Xem mẫu
- TRUỜNG ÐẠI HỌC TIỀN GIANG
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
HỌC PHẦN: TOÁN CAO CẤP A1
GV phụ trách: Võ Duy Minh
SĐT : 0985706948
Email: voduyminh@tgu.edu.vn
Blog lớp:
Giới thiệu môn học (đề cương chi tiết)
Phương pháp học, kiểm tra, thi
1
- Chương I: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
• HÀM SỐ
• GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
• SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
2
- Bài 1: Hàm số
ÁNH XẠ
1) Định nghĩa
2) Phân loại
HÀM SỐ
1) Định nghĩa
2) Hàm hợp
3) Hàm ngược
3
- Định nghĩa ánh xạ
Một ánh xạ từ tập E sang tập F là một quy tắc
cho tương ứng mỗi phần tử x ∈E với một
phần tử duy nhất y ∈F
Ký hiệu f: E F
Đặt
x ֏ y = f(x)
E : tập nguồn
F : tập đích
y : ảnh của x qua ánh xạ f
4
- Phân loại ánh xạ
Ánh xạ f: E F được gọi là đơn ánh nếu
∀ x1 , x2 ∈ E: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
⇔ ∀ x1, x2 ∈ E : f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Ánh xạ f: E F được gọi là toàn ánh nếu
∀ ∈ F, ∃x
∀y ∃ ∈ E : y = f(x)
Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu
f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh
5
- Định nghĩa hàm số
Khi E ⊆ R, F ⊆ R, ánh xạ f : E → F là hàm số
• E : tập xác định
• f(E) = {f(x) ∈ F / x ∈ E} : tập giá trị
Hàm số thường cho bởi công thức y = f(x)
Miền xác định D = {x / f(x) có nghĩa}
Miền giá trị T = {y / f(x) = y có nghiệm x ∈ D}
6
- x
Tìm miền giá trị của y = x 2 + 1
Miền xác định D = R
Miền giá trị T = {y / f(x) = y có nghiệm x ∈ D}
Xét pt yx2 –x +y = 0 (1)
• y = 0 ⇒ x = 0 ⇒ (1) có nghiệm x ∈ R
• y ≠ 0; (1) có nghiệm x ∈R ⇔ 1- 4y2 ≥ 0
−1 1
Vậy T = [ -1 ; 1 ] ⇔ ≤ y≤
2 2 2 2 7
- Hàm hợp
Hàm số f : E → F và g:F→G
x ֏ y = f(x) y ֏ z = g(y)
Hàm hợp của f và g ký hiệu gºf
g ºf : E → G
x ֏ z = (gºf)(x) = g[f(x)]
Biến được thay bằng hàm số khác
VD f : x ֏ x2 + 2, g : x ֏ 3x + 1
f[g(x)] = [g(x)]2 + 2 = (3x + 1)2 + 2
g[f(x)] = 3f(x) + 1 = 3(x2 + 2) + 1 8
- Hàm ngược
Hàm số f : E → F là song ánh
x ֏ y = f(x)
Hàm ngược của f ký hiệu f-1
f-1 : F → E
y ֏ f-1(y) = x với y = f(x)
x ֏ f-1(x) = y với x = f(y)
• Đồ thị của f và f-1 đối xứng nhau qua y = x
• f và f-1 có tập xác định và tập giá trị đổi vai trò cho nhau
9
- Các hàm sơ cấp cơ bản
a) Hàm số lũy thừa y = xα với α ∈ R
Với α > 0 đồ thị của hàm số y = xα luôn đi qua
điểm (1; 1) và qua điểm O(0; 0)
Với α < 0 đồ thị của hàm số y = xα luôn đi qua
điểm (1; 1)
α > 0 : lim x α = 0; lim x α = ∞
x→0 x →∞
α < 0 : lim x = ∞; lim x = 0
α α
x →0 x →∞
10
- Các hàm sơ cấp cơ bản
b) Hàm số mũ y = ax, a > 0, a ≠1
MXĐ D = R, TGT T = (0, ∞)
Hàm số tăng khi a > 1 và giảm khi a < 1
Đồ thị của nó luôn đi qua (0; 1)
a > 1 : lim ax = 0+; lim ax = +∞
x →−∞ x →+∞
0 < a < 1 : lim a x
= +∞ ; lim a x
= 0 +
x →−∞ x →+∞
11
- Các hàm sơ cấp cơ bản
c) Hàm số logarit y = logax, a > 0, a ≠ 1
MXĐ D = (0, ∞) , TGT T = R
Hàm số tăng khi a > 1 và giảm khi a < 1
Đồ thị của nó luôn đi qua (1, 0)
a > 1 : lim loga x = −∞; lim loga x = +∞
x→0+ x →+∞
0 < a < 1 : xlim
→0+
loga x = +∞; lim loga x = −∞
x →+∞
12
- d) Hàm lượng giác y = sinx, y = cosx
MXĐ D = R, TGT T = [-1, 1]
Tuần hoàn chu kỳ 2π . Khảo
sát trên [0,π]
π
Sinx tăng (0, )
2 Cosx giảm [0,π]
và giảm ( π , π )
2 Cosx_chẵn.
Sinx_lẻ. 13
- d) Hàm lượng giác y = tgx, y = cotgx
TGT T = R
Tuần hoàn chu kỳ π
π Cotgx xđịnh tại x ≠ kπ
tgx xđịnh tại x ≠ ( 2k + 1)
2
π Cotgx giảm (0,π)
và tăng (0, )
2
tgx_lẻ. Ksát (− π , π ) Cotgx_lẻ. Ksát (0,π) 14
2 2
- e) Hàm lượng giác ngược y = arcsinx
−π π
Hàm số f: 2 , 2 → [-1, 1] là song ánh nên f có f-1
x ֏ y = sinx
f-1: [-1, 1] → −π π
2 , 2
Đặt
y ֏ f-1(y) = x = arcsiny với y = sinx
x ֏ f-1(x) = y = arcsinx với x = siny
arcsinx tăng trong MXĐ [-1, 1]
π −π
arcsin0 = 0 ; arcsin1 = ; arcsin(-1) =
2 2
15
- e) Hàm lượng giác ngược y = arccosx
Hàm số f: [0, π] → [-1, 1] là song ánh nên f có f-1
x ֏ y = cosx
f-1: [-1, 1] → [0, π]
Đặt
y ֏ f-1(y) = x = arccosy với y = cosx
x ֏ f-1(x) = y = arccosx với x = cosy
arccosx giảm trong MXĐ [-1, 1]
π
arccos0 = ; arccos1 = 0 ; arccos(-1) =π
2 16
- e) Hàm lượng giác ngược y = arctgx
Hàm số f: −π , π → R là song ánh nên f có f-1
2 2
x ֏ y = tgx
f-1: R → −π π
,
2 2
Đặt
y ֏ f-1(y) = x = arctgy với y = tgx
x ֏ f-1(x) = y = arctgx với x = tgy
arctgx tăng trên R π π
lim arctgx = − ; lim arctgx =
x →−∞ 2 x→+∞ 2
arctg0 = 0
17
- e) Hàm lượng giác ngược y = arccotgx
Hàm số f: (0, π) → R là song ánh nên f có f-1
x ֏ y = cotgx
f-1: R → (0, π)
Đặt
y ֏ f-1(y) = x = arccotgy với y = cotgx
x ֏ f-1(x) = y = arccotgx với x = cotgy
arccotgx giảm trên R
lim arccot gx = π; lim arccot gx = 0
π x →−∞ x →+∞
arccotg0 =
2 18
- Định nghĩa hàm sơ cấp
Hàm nhận được từ những hàm sơ cấp cơ bản và
các hằng số bằng một số hữu hạn các phép toán số
học (cộng, trừ, nhân, chia), các phép lấy hàm hợp
được gọi là hàm sơ cấp
1 sin 2x − x 2 + 1
VD 2x − 3 − log3 (x + 1) + y= + arctg2x
2 x −9
2
y = 2x – x + 9, y = sin(x2 + 1) – 3tg5x + 4 đều là hàm
sơ cấp.
x2 − 1, khi x > 0
y = f(x) = không là hàm sơ cấp
2x + 2, khi x ≤ 0 19
- Định nghĩa giới hạn của hàm số
Số b được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x
tiến về a nếu cho mọi ε > 0, tồn tại số δ > 0 để cho
mọi x ≠ a và x − a < δ thì f(x) − b< ε.
lim f(x) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < x − a < δ ⇒ f(x) − b < ε
x →a
Số b được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x
tiến về vô cùng nếu cho mọi ε > 0, tồn tại số M > 0
khá lớn để cho nếu x〉 M thì f(x) − b< ε.
lim f(x) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ f(x) − b < ε
x →∞ 20
nguon tai.lieu . vn
