Xem mẫu
- HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2
CHƢƠNG 9
PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
- ĐẶT VẤN ĐỀ
- I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân là phƣơng trình liên
hệ giữa biến độc lập, hàm chƣa biết và các đạo hàm
hoặc vi phân của nó.
Ví dụ
- 2. CẤP CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Cấp của phƣơng trình vi phân là cấp cao nhất
của đạo hàm hoặc vi phân của hàm số có mặt
trong phƣơng trình ấy.
Phƣơng trình vi phân cấp n là phƣơng trình
có dạng
Trong đó, không đƣợc khuyết
- NGHIỆM CỦA PTVP
Định nghĩa: Nghiệm của phƣơng trình vi phân
cấp n là mọi hàm số khả vi đến cấp n mà khi
thay vào phƣơng trình đó ta đƣợc một đồng
nhất thức.
Ví dụ:
Nghiệm của phƣơng trình vi phân là
với C là hằng số tùy ý.
- II. PTVP CẤP 1
1. Các khái niệm cơ bản
a. Các dạng biểu diễn
Dạng tổng quát: .
Dạng giải đƣợc theo đạo hàm
Dạng đối xứng
- b. Các dạng nghiệm của ptvp cấp 1
Nghiệm tổng quát: Nghiệm có dạng
y , với C tùy ý.
Nghiệm riêng: ,
với C= là một hằng số xác định
Tích phân tổng quát: Nghiệm có dạng
, C là hằng số tùy ý.
Tích phân riêng:
Nghi với
là hằng số xác định
- c. Sự tồn tại duy nhất nghiệm
Bài toán: Cho phƣơng trình vi phân cấp
một: với điều kiện ban đầu
Định lí:
Nếu hàm f(x, y) liên tục trong một lân cận
của thì bài toán trên có nghiệm.
Nếu đạo hàm riêng cũng
liên tục trên lân cận đó thì nghiệm đó là duy
nhất.
- 2. PTVP cấp 1 có biến phân ly
a. Khái niệm: Phƣơng trình vi phân cấp một
biến số phân li có dạng
(1)
- 3. Phƣơng trình đẳng cấp cấp 1
a. Khái niệm: Phƣơng trình vi phân
cấp một đẳng cấp là loại phƣơng
trình vi phân có thể đƣa về đƣợc
dạng sau:
- b. Cách giải
Đặt biến phụ:
Đƣa về PTVP có biến phân ly
theo hàm z, biến x.
- 4. Phƣơng trình tuyến tính cấp 1
a. Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân
tuyến tính cấp một có dạng
trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục.
b. Cách giải:
Sử dụng phƣơng pháp biến thiên hằng số
(PP Lagrange)
- 5. Phƣơng trình Becnuly
a. Định nghĩa: Phƣơng trình Becnuly có dạng
trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục; là
một số thực cho trƣớc.
b. Cách giải
Đổi biến
Đƣa về PTVP tuyến tính cấp 1
- III. PTVP CẤP 2
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
a. Các dạng biểu diễn
Phƣơng trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát
Dạng đã giải ra đƣợc đối với đạo hàm
- b. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm
- c. Nghiệm của PTVP cấp 2
Giải PTVP cấp hai, đƣợc kết quả dạng
trong đó là các hằng số tùy ý thì đẳng thức đó gọi
là nghiệm tổng quát của PTVP đó.
Nếu thay các giá trị cụ thể vào
nghiệm tổng quát thì nghiệm gọi
là một nghiệm riêng của phƣơng trình.
- 2. MỘT SỐ TRƢỜNG HỢP GIẢM CẤP ĐƢỢC
Xét phƣơng trình vi phân cấp 2 dạng
a. Trƣờng hợp vế phải không phụ thuộc y, y’.
Phƣơng trình có dạng:
Cách giải: Lấy tích phân liên tiếp hai lần
- b. Trƣờng hợp vế phải không phụ thuộc y.
Phƣơng trình có dạng:
Cách giải:- Đổi biến
- Đƣa về ptvp cấp 1 với p, từ đó giải
ra y
- c.Trƣờng hợp vế phải không chứa x.
Dạng phƣơng trình:
Cách giải:
- Đặt biến phụ: .
- Đƣa về PTVP cấp 1 với biến y, hàm p(y)
- Giải p(y), từ đó tìm ra nghiệm của phƣơng trình
đã cho.
nguon tai.lieu . vn
