- Trang Chủ
- Toán học
- Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục
Xem mẫu
- Chƣơng 5
HÀM SỐ,GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC
- 1. Hàm số
1.1. Định nghĩa
Cho tập 𝐷 ⊂ ℝ, một hàm 𝑓 từ 𝐷 vào ℝ là một qui tắc đặt tƣơng
ứng mỗi giá trị của 𝑥 ∈ 𝐷 với duy nhất một giá trị 𝑦 ∈ ℝ theo
đẳng thức: 𝑦 = 𝑓(𝑥).
• D: tập xác định của 𝑓.
• 𝑓 𝐷 = {𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐷}: Tập giá trị của hàm số
• Tập các cặp điểm {(𝑥, 𝑓 𝑥 ): 𝑥 ∈ 𝐷} trên hệ tọa độ Oxy
gọi là đồ thị của hàm số.
- 1.2. Các phép tính trên hàm số
a. Cộng, trừ, nhân, chia
b. Hàm hợp
Cho hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ là 𝑋 và TGT 𝑌.
Hàm số 𝑧 = 𝑔(𝑦) với TXĐ là 𝑌1 và TGT là 𝑍
Nếu 𝑌 ⊂ 𝑌1 thì ta có thể xác định hàm số từ 𝑋 vào 𝑍 nhƣ
sau
𝑧 = 𝑔 𝑓 𝑥 ≔ (𝑥)
Hàm số này gọi là hàm số hợp của 𝑔 và 𝑓.
Kí hiệu = 𝑔 ∘ 𝑓
- Ví dụ 1:
Cho 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 + 4, 𝑔(𝑦) = tan 𝑦 thì ta
có hàm số hợp
𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔 𝑓 𝑥 = tan(𝑥 3 − 2𝑥 + 4)
- c. Hàm ngƣợc
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ là 𝐷 và tập giá trị là 𝑌.
Nếu phƣơng trình 𝑦 = 𝑓 𝑥 có nghiệm duy nhất
𝑥 ∈ 𝐷 thì ta có thể xác định hàm số
𝑥 = 𝑔 𝑦 ,𝑦 ∈ 𝑌
Thỏa mãn 𝑓 𝑔 𝑦 = 𝑦, ∀𝑦 ∈ 𝑌, hàm g xác định nhƣ
trên gọi là hàm số ngƣợc của hàm 𝑓, ký hiệu 𝑔 = 𝑓 −1 .
- Ví dụ 2: Tìm hàm ngƣợc của hàm số
𝑦 = 𝑥 2 , với 𝑥 ∈ [−4,0].
- 1.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản
a. Hàm lũy thừa: 𝑦 = 𝑥 𝛼 (𝛼 − ằ𝑛𝑔 𝑠ố)
b. Hàm mũ: 𝑦 = 𝑎 𝑥 , (0 < 𝑎 ≠ 1)
c. Hàm lôgarit: 𝑦 = log 𝑎 𝑥 , (0 < 𝑎 ≠ 1)
d. Các hàm lƣợng giác
sin 𝑥; cos 𝑥; tan 𝑥; cot 𝑥
e. Các hàm lƣợng giác ngƣợc:
- 1) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝑥 = sin 𝑦
𝑦 = arcsin 𝑥 ⇔ −𝜋 𝜋
≤𝑦≤
2 2
𝑦 tính theo đơn vị rad.
Ví dụ
𝑥 -1 3 2 −1 0 1 2 3 1
− − 2 2
2 2 2 2
arcsin 𝑥 − 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 0 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
2 3 4 6 6 4 3 2
Tính chất
Tập xác định [-1; 1]
Hàm arcsin 𝑥 đồng biến trên [-1; 1]
−𝜋 𝜋
Tập giá trị [ ; ]
2 2
- 2) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝑥 = cos 𝑦
𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋
𝑦 tính theo đơn vị rad.
Ví dụ:
𝑥 -1 3 2 −1 0 1 2 31
− − 2 2 2 2
2 2
arccos 𝑥 𝜋 5𝜋 3𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 0
6 4 3 2 3 4 6
Tính chất
Tập xác định [-1; 1]
Hàm arccos 𝑥 nghịch biến trên [-1; 1]
Tập giá trị [0 ; 𝜋]
- 3) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝑥 = tan 𝑦
𝑦 = arctan 𝑥 ⇔ −𝜋 𝜋
- 4) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 𝒙
𝑥 = cot 𝑦
𝑦 = arccot 𝑥 ⇔
0
- 1.4. Hàm sơ cấp
Định nghĩa:
Hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) đƣợc gọi là một hàm sơ cấp trên (a; b) nếu
f(x) đƣợc cho bởi một biểu thức giải tích, biểu thức đó thu
đƣợc từ các hàm sơ cấp cơ bản và hằng số nhờ một số hữu
hạn các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép hợp hàm.
Ví dụ 3:
a. Hàm số 𝑦 = sin 𝑥 2 − 5𝑥 + 7 + cos 𝑥 là
hàm sơ cấp.
b. Hàm số 𝑦 = ln 𝑥 + 1 . cos 𝑥 + 𝑥 2 + 1
là hàm sơ cấp
- 𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 > 0
Ví dụ 4: Hàm số 𝑦 = |𝑥 | = 0 𝑛ế𝑢 𝑥 = 0
−𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 < 0
không phải là hàm sơ cấp trên R.
Nhƣng trên khoảng −∞; 0 , hàm số 𝑦 = −𝑥 là hàm
sơ cấp.
Trên khoảng 0; ∞ , hàm số 𝑦 = 𝑥 là hàm sơ cấp.
- 2. Giới hạn hàm một biến
2.1. Định nghĩa
Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định tại một lân cận của 𝑥0 ,
(hàm số 𝑓(𝑥) có thể không xác định tại 𝑥0 ). Ta nói
hàm số 𝑓(𝑥) dần tới số thực L nếu
∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0: 0 < |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿
𝑡ì |𝑓 𝑥 − 𝐿| < 𝜖
Kí hiệu: lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = 𝐿.
- sin x
Ví dụ 1: Tìm giới hạn lim
x 0 x
x -0.2 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.2
f(x) 0.993 0.998 0.9995 0.9995 0.998 0.993
Khi x rất gần 0, f(x) tiến dần đến giá trị 1
- 2.1. 1. Giới hạn 1 phía
Giới hạn trái tại 𝑥0 :
𝑓 𝑥0− = lim− 𝑓 𝑥 = 𝑥→𝑥
lim 𝑓 𝑥
𝑥→𝑥 0 0
𝑥𝑥 0
Đ ịnh l ý: Điều kiện cần và đủ để hàm số 𝑓(𝑥) có
giới hạn khi 𝑥 → 𝑥0 là nó có giới hạn phải và giới
hạn trái tại 𝑥0 và hai giới hạn đó bằng nhau.
lim− 𝑓 𝑥 = lim+ 𝑓 𝑥 = lim 𝑓 𝑥
𝑥→𝑥 0 𝑥→𝑥 0 𝑥→𝑥 0
- Ví dụ 2: Xét hàm
f(x)=|x|
lim f ( x) 0
x 0
lim f ( x) 0
x 0
lim f ( x) 0
x 0
Ví dụ 3: Xét hàm
f(x)=|x|/x
lim f ( x) 1
x 0
lim f ( x) 1
x 0
không tồn tại lim f ( x)
x0
- Ví dụ 4: Xét các giới hạn của hàm số sau
𝑥2 − 3 khi 𝑥 ≥ 1
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2
khi 𝑥 < 1
𝑥−1
Khi : 𝑥 → 1+ , 𝑥 → 1− , 𝑥 → 1
Giải:
lim− 𝑓 𝑥
𝑥→1
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
= lim− = lim− 𝑥 − 2
𝑥→1 𝑥−1 𝑥→1
= −1
lim+ 𝑓 𝑥 = lim+(𝑥 2 − 3 ) = − 2
𝑥→1 𝑥→1
Vậy hàm số không có giới hạn khi 𝑥 → 1.
- 2.1.2. Tính chất, phép tính về giới hạn
Tính chất:
Giới hạn của hàm số trong 1 quá trình nếu tồn tại là duy
nhất.
Phép tính
Định lý: Cho
lim 𝑓 𝑥 = 𝐿1 ,
𝑙𝑖𝑚 𝑔 𝑥 = 𝐿2 (𝐿1 , 𝐿2 𝑙à ữ𝑢 ạ𝑛)
Khi đó
a. lim 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝐿1 + 𝐿2
b. lim 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 = 𝐿1 . 𝐿2
𝑓 𝑥 𝐿1
c. lim = (𝐿2 ≠ 0)
𝑔 𝑥 𝐿2
- Nhận xét: Định lý về tổng hiệu, tích, thƣơng của các
giới hạn chỉ đúng cho trƣờng hợp 𝐿1 , 𝐿2 hữu hạn. Vậy
bài toán giới hạn thƣờng đặt ra là tính các giới hạn ở
dạng vô định. Đó là các dạng sau:
0 ∞
; ; 0 × ∞; ∞ − ∞; 1∞ , 00 , ∞0 .
0 ∞
nguon tai.lieu . vn
