1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Bài giảng Phương pháp số trong công nghệ hoá học: Tuần 5 - TS. Nguyễn Đặng Bình Thành

Bài giảng Phương pháp số trong công nghệ hoá học: Tuần 5 - TS. Nguyễn Đặng Bình Thành

Bài giảng Phương pháp số trong công nghệ hoá học: Tuần 5 có nội dung trình bày về phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết của bài giảng này. Tuần 5 PHƢƠNG PHÁP SỐ TRONG CÔNG NGHỆ HÓA HỌC Mã học phần: CH3454 TS. Nguyễn Đặng Bình Thành BM:Máy & TBCN Hóa chất Numerical Methods in Chemical Engineering CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 46

Ngày tạo 10/16/2021 7:58:33 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 1.80 M

Tên tệp

Tải Bài giảng Phương pháp số trong công nghệ hoá học: ... (.pdf)

Xem mẫu

  1. Tuần 5 PHƢƠNG PHÁP SỐ TRONG CÔNG NGHỆ HÓA HỌC Mã học phần: CH3454 TS. Nguyễn Đặng Bình Thành BM:Máy & TBCN Hóa chất Numerical Methods in Chemical Engineering CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  2. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Nghiệm thực của phương trình – Ý nghĩa hình học. f(x) = 0; (1) y f – hàm cho trước của đối số x f(x) α - nghiệm thực của ( 1 ) O M f(α) = 0; (2) α x - Vẽ đồ thị y = f(x) y g(x) - hoặc (1) ~ g(x) = h(x) M đồ thị y1 = g(x) và y2 = h(x) h(x) O Hoành độ điểm M nghiệm α. α x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  3. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Sự tồn tại của nghiệm thực Định lý. Nếu có hai số thực a, b y (a < b) sao cho f(a) và f(b) trái B dấu, tức là f(a).f(b) < 0 (3) O a đồng thời f(x) liên tục trên [a, b] b x thì trong khoảng [a, b] ít nhất có A một nghiệm thực của phương trình f(x) = 0. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  4. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Khoảng phân ly nghiệm (tách nghiệm) Định nghĩa: Khoảng [a, b] nào y đó gọi là khoảng phân ly nghiệm B của phương trình f(x) = 0 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm O a của phương trình đó. b x - hàm f(x) đơn điệu trong [a, b] : A f’(x) không đổi dấu Định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b], đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  5. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của phương trình phi tuyến 1. Phương pháp đồ thị. 2. Phương pháp thử. 3. Phương pháp chia đôi. 4. Phương pháp lặp. 5. Phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Newton-Raphson). 6. Phương pháp dây cung. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  6. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Cơ sở : khai triển Taylor: - Hàm F(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại xo và lân cận xo. - Khai triển Taylor bậc n của F(x) tại xo: 2 (x xo ) F ( x) F ( xo ) (x xo ) F ' ( xo ) F " ( xo ) 2! n n 1 (x xo ) (n) (x xo ) ( n 1) F ( xo ) F (c ); n! (n 1)! c xo (x xo ); 0 1; CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  7. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) - Giả sử f(x) =0 : - Có nghiệm thực α phân ly trong [a, b]; - Có đạo hàm f’(x) ≠ 0 tại x [a, b]; - Có đạo hàm cấp hai f’’(x) tại x [a, b]; - Chọn xo [a,b] khai triển Taylo bậc nhất của f(x) tại xo: 1 2 f ( x) f ( xo ) ( x xo ) f ' ( xo ) (x xo ) f " (c); 2 Bỏ qua số hạng cuối f ( xo ) (x xo ) f ' ( xo ) 0; f ( xo ) f ( x1 ) f ( xn ) x1 xo ; x2 x1 ; ... xn 1 xn ; f ' ( xo ) f ' ( x1 ) f ' ( xn ) lim xn ; CuuDuongThanCong.com n https://fb.com/tailieudientucntt
  8. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Ý nghĩa hình học: thay đường cong y = f(x) bằng tiếp tuyến kẻ từ A(a,f(a)) hay B(b,f(b)),  hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm gần đúng của phương trình. Đặt: - xo = a, nếu tiếp tuyến kẻ từ A; - xo = b, nếu tiếp tuyến kẻ từ B; Phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại [xo, f(xo)] : y f ( xo ) f ' ( xo )( x xo ); (a) Giao điểm với trục hoành (x1, y1 = 0) f ( xo ) f ' ( xo )( x xo ); (b) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  9. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) f ( xo ) x1 xo ; y f ' ( xo ) Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x1, f(x1) ] A f ( x1 ) x2 x1 ; ... f ' ( x1 ) O α b f ( xn ) xo=a x1 x2 x xn xn ; 1 f ' ( xn ) B CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  10. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) f ( xo ) x1 xo ; y f ' ( xo ) Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x1, f(x1) ] f ( x1 ) x2 x1 ; ... f ' ( x1 ) O A x2 x1 xo=b f ( xn ) a α x xn 1 xn ; f ' ( xn ) B CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  11. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) * Định lý về sự hội tụ. Giả sử: - [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của f(x) = 0; - f có đạo hàm f’, f” với f’ và f” : + liên tục trên [a, b]; + không đổi dấu trên [a, b]; - xấp xỉ xo chọn f(xo).f”(xo) > 0; - xn α khi n * Sai số. Lấy xn nghiệm gần đúng sai số: f ( xn ) xn ; với 0 m f ' ( x) ; a x b; m Trong thực tế, thường dừng quá trình tính khi: xn – xn-1 < ε (sai số cho phép) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  12. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Sơ đồ tóm tắt các bước giải: 1/ Cho phương trình f(x) = 0; f ( xo ) x1 xo ; 2/ Ấn định sai số cho phép ε; f ' ( xo ) 3/ Tìm khoảng phân ly nghiệm; 4/ Chọn giá trị đầu xo: f(xo).f”(xo) > 0; e x1 xo ; 5/ Tính toán sai số e
  13. Ví dụ. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = x3 – x – 1 = 0; Với sai số cho phép ε =10-3 1. Điều kiện phương trình có nghiệm thực và tìm khoảng phân ly nghiệm. 1 1 -Hàm số xác định và liên tục x 3 3 tại mọi x f’(x) + 0 _ 0 + - f’(x) = 3x – 1 = 0 tại 2 f(x) M m x 1/ 3 - Bảng biến thiên hàm số: 1 1 1 M f( ) 1 0; 3 3 3 3 đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại một điểm, phương trình có một nghiệm thực trong khoảng 1 / 3 , - Chọn khoảng chứa nghiệm [1, 2] f(1) = 1 – 1 – 1 = - 1 0 chứa nghiệm. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  14. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) f ( x) Phương trình: x x f ( x) f’(x) = 3x2 – 1 > 0 trong khoảng [1, 2] f”(x) = 6x > 6 trong khoảng [1, 2] f(1) = -1; f(2) = 5; f(2).f”(2) > 0 Chọn đầu tính x = 2. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  15. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Lập bảng tính: f (x) x f(x)=x3-x-1 f (x)=3x2-1 x f (x) 2,0 5,0 11,0 1,5454545 1,5454545 1,145755 6,165288 1,3596148 1,3596148 0,153704 4,545657 1,3258015 1,3258015 0,004625 4,273245 1,3247190 1,3247190 0,0000034 4,264641 1,3247182 1,3247182 0,0000010 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  16. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Chƣơng trình: Function F(x:real):real; f(x) = x3 – x – 1 = 0 Begin f’(x) = 3x2 – 1 = 0 F:=x*sqr(x)-x-1; End; f ( x) Function dF(x:real):real; x x Begin f ( x) dF:=3*sqr(x)-1; End; CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  17. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Ví dụ: Program PT1; Uses crt; Var n,i,j,k:integer; x,x0,eps,ss:real; Function F(x:real):real; Begin F:=x*sqr(x)-x-1; End; … CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  18. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Ví dụ: Program PT1; … Function dF(x:real):real; Begin dF:=3*sqr(x)-1; End; {Chương trình chính} BEGIN clrscr; … CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  19. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Ví dụ: Program PT1; … {Chương trình chính} BEGIN clrscr; write (‘Nhập x0 = ’);readln(x0); write (‘Nhập eps = ’);readln(eps); x:=x0;k:=0; Repeat … CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  20. Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình 1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Ví dụ: Program PT1; … BEGIN … x:=x0;k:=0; Repeat x:=x-F(x)/dF(x); ss:=abs(x-x0); x0:=x;k:=k+1; Until ss
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học