Bài giảng Toán cao cấp A1-C1: Phần 2 - Huỳnh Hữu Dinh

Chương 4 Ma trận và định thức 4.1 Ma trận 4.1.1 Các khái niệm về ma trận Các ví dụ về ma trận • Bảng số A = ( −1 2 6 −1 √ ) 0 được gọi là một ma trận cấp 2 × 3.  −2 √2 • Bảng số B =  1 −1 2 4 0  9  được gọi là một ma trận cấp 3 × 3. −9  1  • Bảng số C =  2  được gọi là một ma trận cột cấp 3 × 1. 3 • Bảng số D = ( 1 −2 −4 ) được gọi là một ma trận dòng cấp 1×3. Các khái niệm về ma trận 1. Một bảng hình chữ nhật gồm m × n số thực được sắp thành m dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m × n.  11 Ký hiệu: A = (aij)m×n =  a21 a12 ... a1n a22 ... a2n . ... .    am1 am2 ... amn 117 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM i được gọi là chỉ số dòng. j được gọi là chỉ số cột. aij là phần tử nằm ở dòng i và cột j. Tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n được viết là Mm×n(R). 2. Ma trận có số dòng bằng số cột (m = n) được gọi là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij)n. a11,a22,...,ann được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính. a1n,a2(n−1),...,an1 được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được viết là Mn(R). ( ) 2 2 −2 Ví dụ 4.1. Các ma trận A = ;B =  3 1 −3  là các ma 8 0 −1 trận vuông. 3. Ma trận vuông A = (aij) được gọi là ma trận chéo nếu aij = 0;∀i = j, ký hiệu A = dig(a11,a22,...,ann).  1 0 0  ( Ví dụ 4.2. Các ma trận A =  0 2 0 ;B = 0 0 −2 trận chéo. ) e là các ma 4. Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In. Từ định nghĩa trên ta nhận được ) I2 = 0 1 1 0 0 I3 =  0 1 0  0 0 1 .  1 In =  . 0 0 ... 1 ... . ... 0 ... 0  0  .  1 Trang 118 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 5. Ma trận vuông A = (aij) được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0;∀i > j. Dựa vào định nghĩa, ta suy ra được dạng của ma trận A như sau:  a11 a12 ... a1n   0 a22 ... a2n   . . .. .  0 0 ... ann 6. Ma trận vuông A = (aij) được gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0;∀i < j. Rõ ràng nếu A là ma trận tam giác dưới thì A có dạng  a11 0 ... 0   a21 a22 ... 0   . . .. .  an1 an2 ... ann 7. Ma trận cấp m × n có tất cả các phần tử bằng không, ký hiệu Om×n (đôi khi là O), được gọi là ma trận không. Từ định nghĩa ta suy ra ma trận Om×n có dạng 0 0 ... 0  0 0 ... 0  m×n  . . .. .  0 0 ... 0 8. Ma trận bậc thang Trước khi đi vào khái niệm ma trận bậc thang chúng ta cần tìm hiểu một số khái niệm liên quan. Dòng không: Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không được gọi là dòng không. Phần tử cơ sở của dòng: Phần tử khác không đầu tiên của dòng tính từ trái sang được gọi là phần tử cơ sở của dòng. Ma trận bậc thang: Ma trận bậc thang là một ma trận khác không thỏa hai điều kiện sau: Trang 119 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM • Dòng không (nếu có) nằm dưới dòng khác không. • Phần tử cơ sở của dòng dưới nằm bên phải phần tử cơ sở của dòng trên. Ví dụ 4.3. Các ma trận bậc thang:   1 A =  0 0 8 −1 1 2 0 0 0 0  3   0 −1 ;B =  0 2 1 1  0 −2 3  0 0 −9 Các ma trận không là ma trận bậc thang:   −1 0 3   1 2 C =  0 0 0 ;D =  0 0 −1 0 0 −9 4 8 0  −6  2  0 9. Ma trận bậc thang có các phần tử cơ sở của dòng bằng một, các phần tử còn lại bằng không được gọi là ma trận bậc thang rút gọn. Ví dụ 4.4. Các ma trận bậc thang rút gọn:  1 0 0 0   1 0 0  A =  0 0 1 0 ;B =  0 1 0  0 0 0 1 0 0 0 4.1.2 Các phép toán trên ma trận Hai ma trận bằng nhau Định nghĩa 4.1. Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và có tất cả các phần tử tương ứng vị trí bằng nhau. Cho hai ma trận A = (aij)m×n,B = (bij)m×n. Khi đó, A = B ⇔ aij = bij;i = 1,m,j = 1,n Trang 120 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ví dụ 4.5. Tìm x,y,z,t để hai ma trận ( x + y x + z ) ( 1 2 ) t + y t + 2z 3 4 bằng nhau. Giải. Theo định nghĩa, hai ma trận A,B bằng nhau khi và chỉ khi   x + y = 1 x + z = 2  t + y = 3 t + 2z = 4 Từ các đẳng thức trên ta giải ra được x = 2,y = −1,z = 0,t = 4. Nhân một số với một ma trận Định nghĩa 4.2. Nhân một số với một ma trận là nhân số đó với tất cả các phần tử của ma trận. Cho A = (aij)m×n thì với mọi k ∈ R ta có kA = (kaij)m×n. Đặc biệt (−1)A = (−aij) được gọi là ma trận đối của ma trận A, ký hiệu −A. ( Ví dụ 4.6. Cho ma trận A = 2 ) 3 , khi đó ( 3A = 6 15 ) 9 Cộng hai ma trận Định nghĩa 4.3. Cộng hai ma trận cùng cấp là cộng các phần tử tương ứng vị trí. Nếu A = (aij)m×n và B = (bij)m×n thì A + B = (aij + bij)m×n. Trang 121 ... - tailieumienphi.vn