Xem mẫu
- GV: Leâ ñöùc Thanh
Chöông 12
UOÁN NGANG VAØ UOÁN DOÏC ÑOÀNG THÔØI
12.1 ÑAËC ÑIEÅM BAØI TOAÙN
Xeùt moät thanh chòu uoán bôûi taùc ñoäng ñoàng thôøi cuûa löïc ngang R vaø
löïc neùn doïc P nhö treân H.12.1. Neáu chuyeån vò laø ñaùng keå thì caàn phaûi xeùt
caân baèng cuûa thanh treân sô ñoà bieán daïng vaø moâmen noäi löïc seõ bao goàm
aûnh höôûng cuûa löïc R vaø P:
M(z) = MR + MP = MR + Py(z) (12.1)
trong ñoù: MR - moâmen uoán do rieâng taûi troïng ngang gaây ra
Py(z) - moâmen uoán do löïc doïc gaây ra.
R
P z
y(z)
Hình 12.1 Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi
Baøi toaùn nhö vaäy ñöôïc goïi laø uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi.
Ñaëc ñieåm cuûa baøi toaùn:
- Moâmen M(z) phuï thuoäc vaøo ñoä voõng y(z)
- Moâmen M(z) phuï thuoäc phi tuyeán vaøo löïc P vì ñoä voõng y(z) cuõng phuï
thuoäc vaøo P. Vì vaäy, nguyeân lyù coäng taùc duïng khoâng aùp duïng ñöôïc cho loaïi
baøi toaùn naøy.
12.2 PHÖÔNG PHAÙP CHÍNH XAÙC
Ñeå tìm ñöôïc moâmen uoán, tröôùc heát caàn thieát laäp phöông trình vi phaân
ñöôøng ñaøn hoài cuûa daàm chòu löïc neùn P vaø taûi troïng ngang.
q(z) Q
q(z)
M + dM
P
M
P
α P
P
y(z) O
dz
Q + dQ
Hình 12.2 Thanh chòu uoán neùn
Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi http://www.ebook.edu.vn 1
- GV: Leâ ñöùc Thanh
Xeùt caân baèng treân sô ñoà bieán daïng cuûa phaân toá thanh dz nhö treân
H.12.2
∑ Mo = 0 : M + dM − M − Qdz − Pdz tgα = 0
dy
chuù yù raèng : tgα =
dz
dM dy
ta coù: −P = Q (12.2)
dz dz
dQ
laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (12.2), chuù yù raèng = − q(z) , ta coù phöông trình:
dz
d2 M d2 y
− P = − q ( z) (12.3)
dz2 dz2
theá M = − EIy" (*) vaøo (12.3) ta thu ñöôïc:
EIy IV + Py" = q ( z) (12.4)
Ñaây laø phöông trình vi phaân ñöôøng ñaøn hoài cuûa daàm chòu neùn uoán.
Neáu bieát taûi troïng taùc duïng vaø caùc ñieàu kieän bieân thì coù theå giaûi (12.4) ñeå
tìm ñöôøng ñaøn hoài, töø ñoù suy ra moâmen uoán theo phöông trình (*). Trong
thöïc teá, thöôøng coù nhieàu quy luaät taûi troïng khaùc nhau treân chieàu daøi thanh
neân vieäc giaûi phöông trình (12.4) raát phöùc taïp. Vì vaäy, ngöôøi ta thöôøng aùp
duïng phöông phaùp gaàn ñuùng döôùi ñaây.
12.3 PHÖÔNG PHAÙP GAÀN ÑUÙNG
Xeùt daàm ñôn giaûn chòu taûi troïng ñoái xöùng nhö H.12.3.
q q
P
f0 f
l l
a) b)
Hình 12.3 Ñöôøng ñaøn hoài ñoái xöùng
Sô ñoà (a) chæ chòu taûi troïng ngang, vôùi ñoä voõng giöõa nhòp fo.
Sô ñoà (b) chòu ñoàng thôøi taûi troïng ngang vaø taûi troïng doïc, coù ñoä voõng
giöõa nhòp f.
Giaû thieát ñöôøng ñaøn hoài coù daïng hình sine (gioáng daïng maát oån ñònh), ta
coù phöông trình ñöôøng ñaøn hoài trong hai tröôøng hôïp nhö sau:
yo = fo sin
πz
; y = f sin πz
l l
Daïng phöông trình naøy thoûa ñieàu kieän bieân y = y " = 0 taïi hai khôùp.
Moâmen uoán noäi löïc töông öùng nhö sau:
π2 πz π2
M o = − EIyo" = EI f sin
2 o
= EI 2 yo
l l l
Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi http://www.ebook.edu.vn 2
- GV: Leâ ñöùc Thanh
π2 πz π2
M = − EIy" = EI 2
f sin = EI 2 y
l l l
Theá caùc keát quaû naøy vaøo phöông trình (12.1) ta coù:
π2 π2
EI y = EI yo + Py (12.5)
l2 l2
yo ( z)
töø ñoù suy ra: y( z) =
π2 EI
1− P/ 2
l
yo ( z)
hay: y( z) =
P
(12.6)
1−
Pth
π 2 EI
vôùi: Pth = laø löïc tôùi haïn cuûa thanh khi maát oån ñònh trong maët phaúng
l2
uoán.
ñaïo haøm hai veá cuûa (12.6) vaø nhaân vôùi –EI ta coù:
− EIy0" ( z)
− EIy" ( z) =
P
1−
Pth
Mo
hay: M ( z) =
P
(12.7)
1−
Pth
Chuù yù: - Neáu taûi khoâng ñoái xöùng nhöng cuøng höôùng veà moät phía thì caùc
coâng thöùc treân keùm chính xaùc hôn nhöng vaãn duøng ñöôïc.
- Neáu thanh coù lieân keát hai ñaàu khaùc thì vaãn duøng ñöôïc caùc coâng thöùc
(12.6), (12.7) nhöng caàn xeùt tôùi heä soá lieân keát μ trong coâng thöùc Pth:
π 2 EI
Pth = (12.8)
(μl) 2
12.4 ÖÙNG SUAÁT VAØ KIEÅM TRA BEÀN
ÖÙng suaát lôùn nhaát ñöôïc tính theo coâng thöùc:
P M P Mo
max σ = + = + (12.9)
A W A W (1 − P )
Pth
Vì öùng suaát phuï thuoäc phi tuyeán vaøo taûi troïng neân kieåm tra beàn theo
öùng suaát cho pheùp khoâng ñaûm baûo an toaøn theo heä soá n döï kieán. Trong
tröôøng hôïp naøy, ngöôøi ta duøng ñieàu kieän an toaøn theo taûi troïng nhö sau:
nP nM o
+ ≤ σo (12.10)
A W (1 − nP )
Pth
Ví duï 12.1 Tìm moâmen uoán vaø ñoä voõng lôùn nhaát cuûa daàm theùp chöõ INo36
chòu löïc nhö treân H.12.4.
Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi http://www.ebook.edu.vn 3
- GV: Leâ ñöùc Thanh
q = 2 kN/m
S = 120 kN
x
y
4m
Hình 12.4
Giaûi. Söû duïng baûng tra theùp ñònh hình, töông öùng vôùi soá hieäu INo36 vaø caùc
kyù hieäu treân hình treân, ta coù:
A = 61,9 cm2; Ix = 516 cm4; Iy = 13380 cm4; E = 2,1.104 kN/cm2
Trò soá lôùn nhaát cuûa moâmen uoán, ñoä voõng do taûi troïng ngang gaây ra taïi
ql 2 2.4 2
giöõa nhòp: Mo = = = 4 kNm
8 8
5 ql 4 5 2.10−2.4004
yo = . = . = 0,615 cm
384 EI x 384 2,1.104.516
Trò soá löïc tôùi haïn:
π 2 EI x π 2 .2,1.104.516
Pth = = = 668 kN
(μl)2
(1.400)2
Ñoä voõng cuûa daàm, theo coâng thöùc gaàn ñuùng:
yo 0,615
y = = = 0,75cm , taêng 22% so vôùi yo
S 120
1− 1−
Pth 668
Moâmen uoán lôùn nhaát, theo coâng thöùc gaàn ñuùng thöù nhaát:
M = M o + Sy = 4 + 120.0,075 = 4,9 kNm
Moâmen uoán lôùn nhaát, theo coâng thöùc gaàn ñuùng thöù hai:
Mo 4
M = = = 4,87 kNm sai soá 0,5% so vôùi coâng thöùc gaàn ñuùng thöù
S 120
1− 1−
Pth 668
nhaát.
Giaù trò moâmen trong tröôøng hôïp uoán ngang vaø doïc taêng 22,5% so vôùi
moâmen chæ do löïc ngang gaây ra, töùc laø thieân veà an toaøn hôn.
12.5 THANH COÙ ÑOÄ CONG BAN ÑAÀU
1- AÛnh höôûng cuûa ñoä cong ban ñaàu
Xeùt thanh coù ñoä cong ban ñaàu, chòu löïc neùn P nhö treân H.12.5. Giaû söû
ñöôøng cong ban ñaàu coù daïng:
πz
yo = a sin (12.11)
l
Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi http://www.ebook.edu.vn 4
- GV: Leâ ñöùc Thanh
P z
yo a
y1
y l/2
l/2
Hình 12.5 Thanh coù ñoä cong ban ñaàu
Do taùc duïng cuûa löïc P, thanh bò voõng theâm coù phöông trình y1(z). Ñoä
voõng toaøn phaàn: y = yo + y1
(12.12)
Moâmen uoán do löïc P gaây ra:
M = Py = P ( yo + y1 ) (12.13)
Phöông trình vi phaân ñoä voõng theâm:
EIy1'' = − M = − P ( yo + y1 ) (12.14)
P
theá (12.11) vaøo (12.14) vaø ñaët: α2 = ta coù:
EI
πz
y1'' + α 2 y1 = − α 2 a sin (12.15)
l
Nghieäm cuûa phöông trình naøy coù daïng:
1 πz
y1 = A sin αz + B cos αz + 2
a sin (12.16)
π l
−1
α 2l2
y1 (0) = 0 ⇒ B=0
Caùc ñieàu kieän bieân:
y1 (l) = 0 ⇒ A=0
1 πz 1 πz
Do ñoù: y1 = a sin = a sin
π2 l π2 l
−1 −1
α 2l2 P 2
l
EI
k πz
hay: y1 = a sin (12.17)
1− k l
P P
vôùi: k = = 2 (12.18)
Pth π EI
l2
k πz a πz
Ñoä voõng toaøn phaàn: y = yo + y1 = (a + a) sin = sin
1− k l 1−k l
yo
hay: y =
P
(12.19)
1−
Pth
Moâmen lôùn nhaát giöõa nhòp:
Pa
M max = Pymax =
P
(12.20)
1−
Pth
Neáu ñöôøng cong ban ñaàu coù daïng baát kyø thì coù theå phaân tích thaønh
πz 2πz
chuoãi Fourier nhö sau: yo = a1 sin + a2 sin + ... (12.21)
l l
theá (12.13) vaøo (12.21) vaø giaûi ra y1 ta coù:
Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi http://www.ebook.edu.vn 5
- GV: Leâ ñöùc Thanh
⎛ a πz a 2πz ⎞
y1 = k⎜ 1 sin + 2 2 sin + ...⎟ (12.22)
⎝1 − k l 2 −k l ⎠
P
vì: k=
- GV: Leâ ñöùc Thanh
12.6 COÄT CHÒU NEÙN LEÄCH TAÂM
Xeùt coät maûnh chòu neùn leäch taâm bôûi löïc P nhö treân H.12.8.
πz
yo = a sin (12.11)
l
Do taùc duïng cuûa löïc P, coät bò cong vaø coù phöông trình y(z).
Moâmen uoán taïi moät tieát dieän do löïc P gaây ra:
M = P{e + y( z)} = Pe + Py( z) (12.23)
trong ñoù: e - laø ñoä leäch taâm ban ñaàu; y - laø ñoä voõng cuûa truïc coät.
Phöông trình vi phaân ñöôøng ñaøn hoài nhö sau:
z M
y'' ( z) = − (12.24)
e EI
P
P Theá (12.23) vaøo (12.24) vaø ñaët α2 = ta
EI
ñöôïc:
y" + α 2 y = − α 2e (12.25)
δ
l
Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy laø
y(z) toång cuûa nghieäm thuaàn nhaát vaø nghieäm rieâng:
y = A sin αz + B cos αz − e (12.26)
P y
e trong ñoù: A vaø B - laø caùc haèng soá cuûa nghieäm
Hình 12.8 Coät coù ñoä cong ban ñaàu
thuaàn nhaát; e - laø nghieäm rieâng.
Caùc ñieàu kieän bieân:
y (0) = 0 ⇒ B = e
e(1 − cos αl) αl
y (l) = 0 ⇒ A = = e tan
sin αl 2
Phöông trình ñöôøng ñaøn hoài trôû thaønh:
αl
y = e(tan sin αz + cos αz − 1) (12.27)
2
l
Ñoä voõng lôùn nhaát taïi giöõa nhòp, töùc z= laø:
2
1
δ = ymax = e (
αl
− 1) (12.29)
cos
2
(12.28)
Neáu e = 0 hoaëc P = 0 thì δ = 0 .
Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi http://www.ebook.edu.vn 7
- GV: Leâ ñöùc Thanh
Ñoà thò quan heä giöõa P - δ ñöôïc cho trong H.12.9. Ñoà thò naøy chæ coù yù
nghóa khi vaät lieäu coøn ñaøn hoài, töùc laø δ coøn nhoû vaø P < Pth.
P
e=0
P th
e = e1
e = e2
e 2 > e1
δ
Hình 12.9 Ñoà thò quan heä giöõa P - δ
Moâmen uoán lôùn nhaát taïi giöõa nhòp ñöôïc tính:
1
M max = P (e + ymax ) = Pe (12.30)
P l
cos
EI 2
Quan heä M max - P cho bôûi H.12.10. Khi P nhoû thì M max ≈ Pe , nhöng khi P
lôùn thì M max taêng raát nhanh.
Töø caùc ñoà thò naøy ta thaáy quan heä P - δ vaø M max - P phi tuyeán.
Trong thöïc teá, tính coät maûnh chòu neùn leäch taâm caàn thieát phaûi xeùt ñaëc
ñieåm phi tuyeán naøy ñeå ñaûm baûo an toaøn.
Mmax
Pe
P th P
Hình 12.10 Quan heä giöõa Mmax - P
ÖÙng suaát cöïc ñaïi trong thanh:
⎡ ⎤
P M max c ⎢
P⎢ ec 1 ⎥
σ max = + = 1+ 2 ⎥ (12.31)
A I A⎢ r P l⎥
⎢ cos ⎥
⎣ EI 2 ⎦
vôùi: A - dieän tích tieát dieän thanh; r - baùn kính quaùn tính
c - khoaûng caùch töø truïc trung taâm ñeán meùp xa nhaát cuûa tieát dieän.
Vì öùng suaát phuï thuoäc phi tuyeán vaøo taûi troïng neân kieåm tra beàn theo
öùng suaát cho pheùp khoâng ñaûm baûo an toaøn theo heä soá n döï kieán. Trong
Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi http://www.ebook.edu.vn 8
- GV: Leâ ñöùc Thanh
tröôøng hôïp naøy, ngöôøi ta duøng ñieàu kieän an toaøn theo taûi troïng nhö phöông
trình (12.10).
BAØI TAÄP CHÖÔNG 12
12.1 Tính öùng suaát neùn lôùn nhaát theo phöông phaùp gaàn ñuùng cuûa daàm chòu
uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi cho treân H.12.11.
q = 200 N/m q = 3 kN/m Po = 5 kN
1 P = 4 kN 1 P = 257 kN
1 1
4m 4m 2m 2m
2m 2m
1 - 1
o
2C N 20
100 E = 103 kN/cm2
100 a) b)
1–1
Hình 12.11
12.2 Cho daàm chòu löïc nhö treân H.12.9. Haõy tính öùng suaát phaùp lôùn nhaát vaø
heä soá an toaøn n neáu [σ] = 24 kN/cm2 . Tính ñoä voõng lôùn nhaát.
20 cm P1 = 1 kN
q = 0,5 kN/m
40 cm P = 8 kN 10 cm
P = 4 kN 10 cm
1m 1m 2m
E = 2 x 104 kN/cm2 E = 103 kN/cm2
a) b)
Hình 12.12
o
60
12.3 Tính cöôøng ñoä taûi troïng cho pheùp taùc duïng leân
daàm AB nhö treân H.12.10, bieát q heä soá an toaøn veà
B
ñoä beàn n = 1,6. Daàm AB baèng A
theùp soá 3 coù maët
5m
caét hình oáng vôùi ñöôøng kính trong d = 6 cm vaø
Hình 12.13
ñöôøng kính ngoaøi D = 10 cm, vaät lieäu coù [σ] = 24
kN/cm2, khi tính boû qua troïng löôïng cuûa daàm.
Kieåm tra oån ñònh cuûa daàm neáu laáy koñ = 2. Cho E = 2.104 kN/cm2.
Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi http://www.ebook.edu.vn 9
nguon tai.lieu . vn
