Xem mẫu
- Chương IV: Chuỗi
• Chuỗi số
• Chuỗi hàm
51
- Chuỗi số
•Định nghĩa:
+∞
u1 + u2 + … u n + … = ∑ un
n =1
được gọi là một chuỗi số
+∞
ký hiệu: ∑ u
n=1
n
+∞
1 1 1 1
•Ví dụ: 1 + + + … + … = ∑
2 3 n n =1 n 52
- •Định nghĩa tổng của chuỗi
n
S n = u1 + u2 + … un = ∑ uk
n =1
Nếu lim S n = S thì chuỗi đgl hội
n →+∞
n→+∞
tụ và có tổng là S
Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ và
không có tổng
53
- Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
+∞
Nếu u1 + u2 + … u n + … = ∑ n
u
n =1
hội tụ
thì lim u n = 0 Tương
n →+∞ đương
Nếu lim u n ≠ 0 thì chuỗi cho phân kỳ
n →+∞
+∞
n +1
Ví dụ ∑ phân kỳ
n =1 2 n − 3
n +1 1
Vì lim = ≠0
n →+∞ 2n − 3 2 54
- Ví dụ
+∞ +∞
1 1 1 1
a) ∑
n =1
un = ∑
n =1 n(n + 1)
= +
1.2 2.3
+ ... +
n(n + 1)
+ ...
1 1 1
Vì = −
n(n + 1) n n + 1
nên
n
1 1 1 1 1
Sn = ∑ = + + ... + = 1−
k =1 k(k + 1) 1.2 2.3 n(n + 1) n +1
1
S = lim Sn = lim 1 − = 1
n →+∞ n →+∞
n + 1
Vậy chuỗi cho hội tụ và có tổng là 1 55
- Ví dụ
+∞
b) ∑ aq
n =1
n −1
vôù i a ≠ 0 ( chuỗi số nhân)
Chuỗi trên hội tụ nếu q
- Chuỗi số dương và các tiêu chuẩn hội tụ
+∞
• Định nghĩa: ∑đgl
u
n =1
n
chuỗi số dương nếu mọi
số hạng của chuỗi đều dương
+∞ +∞
Cho ∑u
n=1
n
và ∑ n
v
là hai chuỗi số dương
n=1
Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho un ≤ v n
+∞ +∞
Nếu ∑ vn hội tụ thì ∑u
n=1
n hội tụ
n=1
+∞ +∞
Nếu ∑phân
u kỳ thì
n=1
n ∑ vn kỳ
phân
n=1
57
- Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau
+∞
1 1 1 1
n
∑
n =1
3
n3 n Hội tụ 3
n3n
≤ n =
3 3
+∞
1 1 1
∑
n =1
3
n
Phân kỳ
n
≤3
n
58
- Tiêu chuẩn so sánh 2
un
k = lim
n →+ ∞ v
n +∞ +∞
Nếu k và
=0 ∑hộiv tụ thì
n =1
n ∑hộiu tụ
n
n =1
+∞ +∞
Nếu k và
=∞ ∑pkỳ
v thì
n ∑
pkỳ un
n =1
n =1
Nếu k thì
> 0hai chuỗi cho có cùng tính chất
59
- Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau
2n
+∞
2n 3n 2
1 2
∑
n =1 3n − 1
2
Phân kỳ vì lim
n →+∞ 1
− =
3
+∞
1 n
∑
n =1 n
Phân kỳ
2n
+∞
2n
∑
n =1 (n + 1).3
n
Hội tụ vì lim
n →+∞
(n + 1)3n
1
=2
3 n
+∞
1
∑
n =1 3
n
Hội tụ
60
- Tiêu chuẩn Cauchy
+∞
∑ un
n =1
k = lim
n →+ ∞
n un
+∞
Nếu 0 ≤ k < 1thì ∑hộiu tụ
n =1
n
+∞
Nếu kthì
>1 ∑
pkỳ un
n =1
Nếu k thì
= 1chưa thể kết luận được gì
61
- Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau
+∞
n
n +∞
1
∑ 2n + 1 Hội tụ
n =1
∑
n =1 n
n
Hội tụ
n
+∞
3n 1
∑
+∞
2n + 1
n =1
Pkỳ ∑
n = 2 (ln n)
n Hội tụ
62
- Tiêu chuẩn dAlembert
+∞
u n +1
∑u n k = lim
n →+ ∞ u
n =1 n
+∞
Nếu 0 ≤ k < 1thì ∑hộiu tụ
n =1
n
+∞
Nếu kthì
>1 ∑
pkỳ un
n =1
Nếu k thì
= 1chưa thể kết luận được gì
63
- Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau
n
+∞
1 +∞
2
∑
n =1 n!
Hội tụ ∑
n =1 n
Pkỳ
+∞
n 1
∑
+∞
n =1 n + 1
Pkỳ ∑
n =1 n(n + 1)
Hội tụ
64
- Tiêu chuẩn Tích phân
+∞
∑u
n =1
n u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ … và f(x) giảm:
f (1) = u1 ; f (2) = u2 ;… f (n) = un ;…
+∞ +∞
Nếu
∫ f(x)dx
hội tụ thì ∑ hội
u tụ
n
1 n =1
+∞
Nếu
+∞
∫ f(x)dx
pkỳ thì ∑pkỳ
u
n =1
n
1
65
- Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau
dx ht khi α > 1
+∞
∫1
x α
=
pk khi α ≤ 1
+∞
1 +∞
1
∑
n =1 n
∑
n =1 n
Pkỳ
+∞
1
∑
n =1 n
2
Htụ
66
- Chuỗi đan dấu
+∞
Chuỗi u1 + u2 + … u n + … = ∑u
n =1
n
đgl
chuỗi đan dấu nếu các số hạng dương và
âm của chuỗi xen kẻ nhau
Ví dụ
+∞ n +1 n +1
(−1) 1 1 1 (−1)
∑
n =1 n
= 1 − + − + ... +
2 3 4 n
+ ...
là chuỗi đan dấu 67
- Tiêu chuẩn hội tụ Leibnitz cho chuỗi đan dấu
+∞
∑ (-1)
n=1
n+1
u n = u1 - u 2 +u 3 - u4 + ... (u n > 0, ∀n)
Nếu {un }giảm ( un+1 < uvàn ) un =chuỗi
lim thì 0
n →+∞
đan dấu trên hội tụ Ví dụ
+∞
(−1) n +1
1 1 1 (−1) n +1
∑
n =1 n
= 1 − + − + ... +
2 3 4 n
+ ...
1 1
hội tụ vì un = giảm và lim = 0
n →+∞ n
n 68
- Chuỗi lũy thừa
+∞
∑a x
n=0
n
n 2 n
= a0 + a1 x + a2 x + ...+ an x + ...
đgl chuỗi lũy thừa
+∞ n 2 3 n
Ví dụ ∑
x x x x
= 1 + x + + + ... + + ...
n =0 n 2 3 n
1
là chuỗi đan dấu với an =
n 69
- Kết quả của định lý Abel
+∞
∑a x
n=0
n
n 2
= a0 + a1 x + a2 x + ...+ an x + ... n
Nếu x0 là điểm hội tụ của chuỗi thì mọi
( )
điểm thuộc − x0 ; x0đều là điểm hội tụ
Nếu x0 là điểm phkỳ của chuỗi thì mọi điểm
thuộc ( −∞; − x ) , ( x
0 0 ; +∞ )
đều là điểm phân kỳ của chuỗi 70
nguon tai.lieu . vn
