Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 4 - Phạm Trung Hiếu

10/25/2015

Chương 4:
Hàm nhiều biến
§1. Hàm đa biến

GV. Phan Trung Hiếu

§1. Hàm đa biến
§2. Giới hạn và liên tục
§3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
§4. Cực trị của hàm hai biến
§5. Tích phân bội trên hình chữ nhật
LOG
O
§6. Ứng dụng trong kinh tế
2

I. Định nghĩa:
Định nghĩa 1.1. Một hàm n biến là một quy
tắc đặt tương ứng mỗi bộ n số thực
(x1, x2,…, xn) với một số thực duy nhất, ký
hiệu là u  f ( x1 , x2 ,..., xn ) . Hay nói cách khác,
ánh xạ
f : D  n  

( x1 , x2 ,..., x n )  u  f ( x1 , x2 ,..., xn )

Tập hợp D gọi là miền xác định của hàm số f,
nghĩa là tập các điểm ( x1 , x2 ,..., x n ) sao cho
biểu thức f ( x1 , x2 ,..., x n ) có nghĩa. Miền giá
trị của f là tập các giá trị mà f nhận được.

Trường hợp n = 2, ta có hàm hai biến, thường
ký hiệu là z  f ( x, y).
Trường hợp n = 3, ta có hàm ba biến, thường
ký hiệu là u  f ( x, y, z) .

được gọi là hàm n biến xác định trên D.
3

4

Ví dụ 1.1. Tìm miền xác định của các hàm số
sau

D là tập hợp những điểm nằm trong hay nằm
trên đường tròn tâm (0,0) bán kính 3

a) f ( x , y )  x 2  y  sin( xy ).
b) f ( x , y ) 

9  x2  y2 .
Giải

a) Miền xác định: D  2
b) f xác định  9  x 2  y 2  0  x 2  y 2  9
Miền xác định: D  ( x , y )   2 | x 2  y 2  9





Ví dụ 1.2. Cho hàm f ( x, y)  x  y 2  1.
Tính f(1,1), f(0,-2).
Giải

f (1,1) 

f (0, 2) 
5

6

1

10/25/2015

II. Đồ thị của hàm hai biến:
Đồ thị của hàm số 2 biến f(x,y) xác định trên D là
tập hợp tất cả các điểm ( x , y , z )   3sao cho
z  f (x, y) và ( x, y )  D
Ví dụ 2.1. Đồ thị của một số hàm hai biến

III. Một số hàm hai biến số trong kinh tế:
3.1. Hàm sản xuất: là hàm mô tả mối quan hệ phụ
thuộc của sản lượng vào vốn và lao động Q  f ( K , L )
trong đó K: vốn; L: lao động.
3.2. Hàm tổng chi phí: C  wk .K  wL .L  C0
trong đó wK : giá thuê một đơn vị vốn;
wL : giá thuê một đơn vị lao động;
C0 : chi phí cố định.
3.3. Hàm tổng doanh thu:
R  P.Q  P. f ( K , L )
trong đó P là giá thị trường của một đơn vị sản phẩm.

7

8

I. Giới hạn hàm hai biến:
Định nghĩa 1.1: Cho hàm số z  f (x, y)xác định
trên D  2 . Ta nói hàm z  f (x, y) có giới hạn
là L khi (x,y) tiến về ( x0 , y0 ) nếu

§2. Giới hạn và liên tục

  0,   0 : ( x , y )  D , 0  ( x , y )  ( x 0 , y 0 )    f ( x , y )  L   .

Ký hiệu là

lim

( x , y )( x 0 ,y0 )

f ( x, y)  L

Chú ý 1.2:
( x, y )  ( x0 , y0 )

là khoảng cách từ điểm (x,y) đến
điểm ( x0 , y0 ) .

9

Chú ý 1.2: Giới hạn của hàm hai biến cũng có
những tính chất tương tự như giới hạn của hàm
một biến nhưng kỹ thuật tính toán nói chung
phức tạp hơn và chúng ta không giới thiệu ở đây.

10

II. Tính liên tục của hàm hai biến:
2.1. Liên tục tại một điểm: Hàm số z = f(x,y)
liên tục tại điểm ( x0 , y0 )  D nếu
lim

( x ,y )( x0 ,y0 )

f ( x , y )  f ( x 0 , y0 )

2.2. Liên tục trên một miền: Hàm số z = f(x,y)
liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc D.

11

12

2

10/25/2015

I. Đạo hàm riêng cấp một:

§3. Đạo hàm riêng và
vi phân toàn phần

Xét hàm hai biến z = f(x,y) xác định trên miền
D. Khi đó, f có hai đạo hàm riêng cấp 1 là
f
z  fx 
: đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f
x
x
(lấy đạo hàm theo biến x và xem y như là hằng số)

z   fy 
y

f
: đạo hàm riêng theo biến y của hàm số f
y

(lấy đạo hàm theo biến y và xem x như là hằng số)
13

Ví dụ 1.1: Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các
hàm số sau

a ) f ( x, y )  x 3 y 2  x 4 y  y 4 .
Giải
2

2

3

f x  3 x y  4 x y.

f y  2 x 3 y  x 4  4 y 3 .

14

b) f ( x, y )  xy 2  ye 2 x 3 y .
Giải

f x  y  y (2 x  3 y ) .e2 x 3 y
x
2

 y 2  2 y.e 2 x 3 y
f y  2 xy  ( y )y .e2 x 3 y  y.( e 2 x 3 y )y

 2 xy  e 2 x  3 y  3 ye 2 x 3 y

15

Ví dụ 1.2: Cho f ( x, y )  x 2 y 3  2 x  3 y  1.
Tìm f x(1;0) và f y(1; 2).
Giải

f x 

 f x(1;0) 

f y 

 f y(1;2) 

16

II. Đạo hàm riêng cấp hai:
Giả sử hàm hai biến z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp
một. Khi đó, các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số là

2 f
 ( f x)x
x 2


f yy 

2 f
 ( f y)y
y 2


f xy 

17


f xx 

2 f
 ( f x)y
y x


f yx 

2 f
 ( f y )x
xy

18

3

10/25/2015

Ví dụ 2.1: Cho f ( x, y)  x 3 y  y 2 x 2. Tính các đạo
hàm riêng cấp hai của số f.
Giải

f x 

f y 


f xx   f x x


f yy   f y  y






f xy  ( f x)y


f yx  ( f y )x




19

Chú ý 2.1: Các đạo hàm f xy , f yx được gọi là các
 
đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai của hàm hai
biến f(x,y). Các đạo hàm này khác nhau về thứ
tự lấy đạo hàm riêng theo từng biến x, y và do
đó nói chung chúng khác nhau. Tuy nhiên,
chúng có thể bằng nhau theo định lý sau đây
Định lý về sự thay đổi thứ tự lấy đạo hàm
(Định lý Schwarz): Nếu z = f(x,y) có các đạo
hàm riêng cấp hai liên tục thì



f xy  f yx
20

III. Vi phân toàn phần của hàm hai biến:
Vi phân toàn phân (vi phân cấp 1) của hàm 2 biến
z = f(x,y) là

df  f xdx  f ydy.
2
2
Ví dụ 3.1: Cho f ( x, y )  x  3 xy  y .Tính df, df(0,1).
Giải

§4. Cực trị của hàm hai biến

f x 
f y 
df 
df (0,1) 
21

I. Định nghĩa:
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D   2 và
điểm ( x 0 , y0 )  D . Khi đó:

22

Chú ý rằng, cực đại địa phương chưa chắc là
cực đại toàn cục. Cực tiểu địa phương chưa
chắc là cực tiểu toàn cục.

f được gọi là đạt cực đại địa phương (cực đại) tại ( x0 , y0 )
nếu tồn tại lân cận   D của ( x0 , y0 ) sao cho
f ( x , y)  f ( x 0 , y0 ), ( x , y) .
f được gọi là đạt cực tiểu địa phương (cực tiểu) tại( x0 , y0 )
nếu tồn tại lân cận   D của ( x0 , y0 ) sao cho
f ( x , y)  f ( x 0 , y0 ), ( x , y) .
Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung
là cực trị địa phương.
23

24

4

10/25/2015

II. Điều kiện cần:
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D   2
và f có các đạo hàm riêng cấp một. Nếu hàm
số f đạt cực trị địa phương tại ( x 0 , y0 )  D thì

 f x( x0 , y0 )  0

(*).

 f y( x0 , y0 )  0

Những điểm ( x0 , y0 ) thỏa (*) được gọi là điểm
dừng.

III. Điều kiện đủ:
Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai
liên tục trên lân cận của điểm dừng ( x 0 , y0 ). Đặt


fxx fxy
 
 
( x, y) 
 f xx . f yy  fyx . f xy


fyx fyy

( x0 , y0 )  0

i) Nếu 
thì f đạt cực tiểu tại ( x 0 , y0 ).
 f xx ( x0 , y0 )  0
 

ii) Nếu  ( x0 , y0 )  0


 f xx ( x0 , y0 )  0
 

thì f đạt cực đại tại ( x 0 , y0 ).

25

26

iii) Nếu ( x0 , y0 )  0 thì f không đạt cực trị tại ( x 0 , y0 ).
iv) Nếu ( x0 , y0 )  0 thì ta không có kết luận tổng

quát.

IV. Cách tìm cực trị hàm hai biến:
Bước 1 (Tìm điểm dừng):
Tính f x, f y

f0
Xét hệ  x
. Giải hệ này ta được các điểm dừng

 f y  0

 xk , yk  .
Bước 2 (Tìm  ):
   
Tính f xx , fyy , f xy , f yx
Tính (x , y) 


f xx


f xy


f yx


f yy

 
 
 f xx . f yy  f yx . f xy  ( xk , yk ).

27

Ví dụ 3.1: Tìm cực trị của hàm số

Bước 3 (Kết luận):
   x k , yk   0

 f đạt cực tiểu tại  x k , yk  .

 f xx  xk , yk   0


   x k , yk   0

 f đạt cực đại tại  xk , yk  .

 f xx  x k , yk   0


  xk , yk 

28

 0  f không đạt cực trị tại  xk , yk .

f ( x, y )  x 3 3 xy 2  3y 2  15x  2
Giải
Miền xác định: D  2

f x 
f y 

 fx  0 



 fy  0












x 

y 

x 

y 

Ta được 4 điểm dừng:
29

30

5