Xem mẫu
- Chƣơng 4
DẠNG TOÀN PHƢƠNG
- 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Các khái niệm
Định nghĩa 1: Một tổng có dạng
𝑛
𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 (1)
𝑖,𝑗 =1
Trong đó 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛, 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅,
gọi là một dạng toàn phƣơng của các biến
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 .
- Ma trận của dạng toàn phƣơng (1) là
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 = ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
Nhận xét:
• 𝐴 = 𝐴′.
• Thông thƣờng DTP đƣợc cho dƣới
dạng
𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗
𝑖≤𝑗
Khi đó các phần tử của ma trận 𝐴 đƣợc xác
𝑏 ị𝑗
định bởi 𝑎𝑖𝑖 = 𝑏𝑖𝑖 và 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 =
2
- Ví dụ 1: Tìm ma trận của dạng toàn phƣơng sau:
a) 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥12 + 6𝑥1 𝑥2 + 3𝑥22
b) 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = −𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 𝑥3 + 𝑥22 + 3𝑥32
- Định nghĩa 2:
Hạng của DTP:Hạng của dạng toàn phƣơng là hạng
của ma trận của dạng toàn phƣơng đó.
Dạng toàn phƣơng đƣợc gọi là suy biến nếu
hay .
Dạng toàn phƣơng đƣợc gọi là không suy biến nếu
𝑟 𝐴 =𝑛
hay
- 1.2. Dạng toàn phƣơng chính tắc, chuẩn tắc.
Dạng toàn phƣơng chính tắc:
Dạng toàn phƣơng chính tắc là dạng toàn phƣơng có
dạng
𝑛
𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑘𝑖 𝑥𝑖2 (2)
𝑖=1
Dạng toàn phƣơng chuẩn tắc: Dạng toàn
phƣơng chính tắc đƣợc gọi là dạng toàn phƣơng
chuẩn tắc nếu chỉ nhận các giá trị
- Ví dụ 2:
𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥12 − 8𝑥22 + 𝑥32 là dạng toàn
phƣơng chính tắc.
1 0 0
Ma trận: 𝐴 = 0 −8 0
0 0 1
𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥12 − 𝑥22 là dạng toàn phƣơng
chuẩn tắc.
1 0 0
Ma trận: 𝐴 = 0 −1 0
0 0 0
- 1.3. Phép biến đổi tuyến tính
Đặt , suy ra .
Khi đó, (1) trở thành
Định nghĩa 3: Cho ma trận .
Phép biến đổi tuyến tính không suy biến từ biến X
sang biến Y là:
Khi đó, dạng toàn phƣơng (3) trở thành:
𝐹 𝑌 = 𝑌 ′ 𝐵𝑌, 𝐵 = 𝑆′𝐴𝑆
- Ví dụ 3: DTP chính tắc
𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥𝑖2
có thể đƣa về DTP chuẩn tắc bằng phép đặt
𝑦1 = 𝑘1 𝑥1
𝑦2 = |𝑘2 |𝑥2
……….
𝑦𝑛 = |𝑘𝑛 | 𝑥𝑛
- 2. ĐƢA DTP VỀ DTP CHÍNH TẮC,
CHUẨN TẮC.
1. Phương pháp giá trị
riêng
Phương pháp
2. Phương pháp Jacobi
3. Phương pháp
Lagrange
- 2.1. Phƣơng pháp giá trị riêng
Xét dạng toàn phƣơng (1)
Định thức gọi là phƣơng
trình đặc trƣng (ẩn k) của (1)
Định lý: Giả sử là các nghiệm
của phƣơng trình đặc trƣng của dạng toàn
phƣơng (1) (kể cả nghiệm 0 và nghiệm bội).
Khi đó, dạng toàn phƣơng chính tắc của (1)
là
- Ví dụ 4: Tìm các giá trị riêng và đƣa dạng toàn
phƣơng sau về dạng toàn phƣơng chính tắc
𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 = 3𝑥12 + 𝑥32 + 2𝑥2 𝑥3 + 4𝑥3 𝑥4
- 2.2. Phƣơng pháp Jacobi
Cho ma trận
𝑎𝑖𝑗
𝑛×𝑛
Các định thức con chính đầu của A là
- Định lý Jacobi: Nếu ma trận của một DTP có
Di 0i 1,2,...n thì DTP chính tắc của nó là
Định lý Jacobi mở rộng:
Nếu r(A)=k và
D1, D2 ,...Dk 0, Dk 1 Dk 2 ... Dn 0 thì
dạng toàn phƣơng chính tắc của nó là
𝐺 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛
2
𝐷2 2 D3 2 D𝑘 2
= 𝐷1 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑘
𝐷1 D2 D𝑘−1
- Ví dụ 5: Đƣa DTP sau về DTP chính tắc
D1 1, D2 3, D3 8
D1 1, D2 1, D3 0
- Định luật quán tính
Số các hệ số mang dấu dƣơng, số hệ số mang dấu
âm và số hệ số bằng không của dạng toàn phƣơng
chính tắc nhận đƣợc là không đổi khi ta đƣa một
DTP về DTP chính tắc bằng các phƣơng pháp khác
nhau.
- 2.3. Phƣơng pháp Lagrange
a) Trƣờng hợp 𝒂𝒊𝒊 ≠ 𝟎. Giả sử 𝒂𝟏𝟏 ≠ 𝟎
𝑛
𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗
𝑖,𝑗 =1
𝑛
𝑎𝑖1
= 𝑎11 𝑥12 + 2𝑥1 𝑥𝑖 + những số hạng không chứa 𝑥1
𝑎11
𝑖=2
𝑛 2
𝑎𝑖1
= 𝑎11 𝑥1 + 𝑥𝑖 + 𝑔(𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 )
𝑎11
𝑖=2
- Đặt
𝑛
𝑎𝑖1
𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥𝑖
𝑎11
𝑖=2
𝑦2 = 𝑥2
……….
𝑦𝑛 = 𝑥𝑛
Khi đó
𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
= 𝐺(𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) = 𝑎11 𝑦12 + 𝑔(𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑛 )
Vậy chỉ cần xét tiếp dạng toàn phƣơng của n – 1 biến
𝑔(𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑛 ). Tiếp tục quá trình trên nhận đƣợc kết quả
sau n – 1 bƣớc.
- b. Trƣờng hợp 𝒂𝒊𝒊 = 𝟎, ∀𝒊 = 𝟏, 𝒏 và có 𝒂𝒊𝒋 ≠ 𝟎
𝑎𝑖𝑗 ≠ 0. Giả sử 𝑎12 ≠ 0
Trƣờng hợp này có thể đƣa về dạng a) bằng
cách đặt
𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2
𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2
𝑥3 = 𝑦3
……….
𝑥𝑛 = 𝑦𝑛
- Nhận xét:
- Phƣơng pháp lagrang tuy chậm nhƣng chắc chắn đƣa đƣợc
dạng toàn phƣơng về dạng chính tắc.
- Trong quá trình biến đổi phải chú ý ở mỗi bƣớc biến đổi tất
cả các tích chéo của 1 biến nào đó sẽ biến mất.
- Trong quá trình biến đổi chú ý giữ nguyên số biến.
nguon tai.lieu . vn
