Xem mẫu
- BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1
Th.S. NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA
Huế, tháng 09 năm 2015
- Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1.1 Hàm số
1.1.1. Định nghĩa
Cho X, Y là tập con khác rỗng của R. Ánh xạ f : X Y, x y = f(x) được gọi
là hàm số.
x được gọi là biến độc lập
y = f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x
X được gọi là tập xác định của hàm f.
Quy ước
Người ta thường viết gọn hàm số bởi đẳng thức y = f(x).
Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa
Tập giá trị T = f(D) = {f(x) | x D}
Hàm số ngược
Cho hàm số f : X Y, x y = f(x)
Nếu mỗi y thuộc Y đều tồn tại duy nhất x thuộc x sao cho f(x) = y. Khi đó hám số
g:YX
y x = g(y)
gọi là hàm số ngược của hàm f, kí hiệu g = f –1
Chú ý: Nếu f có hàm ngược thì:
f(x) = y f – 1(y) = x
f – 1(f(x)) = x và f(f – 1(x))= x
Định lí:
Nếu f : D T = f(D) đơn điệu trên D thì f có ánh xạ ngược f – 1 : T D
1.1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản
1) Hàm lũy thừa y = x ( R*)
2) Hàm mũ y = ax (a > 0, a 1)
3) Hàm logarit y = logax (a > 0, a 1)
4) Các hàm lượng giác
5) Các hàm lượng giác ngược
a) Hàm số sin : ; [–1; 1] tăng nên có hàm số ngược.
2 2
Ký hiệu là y = arcsin x.
Vậy hàm
arcsin: [ 1;1] ;
2 2
x y arcsinx
trong đó siny = x, gọi là hàm ắc-sin.
1
- Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
b) Hàm số y = cos x
Hàm ắc-cô-sin là hàm
arccos: [ 1;1] 0;
x y arccosx
trong đó cosy = x
c) Hàm số y = tanx
Hàm ắc-tang là hàm
arctan: R ;
2 2
x y arctan x
trong đó tany = x
d) Hàm số y = cotx
Hàm ắc-cô-tang là hàm
arccot: R 0;
x y arccotx
trong đó coty = x
3 1 2
Ví dụ: arcsin ; arctan1 ; arccos
2 3 4 2 3
1.2 Dãy số
1.2.1 Định nghĩa dãy số, dãy con, giới hạn.
Cho X, Y là hai tập khác rỗng một quy tắc f đặt tương ứng mỗi phần tử x X với
một và chỉ một phần tử y Y gọi là một ánh xạ.
Ký hiệu
f : X Y, x y f (x)
Hay
f :X Y
x y f (x)
Ánh xạ u : N* R , n u(n) gọi là một dãy số
Để đơn giản ta ký hiệu un = u(n).
Dãy số có thể viết theo thứ tự tăng dần của chỉ số n chẳng hạn: u1; u2; u3;...; un; ...
Ký hiệu dãy số u là (un)n N * hoặc gọn hơn là (un)n hay (un).
Dãy con
2
- Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
Giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1
Dãy số (un) gọi là dần về a (hay có giới hạn a hay hội tụ về a) nếu > 0, n0 N
sao cho n>n0 thì |un – a| < . Kí hiệu: lim u n a , limun = a hay un a.
n
Định nghĩa 2 (Giới hạn vô hạn)
Cho dãy số (an)n .
– Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0 N sao cho an > M n > n0 thì ta nói
dãy (an)n có giới hạn cộng vô cùng. Ký hiệu: liman = + hay an + .
– Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0 N sao cho an < – M n > n0 thì ta nói
dãy (an)n có giới hạn trừ vô cùng. Ký hiệu: liman = – hay an – .
Chú ý:
limC = C (C là hằng số)
1
lim = 0 (với > 0)
n
limqn = 0 (với |q| < 1)
1
limun = thì lim 0
un
1.2.2. Tính chất của dãy hội tụ
Định lí 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất
Định lí 2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn
Định lí 3
Nếu (an)n là dãy tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ.
Nếu (an)n là dãy giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ.
Định lí 4 Cho (an)n và (bn)n là hai dãy hội tụ. Khi đó, ta có:
i) lim(an bn) = liman limbn
ii) lim(anbn) = liman.limbn
a lim a n
iii) Nếu limbn 0 thì lim n
b n lim b n
iv) Nếu an ≤ bn với mọi n > n0 thì liman ≤ limbn
Hệ quả: Nếu an ≤ bn cn và liman = limcn = L thì limbn = L
1.3. Giới hạn của hàm số
1.3.1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 (có thể trừ điểm x0). Số L
được gọi là giới hạn của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn)n ,
xn x0 sao cho khi limxn = x0 thì limf(xn) = L. Khi đó, ta viết .
3
- Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
Một số giới hạn cần nhớ
lim C C lim x x 0 lim arctan x
xx0 xx 0 x 2
sinx e 1 x
ln(1 x)
lim 1 ; lim 1; lim 1
x 0 x x 0 x x 0 x
Tính chất
Định lí 1: Giới hạn của hàm số y = f(x) khi x x0 (nếu có) là duy nhất.
Định lí 2: Nếu f(x) g(x) x U0 và lim f (x) L , lim g(x) L' thì L L'.
xx0 xx 0
Định lí 3: (nguyên lý kẹp)
Nếu h(x) f(x) g(x) x U0 và lim h(x) lim g(x) L thì lim f (x) L
xx 0 x x0 xx 0
Định lí 4: Giả sử lim f (x) a ; lim g(x) b . Khi đó:
xx 0 xx 0
i) lim f (x) g(x) a b
xx0
ii) lim f (x).g(x) a.b
xx 0
f (x) a
iii) Nếu b 0 thì lim
x x 0 g(x) b
1.2.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn
a) Vô cùng bé
Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f gọi là một vô cùng
bé (VCB) khi x x0 nếu lim f (x) 0 .
xx 0
Giả sử f(x) và g(x) là các VCB khi x x0, khi đó:
f (x)
– Nếu lim 0 thì ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn so với g(x) hay g(x) là
x x 0 g(x)
VCB bậc thấp hơn so với f(x) khi x x0. Kí hiệu f(x) = o(g(x))
f (x)
– Nếu lim 1 thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi xx0 và
x x 0 g(x)
ký hiệu là f(x) ~ g(x).
f (x)
– Nếu lim A R* thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi xx0
x x 0 g(x)
0
Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định .
0
i) Nếu f(x) là VCB khi xx0 thì f(x) + o(f(x)) ~ f(x) khi xx0.
f (x) F(x)
ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x x0 thì lim lim .
x x 0 g(x) x x 0 G(x)
4
- Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
b) Vô cùng lớn
Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f gọi là một vô cùng
lơn (VCL) khi x x0 nếu lim | f (x) | .
xx 0
Giả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x x0, khi đó:
f (x)
– Nếu lim thì ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn so với g(x) hay g(x) là
xx 0 g(x)
VCL bậc thấp hơn so với f(x) khi x x0. Kí hiệu f(x) >> g(x)
f (x)
– Nếu lim 1 ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tương đương khi xx0 và ký
x x 0 g(x)
hiệu là f(x) ~ g(x).
Ứng dụng VCL tương đương để khử dạng vô định .
i) Nếu f(x) >> g(x) khi xx0 thì f(x) + g(x) ~ f(x) khi xx0.
f (x) F(x)
ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x x0 thì lim lim .
x x 0 g(x) x x 0 G(x)
Chú ý: Khi x +∞ ta có: ax >> xn >> lnx với a > 1, n > 0.
1.4 Hàm số liên tục
1.4.1 Định nghĩa
f liên tục tại x0 lim f (x) f (x 0 )
xx0
f liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x (a;b)
f liên tục trên [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) và lim f (x) f (a); lim f (x) f (b)
x a x b
1.4.2 Tính chất
Định lí: Mọi hàm số sơ cấp đều liên trên từng khoảng xác định của nó.
Định lí: Nếu f là hàm liên tục trên [a; b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá
trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của nó trên [a; b].
5
- Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa
Bài tập chương 1
1.1. Tính giới hạn của dãy (un) biết
(n 1) n 3 u1 0
a) lim b)
n 3 3n 2 10 u n 1 2 u n
1.2. Tính các giới hạn:
x2 3 x6 sinx t anx
a) A = lim b) B = lim
x 2 x2 x 0 x3
1.3. Xét tính liên tục các của hàm số:
1 cosx
x 2 ,x 0 1
x.sin , x 0
a) f (x) b) f (x) x
1 ,x 0 0 ,x 0
2
6
nguon tai.lieu . vn
