- Trang Chủ
- Toán học
- Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều, hàm của đại lượng ngẫu nhiên
Xem mẫu
- CHÖÔNG 4
ÑLNN 2-chieàu – Haøm cuûa ÑLNN
1. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân 2-chieàu
1.1 Khaùi nieäm
Khi cho töông öùng moãi keát quaû cuûa pheùp thöû vôùi
hai soá coù thöù töï, ta coù ÑLNN 2-chieàu.
Xeùt ÑLNN 2-chieàu (X, Y). X, Y goïi laø caùc ÑLNN
thaønh phaàn. Neáu X, Y ñeàu rôøi raïc thì (X, Y) goïi laø
ÑLNN 2-chieàu rôøi raïc. Neáu X, Y ñeàu lieân tuïc thì
(X, Y) goïi laø ÑLNN 2-chieàu lieân tuïc.
Xeùt (X, Y) laø ÑLNN 2-chieàu rôøi raïc. Bieán coá X
nhaän giaù trò x vaø Y nhaän giaù trò y ghi laø (X=x, Y=y)
- hay (X=x)(Y=y). Xaùc suaát cuûa bieán coá naøy ghi laø
P(X=x, Y=y) hay P((X=x)(Y=y)).
- Ví duï
(1) Goïi X vaø Y laø ñieåm thi moân Toaùn vaø tuoåi cuûa
moät sinh vieân gaëp ngaãu nhieân thì (X, Y) laø ÑLNN 2-
chieàu rôøi raïc.
(2) Goïi X laø chieàu daøi, Y laø troïng löôïng cuûa moät con
gia suùc ñöôïc choïn ngaãu nhieân thì (X, Y) laø ÑLNN 2-
chieàu lieân tuïc.
- 1.2 Baûng phaân phoái xaùc suaát
1.2.1 Baûng phaân phoái ñoàng thôøi
Quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa ÑLNN 2-chieàu
rôøi raïc ñöôïc xaùc ñònh bôûi baûng phaân phoái xaùc suaát
ñoàng thôøi (baûng PPXSÑT). Baûng PPXSÑT cuûa
ÑLNN (X, Y) lieät keâ taát caû giaù trò xi, yj maø X, Y coù
theå nhaän vaø caùc giaù trò pij laø P((X=xi)(Y=yj)):
X Y y1 y2 ... yn Σ
x1 p11 p12 ... p1n p1
x2 p21 p22 ... p2n p2
... ... ... ... ... ...
xm pm1 pm2 ... pmn pm
Σ q1 q2 ... qn
- Baûng PPXSÑT kyù hieäu ((xi, yj), pij), i= 1, m ; j=1, n.
Ñaët:
pi = pi1 + pi2 +... + pin i=1, m (coäng theo doøng)
qj = p1j + p2j +... + pmj j= 1, n (coäng theo coät)
Ta phaûi coù:
pi > 0, qj > 0 i=1, m ; j=1, n
pij ≥ 0 i=1, m ; j= 1, n
p11 + p12 +... + p1n +... + pmn = Σpi = Σqj = 1
- 1.2.2 Baûng phaân phoái thaønh phaàn
Baûng PPXS cuûa caùc ÑLNN thaønh phaàn cuûa
ÑLNN 2-chieàu rôøi raïc goïi laø Baûng phaân phoái xaùc
suaát thaønh phaàn (baûng PPXSTP). Töø baûng
PPXSÑT, ta laäp baûng PPXSTP X laø (xi, pi), i=1, m vaø
baûng PPXSTP Y laø (yj, qj), j= 1, n.
Baûng PPXSTP coøn goïi laø baûng phaân phoái bieân
hay baûng phaân phoái leà. Kyø voïng, phöông sai, ñoä leäch
chuaån cuûa caùc ÑLNN thaønh phaàn goïi laø kyø voïng leà,
phöông sai leà, ñoä leäch chuaån leà. Caùc tham soá ñaëc
tröng naøy cuûa ÑLNN thaønh phaàn X kyù hieäu laø E(X),
σ X2 , σ X .
- Ví duï
Xeùt ÑLNN (X, Y) coù baûng PPXSÑT sau:
X Y –1 0 1 3
0 0,12 0,10 0,05 0,10 0,37
1 0,03 0,11 0,07 0,05 0,26
2 0,10 0,04 0,03 0,20 0,37
0,25 0,25 0,15 0,35
Baûng phaân phoái theo thaønh phaàn X vaø Y laø:
X 0 1 2 Y –1 0 1 3
P 0,37 0,26 0,37 P 0,25 0,25 0,15 0,35
E(X) = 1 σ X2 = 0,74 E(Y) = 0,95 σ Y2 = 2,6475
- 1.2.3 Baûng phaân phoái coù ñieàu kieän
Xeùt ÑLNN 2-chieàu. Neáu bieát moät thaønh phaàn ñaõ
xaûy ra thì thaønh phaàn coøn laïi goïi laø ÑLNN thaønh
phaàn coù ñieàu kieän. Baûng PPXS cuûa ÑLNN thaønh
phaàn coù ñieàu kieän goïi laø Baûng phaân phoái coù ñieàu
kieän. (Baûng PPXSCÑK). Kyø voïng, phöông sai, ñoä
leäch chuaån cuûa ÑLNN loaïi naøy goïi laø kyø voïng
phöông sai, ñoä leäch chuaån coù ñieàu kieän.
Xeùt ÑLNN (X, Y) coù baûng phaân phoái ñoàng thôøi
((xi,yj), pij), i= 1, m ; j= 1, n . Giaû söû bieát bieán coá (Y=yj)
xaûy ra. ÑLNN theo X coù ñieàu kieän Y=yj kyù hieäu laø
X /Y=yj hay X /yj. Xaùc suaát ñeå X nhaän giaù trò xi laø xaùc
suaát coù ñieàu kieän cuûa bieán coá (X=xi) bieát (Y=yj), kyù
hieäu P(X=xi /yj) hay P(X=xi /Y=yj). Ta coù:
- P(X =x i , Y =y j ) p
P(X=xi /yj) = = ij
P(Y =y j ) qj
Kyø voïng cuûa ÑLNN X /Y=yj kyù hieäu laø E(X /yj)
hay E(X /Y=yj).
Töông töï, baûng phaân phoái cuûa ÑLNN coù ñieàu
kieän Y /X=xi seõ coù:
P(X =x i , Y =y j ) p ij
P(Y=yj /xi) = =
P(X =x i ) pi
- Ví duï
Xeùt ÑLNN (X, Y) coù baûng phaân phoái sau:
X Y –1 0 1 3
0 0,12 0,10 0,05 0,10
1 0,03 0,11 0,07 0,05
2 0,10 0,04 0,03 0,20
Laáy 2 soá leû, baûng phaân phoái cuûa X coù ñieàu kieän
Y=0 vaø baûng phaân phoái cuûa Y coù ñieàu kieän X=1 laø:
X /Y=0 0 1 2 E(X /0) = 0,76
P 0,40 0,44 0,16
Y /X=1 –1 0 1 3 E(Y /1) = 0,72
P 0,12 0,42 0,27 0,19
- Ghi chuù
Laáy moãi thaønh phaàn cuûa coät Y=0 chia cho toång
cuûa coät naøy ta coù P cuûa X. Laáy moãi thaønh phaàn cuûa
doøng X=1 chia cho toång cuûa doøng naøy ta coù P cuûa Y.
- 1.3 Hieäp phöông sai vaø heä soá töông quan
Ñeå ñaùnh giaù möùc ñoä phuï thuoäc giöõa hai ÑLNN
thaønh phaàn, ta ñöa ra khaùi nieäm hieäp phöông sai vaø
heä soá töông quan.
1.3.1 Hieäp phöông sai
Hieäp phöông sai cuûa hai ÑLNN thaønh phaàn X
vaø Y, kyù hieäu cov(X, Y), ñöôïc ñònh nghóa:
cov(X, Y) = E([X – E(X)].[Y – E(Y)])
cov(X, Y) thöôøng ñöôïc tính theo coâng thöùc:
cov(X, Y) = E(X.Y) – E(X).E(Y)
m n m n
= ∑ ∑ x i y jpij − ∑ xi pi ∑ y jq j
i = 1 j= 1 i =1 j= 1
- Hieäp phöông sai ño möùc ñoä phuï thuoäc giöõa X, Y:
X, Y ñoäc laäp thì E(X.Y) = E(X).E(Y) neân cov(X,Y) = 0.
Hieäp phöông sai coù caùc tính chaát sau:
(i) cov(X, X) = var(X)
(ii) var(aX ± bY) = a2var(X) + b2var(Y)
± 2ab.cov(X, Y)
- Ví duï
Xeùt ÑLNN (X, Y) coù baûng phaân phoái:
X Y –1 0 1 3
0 0,12 0,10 0,05 0,10
1 0,03 0,11 0,07 0,05
2 0,10 0,04 0,03 0,20
Töø caùc baûng phaân phoái leà, ta ñaõ coù E(X) = 1 vaø
E(Y) = 0,95. Vaäy:
m n
cov(X, Y) = ∑ ∑ xi y jpij − E(X).E(Y)
i =1 j =1
= 1,25 − 1×0,95 = 0,3
- 1.3.2 Heä soá töông quan
Heä soá töông quan cuûa hai ÑLNN thaønh phaàn X
vaø Y, kyù hieäu ρ XY , ñöôïc ñònh nghóa:
Cov(X, Y)
ρ XY =
σ X .σ Y
Heä soá töông quan coù caùc tính chaát sau:
(i) ρ XY ≤ 1
(ii) ρ XY > 0 ⇒ X, Y ñoàng bieán
ρ XY < 0 ⇒ X, Y nghòch bieán.
(iii) ρ XY = 1 ⇔ P(Y = aX + b) = 1.
Heä soá töông quan ño möùc ñoä phuï thuoäc tuyeán
tính giöõa hai ÑLNN thaønh phaàn.
- Ví duï
Xeùt ÑLNN (X, Y) coù baûng phaân phoái sau:
X Y –1 0 1 3
0 0,12 0,10 0,05 0,10
1 0,03 0,11 0,07 0,05
2 0,10 0,04 0,03 0,20
Ta ñaõ tính ñöôïc:
cov(X, Y) = 0,3
σ X2 = 0,74 ⇒ σX = 0,86
σ Y2 = 2,6475 ⇒ σY = 1,6371
⇒ ρ XY = cov(X, Y)/(σX.σY) = 0,2144
- 2. Haøm cuûa ÑLNN
2.1 Khaùi nieäm
2.1.1 Haøm moät bieán ngaãu nhieân
Xeùt haøm soá y = g(x). Neáu thay x bôûi ÑLNN X thì
Y = g(X) laø ÑLNN goïi laø haøm moät bieán ngaãu
nhieân.
Kyø voïng, phöông sai, ñoä leäch chuaån cuûa ÑLNN
g(X) khi bieát g vaø X tính theo caùc coâng thöùc quen
thuoäc, mieãn laø thay x bôûi g(x). Chaúng haïn vôùi ÑLNN
X coù baûng phaân phoái (xi, pi), i=1, n thì:
n
E(g(X)) = ∑ g(xi )pi
i =1
var(g(X)) = E(g(X)2) – [E(g(X))]2
- Ví duï
Cho ÑLNN X coù baûng phaân phoái:
X –2 –1 2 4 5
p 6% 14% 30% 20% 10%
Ñaët Y = X2 + X − 1 thì:
5
2
E(X +X−1) = ∑ (x i2 + x i − 1)pi = 8,12
i =1
2
5 5
var(X +X−1) = ∑ (x i + x i − 1) pi − ∑ (x i2 + x i − 1)pi
2 2 2
i =1 i =1
= 98,0656
- 2.1.2 Haøm n-bieán ngaãu nhieân
Xeùt haøm soá n-bieán y = g(x1, x2, ..., xn). Neáu thay
x1, x2, ..., xn bôûi caùc ÑLNN X1, X2, ..., Xn thì
Y = g(X1, X2, ..., Xn) laø ÑLNN goïi laø haøm n-bieán
ngaãu nhieân.
Caùc bieåu thöùc Y = X1+X2, Y = X1.X2 trong ñoù X1, X2
laø ÑLNN laø caùc ví duï veà haøm 2-bieán ngaãu nhieân.
- Ví duï
Loâ haøng I goàm 8 chính phaåm vaø 2 pheá phaåm. Loâ
haøng II goàm 6 chính phaåm vaø 4 pheá phaåm. Moät
ngöôøi mua 2 saûn phaåm töø loâ haøng I vaø 1 saûn phaåm
töø loâ haøng II. Goïi X laø soá chính phaåm mua ñöôïc. Laäp
baûng phaân phoái cuûa ÑLNN X.
Goïi X1, X2 laø soá chính phaåm mua ñöôïc töø loâ
haøng I, II thì Y = X1 + X2.
Do X1~H(10; 8; 2) vaø X2~H(10; 6; 1) neân baûng
phaân phoái cuûa X1, X2 nhö sau:
X1 0 1 2 X2 0 1
p 1/45 16/45 28/45 p 0,4 0,6
Do hai loâ haøng ñoäc laäp nhau neân ta coù:
nguon tai.lieu . vn