Xem mẫu
- Chƣơng 3
HỆ PHƢƠNG TRÌNH
- 1. Các khái niệm cơ bản
1.1. Các dạng biểu diễn
a. Dạng tổng quát
Hệ phƣơng trình tuyến tính m phƣơng trình, n ẩn
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 có dạng:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 (1)
…
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
𝑎𝑖𝑗 ( 𝑖 = 1, 𝑚, 𝑗 = 1, 𝑛) : hệ số ẩn 𝑥𝑗 của phƣơng
trình thứ 𝑖 .
𝑏𝑖 (𝑖 = 1, 𝑚): hệ số tự do
- Kí hiệu:
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝐴 = ⋮ : ma trận hệ số của hệ (1)
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑏1
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑏2
𝐴= ⋮ : ma trận hệ số mở rộng của hệ (1)
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
- b. Dạng ma trận
Kí hiệu các ma trận
𝑥1 𝑏1
𝑥2 𝑏2
𝑋= ⋮ ; 𝐵=
⋮
𝑥𝑛 𝑏𝑚
Khi đó, hệ phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng
với phƣơng trình ma trận: 𝐴𝑋 = 𝐵
- c. Dạng véc tơ
Kí hiệu 𝐴𝑗 là véctơ cột thứ 𝑗 của ma trận
A. Hệ (1) viết dƣới dạng véc tơ
𝐴1 𝑥1 + 𝐴2 𝑥2 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑥𝑛 = 𝐵
- 1.2. Nghiệm và điều kiện tồn tại nghiệm
Một véctơ n chiều 𝑋 0 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) đƣợc
gọi là nghiệm của hệ nếu ta thay các ẩn 𝑥𝑗
bởi các số 𝛼𝑗 (𝑗 = 1, 𝑛) vào tất cả các
phƣơng trình của hệ ta đƣợc các đẳng thức
đúng.
- Định lý (Cronecker - Capelly): Điều kiện cần và đủ
để mọi hệ phƣơng trình tuyến tính có nghiệm là
r A = r(A).
Nhận xét:
r A = r A = n = số ẩn. Hệ phƣơng trình
có nghiệm duy nhất.
r A = r A < n : Hệ phƣơng trình có vô số
nghiệm.
r A ≠ r(A): Hệ phƣơng trình vô nghiệm.
- Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm của hệ theo tham
số m.
4𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3
3𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 2
5𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = 3
𝑥1 + 𝑚2 − 2 𝑥2 = 𝑚 − 1
- 2. CÁCH GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
2.1. Phƣơng pháp khử dần các ẩn
a. Ba phép biến đổi tƣơng đƣơng của hệ phƣơng
trình
Đổi chỗ hai phƣơng trình
Nhân hai vế của một phƣơng trình với cùng một số
khác không.
Nhân hai vế của một phƣơng trình với cùng một số
bất kỳ, rồi cộng vào hai vế tƣơng ứng của một
phƣơng trình khác.
- Nhận xét
Biến đổi sơ cấp đối với các phƣơng trình của hệ thực
chất là biến đổi sơ cấp theo dòng đối với ma trận mở
rộng 𝐴 .Ta sử dụng các phép biến đổi tƣơng đƣơng đƣa
hệ về dạng đặc biệt là dạng tam giác hoặc hình thang.
Khi giải hệ không đƣợc biến đổi sơ cấp theo cột của 𝐴 .
Và cột nào dễ khử hệ số thì ta khử trƣớc.
Hệ có số phƣơng trình ít hơn số ẩn thì vô nghiệm hoặc
vô số nghiệm.
Khi biến đổi trên 𝐴 nếu 2 dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với
nhau thì xóa 1 dòng đi.
Nếu 1 dòng có dạng 0 0 … 0|𝑎 với 𝑎 ≠ 0 thì
𝑟 𝐴 ≠ 𝑟 𝐴 và hệ vô nghiệm.
- b. Hệ phƣơng trình tuyến tính dạng tam giác
Khi r(A) = r(𝐴 )= số ẩn hệ có nghiệm duy nhất và
luôn đƣa đƣợc về dạng sau.
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1,𝑛 −1 𝑥𝑛 −1 + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2,𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑛−1,𝑛−1 𝑥𝑛 −1 + 𝑎𝑛 −1,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 −1
𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
( 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛)
𝑏𝑛
Giải: Từ phƣơng trình thứ n, tính đƣợc 𝑥𝑛 = .
𝑎
𝑛𝑛
Thế vào phƣơng trình thứ 𝑛 − 1, tính đƣợc 𝑥𝑛−1 .
Tiếp tục quá trình đó, hệ phƣơng trình có nghiệm duy
nhất: 𝑥 = 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛
- Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình sau:
𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 − 7𝑥4 = 12
3𝑥1 + 5𝑥2 + 7𝑥3 − 𝑥4 = 0
5𝑥1 + 7𝑥2 + 𝑥3 − 3𝑥4 = 4
7𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 − 5𝑥4 = 16
- c. Hệ phƣơng trình tuyến tính dạng hình thang
Khi 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 = 𝑟 < 𝑛 hệ vô số nghiệm và có
thể đƣa đƣợc về dạng sau.
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑟 𝑥𝑟 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑟 𝑥𝑟 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑟𝑟 𝑥𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑟
( 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑟)
Trong trƣờng hợp này hệ có r ẩn cơ sở, giả sử là
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑟 ( 𝑟 ẩn cơ sở phải ứng với 𝑟 cột tạo thành
định thức cấp 𝑟 khác không), (𝑛 − 𝑟)ẩn còn lại là các
ẩn tự do.
- Cách giải hệ hình thang:
Chuyển các ẩn tự do sang vế phải ta có hệ
phƣơng trình dạng tam giác đối với các ẩn cơ
sở.
Cho các ẩn tự do nhận giá trị tùy ý và tìm các
ẩn cơ sở qua các ẩn tự do ta thu đƣợc nghiệm
tổng quát.
Khi các ẩn tự do nhận các giá trị cụ thể thì
nghiệm tƣơng ứng là nghiệm riêng.
- Ví dụ 3: Giải hệ phƣơng trình và tìm 1 nghiệm
riêng.
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 − 4𝑥4 = 4
𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = −3
𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥4 = 1
−7𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = −3
- 2.2. phƣơng pháp cramer
Định nghĩa: Hệ cramer là hệ phƣơng trình
tuyến tính gồm n phƣơng trình, n ẩn số với định
thức của ma trận hệ số khác 0 (det (A)≠ 0).
Nhận xét: Hệ Cramer có nghiệm duy nhất.
Định lý: Hệ Cramer có nghiệm duy nhất là
𝐷𝑗
𝑥𝑗 = , ∀𝑗 = 1, 𝑛
𝐷
Trong đó,
𝐷 = det (𝐴), 𝐴 là ma trận hệ số của hệ phƣơng trình,
𝐷𝑗 là định thức cấp n, lấy từ định thức D bằng cách
thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do.
- Nhận xét 1: Khối lƣợng phép tính giải hệ Cramer là
lớn nên trong thực tế ta ít khi sử dụng.
Nhận xét 2: Sử dụng tính chất duy nhất nghiệm của hệ
Cramer trong biện luận đối với hệ có số phƣơng trình =
số ẩn.
- Ví dụ 4: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:
3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 0
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 5
2𝑥 + 5𝑦 + 𝑎𝑧 = 1
- 3. Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần
nhất
3.1. Dạng tổng quát
Định nghĩa: Hệ phƣơng trình tuyến tính
thuần nhất m phƣơng trình, n ẩn
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 có dạng:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 0
…
𝑎𝑚 1 𝑥1 + 𝑎𝑚 2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0
- Nhận xét:
𝑟 𝐴 = 𝑟(𝐴) nên hệ luôn có ít nhất một nghiệm.
Nghiệm 𝑋 0 = (0, 0, … , 0) đƣợc gọi là nghiệm tầm
thƣờng.
nguon tai.lieu . vn
