- Trang Chủ
- Toán học
- Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân
Xem mẫu
- Chöông 5 :Giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân
Cho phöông trình vi phaân caáp1
y ' ( x) = f ( x, y ( x))
vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y ( x0 ) = y0 .
Tính gaàn ñuùng giaù trò y (b) vôùi b baát kyø cho tröôùc
1) Phöông phaùp Euler :
a)Noäi dung : Chia ñoaïn [ a , b] thaønh n phaàn ñeàu
nhau , bôûi caùc ñieåm chia
x0 = a < x1 = x0 + h < x2 = x0 + 2h <
< ... < xn = b = a + nh
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 1
- yi +1 = yi + k k = h f ( xi , yi )
(2)
[ e L (b − a ) − 1]
hM
b) Sai soá : y gd (b) − yd (b) ≤
2L
∂f
L = Max ( x, y )
∂y
Ví duï : Phöông trình y ' ( x) = 1 + ( x − y ) 2
vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y (2) = 1 .
Tính gaàn ñuùng nghieäm y (2.6) vôùi böôùc h = 0.2
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 2
- 2) Phöông phaùp Euler caûi tieán
a) Noäi dung :
k1 + k2
yi +1 = yi +
2
k1 = hf ( x i , y i )
k 2 = hf ( x i +1 , y i + k1 )
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 3
- Ví duï : Giaûi phöông trình y ' ( x) = 1 + ( x − y ) 2 vôùi
ñieàu kieän ban ñaàu y ( 2) = 1 trong ví duï tröôùc theo
phöông phaùp Euler caûi tieán , keát quaû nhö sau :
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 4
- 3) Coâng thöùc Runge – Kutta baäc 4 :
a) Coâng thöùc
1
y ( xi +1) = y ( xi ) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )
6
k1 = hf ( xi , yi )
h k1
k 2 = hf ( xi + , yi + )
2 2
h k2
k3 = hf ( xi + , yi + )
2 2
k4 = h f ( xi +1 , yi + k3 )
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 5
- Ví duï : Giaûi phöông trình y ' ( x) = 1 + ( x − y ) 2 vôùi
ñieàu kieän ban ñaàu y (2) = 1 trong ví duï tröôùc theo
phöông phaùp Runge-Kutta , keát quaû nhö sau :
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 6
- 4) Giaûi heä phöông trình vi phaân caáp 1 :
y ' = F ( x, y , z )
Giaû söû ta caàn giaûi heä : trong ñoù
z ' = G ( x, y , z )
y = y (x) , z = z (x) laø nhöõng haøm phaûi tìm vaø thoûa
ñieàu kieän ban ñaàu y(x0 ) = y0 , z ( x0 ) = z0
Phöông phaùp Euler
yi +1 = yi + h F ( xi , yi , zi )
zi +1 = zi + h G( xi , yi , zi )
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 7
- y ' ( x) = z ( x)
Ví duï : Cho heä
z ' ( x) = 2 z ( x) − y ( x) + x
vôùi ñieàu kieän y (0) = 1 , z (0) = 0 .
Tìm y (1) vaø z (1) neáu soá böôùc chia laø n = 4
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 8
- 5) Giaûi phöông trình vi phaân caáp cao :
Giaûi phöông trình vi phaân caáp 2
y ' ' ( x) + p( x) y ' ( x) + q( x) y ( x) = f ( x)
vôùi ñieàu kieän ñaàu y ( x0 ) = y0 , y ' ( x0 ) = y0/
Ñöa veà heä phöông trình vi phaân caáp 1 baèng pheùp
ñoåi bieán y ' ( x) = z ( x) , y ' ' ( x) = z ' ( x)
y '= z
Heä vôùi ñieàu kieän
z ' = − p( x) z − q( x) y + f ( x)
ban ñaàu y ( x0 ) = y0 vaø z ( x0 ) = y 0/ = z0 .
Heä naøy ñaõ bieát caùch giaûi
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 9
nguon tai.lieu . vn
