- Trang Chủ
- Toán học
- Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Đạo hàm và vi phân hàm một biến
Xem mẫu
- Chƣơng 6
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT
BIẾN
- 1. Đạo hàm
a. Định nghĩa
Giả sử hàm số 𝑓(𝑥) xác định trên 1 lân cận của
𝑥 (kể cả 𝑥), với ∆𝑥 đủ bé về trị tuyệt đối ta xét
giới hạn sau:
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
lim
∆𝑥→0 ∆𝑥
- Nếu giới hạn trên tồn tại và hữu hạn
ta nói hàm số có đạo hàm hay khả vi
tại 𝑥. Đạo hàm đƣợc kí hiệu là
𝑓 ′ (𝑥).
- - Nếu giới hạn trên vô hạn thì ta nói hàm số có
đạo hàm bằng ∞ tại 𝑥 nhƣng không khả vi
tại 𝑥.
Ví dụ: Tìm đạo hàm tại 0 của hàm
số.
(1 + 𝑥 2 )
ln
𝑓 𝑥 = 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≠ 0
𝑥
0 𝑣ớ𝑖 𝑥 = 0
- b. Các qui tắc tính đạo hàm.
c. Bảng công thức tính đạo hàm cơ
bản.
d. Đạo hàm 1 phía
- Đạo hàm phải
𝑓 𝑥 0 +∆𝑥 −𝑓(𝑥 0 )
𝑓 ′
𝑥0+ = lim∆𝑥→0+
∆𝑥
- Đạo hàm trái
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0 )
𝑓 ′
𝑥0− = lim−
∆𝑥→0 ∆𝑥
- Định lí: Điều kiện cần và đủ để hàm 𝑓(𝑥)
có đạo hàm hữu hạn (hay khả vi) tại điểm
𝑥0 là tồn tại đạo hàm phải hữu hạn và đạo
hàm trái hữu hạn của 𝑓(𝑥) tại 𝑥0 và
chúng bằng nhau, tức là:
𝑓 ′ 𝑥0+ = 𝑓 ′ 𝑥0− .
Khi đó: 𝑓 ′ 𝑥0 = 𝑓′ 𝑥+
0 = 𝑓′
𝑥 −
0 .
- 1. Các khái niệm
1.1. Định nghĩa
Cho tập 𝐷 ⊂ ℝ, một hàm 𝑓 từ 𝐷 vào ℝ là một qui tắc đặt tƣơng
ứng mỗi giá trị của 𝑥 ∈ 𝐷 với duy nhất một giá trị 𝑦 ∈ ℝ theo
đẳng thức: 𝑦 = 𝑓(𝑥).
• D: tập xác định của 𝑓.
• 𝑓 𝐷 = {𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐷}: Tập giá trị của hàm số
• Tập các cặp điểm {(𝑥, 𝑓 𝑥 ): 𝑥 ∈ 𝐷} trên hệ tọa độ Oxy
gọi là đồ thị của hàm số.
- 1.2. Các phép tính trên hàm số
a. Cộng, trừ, nhân, chia
b. Hàm hợp
Cho hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ là 𝑋 và TGT 𝑌.
Hàm số 𝑧 = 𝑔(𝑦) với TXĐ là 𝑌1 và TGT là 𝑍
Nếu 𝑌 ⊂ 𝑌1 thì ta có thể xác định hàm số từ 𝑋 vào 𝑍 nhƣ
sau
𝑧 = 𝑔 𝑓 𝑥 ≔ (𝑥)
Hàm số này gọi là hàm số hợp của 𝑔 và 𝑓.
Kí hiệu = 𝑔 ∘ 𝑓
- Ví dụ 1:
Cho 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 + 4, 𝑔(𝑦) = tan 𝑦 thì ta
có hàm số hợp
𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔 𝑓 𝑥 = tan(𝑥 3 − 2𝑥 + 4)
- c. Hàm ngƣợc
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ là 𝐷 và tập giá trị là 𝑌.
Nếu phƣơng trình 𝑦 = 𝑓 𝑥 có nghiệm duy nhất
𝑥 ∈ 𝐷 thì ta có thể xác định hàm số
𝑥 = 𝑔 𝑦 ,𝑦 ∈ 𝑌
Thỏa mãn 𝑓 𝑔 𝑦 = 𝑦, ∀𝑦 ∈ 𝑌, hàm g xác định nhƣ
trên gọi là hàm số ngƣợc của hàm 𝑓, ký hiệu 𝑔 = 𝑓 −1 .
- Lƣu ý:
- Ta thƣờng coi 𝑥 là biến, 𝑦 là hàm số nên hàm số
ngƣợc của hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) là hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 .
- Nếu vẽ trên cùng một hệ tọa độ thì hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥)
và hàm ngƣợc 𝑦 = 𝑔 𝑥 đối xứng qua đƣờng phân
giác y = x.
- 1.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản
a. Hàm lũy thừa: 𝑦 = 𝑥 𝛼 (𝛼 − ằ𝑛𝑔 𝑠ố)
b. Hàm mũ: 𝑦 = 𝑎 𝑥 , (0 < 𝑎 ≠ 1)
c. Hàm lôgarit: 𝑦 = log 𝑎 𝑥 , (0 < 𝑎 ≠ 1)
d. Các hàm lƣợng giác
sin 𝑥; cos 𝑥; tan 𝑥; cot 𝑥
e. Các hàm lƣợng giác ngƣợc:
- 1) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝑥 = sin 𝑦
𝑦 = arcsin 𝑥 ⇔ −𝜋 𝜋
≤𝑦≤
2 2
𝑦 tính theo đơn vị rad.
Ví dụ
𝑥 -1 3 2 −1 0 1 2 3 1
− − 2 2
2 2 2 2
arcsin 𝑥 − 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 0 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
2 3 4 6 6 4 3 2
Tính chất
Tập xác định [-1; 1]
Hàm arcsin 𝑥 đồng biến trên [-1; 1]
−𝜋 𝜋
Tập giá trị [ ; ]
2 2
- 2) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝑥 = cos 𝑦
𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋
𝑦 tính theo đơn vị rad.
Ví dụ:
𝑥 -1 3 2 −1 0 1 2 3 1
− − 2 2 2 2
2 2
arccos 𝑥 𝜋 5𝜋 3𝜋 2𝜋 0 𝜋 𝜋 𝜋 0
6 4 3 3 4 6
Tính chất
Tập xác định [-1; 1]
Hàm arccos 𝑥 nghịch biến trên [-1; 1]
Tập giá trị [0 ; 𝜋]
- 3) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝑥 = tan 𝑦
𝑦 = arctan 𝑥 ⇔ −𝜋 𝜋
- 4) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 𝒙
𝑥 = cot 𝑦
𝑦 = arccot 𝑥 ⇔
0
- 1.4. Hàm sơ cấp
Định nghĩa:
Hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) đƣợc gọi là một hàm sơ cấp trên (a; b) nếu
f(x) đƣợc cho bởi một biểu thức giải tích, biểu thức đó thu
đƣợc từ các hàm sơ cấp cơ bản và hằng số nhờ một số hữu
hạn các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép hợp hàm.
Ví dụ 3:
a. Hàm số 𝑦 = sin 𝑥 2 − 5𝑥 + 7 + cos 𝑥 là
hàm sơ cấp.
b. Hàm số 𝑦 = ln 𝑥 + 1 . cos 𝑥 + 𝑥 2 + 1
là hàm sơ cấp
- 𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 > 0
Ví dụ 4: Hàm số 𝑦 = |𝑥 | = 0 𝑛ế𝑢 𝑥 = 0
−𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 < 0
không phải là hàm sơ cấp trên R.
Nhƣng trên khoảng −∞; 0 , hàm số 𝑦 = −𝑥 là hàm
sơ cấp.
Trên khoảng 0; ∞ , hàm số 𝑦 = 𝑥 là hàm sơ cấp.
nguon tai.lieu . vn
