Xem mẫu
- om
PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG
.c
1 Ý tưởng phương pháp
ng
Thay thế đường cong y = f (x) bằng dây cung chắn đường
co
cong; xác định giao của dây cung với Ox thay cho nghiệm
an
cần tìm
th
g
on
du
u
cu
1
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- 2 Xây dựng công thức
om
.c
Xét phương trình f (x) = 0 và khoảng cách li nghiệm (a, b).
Gọi M (d, f (d)) là điểm Fourié nếu f (d).f ”(d) > 0
ng
Chọn điểm Fourié làm mốc.
co
Chọn x0 thoả mãn f (x0)f (d) < 0, và đặt 0(x0, f (x0))
an
Khi đó, M M0 ∩ Ox ≡ (x1, 0). Đặt A1(x1, f (x1))
th
..................
g
M Mk1 ∩ Ox ≡ (xk , 0). Lấy nghiệm x∗ ≈ xk .
on
du
u
cu
2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Phương trình đường thẳng M An−1
om
x − xn−1 y − f (xn−1)
=
.c
d − xn−1 f (d) − f (xn−1)
ng
Do đó, ta có công thức lặp
co
f (xn−1) (xn−1 − d)
xn = xn−1 −
f (xn−1) − f (d)
an
th
g
on
du
u
cu
3
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- 3 Sự hội tụ của phương pháp
om
3.1 Điều kiện hội tụ
.c
• (a, b) là khoảng cách li nghiệm
ng
co
• f liên tục, có đạo hàm xác định dấu, không đổi trên [a, b]
an
• Chọn đúng điểm mốc M (d, f (d)) và xấp xỉ ban đầu x0
th
g
on
du
u
cu
4
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- 3.2 Định lý về sự hội tụ
om
Với các điều kiện đã nêu trên, dãy lặp
.c
f (xn−1)(xn−1 − d)
xn = xn−1 −
ng
f (xn−1) − f (d)
co
hội tụ tới nghiệm đúng của phương trình theo đánh giá
an
|f (xn)|
|xn − x∗| ≤
th
m1
g
M1 − m1
on
|xn − x∗| ≤ |xn − xn−1|
m1
du
trong đó Mi = maxx∈[a,b] |f (i)(x)|, mi = minx∈[a,b] |f (i)(x)|.
u
cu
5
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Chứng minh.
om
.c
Dãy {xn } đơn điệu và bị chặn (1)
ng
Giới hạn của dãy {xn } là nghiệm của phương trình (2)
co
Công thức đánh giá sai số thứ 1 (3)
an
Công thức đánh giá sai số thứ 2 - đánh giá theo 2 xấp xỉ liên tiếp (4)
th
Ta xét trường hợp f 0(x) > 0 và f 00(x) > 0 với mọi x ∈ [a, b]
g
on
du
u
cu
6
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- • (1)
om
f (xn−1) (xn−1 − d)
xn − xn−1 = −
.c
f (xn−1) − f (d)
f (xn−1) (xn−1 − d)
ng
= − , ξn ∈ (xn−1, d)
(xn−1 − d)f 0(ξn)
co
f (xn−1)
= − 0 (∗)
f (ξn)
an
D = {(x, y) |y ≥ f (x), x ∈ [a, b]} là tập lồi.
f (x0) = f (a) < 0, x0 < b
th
g
on
M, A0 ∈ D ⇒ [M A0] ⊂ D ⇒ (x1, 0) ∈ D
du
⇒ 0 > f (x1), x0 < x1 < b
u
cu
7
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- • (2) Đặt θ = limn→∞ xn.
om
Lấy giới hạn hai vế của công thức (*), ta có
.c
-
-
- f (xn−1)
-
0 = lim |xn − xn−1| = lim
- 0
ng
-
n→∞ n→∞ f (ξn )
-
co
Hơn nữa m1 ≤ |f 0(ξn)| ≤ M1 nên
an
lim |f (xn−1)| = 0 ⇒ f (θ) = 0.
n→∞
th
Vậy x∗ = θ. g
on
du
u
cu
8
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- • (3)
om
|f (xn)| = |f (xn) − f (x∗)| = |f 0(ξn)||xn−x∗| ≥ m1|xn−x∗|
.c
hay
ng
|f (xn)|
|xn − x∗| ≤
co
m1
an
th
g
on
du
u
cu
9
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- • (4)
om
.c
ng
co
an
th
g
on
du
u
cu
10
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- om
PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN
.c
4 Ý tưởng phương pháp
ng
Thay thế đường cong y = f (x) bằng đường tiếp tuyến; xác
co
định giao của tiếp tuyến với Ox thay cho nghiệm cần tìm
an
th
g
on
du
u
cu
11
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- 5 Xây dựng công thức
om
.c
Xét phương trình f (x) = 0 và khoảng cách li nghiệm (a, b).
Chọn x0 sao cho (x0, f (x0)) là điểm Fourié.
ng
Đặt 0(x0, f (x0)); và đặt d0 là tiếp tuyến với đường cong qua
co
A0
an
Khi đó, d0 ∩ Ox ≡ (x1, 0). Đặt A1(x1, f (x1))
th
..................
g
dk−1 ∩ Ox ≡ (xk , 0). Lấy nghiệm x∗ ≈ xk .
on
du
u
cu
12
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
nguon tai.lieu . vn
