- Trang Chủ
- Toán học
- Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 6 - TS. Nguyễn Mạnh Thế
Xem mẫu
- BÀI 6
ƯỚC LƯỢNG
Ợ THAM SỐ
TS N
TS. Nguyễn
ễ MMạnh
h Thế
1
v1.0012107210
- TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI
Tình huống
Để ước lượng phế phẩm của một dây chuyền sản xuất mới mua lại,
công ty Thiên An kiểm ể tra ngẫuẫ nhiên 100 sản phẩm
ẩ do một nhà
máy sản xuất thấy có 12 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước
ượ g tỷ lệ
lượng ệ p
phế ế p
phẩm
ẩ của nhà à máy
áy đó
đó. Nếu
ếu muốn
uố độ cchính xác
ác là
à
0.03 thì phải lấy tối thiểu bao nhiêu sản phẩm?
Câu hỏi gợi mở
Câu 1: Nhà sản xuất cần p phải xem chất lượng
ợ g của dâyy chuyền
y sản
xuất. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để nhà quản lý có thể ước lượng
được tỷ lệ phế phẩm bình quân của dây chuyền?
Câu 2: Khoảng ước lượng cho tỷ lệ phế phẩm của nhà máy là bao
nhiêu nếu giám đốc muốn độ tin cậy cho ước lượng đó là 95%?
Câu 3: Để khoảng g ước lượng
ợ g có độ ộ chính xác cao ((cỡ 0.03)) thì cần
phải tốn bao nhiêu tiền? Biết chi phí điều tra 01 mẫu mất 10.000 VNĐ.
2
v1.0012107210
- TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI (tiếp theo)
Kết luận
Khoảng ước lượng hai phía của p là:
f(1 f) f(1 f)
pf u / 2 ;f u / 2
n n
Trong đó phân vị u / 2 tìm từ bảng phân phối chuẩn
Nếu cho trước độ chính xác là 0
2
f(1 f)
Khi đó cỡ mẫu tối thiểu cần có là: n0 u 1
0 / 2
3
v1.0012107210
- MỤC TIÊU
• Ước
Ư lượng điểm;
ể
• Ước lượng khoảng.
khoảng
Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên X với
tham số θ chưa biết, dựa vào thông
tin mẫu (X1, X2, …, Xn) hãy ước lượng
th
tham số
ố θ.
θ
4
v1.0012107210
- 1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Khái niệm:
Thống kê * G(X , , X n ) dùng làm ước lượng cho tham số θ được
( 1 , X 2 ,...,
gọi là ước lượng điểm cho θ.
Với mẫu
ẫ cụ thể (x
( 1 , x 2 ,..., x n ), giá
iá trị
t ị của
ủ * là * G(x
G( 1 , x 2 ,...x n ) có
ó thể
lấy tương ứng cho θ.
Ví dụ:
1 n
Thống kê X Xi ước lượng
n i1
điểm cho E(X)
( )
Giá trị của ước lượng điểm là: x
5
v1.0012107210
- PROPERTIES
Allow user to leave interaction: Anytime
Show ‘Next Slide’ Button: Don't show
Completion Button Label: Next Slide
- 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Khái niệm: L;U
L U L(X1 , X 2 ,...X
X n ); Xn )
) U(X1 , X 2 ,...X
được gọi là ước lượng khoảng (hai phía) cho tham số θ với độ tin cậy 1– α nếu
P L(X1 ,X Xn ) U(X1 ,X
X2 ,...,X Xn ) 1
X2 ,...,X
Chú ý: Độ tin cậy 1 - α thường lớn hơn 90%
Khoảng ước lượng hai phía
; ) L(x
((l;u) ( 1 , x 2 ,...,
, , x n );U(x , , xn )
); ( 1 , x 2 ,...,
Khoảng ước lượng trái
(l; ) L(x1 , x 2 ,..., x n );
Khoảng ước lượng phải
(;u) ;U(x1 , x 2 ,..., x n )
Xác định cỡ mẫu
8
v1.0012107210
- 2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
Cho biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2 ) và mẫu ngẫu nhiên (X1 , X2,...Xn) có giá trị
(x1, x2,...xn). Tham số chưa biết.
T ườ
Trường hợ 2 đã biết:
hợp biết
X
X ~ N( , 2 / n) n ~ N(0,1)
1
với độ tin cậy 1 - a ta tìm được điểm u / 2 sao cho 0 (u / 2 )
2 2
Ta được các khoảng:
• Ước lượng hai phía: (x u / 2 ; x u / 2 )
n n
• Ước lượng trái: (x u ; )
n
• Ước lượng phải: (; x u )
n
Trong đó:
0 (u ) 1
9
Chú ý: Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh trong Excel: normsinv(1-α/2). Tham khảo phần phụ lục.
v1.0012107210
- 2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU
NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo)
Ví dụ: Điều tra thu nhập (triệu/năm) hàng năm của 25 hộ gia đình
trong vùng ta có bảng số liệu:
Thu nhập 11 5
11,5 11 6
11,6 11 7
11,7 11 8
11,8 11 9
11,9 12
Số hộ 5 8 4 6 1 1
2. Hãy ước lượng giá
1
2
1. mứctrịthu
tốinhập
thiểutrung
và giábình
trị tối
trong
đa của
vùngmức
với độ
thutin
nhập
cậy trung bình
95%, vùng
trong và σ=0,2.
với độ tin cậy 99% và σ=0,2.
Giải:
Giải:
Gọi XX làlà thu
Gọi thu nhập
nhập của
của một
một hộ
hộ gia
gia đình
đình trong
trong vùng,
vùng,X ~ N( : 0,22 )
TTa có
Ta có:
ó x 11,672
1 99% 0,01 tra bảng ta rút ra u u0,01 2,33
0 (u / 2 ) 1 0.975 u0,025 1, 96
0,2
Kh ả tin
Khoảng ậ 2phải
i cậy hải (11,672
(11 672 2 33 ) (11,579;
2,33; (11 579 )
0,2 0,225
(11,672 1, 96;11,672 1, 96) (11,594; 11,75)
0,2
Khoảng ước lượng 25 trái (;11,672
25 2,33) (;11,765)
25
10
Chú ý: Hoặc dùng lệnh normsinv (1-0,01)
v1.0012107210
- 2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU
NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo)
Trường hợp 2 chưa biết
X
Thố kê T
Thống '
T(n 1)
n ~ T(
S
Ta tìm được phân vị t n/12 sao cho:
s' s'
(x t n/12 ; x t n/12 )
n n
t n/12 được tìm từ bảng phân phối student.
s'
• Ước lượng giá trị tối thiểu: (x t n1 ; )
n
s'
• Ước lượng giá trị tối đa: (; x t n1 )
n
Chú ý: Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh trong Excel: tinv(α,n-1). Tham khảo phần
phụ lục. 12
v1.0012107210
- 2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU
NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo)
Ví dụ: Điều tra thu nhập (triệu/năm) hàng năm của 25 hộ gia đình trong vùng
ta có bảng số liệu:
Thu nhập 11 5
11,5 11 6
11,6 11 7
11,7 11 8
11,8 11 9
11,9 12
Số hộ 5 8 4 6 1 1
Hãy ước lượng mức thu nhập trung bình trong vùng với độ tin cậy 95%,
95% biết
rằng thu nhập là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Giải:
Gọi X là thu nhập của một hộ gia đình trong vùng.
T có:
Ta ó X ~ N(; 2 )
x 11, 672, s'2 0,0188, s' 0,137 tra bảng ra rút ra t n/12 t 0,025
24
2,06
Vậy khoảng ước lượng cho thu nhập trung bình:
Khoảng tin cậy phải (1,625; )
Khoảng ợ g trái (;;11,719)
g ước lượng , )với t n1 t 0,05
24
0 05 1,71.
Chú ý: Hoặc dùng lệnh tinv(0.05,24) 13
v1.0012107210
- 2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU
NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo)
Xác định cỡ mẫu:
Cho khoảng ước lượng
(x u / 2 ; x u / 2 )
n n
• Nếu σ đã được biết trước:
Nếu cho trước độ chính xác của ước lượng là 0 thì cỡ mẫu tối thiểu là
2
n0 u / 2 ký hiệu [ ] là phần nguyên
0
• Nếu σ chưa được biết:
Cỡ mẫu tối thiểu với độ chính xác của ước lượng là 0
s '
2
n0 t / 2
n 1
0
15
v1.0012107210
- 2.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
Cho biến ngẫu nhiên X : N(; 2 )
2 (n 1)S '2
T có
Ta ó thống
thố kê x
2
có phân phối khi bình phương với n-1 bậc tự do
2 2 (n 1)S'2 2
P x1 / 2,n 1 x 2
x / 2,n 1 1
(n 1)S '2
2 (n 1)S '2
P 2 2 1
x / 2,n1 x1 / 2,n1
(n 1)s '2
(n 1)s '2
• Ước lượng hai phía: 2 2 ; 2
x x1 / 2,n 1
/ 2,n1
(n 1)s '2
• Ước lượng giá trị tối thiểu: 2
;
2
,n 1
(n 1)s '2
• Ước lượng giá trị tối đa: 2
0; 2
x1 ,nn 1
Chú ý: Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh trong Excel: chiinv(p,n-1). Tham khảo phần phụ lục. 17
v1.0012107210
- 2.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo)
Ví dụ: Kiểm tra ngẫu nhiên 20 bao gạo do một may đóng bao tự động đóng
ta có phương sai hiệu chỉnh s '2 0,0153(kg)2. Hãy tìm ước lượng khoảng tối
đa cho độộ chính
í xác
á của
ủ trọng lượng các á bao gạo với ớ độ
ộ tin cậy
ậ 95%. Biết
ế
rằng trọng lượng các bao gạo do máy tự động đóng là biến ngẫu nhiên có
phân p
p phối chuẩn.
Giải:
Gọi X là trọng lượng một bao gạo X ~ N(; 2 )
Ta có:
s '2 0,0153, 1 0, 95 0,05
Tra bảng phân phối khi bình phương ta có x 20,95,19 10,117
2
(20 1)s '2 19.0,0153
0; 0;
x 2 10,117
0,95,19
2 (0; 0,17)
Chú ý: Hoặc dùng lệnh chiinv(0.95,19) 18
v1.0012107210
- 2.3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO XÁC SUẤT
Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên A với xác suất p chưa biết
Thực hiện n lần thử về biến cố A, m là số lần A xuất hiện. Xác định khoảng ước
ợ g cho p với độ
lượng ộ tin cậy
ậy 1-α.
m
Ta có tần suất biến cố A: f
n
Ta có thống kê U f p
n ~ N(0;1)
f(1 f)
Vậ tta có
Vậy ó khoảng
kh ả ước ướ lượng
lượ hai
h i phía
hí của ủ p
f(1 f) f(1 f)
pf u / 2 ; f u / 2
n n
Tương tự ta có khoảng ước lượng một phía của p
f(1 f)
• Ước lượng giá trị tối thiểu: p f u ;
n
f(1 f)
• Ước lượng giá trị tối đa: p ; f u
n
19
v1.0012107210
- 2.3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO XÁC SUẤT (tiếp theo)
Víí dụ: Kiểm
ể tra ngẫu
ẫ nhiên
ê 100 sảnả phẩm
ẩ do một ộ nhà
à máyá sản
ả xuất
ấ thấy
ấ
có 12 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩm của
nhà máyy đó.
Giải:
Gọi p là tỷ lệ phế phẩm của nhà máy,
máy ta có n=100;
n 100; m=12;
m 12;
f = m/n = 12/100 = 0,12.
1 0.95 / 2 0,025
Tra bảng phân phối chuẩn ta có u0,025
0 025 1, 96
0,12.0,88 0,12.0,88
p (0,12 1,96; 0,12 1,96)
100 100
p (0,056; 0,184)
Chú ý: Hoặc dùng lệnh normsinv(0.975) 20
v1.0012107210
nguon tai.lieu . vn