Xem mẫu
- Chương II: ĐẠO HÀM – VI PHÂN
• Đạo hàm – vi phân
• Qui tắc L/HOPITAL
• Công thức Taylor
48
- Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trong (a; b) và x0 ∈ (a; b)
Với x ≠ x0, ∆x = x – x0 : số gia của biến x tại x0
∆y = y – x0 : số gia của hàm y tại x0
∆y f(x) − f(x 0 )
Nếu tồn tại giới hạn A = lim = lim hh
∆x → 0 ∆x x→x0 x − x0
thì A đgl đạo hàm của hàm số f(x) tại x0
f(x) − f(x 0 ) ∆y
f'(x 0 ) = lim = lim
x→x0 x − x0 ∆x → 0 ∆x 49
- Định nghĩa đạo hàm một phía
Nếu tồn tại giới hạn A = lim ∆y = lim f(x) − f(x 0 ) hh
+
∆x → 0 ∆x
+
x→x0 x − x0
thì A đgl đhàm bên phải của hsố f(x) tại x0,KH f’(x0+)
∆y f(x) − f(x 0 )
Nếu tồn tại giới hạn A = lim = lim− hh
∆x → 0 ∆x
−
x→x0 x − x0
thì A đgl đhàm bên trái của hsố f(x) tại x0 , KH f’(x0-)
Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 ⇔ f(x) có đạo hàm
bên phải, đạo hàm bên trái tại x0 và f '(x0+) = f '(x0−50)
- Cho f(x) = x , xét đạo hàm tại x = 1, x = 0
Tại x = 1, ta có
f(x) − f(1) x −1 1 1
lim = lim = lim = = f '(1)
x →1 x −1 x →1 x − 1 x →1
x +1 2
Tại x = 0, ta có
f(x) − f(0) x 1
lim = lim = lim = +∞
x →0 + x−0 x →0+ x x →0 +
x
⇒ f không có đạo hàm tại x = 0
51
- Cho f(x) = |x|, xét đạo hàm tại x = 0
f(x) − f(0) x
lim = lim = lim1 = 1 = f (0 )
/ +
x →0 + x−0 x →0+ x x →0
x
≠
f(x) − f(0)
lim = lim = lim(−1) = −1 = f / (0− )
x →0 − x−0 x →0− x x →0
Vậy f không có đạo hàm tại x = 0
Nếu f(x) liên tục tại x0 thì không thể suy ra được
f(x) có đạo hàm tại x0.
Liên hệ giữa tính có đạo hàm và tính liên tục
Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0. 52
- Định nghĩa
Hàm số f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b) nếu nó
có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ (a; b)
Nếu có thêm f(x) có đạo hàm bên phải tại a và bên
trái tại b thì hàm số f(x) có đạo hàm trong đoạn [a; b]
Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D và f'(x) tồn
tại với mọi x ∈ D. Khi đó f '(x) = lim f(x + ∆x) − f(x)
∆x → 0 ∆x
Với f(x) = x2
f(x + ∆x) − f(x) (x + ∆x)2 − x 2
lim = lim = 2x ⇒ f / (x) = 2x
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x 53
- Quy tắc tính đạo hàm
u = u(x) có đhàm u' = u'(x); v = v(x) có đhàm v' = v'(x)
/
1) [u ± v]' = u' ± v' u u'v − v' u
3) =
v
v 2
2) [uv]' = u'v + v'u 4) ( gof(x))
/
= ( g[f(x)]) = g/ [f(x)].f / (x)
/
1
5) Cho y = f(x) có hàm ngược x = f-1(y): x = /
/
y
yx
-π π
VD y = arcsinx ⇒ x = siny ; y ∈ ,
2 2
⇒ x y = cos y = ± 1 − sin y = ± 1 − x = 1 − x
/ 2 2 2
1
⇒yx=
/
54
1− x 2
- Các công thức tính đạo hàm
(C)' = 0 1
(cot gx)' = − 2 = −(1 + cot g2 x)
sin x
( x ) ' = αx
α α−1
/ 1
(arcsinx) =
( a ) ' = a ln a
x x
⇒ (e )' = e
x x
1 − x2
1 1 1
( loga x ) ' = ⇒ ( ln x ) ' = (arccos x)' = −
x ln a x 1 − x2
(sinx)' = cosx (cosx)' = − sinx 1
(arctgx)' =
/ 1 2 1 + x2
(tgx) = = 1 + tg x
cos x
2
1
(arc cot gx)' = −
Thay x bởi hàm hợp u thì tính 1 + x2
55
đhàm chỉ cần nhân thêm u/
- Định nghĩa vi phân
∆f = f(x0 + ∆x) – f(x0) → 0 khi ∆x → 0 hay khi đó ∆f là VCB
Xét hsố f(x) = x2 ∆f = f(x0 + ∆x) – f(x0) = (x0 + ∆x)2 – (x0)2
∆x + (∆
= 2x0.∆ ∆x)2 ∼ 2x0.∆
∆x khi ∆x → 0
f(x) đgl khả vi tại điểm x0 nếu ∆f = f(x0 + ∆x) − f(x0) tại
điểm x0 được viết dạng ∆f = A.∆
∆x + o(∆
∆x) với A ko
phụ thuộc ∆x và o(∆
∆x) là VCB bậc cao hơn VCB (∆
∆x).
∆x được gọi vi phân của hàm f(x) tại
Tích số A.∆
∆x hay dy = A.∆
x0. Ký hiệu : df = A.∆ ∆x
56
- Hàm số f(x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi f(x) có đạo
∆x
hàm tại x0 và khi đó df(x0) = f'(x0).∆
∆x ⇒ dy = df(x) = f/(x)dx
Với f(x) = x thì dx = 1∆
Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0) ∆x hay df ≈ ∆f
π π π π π
sin31 = sin(30 + 1 ) = sin +
0 0 0
≈ sin + cos . ≈ 0,5151
6 180 6 6 180
57
- Tính bất biến của vi phân
Giả sử y = f(x), z = g(y) và hàm hợp z = g[f(x)] = g(y)
Ta có
dz = g'[f(x)].d(f(x)) = g'[f(x)]. f'(x)dx = g'(y)dy
= g'(x)dx
Ví dụ
d (2 x + 5) = 2(2 x + 5)2dx = 4(2 x + 5) dx
2
d (2 x + 5) 2 = 2 XdX = 2(2 x + 5) d (2 x + 5) = 4(2 x + 5) dx
58
- Các công thức và qtắc tính vi phân
dC = 0 dx
d cot gx = − 2 = −(1 + cot g2 x)dx
α−1 sin x
d(x ) = αx
α
dx df = f’(x)dx
dx
d(arcsinx) =
de = e dx
x x
d(u ± v) = du ± dv 1 − x2
1 dx
d ln x = dx d(uv) = udv + vdu d(arccos x) = −
x 1 − x2
dsinx = cosx dx u vdu − udv
d = dx
dcosx = sinx dx v v 2 d(arctgx) =
1 + x2
dx
dtgx = = (1 + tg 2
x)dx dx
cos x
2
d(arccot gx) = −
Thay x bởi hàm hợp u thì tính vi 1+ x 2
59
phân chỉ cần nhân thêm u/
- Đạo hàm cấp cao
Cho hàm khả vi y = f(x) có đạo hàm y' = f '(x)
Nếu y' = f '(x) khả vi thì ta có (y')' = [f '(x)]' được ký
hiệu y" = f "(x)
Đạo hàm của đạo hàm cấp (n − 1) được ký hiệu
y(n) = f(n)(x) và gọi là đạo hàm cấp n
VD 1: y = x6 ; y' = 6x5 ; y" = 6.5x4 ; y(3) = 6.5.4x3 ;
y(4) = 6.5.4.3x2; y(5) = 6.5.4.3.2x; y(6) = 6! ;
với y = xn thì y(n) = n! và y(n+1) = 0
60
- Đạo hàm cấp cao
VD 2: y = eax ; y' = aeax ; y" = a2 eax ta có y(n) = an eax
π
Vd 3: f(x) = sinx; f (x) = cosx = sin x + 2
/
// π 2π (n) (n − 1)π nπ
f (x) = cos x + = sin x + f (x) = cos x + = sin x +
2 2 2 2
Vd 4: f(x) = ln(1 + x) f '(x) = (1 + x)-1 ;
−1)(1 + x)-2 ;
f"(x) = (−
−1)(−
f"'(x) = (− −2)(1 + x)-3 ;
(n − 1)!
−(n − 1)](1 + x)−n =(−1)
n −1
−1)(−
f(n)(x) = (− −2)...[−
(1 + x)n 61
- Công thức Leibnitz
Cho hàm u = u(x), v = v(x) có đạo hàm đến cấp n thì
(uv)(n) = u(n) v(0) + C1n u(n−1) v'+ C2n u(n −2) v''+ ... + Cnn −1 u'v(n−1) + u(0) v(n)
trong đó ta quy ước u(x) = u(0)(x); v(x) = v(0)(x).
VD cho f(x) = x2ex. Tính f(5)(x) v = ex ; v(k) = ex với mọi k
u = x2 ; u' = 2x; u" = 2; u(3) = u(4) = u(5) = 0
f (5) (x) = u(5) v(0) + C15 u(4) v'+ C25 u(3) v''+ C35 u(2) v'''+ C54 u(1) v(4) + u(0) v(5)
5.4.3 x 5.4.3.2
f (x) = 0 + 0 + 0 +
(5)
2e + 2xex + x 2 ex
1.2.3 1.2.3.4
f (5) (x) = 20ex + 10xex + x 2 ex = ex (x 2 + 10x + 20) 62
- Vi phân cấp cao
Vi phân cấp hai của hàm số y = f(x) tại một điểm là vi
phân của vi phân (df) cấp một, kí hiệu d2f
d2f = d(df) = d[f’(x).dx] = [f’(x).dx]/ dx = f”(x).dx2
Một cách quy nạp, vi phân cấp n, kí hiệu là dnf là
vi phân của vi phân cấp (n – 1)
dnf = d(dn-1f) = f(n)(x)dxn (khi x là biến độc lập)
khi x là biến phụ thuộc thì công thức trên khg còn
đúng 63
- Vi phân cấp cao
f(x) = x2, với x là biến đlập thì df = 2xdx và d2f = 2dx2
với x là biến phụ thuộc, giả sử x = t2
Tính đúng: f = t4, df = 4t3dt và d2f = 12t2dt2
Tính sai: d2f = 2dx2 , nếu thế dx = 2tdt vào thì d2f =
2(2tdt)2 = 8t2dt2
Một số tính chất của vi phân cấp cao
+ dn(u + v) = dnu + dnv
n
+ dn(uv) =∑ C d u.d
k =0
k
n
k n−k
v với d0u = u và d0v = v.
64
- Vd về vi phân cấp cao
Tính vi phân cấp hai của hàm y = sinx2
x là biến độc lập:
dy = 2x cosx2dx và d2y = (2cosx2 –
4x2sinx2)dx2
x là hàm của biến độc lập nào đó
d2y = d(dsinx2) = d(2xcosx2 dx) = udv + vdu
= 2xcosx2 d2x + dx[d(2x cosx2)]
= (2cosx2 – 4x2 sinx2 )dx2 + 2xcosx2d2x.
65
- Qui tắc L/HOPITAL
Khử dạng 0
0
Nếu f(x) và g(x) xác định, g/(x) ≠ 0 trg lân cận x0 và
lim f ( x) = lim g ( x) = 0
x → x0 x → x0
f(x) f '(x)
thì ta có xlim
→ x 0 g(x)
= lim
x →x 0 g'(x)
( nếu giới hạn này tồn tại)
Kết quả vẫn còn đúng khi x → ∞
66
- Qui tắc L HOPITAL
/
Ví dụ 1
0 1 −1/ 2 1 −2 / 3
(1 + x) − (1 + x)
1+ x − 3 1+ x 0
2 3 1 1 1
lim
x →0 x =
(L)
lim
x →0 1
= − =
2 3 6
0
( )
Ví dụ 2 sin 5 x 0 5cos5 x 5
lim = lim =
x →0 3 x ( L ) x →0 3 3
0
( )
Ví dụ 3 ln(1 + x) 0 1
lim = lim =1
x →0 x ( L ) x →0 (1 + x )
67
nguon tai.lieu . vn
