Xem mẫu
- Chương III: TÍCH PHÂN
• Nguyên hàm và tích phân bất định
• Tích phân xác định
• Tích phân suy rộng
1
- Nguyên hàm và tích phân bất định
Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Hàm số F(x) đgl một
nguyên hàm của f(x) trên (a; b) nếu F'(x) = f(x)
Nếu F(x)_ nguyên hàm của hàm f(x) trên (a; b) thì F(x) + C là
nguyên hàm của hàm f(x) vì [F(x) + C]' = F'(x) = f(x)
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f(x) trên (a; b) được gọi
là tích phân bất định của hàm f(x) trên (a; b), KH
∫ f(x)dx; f(x) : hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx : biểu thức
dưới dấu tích phân ∫ f(x)dx = F(x) + C ⇔ F '(x) = f(x) 2
- Tích phân một số hàm sơ cấp
/
( ∫ f(x)dx ) = f(x)
∫ [ Af(x) + Bg(x)] dx = A ∫ f(x)dx + B∫ g(x)dx
∫ 0dx = C ∫ 1dx = ∫ dx = x + C
1 n +1 dx
∫ x dx = n + 1 x + C ∫ x = ln x + C
n
a x
∫ a dx = ln a + C
x
3
- Tích phân một số hàm sơ cấp
∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C
2 dx
∫ (1 + tg x)dx = ∫ cos2 x = tgx + C
dx
∫ (1 + cot g x)dx = ∫ sin2 x = − cot gx + C
2
dx
∫ 1 + x2 = arctgx + C = −arccotgx + C
dx 1 x
∫ a2 + x2 = a arctg a + C 4
- Tích phân một số hàm sơ cấp
dx 1 x−a
∫ x2 − a2 = 2a ln x + a + C
dx 1 a+x
∫ a2 − x2 = 2a ln a − x + C
dx
∫ = arcsin x + C = − arccosx + C
1 − x2
dx x
∫ = arcsin + C
a2 − x 2 a
dx
∫ x2 ± a
= ln x + x 2 ± a + C
5
- Phương pháp tính tích phân
PP đổi biến
Nếu hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục và có hàm
ngược t = ϕ-1(x) thì
∫ f(x)dx = f ϕ(t)
∫ [ ] ϕ '(t)dt = F(t) + C = F
ϕ −1
(x)
+ C
dx
VD 1 I=∫ Đặt t = ⇒ x x= t2 ⇒ dx = 2tdt
1+ x
tdt 1
I = 2∫ = 2∫ 1 − dt
1+ t 1+ t
= 2(t − ln(1 + t)) + C = 2 x − ln(1 + x ) + C
6
- Phương pháp tính tích phân
PP đổi biến
dx
VD 2 I=∫
sin x
x 2dt
Cách 1 Đặt t = tg
⇒ x = 2arctgt ⇒ dx =
2 1 + t2
2t dt x
s inx = I = ∫ = ln t + C = ln tg + C
1+ t 2
t 2
Cách 2
dx sin xdx d(cos x) 1 1 + cos x
I=∫ =∫ =∫ = ln C
sin x 2
sin x 1 − cos x 2 1 − cos x
2
7
- PP tích phân từng phần
∫ udv = uv − ∫ vdu
(1)Tính các tích phân dạng
I = ∫ P(x)e dx; J = ∫ P(x)sin axdx; K = ∫ P(x)cosaxdx
ax
Đặt u = P(x) với P(x) là đa thức
∫ x ln xdx
k kx
(2) Tính L = α
; α ≠ −1, đặt u = ln
(3) Tính M = ∫ P(x)(arcsin x) dx; N = ∫ P(x)(arctgx) dx
n n
Đặt u = arcsinx hay u = arctgx
8
- PP tích phân từng phần
∫ udv = uv − ∫ vdu
Tính các tích phân sau:
I = ∫ xe dx
2x
K = ∫ x arctgxdx
2
2
J = ∫ x e dx
2 2x ln x
L = ∫ 2 dx
x
9
- Tích phân các phân thức đơn giản
ln x − a + C khi n = 1
dx
∫ (x − a)n = 1
(1 − n)(x − a)n −1 + C khi n > 1
dx (x − 1) −4
−1
VD 1 ∫ = ∫ (x − 1) d(x − 1) =
−3
+C= +C
(x − 1)3
−4 4(x − 1) 4
xdx 1 d(x − 1) 1 2
2
VD 2 ∫ 2 = ∫ 2 = ln x − 1 + C
x −1 2 x −1 2
dx 1 x dx 1 x −a
∫ a2 + x2 = a arctg a + C ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a
10
- Tích phân các phân thức đơn giản
Ax + B b
u=x+
∫ ax2 + bx + c dx Đổi biến số
2a
x +1 1/ 2(2x − 1) + 3/ 2
VD 3 I = ∫ 2 dx =∫ 2
dx
x − x +1 x − x +1
1 d(x 2 − x + 1) 3 dx
= ∫ 2 + ∫ 2
2 x − x +1 2 (x − 1/ 2) + 3/ 4
1 3 1 x− 1
2
= ln x − x + 1 + arctg 2 +C=
2 2 3 3
2 2
1 2 2x − 1
= ln x − x + 1 + 3 arctg +C
2 3 11
- Tích phân các phân thức hữu tỉ
Dạng I = P(x) ; P(x), Q(x) là đa thức; degP(x) < degQ(x)
∫ Q(x) dx
(1) Q(x) = (x − a)(x − b)...(x − c)
Phân tích thành tổng các phân thức đơn giản dạng
P(x) A B C
= + +⋯ +
Q(x) x − a x − b x−c
(2) Q(x) = (x − a)n
Phân tích thành tổng các phân thức đơn giản dạng
P(x) A1 A2 An
= + +⋯ +
Q(x) x − a (x − a)2
(x − a)n 12
- Tích phân các phân thức hữu tỉ
(3) Q(x) = (x – a)(x2 + px + q) với x2 + px + q vô nghiệm
Phân tích thành tổng các phân thức đơn giản dạng
P(x) A Bx + C
= + 2
Q(x) x − a (x + px + q)
xdx
VD I =
∫ x3 + 1 Ta có
x x a bx + c
3
= 2
= + 2
x + 1 (x + 1)(x − x + 1) x + 1 x − x + 1
1 1 1 x +1
=− . + . 2
3 x +1 3 x − x +1 13
- Tích phân các phân thức hữu tỉ
xdx 1 dx 1 x +1
∫ x 3 + 1 = − 3 ∫ x + 1 + 3 ∫ x 2 − x + 1 dx
xdx 1 dx 1
=∫ 3 =− ∫ + I (I _ VD 3)
x +1 3 x +1 3
1 1 1 2 2x − 1
= − ln x + 1 + ln x − x + 1 + 3 arctg +C
3 3 2 3
1 1 2 1 2x − 1
= − ln x + 1 + ln x − x + 1 + arctg +C
3 6 3 3 14
- Tích phân hàm vô tỉ
m1 m2
Dạng I = x,(ax + b) 1 ,(ax + b) 2 ⋯ dx
n n
∫
R
Đặt ts = ax + b với s là bội số chung nhỏ nhất của các số n1, n2
, ...
x + 3 x2 + 6 x
VD I=∫ Đặt
dx x = t6, khi đó dx = 6t5dt
x(1 + 3 x )
t6 + t4 + t 5 t5 + t3 + 1 3 1 3 4
I=∫ 6 2
6t dt = 6 ∫ 2
dt = 6 ∫ t + 2
dt = t + 6arctgt + C
t (1 + t ) (1 + t ) (1 + t ) 2
33 2
I= x + 6arctg 6 x + C
2 15
- Tích phân hàm vô tỉ
dx
Dạng I = ∫ ax 2 + bx + c
Tách bình phương đủ trong tam thức bậc hai và đưa về dạng
dx x
tích phân cơ bản ∫ hoặc+ C
= arcsin
2
a −x 2 a
dx
∫ x2 ± a
= ln x + x 2 ± a + C
VD I = ∫ dx d(x + 1)
=∫ = ln x + 1 + x 2 + 2x + 5 + C
x 2 + 2x + 5 (x + 1) 2 + 4
16
- Tích phân hàm vô tỉ
VD
2
d x −
dx 3
J=∫
dx
=∫ =∫
2
−3x + 4x − 1 2 4 1 2 1
2
−3 x − x + −3 x − −
3 3
3 9
2
d x −
3 1 x − (2 / 3) 1
=∫ = arcsin +C= arcsin(3x − 2) + C
1 2
2 3 1/ 3 3
3 − x −
9 3
17
- Tích phân hàm lượng giác
Tính các tích phân sau:
dx
I=∫
sin x
dx
J=∫
3cos x + 4sin x + 5
K = ∫ ( sin x cos x + cos x ) dx
2 3
dx
L=∫ 2
sin x + sin 2x − cos x
2
18
- Tích phân bằng PP biến đổi thành
hàm lượng giác
Dạng I = ∫ R(x, a 2
− x 2
dx )
Đặt : x = asint, dx = acostdt; a2 − x 2 = a cos t
Dạng I = ∫ R(x, x 2
+ a 2
dx )
a
Đặt : x = atgt, dx = a(1 + tg2t)dt = ; x +a =
2 2
cos t
Dạng I = ∫ R ( )
x, x 2 − a2 dx
a , a cos t
Đặt : x = dx = − ; dt x 2 − a2 = a cot gt
sin t sin t
2
19
- Tích phân xác định
Bài toán diện tích hình thang cong
Cho hàm y = f(x) xác định, không
âm và liên tục trên [a; b].
Tính diện tích hình thang cong
giới hạn bởi y = f(x); trục Ox; x
= a và x = b
Chia hình thang cong thành n hình thang cong nhỏ với đáy
là ∆xi = xi - xi-1
Với ∆xi đủ nhỏ ta xem giá trị của f trên đoạn [xi-1 , xi ] bằng
giá trị của f tại một điểm ξi nào đó thuộc [xi-1 ,xi ] 20
nguon tai.lieu . vn
