Xem mẫu
- BÀI
À 5
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
PGS. TS. Bùi Minh Trí
1
v2.3013103225
- NỘI DUNG
Bài này sẽ giới thiệu với các bạn các khái niệm
cơ bản về phương trình vi phân nói chung và
một số vấn đề cơ bản như biểu diễn nghiệm,
phương
p g p
phápp g
giải một
ộ số loạiạ p
phươngg trình vi
phân cấp một, cấp hai đặc biệt.
2
v2.3013103225
- MỤC TIÊU
• Nắm được khái niệm phương trình vi phân;
• Làm được bài tập về phương trình vi phân.
phân
3
v2.3013103225
- 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Định nghĩa:
• Phươ
Phương trình
t ì h vii phân
hâ là phương
hươ trình
t ì h xuất
ất hiện
hiệ biến
biế
số, hàm số cần tìm và các đạo hàm các cấp của
hàm số đó.
• Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của
đạo hàm của hàm số cần tìm xuất hiện trong
phương trình đó.
4
v2.3013103225
- 1.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Phương trình vi phân cấp một được cho dưới
một trong các dạng sau đây:
• Dạng tổng quát: F(x, y, y ') 0
• Dạng đã giải ra đạo hàm: y ' dyy f(x,
f(x y)
dx
• Dạng đối xứng: M(x, y)dx N(x, y)dy 0
Ta thấy rằng có thể dễ dàng chuyển đổi giữa hai
dạng của phương trình vi phân: Dạng đối xứng
và giải ra đạo hàm.
hàm
5
v2.3013103225
- 1.1.1. NGHIỆM TỔNG QUÁT VÀ NGHIỆM RIÊNG TÍCH PHÂN
TỔNG QUÁT VÀ TÍCH PHÂN RIÊNG
• Định nghĩa: Họ hàm số y (x, C) được gọi là nghiệm
tổng quát của một phương trình vi phân cấp một nếu
với một hằng số C, thì hàm số ( x , C ) tương ứng là
một nghiệm của phương trình. Mỗi nghiệm nhận được
từ nghiệm tổng
ổ quát khi gán cho C một giá trị xác
định được gọi là một nghiệm riêng của phương trình.
• Định nghĩa: Nghiệm tổng quát của một phương trình
vi phân viết dưới dạng hàm ẩn (x, y, C) 0 được gọi
là tích p
phân tổng
g qquát của p
phương
g trình đó. Mỗi tích
phân ứng với giá trị xác định C được gọi là một tích
phân riêng của phương trình.
6
v2.3013103225
- 1.1.1. NGHIỆM TỔNG QUÁT VÀ NGHIỆM RIÊNG TÍCH PHÂN
TỔNG QUÁT VÀ TÍCH PHÂN RIÊNG (tiếp theo)
Ví dụ :
x2
• Phương trình y' = x có nghiệm tổng quát là: y C
2
2
x 1
g ệ y
Nghiệm ộ nghiệm
là một g ệ riêngg của p phươngg
2
trình ứng với C 1
2
• Phương trình y 2 dy xdx 0 có tích phân tổng quát là
y3 x2
C
3 2
Với C = 1 ta có tích phân riêng 2
2y 3 3x
3 2 6
7
v2.3013103225
- 1.1.2. BÀI TOÁN CAUCHY
Xét phương trình vi phân cấp một cho ở dạng:
dy
y ' f(x, y)
dx (5.1)
g ệ riêng
• Bài toán tìm nghiệm g của p g trình ((5.1)) thoả
phương
mãn điều kiện: y(x 0 ) y 0 (5.2)
được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (5.2) được gọi là
điều kiện ban đầu.
• Ta thừa nhận định lý sau đây về tính tồn tại và duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy.
Cauchy
8
v2.3013103225
- 1.1.3. PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ
Phương trình phân ly biến số có dạng: f(x)dx = g(y)dy
Lấy tích phân hai vế ta được: f(x)dx g(y)dy F(x) G(y) C
trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(y) là một nguyên
hàm của g(y).
• Ví dụ: Giải các phương trình vi phân sau: (1+x)dy = (1
(1-y)dx
y)dx
• Nhận xét: y = 1 và x = -1 là hai nghiệm của phương trình này.
Khi y 1, x 1 , ta biến đổi tương đương:
dy dx
(1 x)dy (1 y)dx
y 1 x 1
Lấy tích phân hai vế ta có:
ln y 1 ln C ln x 1 (x 1)(y 1) C
Rõ ràng x = -1, y = 1 là tích phân riêng ứng với C= 0. Vậy tích
phân tổng quát của phương trình ban đầu là (x+1).(y
(x+1) (y-1)
1) = C.
C
9
v2.3013103225
- 1.1.4. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT(PHƯƠNG TRÌNH
ĐẲNG CẤP)
y
Phương trình thuần nhất là phương trình có dạng: y ' f (5.3)
x
• Đặt y = ux trong
t đó u(x)
( ) là hàm
hà số
ố của
ủ x. Ta
T có:
ó
du
y ' xu ' u f(u) x f(u) u
dx
• Nếu f(u) u , ta có du dx , đây là phương trình phân ly
f(u) u x
biến số.
y
• Nếu f(u) u thì phương trình (5.3) có dạng y ' nghiệm tổng
quá của y = Cx. x
• Ví dụ:
ụ Giải pphươngg trình vi p
phân (x y)ydx x 2 dy
dy (x y)y y y 2 2
Đặt ; y ' u' x u u u
dx x2 x x2
y
Đặt u, y xu; du dx 1 ln Cx x ln Cx
x u2 x u y
10
v2.3013103225
- 1.1.5. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Phương trình tuyến tính cấp một có dạng: y' + p(x)y = q(x)
• Trong
T đó p(x),
( ) q(x)
( ) là các
á hàm
hà số
ố liên
liê tục.
t Phươ trình
Phương tì h
tuyến tính gọi là thuần nhất nếu q(x) 0, là không thuần
nhất nếu q(x) 0.
• Để giải phương trình tuyến tính, ta chia làm ba bước:
Bước 1: Giải p
phương g trình thuần nhất tương g ứngg
y ' p(x)y q(x)
Đây là phương trình ở dạng phân ly biến số, ta giải ra
y Ce
p(x)dx
( )d
11
v2.3013103225
- 1.1.6. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tiếp theo)
Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất:
y ' p(x)y q(x)
Nghiệm này được tìm ở dạng y * C(x)e
p(x)dx
. Ở đây, ta coi C là hàm
số của x. Thay nghiệm y* vào phương trình trên ta được:
p(x)dx p(x)dx
C '(x)
( ) p(x)C(x)
p( ) ( ) e p(x)C(x)e
p( ) ( ) q(x)
q( )
Suy ra: C '(x) q(x)e p(x)dx
và C(x) q(x)e p(x)dx
dx
12
v2.3013103225
- 1.1.6. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tiếp theo)
Bước 3: Nghiệm của phương trình vi phân tuyến
tính ban đầu là:
y y y*
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính
không thuần nhất bằng tổng của nghiệm tổng quát của
phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với
một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất.
13
v2.3013103225
- 1.1.6. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tiếp theo)
Ví dụ: Giải phương trình vi phân (x 2 1)y ' xy x
• Giải phương trình thuần nhất tương ứng:
dy x 1
(x 2 1)y ' xy 0 2 dx ln y ln C ln(x 2 1)
y x 1 2
C
• Suy ra: y Dễ thấy một nghiệm riêng của phương
x2 1
trình không thuần nhất y* = -1, do đó nghiệm của phương
g xét là:
trình đang
C
y y y* 1
2
x 1
• Nếu bài toán yêu cầu tìm nghiệm của phương trình thoả mãn
y(0) thì ta tìm ra C = 3. Nghiệm của phương trình với điều
kiện ban đầu như trên là:
3
y 1
2
x 1 14
v2.3013103225
- 1.1.7. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI
Phương trình Bernoulli có dạng: dy p(x)y y q(x)
dx
Trong đó là số thực khác 0 và 1.
• Nếu 0 thì y = 0 là một nghiệm của phương trình Bernoulli.
• Khi y 0 chia hai vế cho y , ta được:
dy
y p(x)y1 q(x) (5.4)
dx
dz dy
• Đặt z y1, ta có: (1 )y .
dx dx
• Thayy vào (5.4)
( ) ta thu được ợ p phương g trình:
dz
(1 )p(x)z (1 )q(x)
dx
• Đây
ây là
àpphương
ươ g trình tuyến
uyế tính đốđối với
ớ hàmà số z(x).
( )
15
v2.3013103225
- 1.1.7. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI (tiếp theo)
y
Ví dụ: Giải phương trình vi phân y ' x 2 y 4.
x
Đây là phương trình Bernoulli với: 4 . Ta thấy y = 0 là một nghiệm
của phương trình này. Khi y 0 , chia cả hai vế của phương trình cho
3
y4, đặt z = y-3, ta được phương trình z ' z 3x 2
x
3
• Giải phương trình tuyến tính thuần nhất: z ' z 0 z Cx 3
x
3
• Tìm nghiệm
g ệ riêng g của p
phương
g trình khôngg thuần nhất z ' z 3x 2
x
dưới dạng z* C(x)x 3.
3
Th vào
Thay à phương
hươ trình
t ì h ta
t được:
đượ C '(x)
'( ) C(x)
C( ) 3ln
3l x
x
• Vậy nghiệm riêng: z* 3x 3 ln x .
1 / 3
• Vậy phương trình đã cho có nghiệm: y = 0 và y x 3 (C 3ln x ) .
16
v2.3013103225
- 1.1.8. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN
• Phương trình vi phân toàn phần là phương trình có dạng:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (5.5)
Trong đó M(x, y); N(x, y) là những hàm số liên tục cùng với các
đạo hàm riêng cấp một trong một miền D và M N , (x, y) D
y x
Khi đó tồn tại hàm số u(x, y) sao cho du = M(x, y)dx + N(x, y)dy
tức là vế trái của phương trình (5.5) là một biểu thức vi phân toàn
phần. Ta có thể tìm được hàm số u(x, y) bởi một trong hai công
thức sau đây: x y
u(x, y) M(x, y 0 )dy Q(x, y)dy K
x0 y0
x y
u(x, y) x M(x, y)dy y Q(x 0 , y)dy K
0 0
trong đó K là một hằng số.
• Giải phương trình (5.5) ta cần lấy tích phân hai vế và thu được tích
phân
p â tổng
ổ g quá
quát: u ((x,, y) = C
17
v2.3013103225
- 1.1.8. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN (tiếp theo)
Ví dụ: Giải phương trình vi phân (x + y + 1)dx + (x – y2 + 3)dy = 0
2
• Vì: (x y 1) (x y 3)
1 nên đây là một phương trình vi
y x
phân toàn phần.
• Chọn
ọ x0 = y0 = 0,, ta tìm được:
ợ
x y
x2 y3
u(x, y) (x 1)dx (x y 3)dy
2
x xy 3y
0 0
2 3
• Vậy tích phân tổng quát của phương trình đã cho là:
x2 y3
x xy 3y C
2 3
18
v2.3013103225
- 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
N hiệ tổ
Nghiệm tổng quát
át và
à nghiệm
hiệ riêng
iê
• Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát:
F(x y,
F(x, y yy', yy")) = 0 (5 6)
(5.6)
• Phương trình vi phân cấp hai ở dạng đã giải ra đạo hàm:
y" = f(x, y, y') (5.6’)
• Việc giải phương trình cấp hai là tìm tất cả các hàm số y (x)
sao cho khi thay vào (5.6) và (5.6’) ta được các đồng nhất thức:
F(x (x)
F(x, (x), '(x) (x)) 0 hoặc ''(x)
(x), ''(x)) (x) f(x, (x), '(x)).
(x)).
• Định nghĩa: Ta gọi họ hàm số: y (x, C1 , C2 ) là nghiệm tổng quát
của một phương trình vi phân cấp hai nếu khi gán cho mỗi ký hiệu
C1, C2 một giá trị xác định thì ta được một nghiệm của phương trình
đó. Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho C1, C2
các giá trị xác định gọi là nghiệm riêng của phương trình.
trình
19
v2.3013103225
- 2.1. TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT VÀ TÍCH PHÂN RIÊNG
• Tương tự như trường hợp phương trình vi phân cấp một, không
phải lúc nào ta cũng có thể giải được tường minh nghiệm của một
phương trình dưới dạng hàm số y (x,
(x C1 , C2 ), mà chỉ có thể đưa
về một phương trình hàm ẩn.
• Định nghĩa: Nghiệm
ệ tổng
ổ quátá của
ủ phương trình
ì vi phân
â viết
ế dưới
ớ
dạng hàm ẩn: (x, y, C1 , C2 ) 0
• Được gọi là tích phân tổng quát của phương trình đó. Mỗi tích phân
ứng với giá trị xác định C1, C2 được gọi là một tích phân riêng của
phương
p g trình đó.
20
v2.3013103225
nguon tai.lieu . vn
