân kyø )
§1. Khái niệm cơ bản
2) 1 hoặc 1
§2. Đạo hàm riêng – Vi phân
I 2 ≤ 0
I 2
≥0 §3. Cực trị của hàm hai biến
§4. Tích phân bội hai (tích phân kép)
……………………………………………………………………….
thì I phân kỳ. §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
I → −∞ ( phaân kyø ) I
→ +∞ ( phaân kyø )
3) 1
hoặc 1
1.1. Các định nghĩa
I 2 > 0
I 2
0 được •
Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi gọi là một lân cận của điểm M . M
là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong Nghĩa là:
kín rời nhau là miền đa liên (hình b).
M 0 (x 0 , y 0 ) ∈ S (M , ε ) ⇔ (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 < ε .
c) Hàm số hai biến số
• Trong mặt phẳng Oxy cho tập D ⊂ ℝ2 .
Tương ứng f : D → ℝ cho tương ứng mỗi (x , y ) ∈ D
b) Lân cận của một điểm với một giá trị z = f (x , y ) ∈ ℝ duy nhất được gọi là
• Khoảng cách giữa 2 điểm M 1 (x1 , y1 ), M 2 (x 2 , y 2 ) là: hàm số hai biến số x , y .
Chương 4. Hàm s nhi u bi n s Chương 4. Hàm s nhi u bi n s
• Tập D ⊂ ℝ2 được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN
số, ký hiệu Df . Miền giá trị của hàm số là: 2.1. Đạo hàm riêng
{
G = z = f (x , y ) ∈ ℝ (x , y ) ∈ Df . } a) Đạo hàm riêng cấp 1
• Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền mở D ⊂ ℝ 2
Chú ý chứa điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Cố định y0 , nếu hàm số f (x , y 0 )
• Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà không nói gì
có đạo hàm tại x 0 thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng
thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm
theo biến x của hàm số f (x , y ) tại (x 0 , y 0 ).
M (x , y ) ∈ ℝ2 sao cho f (x , y ) có nghĩa.
∂f
• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự. Ký hiệu: fx (x 0 , y 0 ) hay fx/ (x 0 , y 0 ) hay (x , y ).
∂x 0 0
1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số (xem giáo trình) / f (x , y0 ) − f (x 0 , y0 )
Vậy fx (x 0 , y0 ) = lim .
1.3. Hàm số liên tục (xem giáo trình) x →x 0 x − x0
Toán cao c p C1 Đ i h c 20
nguon tai.lieu . vn
