Xem mẫu
- ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG
BÀI GIẢNG
LỊCH SỬ TOÁN HỌC
Người thực hiện: ThS Phan Bá Trình
Quảng Ngãi, tháng 7 năm 2019
1
- MỤC LỤC
MỤC LỤC ……………………………………..…...………………………………….2
MỞ ĐẦU ……………………………………...…...…………………….…..…………3
Chương 1 BỘ MÔN LỊCH SỬ TOÁN ……..……………………………….………. 4
1.1 Đối tượng và nhiệm vụ của lịch sử toán………………..…………………………….4
1.2 Lịch sử toán với việc dạy học toán ở trường THC ….………………………………7
Chương 2 SỰ PHÁT TRIỂN TOÁN HỌC .………………………………………10
2.1 Số tự nhiên và hệ thống phi số ………………………………………………….…..10
2.2 Toán học cổ Ai cập………………………………………………………………….12
2.3 Toán học Babilon……………………………………………………………………13
Chương 3 TOÁN HỌC SƠ CẤP………………………………………………….…15
3.1 Toán học cổ Hy Lạ…………………………………………………….……………15
3.2 Toán học cổ Trung Quốc .…………………………………………………...……19
3.3 Toán học cổ Ấn Độ …………………………………………………………………21
3.4 Toán học ở Trung Á và Cận đông.………………………………………….………24
3.5 Toán học ở Châu Âu.…………………………………………………………..……26
Chương 4 TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN………………………………………30
4.1 Toán học của những đại lượng biến thiên………………………………….………..30
4.2 Hình học giải tích. ………………………………………………………….…….…36
4.3 Phép tính vi tích phân. ………………………………………………………………42
Chương 5 TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI………………………………………...…………57
5.1 Sự mở rộng đối tượng của toán học. ……………………………………...…………57
5.2 Hình học phi Ơclit ………………………………………………………...…………60
5.3 Đại số hiện đại và cấu trúc toán học…………………………………………………63
5.4 Lý thuyết tập hợp ..………………………………………………………….………66
5.5 Lôgic toán và phương pháp tiên đề. …………………………………………………70
5.6 Hai xu thế phát triển chính của toán học hiện đại……………………………………74
Chương 6 VÀI NÉT VỀ TOÁN HỌC Ở VIỆT NAM…………………….…………78
6.1 Giới thiệu vài nét về sự phát triển của toán học Việt Nam. …………...……………78
6.2 Vài nét về Giáo sư -Tiến sĩ khoa học Lê Văn Thiêm …………………….……....…79
6.3 Vài nét về Giáo sư Hoàng Tụy ..............………………………………….……....…81
6.4 Vài nét về Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn. ………………………………….……....…83
6.5 Vài nét về Giáo sư Ngô Bảo Châu. …………………………………….……………87
Tài liệu tham khảo …………………………………………………………………….88
2
- MỞ ĐẦU
Lịch sử toán học là khoa học về những quy luật khách quan của sự phát triển toán
học. Nó giải quyết được nhiều nhiệm vụ khác nhau, chẳng hạn:
Xác định các phương pháp, các khái niệm và các tư tưởng toán học đã phát sinh
như thế nào trong lịch sử.
Nghiên cứu phát hiện các mối liên hệ giữa toán học với nhu cầu hoạt động thực
tiễn của con người.
Nghiên cứu phát hiện nguyên nhân lịch sử của cấu trúc logic của toán học hiện
đại, tính biện chứng của sự phát triển của nó.
Lịch sử toán học có nội dung nghiên cứu hết sức phong phú. Vì thời gian trong
chương trình của ngành sư phạm toán dành cho môn học này là 02 tín chỉ (30 tiết)
nên bài giảng này chỉ trình bày một số vấn đề mang tính chất tổng quan về lịch sử
phát triển của toán học tiêu biểu.
Nội dung của bài giảng gồm 6 chương:
Chương 1. Bộ môn lịch sử toán
Chương 2. Sự phát sinh toán học
Chương 3. Toán học sơ cấp
Chương 4. Toán học cao cấp cổ điển
Chương 5. Toán học hiện đại
Chương 6. Vài nét về toán học ở Việt Nam
Chúng tôi hy vọng rằng bài giảng này sẽ đóng góp phần nhỏ vào việc giảng dạy và
học bộ môn lịch sử toán học.
Bài giảng này chắc hẳn còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được sự đóng
góp ý kiến của đồng nghiệp, các thầy cô giáo, các em sinh viên và các độc giả gần
xa.
3
- CHƯƠNG 1
BỘ MÔN LỊCH SỬ TOÁN
1.1. Đối tượng và nhiệm vụ của lịch sử toán
1.1.1 Đối tượng
Lịch sử Toán học (hay lịch sử toán) là một ngành của toán học. Mọi ngành
toán học, dù khác nhau như thế nào đi nữa thì cũng có chung một đối tượng.
Theo định nghĩa của Ăngghen thì đối tượng của toán học thuần túy là những
quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Các ngành
khác nhau của toán học nghiên cứu các dạng đặc biệt, riêng biệt của các quan hệ
số lượng và hình dạng không gian đó.
Việc hiểu rõ đối tượng của lịch sử toán không thể đầy đủ qua một số định
nghĩa ngắn gọn, mà sẽ được hoàn chỉnh dần trong quá trình nghiên cứu toàn bộ
bài giảng này.
1.1.2. Nhiệm vụ
Cũng như mọi khoa học khác, toán học bao gồm các yếu tố sau đây:
a. Các sự kiện, tích lũy được trong quá trình phát triển của nó.
b. Các giả thuyết, tức là các mệnh đề khoa học, dựa trên các sự kiện mà đề ra,
và về sau phải được thực nghiệm kiểm tra lại.
c. Các lí thuyết và các quy luật toán học là kết quả của sự khái quát hóa các tài
liệu cụ thể.
d. Phương pháp luận toán học tức là sự giải thích lí luận tổng quát các quy
luật và lí thuyết toán học.
Các yếu tố trên đây liên hệ chặt chẽ với nhau và không ngừng phát triển. Giải
thích và tìm ra quy luật của sự vận động và phát triển này trong toán học, ở mỗi
giai đoạn lịch sử nhất định là nhiệm vụ của bộ môn lịch sử toán.
Lịch sử toán là khoa học về các quy luật khách quan của sự phát triển toán
học.
Lịch sử toán liên quan đến toàn bộ toán học và nhiều ngành khoa học khác.
1.1.3. Bản chất của toán học
Phân tích đối tượng của toán học (cũng là đối tượng của lịch sử toán học) ta
thấy toán học là một khoa học rất thực tiễn vì toán học nghiên cứu quan hệ số
lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Toán học là một khoa
học vào loại cổ nhất. Loài người đã có những kiến thức toán học ngay từ giai
đoạn phát triển sớm nhất, do ảnh hưởng của những hoạt động sản xuất sơ khai.
Tuy nhiên, đối tượng của toán học không phải do thực tại cho ta một cách trực
tiếp, mà là kết quả của trừu tượng hóa. Muốn nghiên cứu một đối tượng hay một
4
- hiện tượng nào đó bằng công cụ toán học thì phải gạt bỏ tất cả các đặc điểm về
chất của đối tượng và hiện tượng, mà chỉ giữ lại những gì đặc trưng cho số
lượng và hình dạng của chúng mà thôi. Làm như vậy, chẳng hạn ta được “điểm”
là cái gì không có kích thước, “đường” là cái gì không bề dày, bề rộng, những x
và y, a và b, những đại lượng không đổi và đại lượng biến thiên. Trong quá trình
phát triển, toán học khảo sát những đối tượng mà quan hệ về số lượng và hình
dạng không gian ngày càng trừu tượng. Trong các lí thuyết toán học hiện đại,
các quan hệ về số và hình thường hết sức trừu tượng: người ta nói đến các tập
hợp những phần tử mà tính chất của chúng và quy tắc thực hiện phép tính về
chúng được cho bằng một tiên đề.
Tính chất trừu tượng của đối tượng toán học được một số người hiểu là một
yếu tố xuất phát, tiên thiên. Chẳng hạn, họ cho rằng các phần tử của tập hợp, về
nguyên tắc, được tách khỏi các sự vật của thế giới hiện thực và các hệ tiên đề,
các định nghĩa, các phép toán được đưa vào một cách tùy ý. Nhận thức này đưa
đến những quan điểm duy tâm sai lầm, ảnh hưởng không tốt đến sự phát triển
của toán học.
Tính chất trừu tượng của đối tượng toán học chỉ che đậy nguồn gốc thực tế
khách quan (thường là phức tạp, nhiều mức độ, gián tiếp) của mọi khái niệm
toán học, chứ không xóa bỏ nguồn gốc đó. Lịch sử chứng tỏ rằng nhu cầu hoạt
động thực tiễn của con người là điều quyết định chủ yếu sự phát triển của toán
học.
Phạm vi của quan hệ số lượng và hình dạng không gian mà toán học nghiên
cứu không ngừng được mở rộng, trong mối liên hệ chặt chẽ với những nhu cầu
kĩ thuật và khoa học tự nhiên làm cho nội dung định nghĩa tổng quát về toán học
ngày càng thêm phong phú. Tất nhiên, toán học không phải là sự bịa đặt trống
rỗng của các nhà thông thái. Ngược lại, thực tiễn, đặc biệt là kĩ thuật, lại là một
phương tiện hỗ trợ không thể thay thế được trong việc nghiên cứu toán học và
có tác dụng làm thay đổi nhiều bộ mặt của toán học (chẳng hạn, tác dụng của
máy tính điện tử đối với sự phát triển của toán học).
Bắt nguồn từ hiện thực, các quan hệ số lượng và hình dạng không gian được
trí óc con người trừu tượng hóa và nghiên cứu trong những mối liên hệ nhiều
hình, nhiều vẻ giữa chúng với nhau và bằng con đường thuần túy lôgíc. Khi lí
tính sáng tạo ra toán học bằng con đường lôgíc thì không phải đã xa rời hiện
thực mà chính lại càng sát gần hiện thực hơn và có tác dụng đối với hiện thực.
Tính trừu tượng của toán học càng cao thì phạm vi ứng dụng toán học càng mở
rộng. Về nguyên tắc, không thể nêu ra giới hạn của sự mở rộng đó. “Toán học
là người đầy tớ và là hoàng hậu của mọi khoa học.”
Lịch sử cho hay rằng nhiều phát minh toán học đi trước khoa học và kĩ thuật
khá lâu, có khi đến hàng thế kỉ. Chẳng hạn, lí thuyết hàm số biến số phức ra đời
từ cuối thế kỉ thứ XVIII, nhưng đến cuối thế kỉ thứ XIX mới được áp dụng vào
5
- thủy động học và khí động học và từ đó đi vào công nghiệp hàng không hiện
đại. Hình học Phi Ơclít ra đời từ giữa thế kỉ thứ XIX nhưng đến thế kỉ thứ XX
mới được áp dụng vào lí thuyết tương đối của Vật lí. Lôgíc toán học ra đời từ
cuối thế kỉ thứ XIX nhưng đến giữa thế kỉ thứ XX mới được sử dụng để tạo nên
máy tính điện tử. Nói chung, bộ máy toán học phục vụ cho cách mạng kĩ thuật
lần thứ nhất đã được chuẩn bị trước đó một thế kỉ.
Bộ máy toán học phục vụ cho cách mạng kĩ thuật lần thứ hai đã được chuẩn bị
trước đó nửa thế kỉ (Rõ ràng nếu không có lí thuyết tập hợp, đại số hiện đại,
lôgíc toán,… thì không thể có điều khiển học (xibécnêtic) và máy tính điện tử)
Với sự phát triển của máy tính điện tử, chúng ta hiện nay đang sống trong nền
văn minh tin học, và theo dự báo, sau đó sẽ là nền văn minh sáng tạo. Các nhà
toán học cũng có công đầu trong việc xây dựng “khoa học sáng tạo”
(creatology), tiếp đó là các nhà tâm lí học, giáo dục học,v.v…
Vì vậy, về vai trò của toán học đối với thực tiễn, cần có nhận thức
rộng rãi, không thể chỉ thấy tác dụng trước mắt mà còn phải nhìn cả
tác dụng lâu dài.
Theo quan điểm điều khiển học, toán học đã xâm nhập vào nhiều ngành khoa
học tự nhiên và cả khoa học xã hội, ngày càng phát triển hiệu lực của phương
pháp toán học trong các ngành đó và trong xã hội sáng tạo tương lai.
1.1.4. Các giai đoạn phát triển toán học
Để nghiên cứu lịch sử toán một cách thuận lợi thì cần chia giai đoạn. Có
nhiều cách chia giai đoạn theo một số đặc điểm nào đó, chẳng hạn chia theo
quốc gia, theo chế độ kinh tế xã hội, theo các phát minh lớn có tác dụng quyết
định tính chất của sự phát triển, vv… Cuộc tranh luận về phân chia các giai
đoạn phát triển toán học chưa kết thúc. Trong bài giảng này, các giai đoạn được
phân chia theo Kônmôgôrốp (Kolmogorop Andrei Nikolaievich, người Nga) vì
nó tương đối hợp lí, dựa trên cơ sở về sự đánh giá nội dung của toán học: Các
phương pháp, quan điểm và những kết quả quan trọng nhất. Theo ông, quá trình
hình thành và phát triển của toán học gồm bốn giai đoạn sau đây:
a. Giai đoạn phát sinh toán học
Giai đoạn này bắt đầu từ thời xa xưa nhất của loài người nguyên thủy, kéo dài
cho đến khoảng thế kỉ thứ VI, thứ V (TCN), lúc mà toán học trở thành một khoa
học độc lập, có đối tượng và phương pháp nghiên cứu riêng.
Đặc điểm của giai đoạn này là việc tích lũy các sự kiện toán học cụ thể trong
khuôn khổ một khoa học chung (khoa học tự nhiên)
b. Giai đoạn toán học sơ cấp (từ khoảng thế kỉ thứ VI, thứ V (TCN) đến hết
thế kỉ thứ XVI)
Đặc điểm của giai đoạn này là việc nghiên cứu các đại lượng không đổi.
Những nội dung toán học đang được dạy ở trường phổ thông Việt Nam và nhiều
6
- nước trên thế giới hiện nay có thể cho ta một khái niệm về thành tựu của giai
đoạn này.
c. Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển (từ thế kỉ thứ XVII đến giữa thế kỉ
XIX)
Đặc điểm của giai đoạn này là việc sáng tạo ra toán học của các đại lượng
không đổi. Trong giai đoạn này, đối tượng chủ yếu của toán học là các quá
trình, các chuyển động. Giai đoạn này mở đầu bằng việc đưa đại lượng biến
thiên vào hình học giải tích của Đềcác, với phép tính vi tích phân mà Niutơn và
Lépnít đã hoàn thành toàn bộ. Phần lớn kiến thức toán học ở giai đoạn này đang
được dạy ở các trường Cao đẳng và ở những năm đầu của các trường đại học
của nước ta.
d. Giai đoạn toán học hiện đại (từ giữa thế kỉ thứ XIX đến nay)
Người ta thường xem mở đầu của giai đoạn này là phát minh to lớn của
Lôbasépski và Bôlyai về hình học Phi Ơclit, là sự ra đời của đại số hiện đại. Đặc
điểm của giai đoạn này là đối tượng của toán học đã mở ra rất rộng, nhiều lí
thuyết toán học mới xuất hiện, vấn đề xây dựng cơ sở của toán học có một ý
nghĩa đặc biệt quan trọng. Toán học đã trở thành một khối thống nhất với những
nền tảng và những phương pháp chung. Trong toán học có hiện tượng phân
ngành sâu sắc và giữa toán học với các khoa học khác có hiện tượng liên ngành
chặt chẽ. Phạm vi ứng dụng của toán học được mở rộng chưa từng thấy.
1.2. Lịch sử toán với việc dạy học toán ở trường Trung học cơ sở
Nếu như đối với mỗi người, sự hiểu biết lịch sử khoa học là có ích, thì đối với
người giáo viên, việc hiểu rõ các sự kiện lịch sử cơ bản của khoa học mình
giảng dạy, hiểu rõ các quy luật phát triển của khoa học ấy là điều rất cần thiết.
1. Nghiên cứu lịch sử toán chúng ta thấy quá trình phát triển của toán học là
quá trình không ngừng tiến lên trên con đường khái quát hóa và trừu tượng hóa.
Về phương diện là một khoa học thì toán học phát triển theo các quy luật khách
quan. Toán học là một trong các hình thái của ý thức xã hội loài người, vì vậy
các quy luật chi phối sự phát triển của toán học về cơ bản chủ yếu vẫn là những
quy luật chung của mọi hình thái ý thức xã hội.
Nghiên cứu sự phát triển của toán học, chúng ta sẽ thấy được trong chừng
mực nhất định, các phương pháp, các khái niệm và tư tưởng toán học đã phát
sinh như thế nào, các lí thuyết toán học khác nhau đã hình thành ra sao trong
lịch sử, mối quan hệ giữa các bộ phận của toán học, thấy được những việc đã
xảy ra, những bước đang đi và con đường sẽ tới của toán học. Nghiên cứu các
giai đoạn phát triển của toán học, chúng ta còn nắm được các mối liên hệ phong
phú của toán học, liên hệ giữa toán học với những nhu cầu và hoạt động thực
tiễn của con người, với sự phát triển của các khoa học khác, các ảnh hưởng của
cơ cấu kinh tế và xã hội, của đấu tranh giai cấp (đặc biệt trong lĩnh vực tư
tưởng), đấu tranh gay gắt giữa cái cũ và cái mới đến nội dung và tính chất của
7
- sự phát triển toán học, vai trò của nhân dân, của tập thể và cá nhân các nhà toán
học, v.v…
Nghiên cứu lịch sử toán ta thấy sự phát triển của toán học không phải là một quá
trình bằng phẳng, đều đặn và liên tục của các chân lí toán học. Có thể nói, lịch
sử toán học là lịch sử của sự đấu tranh gay gắt giữa cái mới và cái cũ, trong đó
cái mới nhất định chiến thắng, mặc dù trải qua sự thất bại tạm thời và cả sự hi
sinh của nhiều nhà khoa học tiến bộ. Chẳng hạn, ở thế kỉ thứ XVII, phép tính vi
phân vừa mới xuất hiện trong các công trình của Lépnít, Niutơn thì đã bị giáo
chủ Becơli công kích kịch liệt. Cuộc đấu tranh xung quanh các khái niệm cơ bản
của giải tích, đặc biệt là khái niệm giới hạn, đã kéo dài suốt quá trình lịch sử
ngành đó. Sự xây dựng cơ sở của môn giải tích dựa trên lí thuyết giới hạn mãi
đến cuối thế kỉ thứ XIX mới được thừa nhận. Cơ sở của hình học Phi Ơclít đã
được biết từ năm 1826 với Lôbasepski, tuy nhiên phải đấu tranh lâu dài, đến
cuối thế kỉ thứ XIX mới được thừa nhận và tiếp tục phát triển. Về thực chất,
hình học Phi Ơclít chỉ có thể phát triển sau khi lí thuyết tương đối của Anhstanh
xuất hiện. Như thế, lịch sử toán học cho biết bản thân toán học là không có tính
chất giai cấp, nhưng có tác động của chế độ xã hội đối với sự phát triển của nó,
có thái độ của các giai cấp đối với nó, có quan điểm duy tâm và duy vật và có
tính chất giai cấp trong việc xây dụng, giảng dạy và sử dụng nó.
2. Nghiên cứu sự hình thành khoa học toán học, ta càng thấy rõ toán học có
hai hình thái: nó là khoa học chặt chẽ của Ơclit nhưng nó cũng là một nghệ
thuật vô hạn, không cứng nhắc. Khi được trình bày theo kiểu Ơclit, toán học là
một khoa học suy diễn và có hệ thống, nhưng toán học trong quá trình tìm tòi,
sáng tạo là một khoa học thực nghiệm và quy nạp. Cả hai hình thái đó đều có từ
lâu, cũng như chính bản thân toán học vậy. Hệ thống suy diễn chặt chẽ từ các
tiên đề của hình học Ơclít đã chi phối toán học trong một thời gian dài và khá
quyến rũ. Tuy nhiên, nhấn mạnh quá đáng sẽ đi chệch khỏi con đường đúng đắn
nếu coi những yếu tố kiến thiết, phương pháp quy nạp, trực quan, tưởng tượng,
cũng như quá trình tư duy tiền lôgic,… chỉ đóng một vai trò thứ yếu.
Phương pháp suy diễn, thoạt nhìn khá giáo điều nhưng lại cho phép chiếm
lĩnh một cách nhanh chóng nhiều lĩnh vực đáng kể. Tuy nhiên phương pháp
kiến thiết của Xôcrát đi từ cái riêng đến cái chung, thoát khỏi giáo điều nhờ có
tư tưởng độc lập, sáng tạo là con đường nghiên cứu đầy hi vọng không gì so
sánh được. Phép suy diễn cần được bổ sung bằng trực quan, khát vọng tổng quát
hóa liên tiếp cần được hạn chế và cân bằng nhờ trân trọng đến cái riêng.
Nhu cầu thực tiễn (hiểu theo nghĩa rộng, kể cả nhu cầu của các khoa học lân
cận và nhu cầu của bản thân toán học) là động lực của toán học, phương pháp
tiên đề là tác phong của toán học hiện đại. Nói rằng đặc trưng của phương pháp
toán học là trừu tượng hóa, khái quát hóa thì ta cũng không quên một mặt khác
của phương pháp toán học là phương pháp quy nạp, dự đoán, mò mẫm. Tóm lại,
8
- đặc trưng của phương pháp toán học là sự kết hợp chặt chẽ giữa cái cụ thể và cái
trừu tượng, giữa phương pháp quy nạp và phương pháp suy diễn. Hiểu như vậy,
giáo viên dạy toán sẽ có ý thức lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp, vừa
phản ánh được bản sắc bộ môn, vừa thể hiện tư duy toán học hoàn chỉnh, vừa
sát đối tượng, đạt yêu cầu giáo dục.
3. Giáo viên toán cần hiểu rõ các vấn đề như: con người đã lao động thế nào
để sáng tạo ra các khái niệm toán học các hình ảnh cụ thể nào là cần thiết trong
bước đầu hình thành khái niệm, tính chất, lí thuyết toán học trừu tượng các
chứng minh chặt chẽ đã được xây dựng và tích lũy như thế nào trong lịch sử
những sự kiện toán học điển hình, các bài toán lí thú mà người xưa đã giải trong
hàng trăm năm; những khó khăn đặc biệt mà loài người đã phải vượt qua trong
quá trình phát triển toán học.
Lịch sử toán có thể giúp cho giáo viên trong công tác rất khó khăn của mình
là biến toán học thành một môn dạy hấp dẫn, thích thú đối với học sinh, làm cho
các giờ toán không phải là một gánh nặng, một hình phạt đối với học sinh, mà là
một nguồn vui, một cái gì đẹp đẽ, có thể giúp ích cho họ trong cuộc sống, trong
công tác.
Hiểu rõ lịch sử toán, giáo viên có thể kết hợp vào bài giảng của mình mà
giới thiệu ngắn gọn, đúng lúc những nét về lịch sử khái niệm, lịch sử vấn đề,
lịch sử các phát minh, tiểu sử các nhà khoa học,… làm cho giờ học thêm sinh
động, có tác dụng khêu gợi khả năng sáng tạo của học sinh, động viên họ, giúp
họ củng cố lòng tin ở bản thân
CÂU HỎI
1. Phân tích vì sao lịch sử toán là khoa học về các quy luật khách quan của sự
phát triển toán học?
2. Bản chất của toán học là gì?
3. Nêu đặc điểm của mỗi giai đoạn lịch sử toán học theo cách chia của
Kônmôgôrốp.
4. Vì sao chuyên đề lịch sử toán lại hỗ trợ đắc lực cho giáo trình phương pháp
dạy học môn Toán THCS?
5. Phân tích sự cần thiết phải hiểu biết môn lịch sử toán đối với giáo viên toán
THCS.
9
- CHƯƠNG 2
SỰ PHÁT SINH TOÁN HỌC
2.1. Số tự nhiên và hệ thống ghi số
2.1.1. Sự hình thành khái niệm số ở người nguyên thủy
Rất lâu trước những văn tự cổ nhất, đã có những bức vẽ cho thấy một kiến thức về
toán học và đo thời gian dựa trên sao trời. Ví dụ các nhà cổ sinh vật học đã khám
phá ra các mảnh đất thổ hoàng trong một hang động ở Nam Phi được trang trí bởi
các hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN. Cũng các di khảo tiền sử
được tìm thấy ở châu Phi và Pháp, thời gian khoảng giữa 35000 TCN và 20000
TCN, cho thấy các cố gắng sơ khai nhằm định lượng thời gian.
Các bằng chứng còn tồn tại cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu là do phụ nữ,
những người giữ các vật đánh dấu chu kì sinh học hàng tháng; ví dụ hai mươi tám,
hai mươi chín, hoặc ba mươi vạch trên xương hoặc hòn đá, theo sau là một vạch
cách biệt khác. Hơn nữa, các thợ săn đã có khái niệm về một, hai và nhiều cũng
như không khi xem xét số bầy thú.
Xương Ishango được tìm thấy ở thượng nguồn sông Nil (phía bắc Cộng hòa Dân
chủ Congo), thuộc thời kì 20.000 TCN. Bản dịch thông dụng nhất của hòn đá cho
ta thấy nó là bằng chứng sớm nhất thể hiện một dãy các số nguyên tố và phép nhân
Ai Cập cổ đại. Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ 5 TCN đã vẽ các bức tranh về
thiết kế hình học và không gian. Người ta đã khẳng định các hòn đá tế thần ở Anh
và Scotland từ thiên niên kỉ thứ 3 TCN, bao gồm cả các ý tưởng hình học như hình
tròn, hình elíp và bộ ba Pythagore trong thiết kế của nó.
2.1.2. Các hệ thống ghi số
Nền toán học sớm nhất từng biết trong Ấn Độ cổ đại nằm vào khoảng 3000 TCN -
2600 TCN ở nền văn minh thung lũng Indus (nền văn minh Harappan) của Bắc Ấn
Độ và Pakistan, đã phát triển một hệ thống các đơn vị đo Thung lũng Indus cổ đại
sử dụng hệ cơ số 10, một công nghệ gạch đáng ngạc nhiên sử dụng các tỉ lệ, các
đường đi được đặt trên một góc vuông hoàn hảo, và một số các hình hình học và
thiết kế, bao gồm hình hộp chữ nhật, thùng phi, hình nón, hình trụ và các bức vẽ
các hình tròn và hình tam giác cắt nhau và đồng qui. Các dụng cụ toán học tìm
được bao gồm một thước đo cơ số 10 với độ chia nhỏ và chính xác, một dụng cụ vỏ
sò hoạt động như một chiếc compa để đo góc trên mặt phẳng hoặc theo các bội của
10
- 40-360 độ, một dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần của đường chân trời và bầu trời, và
một dụng cụ để đo vị trí của các sao nhằm mục đích định hướng. Bản viết tay Indus
vẫn chưa được giải nghĩa; do đó ta biết được rất ít về các dạng viết của toán học
Harappan. Các bằng chứng khảo cổ đã làm các nhà sử học tin rằng nền văn minh
này đã sử dụng hệ đếm cơ số 8 và đạt được các kiến thức về tỉ lệ giữa chu vi của
đường tròn đối với bán kính của nó, do đó tính được số π.
a. Hệ thống ghi số không theo vị trí, ghi bằng chữ tượng hình
Khi trình độ đếm còn sơ khai thì loài người ghi số rất đơn giản, số chỉ số lượng là
bao nhiêu thì ghi bấy nhiêu lần cùng một kí hiệu (theo nguyên tắc cộng).Kí hiệu
phổ biến là các chữ tượng hình, bao gồm các chữ gạch đứng, gạch ngang, gạch
chéo hoặc các chấm. Chẳng hạn:
Chữ số Trung Quốc: -, =, ,... Chữ số La Mã: I, II,III, IV, V,VI,..mà các chữ chính
là: I, V, X, L, C, D, M.
b. Hệ thống ghi số bằng chữ cái
Người ta dùng chữ cái, lấy từng bộ chín chữ một để chỉ các số hàng đơn vị, hàng
chục, hàng trăm. Mỗi chữ cái được kèm theo một kí hiệu riêng để chỉ rõ được dùng
để ghi số (thêm dấu chấm hoặc gạch ngang).Nếu các chữ cái trong bộ chữ chưa đủ
thì người ta dùng thêm những chữ hay kí hiệu phụ. Hệ thống ghi số Hi Lạp cổ là
một ví dụ điển hình.
Cách ghi số cổ Hi Lạp
(alfa): 1 (iôta): 10 (rô): 100
(bêta): 2 (kapta): 20 (sigma): 200
(gama): 3 (lămda): 30 (tô): 300
(delta): 4 (muy): 40 (uypsilon): 400
(epsilon): 5 (nuy): 50 (phi): 500
(đigama): 6 (ksi): 60 (khi): 600
(dzêta): 7 (ômicrôn): 70 (psi): 700
(êtha): 8 (pi): 80 (ômêga): 800
(thêta): 9 q (kôpa): 90 (xampi): 900
Chẳng hạn: số 857 được viết là: .
Số 1.000 thì kí hiệu: , ; số 2.000 thì kí hiệu: , .....
c. Hệ thống ghi số theo vị trí
Hệ thống số đếm của người Babylon (thuộc Iraq ngày nay) ra đời từ khoảng những
năm 2000 trước công nguyên (tức là cách đây khoảng 4000 năm). Thay vì sử dụng
hệ thập phân - lấy cơ sở là 10 thì họ xây dựng hệ số có cơ sở là 60 (lục thập phân).
11
- Hệ ghi số Babilon là một ví dụ về những hệ vị trí không thập phân. Hình giống như
chiếc đinh có mũ đại diện cho 1 và hình giống như một chiếc boomerang là đại
diện cho 10 (ở khía cạnh này, số 10 vẫn được coi là một cái mốc đặc biệt). Tuy
nhiên, điều đó không có nghĩa là muốn viết số 9 thì người ta đặt 9 hình cái đinh đó
ở cạnh nhau mà cho chúng chồng lên nhau thành ba hàng, mỗi hàng có ba số 1 viết
như vậy. Rõ ràng là cách viết này tỏ ra phức tạp và với số lớn thì rất khó có thể viết
được. Đó là lý do mà qui ước này không thể tồn tại cho tới ngày nay. Tuy nhiên
ảnh hưởng của nó thì đủ lớn để ngày nay chúng ta vẫn thấy cái bóng của nó mỗi
ngày.
Hệ lục thập phân này chính là nguyên nhân dẫn tới sự phân chia một giờ thành 60
phút, một phút thành 60 giây, cũng như việc chia một cung tròn thành 360 độ mà
bạn đã biết.
2.2. Toán học cổ Ai Cập
Toán học Ai Cập là ám chỉ toán học được viết dưới tiếng Ai Cập.
Toán học Ai Cập cổ đại được đánh dấu bởi nhân vật truyền thuyết Thoth, người
được coi là đã đặt ra mẫu tự Ai Cập, hệ thống chữ số, toán học và thiên văn học, là
vị thần của thời gian.
Từ thời kì Hy Lạp hóa, tiếng Hy Lạp đã thay thế tiếng Ai Cập trong ngôn ngữ viết
của các nhà học giả Ai Cập, và từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp nhất với toán
học Hy Lạp và Babylon để phát triển toán học Hy Lạp. Nghiên cứu toán học ở Ai
Cập sau đó được tiếp tục dưới Đế chế Arab như là một phần của toán học Hồi giáo,
khi tiếng Ả Rập trở thành ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập.
Văn tự toán học cổ nhất tìm được cho tới nay là giấy cói Moskva, một văn tự bằng
giấy cói của Vương quốc giữa Ai Cập vào khoảng 2000—1800 mà ngày nay ta gọi
là "bài toán chữ", rõ ràng là chỉ để giải trí. Một bài toán được coi là quan trọng ở
mức nói riêng bởi nó đưa ra phương pháp tìm thể tích của một hình cụt: "Nếu bạn
biết: một hình chóp cụt có chiều cao 6, diện tích đáy lớn 4, diện tích đáy nhỏ 2. Bạn
sẽ bình phương số 4 này, được 16. Bạn sẽ nhân đôi 4, được 8. Bạn sẽ bình phương
2, được 4. Bạn sẽ cộng 16, 8, và 4 được 28. Bạn sẽ lấy một phần ba của 6, được 2.
Bạn nhân 28 với 2 được 56. Và 56 là số bạn cần tìm."
12
- Giấy cọ Rhind (khoảng 1650 TCN) là một văn bản toán học Ai Cập quan trọng
khác, một hướng dẫn trong số học và hình học. Cùng với việc đưa ra các công thức
diện tích và phương pháp nhân, chia và làm việc với phân số đơn vị, nó cũng chứa
các bằng chứng về các kiến thức toán học khác (xem Egyptian Unit Fractions) bao
gồm hợp số và số nguyên tố; trung bình cộng, trung bình nhân và trung bình điều
hòa; và hiểu biết sơ bộ về sàng Eratosthenes và số hoàn hảo. Nó cũng chỉ ra cách
giải phương trình tuyến tính bậc một cũng như cấp số cộng và cấp số nhân.
Cũng vậy, ba thành phần hình học có trong giấy cọ Rhind nói đến những kiến thức
đơn giản nhất của hình học giải tích: (1) Đầu tiên và quan trọng nhất, làm thế nào
để xấp xỉ số π chính xác tới dưới một phần trăm; (2) thứ hai, một cố gắng cổ đại
trong việc cầu phương hình tròn; (3) và thứ ba, sự sử dụng sớm nhất từng biết về
lượng giác.
Cuối cùng, giấy cọ Berlin cũng cho thấy người Ai Cập cổ đại có thể giải phương
trình đại số bậc hai.
2.3. Toán học Babilon
Toán học Babylon là ám chỉ bất kì nền toán học nào thuộc về cư dân Lưỡng Hà
(Iraq ngày nay) từ buổi đầu Sumer cho đến đầu thời kì Hy Lạp hóa. Nó được đặt
tên là toán học Babylon là do vai trò trung tâm của Babylon là nơi nghiên cứu, nơi
đã không còn tồn tại sau thời kì Hy Lạp hóa. Các nhà toán học Babylon đã trộn với
các nhà toán học Hy Lạp để phát triển toán học Hy Lạp. Sau đó dưới Đế chế Arab,
Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt là Baghdad, một lần nữa trở thành trung tâm nghiên cứu
quan trọng cho toán học Hồi giáo.
Đối lập với sự thiếu thốn nguồn tài liệu của toán học Hy Lạp, sự hiểu biết về toán
học Babylon của chúng ta là từ hơn 400 miếng đất sét khai quật được từ những
năm 1850. Viết bằng kí tự Cuneiform, các miếng đất sét này được viết trong khi đất
13
- sét còn ẩm, và được nung cứng trong lò hoặc bằng nhiệt từ Mặt Trời. Một số trong
đó có vẻ là bài tập về nhà.
Bằng chứng sớm nhất về các văn tự toán học là từ thời những người Sumer cổ đại,
những người đã xây nên nền văn minh sớm nhất ở Lưỡng Hà. Họ đã phát triển một
hệ đo lường phức tạp từ 3000 TCN. Khoảng 2500 TCN trở về trước, người Sumer
đã viết những bảng nhân trên đất sét và giải các bài tập hình học và các bài toán
chia. Dấu vết sớm nhất của hệ ghi số Babylon cũng là trong khoảng thời gian này.
Một lượng lớn các tấm đất sét đã được phục hồi là vào khoảng 1800 TCN tới 1600
TCN, và bao gồm các chủ đề về phân số, đại số, phương trình bậc ba và bậc bốn,
các tính toán về các bộ ba Pythagore. Các tấm này cũng bao gồm cả bảng nhân,
bảng lượng giác và các phương pháp giải phương trình tuyến tính và phương trình
bậc hai. Tấm đất sét YBC 7289 đã đưa ra một xấp xỉ của số √2 chính xác tới năm
chữ số thập phân.
Toán học Babylon được viết bằng hệ cơ số 60. Do việc này mà ngày nay ta sử dụng
60 giây trong một phút, 60 phút trong một giờ và 360 (60 × 6) độ trong một vòng
tròn. Các tiến bộ của người Babylon trong toán học phát triển dễ dàng bởi số 60 có
rất nhiều ước số. Cũng vậy, không giống người Ai Cập, Hy Lạp và La Mã, người
Babylon có một hệ ghi số với cách viết số chia theo hàng, trong đó các chữ số viết
ở cột bên trái thể hiện giá trị lớn hơn, giống như hệ thập phân. Thế nhưng họ lại
thiếu một kí hiệu tương đương của dấu thập phân, và do đó hàng trong cách viết số
thường được suy ra từ ngữ cảnh.
CÂU HỎI
1. Nêu những đặc điểm của toán học cổ Ai cập về hệ thống ghi số.
2. Nêu những đặc điểm của toán học Babilon về hệ thống ghi số.
3. Theo bạn thì thành tựu nào của nền toán học Babilon là có ý nghĩa nhất.Vì
sao?
4. Người Ai Cập cổ đã tính thể tích hình chóp cụt khi biết chiều cao, diện tích
đáy lớn, diện tích đáy nhỏ bằng cách nào?
14
- CHƯƠNG 3
TOÁN HỌC SƠ CẤP
3.1 Toán học cổ Hy Lạp
3.1.1. Toán học Hy Lạp và Hy Lạp hóa cổ đại (khoảng 550 TCN – 300)
Toán học Hy Lạp là ám chỉ toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp khoảng giữa 600
TCN và 450. Các nhà toán học Hy Lạp sống ở các thành phố rải rác trên toàn bộ
Địa Trung Hải, từ Ý tới Bắc Phi, nhưng lại thống nhất về văn hóa và ngôn ngữ.
Toán học Hy Lạp đôi khi được gọi là toán học Hellenistic (Hy Lạp hóa).
Toán học Hy Lạp đã trở nên phức tạp hơn rất nhiều so với các nền văn hóa trước
đó. Tất cả các ghi chép còn tồn tại của các nền toán học tiền Hy Lạp đều cho thấy
việc sử dụng suy luận qui nạp, nghĩa là, các quan sát liên tục được sử dụng để lập
nên các phép đo dựa trên kinh nghiệm. Người Hy Lạp sử dụng lí luận logic để đạt
được các kết luận từ các định nghĩa và tiên đề.
Toán học Hy Lạp dường như bắt đầu với Thales (khoảng 624 - khoảng 546 TCN)
và Pythagoras (khoảng 582 - khoảng 507 TCN). Mặc dù tầm ảnh hưởng không còn,
họ có thể vẫn phát triển ý tưởng từ toán học Ai Cập, Babylon, và có thể cả Ấn Độ.
Theo truyền thuyết, Pythagoras đã chu du tới Ai Cập để học toán học, hình học, và
thiên văn từ các đạo sĩ Ai Cập.
Thales đã sử dụng hình học để giải các bài toán như là tính chiều cao của các hình
chóp và khoảng cách từ các tàu tới bờ biển. Pythagoras được coi là người đầu tiên
đưa ra chứng minh cho định lý Pythagore, mặc dù phát biểu của định lý đã đi qua
một chặng đường lịch sử dài. Trong lời bình luận về Euclid, Proclus phát biểu rằng
Pythagoras đã diễn đạt định lý mang tên ông và dựng nên bộ ba Pythagore một
cách đại số hơn là hình học. Trường học của Plato có câu khẩu hiệu: "Không để
những thứ nông cạn trong hình học vào đây."
Học thuyết Pythagoras đã khám phá ra sự tồn tại của các số hữu tỉ. Eudoxus (408 -
khoảng 355 TCN) đã phát minh ra phương pháp vét cạn, tiền thân của khái niệm
hiện đại tích phân. Aristotle (384 - khoảng 322 TCN) đã lần đầu viết ra các luật về
logic. Euclid (khoảng 300 TCN) là ví dụ sớm nhất của một khuôn mẫu mà vẫn còn
được sử dụng cho đến ngày nay, định nghĩa, tiên đề, định lý, chứng minh. Ông
cũng nghiên cứu về các đường conic. Cuốn sách của ông, Cơ bản, được tất cả
những người có học biết đến ở phương Tây cho đến giữa thế kỉ 20. Thêm vào các
15
- định lý quen thuộc của hình học, như định lý Pythagore, Cơ bản còn có cả chứng
minh rằng căn bậc hai của hai là số vô tỉ và có vô hạn số nguyên tố. Sàng
Eratosthenes (khoảng 230 TCN) đã được sử dụng để tìm các số nguyên tố. với
người Hi lạp, toán học đã vượt lên cả việc ghi chép. Những nhà toán học có tên tuổi
tới nay đã để lại những định lí, tiên đề có giá trị khái quát cao trong cuộc sống và
đặc biệt đối với lĩnh vực toán học
Một số người nói rằng người vĩ đại nhất trong các nhà toán học Hy Lạp, nếu không
muốn nói là mọi thời đại, là Archimedes xứ Syracuse (287—212 TCN) xứ
Syracuse. Theo như Lucius Mestrius Plutarchus, ở tuổi 75, trong khi đang vẽ các
công thức toán học ở trên cát, ông đã bị một tên lính La Mã dùng giáo đâm chết.
Roma cổ đại để lại ít bằng chứng về sự quan tâm vào toán học lý thuyết.
Thales và định lý Thales-cơ sở cho phép đo hình học và toán học mêtric:
3.1.2. Toán học Hy Lạp cổ đại
Thuật ngữ Mathématiques, Mathématiciens, hay các ngôn từ tương đương trong
ngôn ngữ Châu Âu đều bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp. Chúng được phát sinh từ động
từ ”hiểu biết, học hỏi”. Thời xa xưa nó chưa mang ý nghĩa đặc thù như ngày nay, từ
Hy Lạp; mathema có nghĩa là ”điều được đem ra giảng dạy”, nói một cách cụ thể
hơn nó là một hình thức của tri thức.
Việc dạy toán cổ xưa ở Hy Lạp
Chúng ta biết rất ít về việc dạy toán tại Hy Lạp Cổ đại. Hình như một số trường
triết học đã đóng một vai trò quan trọng trong việc đào tạo các nhà Toán học, khi
mà chuyên ngành hóa trí tuệ còn là ngoại lệ. Ở thời kỳ cổ điển, người ta có nói đến
sự tồn tại của những trường gọi là “khoa học”, như trường Chios hoặc trường
Cizyque. Tuy nhiên, chúng ta không biết các trường ấy đào tạo phổ thông hay
16
- chuyên ngành, và có phải là một cái gì khác cao hơn chứ không chỉ là một nhóm
môn đệ tập trung xung quanh một ông thầy có tiếng tăm.
Như trong y học đã có những bằng chứng sớm hơn và vững chắc hơn về sự tồn tại
của những trường y khoa – hình như môi trường gia đình có một vai trò trong sự
đào tạo của nhà Bác học. Chúng ta có rất ít chi tiết về tiểu sử các nhà toán học song
cũng biết rằng, Archimèdes là con một nhà Thiên văn học, Hypsiclès là con một
nhà toán học, các nhà hình học Ménechme và Dinostrate là hai anh em, còn
Hypatie, nhà toán học nữ Hy Lạp duy nhất mà chúng ta biết, là con gái nhà toán
học Theon ở Alexandria
Thực ra, Hy Lạp thời kỳ cổ điển không biết đến Nhà nước tập quyền kiểu ở Cận
Đông thời Cổ đại, nơi đã nổi lên rất sớm nhu cầu đào tạo một giai cấp thư lại “viên
chức”. Hy Lạp thời đó hợp bởi nhiều thành bang nhỏ độc lập luôn tuôn xung đột
với nhau, hoặc những tổ chức lỏng lẻo như kiểu thị tộc nên không cần đến các hệ
thống giáo dục có tổ chức như ở Ai Cập, Babylone hoặc Trung Quốc.
Tuy rằng thương mại, đạc điền và hàng hải đòi hỏi những tri thức tối thiểu về toán
học và tuy các phép tính sơ đẳng có được dạy tại trường học, nhưng Thành bang
Hy Lạp không quan tâm mấy đến giáo dục trí tuệ và kỹ thuật cho thanh thiếu niên.
Nhà trường do các cá nhân khởi xướng, trong đó có một số trường trở nên nổi
tiếng. Hai nhà sư phạm vĩ đại người Athènes đầu Thế kỷ IV TCN là Socrates và
Platon đều lập ra cơ sở giáo dục riêng của mình – Socrates lập trường hùng biện và
Platon lập trường triết học.
Cả hai ông đều coi toán học là công cụ không thể thiếu cho sự phát triển trí tuệ và
thừa nhận môn học này đòi hỏi ”thể dục” và tập trung tinh thần. Nhưng mỗi ông có
một cách tiếp cận toán học khác nhau. Socrates cho rằng, cũng như những cuộc
tranh luận đối nghịch mà thanh niên rất ưa thích, toán học cần mở mang những đầu
óc ”minh mẫn” cho dù nội dung của nó không có mấy giá trị đối với người công
dân mà lý tưởng là hiến mình cho đời sống chính trị. Nhưng đối với Platon, một
mặt thừa nhận toán học cũng có một vai trò giáo dục dự bị, song còn coi nó là một
môn vỡ lòng cho nghiên cứu triết học – tức là triết học duy tâm Platon – và cả làm
phương tiện chọn lọc bởi vì các môn toán học và triết học mà ông giảng dạy cùng
với nhau tạo thành một hình thức tu luyện khổ hạnh trí tuệ thiết yếu cho đề án cải
cách chính trị của ông.
Thế kỷ III và II TCN đã chứng kiến một sự phát triển hết sức to lớn trong toán học.
Đa số các tác phẩm của thời kỳ ấy còn đến ngày nay là tác phẩm của các nhà toán
học ít nhiều gắn bó với Alexandria, Kinh đô của triều Ptolémée Hy Lạp cai trị Ai
17
- Cập từ 306 đến 31 TCN. Được biết rằng, các triều Vua Ptolémée áp dụng một
chính sách đỡ đầu rộng rãi – trước kia chỉ dành cho một vài cá nhân, thường là các
nhà thơ – bằng, cách lập ra một số cơ quan, nổi tiếng nhất là Thư viện và Bảo tàng
Alexandria. Những cơ quan mới đó rõ ràng đã đem lại một sự thúc đẩy mới cho
nghiên cứu văn học. Ảnh hưởng của chúng đối với sự phát triến của khoa học
không rõ rệt bằng nhưng chắc phải có bầu không khí thuận lợi mà các cơ quan đó
tạo ra chỉ có thể có lợi cho sự phát triển các khoa học.
Tuy nhiên, chúng ta không biết những học giả vĩ đại thời đó được nhiều tài liệu
chứng tỏ rằng đã có mặt tại Alexandria – như Hérophile de Chalcédoine, Euclides,
Straton de Lampraque, Aristarque de Samos, Eratosthène de Cyrèrle, Apollonius de
Perge – có đào tạo môn đệ, giảng dạy hoặc thuyết giảng hay không, trong khuôn
khổ Bảo tàng Alexandria hay với tư cách cá nhân. Vậy là chưa phải đã chắc chắn
tồn tại một trường học hẳn hoi tại Alexandria, thực ra mãi đến thời đế chế La Mã,
Bảo tàng Alexandria này mới hoạt động như một trường đại học và rồi được mô
phỏng tại Ephèse, Athènes, Smyrne hoặc Egine.
Các văn bản toán học
Bên cạnh toán học thuần tuý theo đúng truyền thống Hy Lạp, còn có một loạt văn
bản toán học có thể gọi là mang tính chất ”tính toán”- giống như văn bản tìm thấy
trong toán học Ai Cập, Babylone hoặc Trung Hoa; ví dụ, một bộ sách toán học khá
muộn, được coi là của Héron d’Alexandrie, đã được soạn thảo và sử dụng cho đến
tận thời kỳ Byzance. Có lẽ nó dùng để đào tạo các kỹ thuật viên, như trong các văn
bản Babylone hoặc Ai Cập. Các bài toán đặt ra đều nói rõ ràng đến một tình hình
cụ thể, cho dù tình hình đó nhiều khi chỉ là một phương tiện giảng dạy.
Hoàn toàn không có điều gì tương tự trong các sách cổ điển của Euclides,
Archimèdes hoặc Apollonius, những người ít quan tâm đến các ứng dụng thực
hành. Cách trình bày lý thuyết số của Euclides hoàn toàn không cần viện dẫn
những ví dụ về số. Các tác phẩm còn đến ngày nay hình như cho thấy, có sự tách
biệt rõ rệt giữa nghiên cứu thuần túy và ứng dụng thực hành. Tuy nhiên, cho dù hai
chủ đề này được phân biệt rõ ràng như vậy, cũng các tác giả ấy đều được quan tâm
đến toán học ”thuần túy” lẫn ”ứng dụng” như nhau.
Bộ phận toán học Hy Lạp mà theo quy ước ta gọi là “thuần túy” có 4 đặc điểm sau
đây:
Trình bày suy diễn: những chuyên luận cổ điển, như nguyên lý của Euclides được
trình bày theo cách suy diễn. Kết quả được xác lập bằng chứng minh, hoặc bằng kết
18
- quả đã đạt được chứng minh từ trước hoặc bằng những nguyên lý đặt ra ngay từ
đầu. Đây có thể coi như là một cách tiếp cận nửa theo tiên đề, nhấn mạnh đến khía
cạnh lôgích và tất yếu của toán học. Song, cần ghi nhận rằng nhiều khi khó tách rời
khía cạnh hùng biện với ưu điểm là thu hút sự chú ý của học sinh và nhằm đạt tới
hiệu quả tâm lý và sư phạm, với khía cạnh lôgích tập trung vào cơ cấu tất yếu và
khách quan của biện luận.
Xu hướng hình học: cho dù nói đến lý thuyết số, hình học hay thiên văn học, xu
hướng của những sách chứng minh này về cơ bản là hình học. Toán học cổ đã du
nhập nhiều ký hiệu khác nhau để ghi các số và phân số cũng đã dùng những cách
viết tắt. Nhưng, chính ở việc sử dụng những hình hình học mà người Hy Lạp đi xa
nhất trong thử nghiệm dùng những ký hiệu ”biểu diễn”. Khả năng chia nhỏ các
hình thành những phần tử, ấn định các quay tắc dựng hình được phép, tìm ra những
đặc tính hình như đã ”có mặt” trong các hình, tất cả các khía cạnh ấy hoàn toàn
thích hợp với cách trình bày suy diễn.
3.2. Toán học cổ Trung Quốc
3.2.1. Toán học Trung Quốc cổ đại (khoảng 1300 TCN-200 CN)
Bắt đầu từ thời nhà Thương (1600 TCN— 1046 TCN), toán học Trung Quốc sớm
nhất còn tồn tại bao gồm các số được khắc trên mai rùa. Các số này sử dụng hệ cơ
số 10, vì vậy số 123 được viết (từ trên xuống dưới) bằng một kí hiệu cho số 1 rồi
đến một kí hiệu hàng trăm, sau đó là kí hiệu cho số 2 rồi đến kí hiệu hàng chục, sau
đó là số 3. Đây là hệ cơ số tiến bộ nhất trên thế giới vào thời điểm đó và cho phép
tính toán được thực hiện bởi bàn tính. Thời điểm phát minh ra bàn tính không rõ,
nhưng tài liệu cổ nhất vào 190 trong Lưu ý về the Art of Figures viết bởi Xu Yue.
Bàn tính có thể đã được sử dụng trước thời điểm này.
Ở Trung Quốc, vào 212 TCN, vua Tần Thủy Hoàng đã ra lệnh đốt tất cả sách trong
nước. Cho dù lệnh này không được tuân thủ hoàn toàn, nhưng ta vẫn biết rất ít về
toán học Trung Hoa cổ đại.
Từ triều Tây Chu (từ 1046), công trình toán học cổ nhất còn tồn tại sau cuộc đốt
sách là Kinh Dịch, trong đó sử dụng 64 quẻ 6 hào cho mục đích triết học hay tâm
linh. Các hào là các bộ hình vẽ gồm các đường gạch đậm liền hoặc đứt nét, đại diện
cho dương và âm.
Sau cuộc đốt sách, nhà Hán (202 TCN) - 220 đã lập các công trình về toán học có
thể là phát triển dựa trên các công trình mà hiện nay đã mất. Phần quan trọng nhất
trong số đó là Cửu chương toán thuật, tiêu đề của nó xuất hiện trước 179 CN,
19
- nhưng là nằm trong các tiêu đề khác tồn tại trước đó. Nó bao gồm 264 bài toán chữ,
chủ yếu là nông nghiệp, thương nghiệp, áp dụng của hình học để đo chiều cao và tỉ
lệ trong các chùa chiền, công trình, thăm dò, và bao gồm các kiến thức về tam giác
vuông và số π. Nó cũng áp dụng nguyên lí Cavalieri (Cavalieri's principle) về thể
tích hơn một nghìn năm trước khi Cavalieri đề xuất ở phương Tây. Nó đặt ra chứng
minh toán học cho Định lý Pythagore, và công thức toán học cho phép khử Gauss.
Công trình này đã được chú thích bởi Lưu Huy (Liu Hui) vào thế kỉ thứ 3 trước
Công nguyên.
Ngoài ra, các công trình toán học của nhà thiên văn học, nhà phát minh Trương
Hành (Zhang Heng, 78-139) đã có công thức cho số pi, khác so với tính toán của
Lưu Huy. Trương Hành sử dụng công thức của ông cho số pi để tính thể tích hình
cầu V theo đường kính D.
V= D3 + D3 = D3
Người Trung Quốc cũng sử dụng biểu đồ tổ hợp phức còn gọi là 'hình vuông thần
kì', được mô tả trong các thời kì cổ đại và được hoàn chỉnh bởi Dương Huy (1238-
1398).
3.2.2. Toán học Trung Quốc cổ điển (khoảng 400-1300)
Tổ Xung Chi (Zu Chongzhi) (thế kỉ 5) vào thời Nam Bắc Triều đã tính được giá trị
của số π chính xác tới bảy chữ số thập phân, trở thành kết quả chính xác nhất của
số π trong gần 1000 năm.
Trong hàng nghìn năm sau nhà Hán, bắt đầu từ nhà Đường và kết thúc vào nhà
Tống, toán học Trung Quốc phát triển thịnh vượng, nhiều bài toán phát sinh và giải
quyết trước khi xuất hiện ở châu Âu. Các phát triển trước hết được nảy sinh ở
Trung Quốc, và chỉ rất lâu sau mới được biết đến ở phương Tây, bao gồm số âm,
định lý nhị thức, phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính và Định
lý số dư Trung Quốc về nghiệm của hệ phương trình đồng dư bậc nhất.
Số âm được đề cập đến trong bảng cửu chương từ thời nhà Hán, 200TCN
Định lý nhị thức và tam giác Pascal được Yang Hui nghiên cứu từ thế kỷ 13
Ma trận được người Trung Quốc nghiên cứu và thành lập bảng ma trận từ những
năm 650 TCN
Người Trung Quốc cũng đã phát triển tam giác Pascal và luật ba rất lâu trước khi
nó được biết đến ở châu Âu. Ngoài Tổ Xung Chi ra, một số nhà toán học nổi tiếng
20
nguon tai.lieu . vn
