Xem mẫu
- Giải tích III
TS. Bùi Xuân Diệu
Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 1 / 53
- Chương 1: Chuỗi
1 Đại cương về chuỗi số
2 Chuỗi số dương
Tiêu chuẩn tích phân
Tiêu chuẩn so sánh
Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn Cauchy
3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi đan dấu
4 Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ
Chuỗi hàm số hội tụ đều
5 Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
6 Chuỗi Fourier
Chuỗi lượng giác
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 2 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Chương 1: Chuỗi
1 Đại cương về chuỗi số
2 Chuỗi số dương
Tiêu chuẩn tích phân
Tiêu chuẩn so sánh
Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn Cauchy
3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi đan dấu
4 Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ
Chuỗi hàm số hội tụ đều
5 Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
6 Chuỗi Fourier
Chuỗi lượng giác
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 3 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Định nghĩa
Cho {an }∞
n=1 là một dãy số. Tổng vô hạn
a1 + a2 + · · · + an + · · ·
∞
được gọi là một chuỗi số và được kí hiệu là an . Khi đó, an được gọi là
P
n=1
số hạng tổng quát và Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n.
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 4 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Định nghĩa
Cho {an }∞
n=1 là một dãy số. Tổng vô hạn
a1 + a2 + · · · + an + · · ·
∞
được gọi là một chuỗi số và được kí hiệu là an . Khi đó, an được gọi là
P
n=1
số hạng tổng quát và Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n.
Nếu như dãy số {Sn } là hội tụ và lim Sn = S tồn tại, thì ta nói
n→∞
∞ ∞
chuỗi số an là hội tụ và có tổng bằng S và viết
P P
an = S.
n=1 n=1
∞
Nếu dãy số {Sn } là phân kỳ thì ta nói chuỗi số an là phân kỳ.
P
n=1
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 4 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Ví dụ
Chúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1]. Sau đó chúng ta chia đôi khoảng này
ra thì ta được hai khoảng là [0, 1/2] và (1/2, 1], mỗi khoảng có độ dài
bằng 1/2. Sau đó ta lại tiếp tục chia đôi khoảng [0, 1/2], thì ta sẽ được
hai khoảng, mỗi khoảng có độ dài bằng 1/4. Tiếp tục kéo dài quá trình
này ta sẽ được chuỗi số sau:
1 1 1
1= + + ··· + n + ···
2 4 2
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 5 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Ví dụ
Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân
∞
qn = 1 + q + q2 + · · · .
P
n=0
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 6 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Ví dụ
Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân
∞
qn = 1 + q + q2 + · · · .
P
n=0
Ví dụ
∞
1
Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính n(n+1) .
P
n=1
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 6 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Ví dụ
Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân
∞
qn = 1 + q + q2 + · · · .
P
n=0
Ví dụ
∞
1
Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính n(n+1) .
P
n=1
Ví dụ
∞
1
Chứng minh rằng chuỗi điều hòa là phân kì.
P
n
n=1
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 6 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
∞
Nếu chuỗi số an là hội tụ, thì lim an = 0.
P
n=1 n→+∞
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 7 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
∞
Nếu chuỗi số an là hội tụ, thì lim an = 0.
P
n=1 n→+∞
Chú ý:
Mệnh đề đảo của Định lý trên là không đúng, i.e., nếu lim an = 0
n→+∞
∞ ∞
1
thì chưa chắc chuỗi an hội tụ. Ví dụ, chuỗi điều hòa n.
P P
n=1 n=1
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 7 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
∞
Nếu chuỗi số an là hội tụ, thì lim an = 0.
P
n=1 n→+∞
Chú ý:
Mệnh đề đảo của Định lý trên là không đúng, i.e., nếu lim an = 0
n→+∞
∞ ∞
1
thì chưa chắc chuỗi an hội tụ. Ví dụ, chuỗi điều hòa n.
P P
n=1 n=1
Điều kiện đủ để kiểm tra một chuỗi là phân kỳ: nếu lim an không
n→+∞
tồn tại hoặc lim an 6= 0 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. Ví dụ, xét
n→+∞
∞
chuỗi 2n+1 .
n
P
n=1
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 7 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
∞
Nếu chuỗi số an là hội tụ, thì lim an = 0.
P
n=1 n→+∞
Chú ý:
Mệnh đề đảo của Định lý trên là không đúng, i.e., nếu lim an = 0
n→+∞
∞ ∞
1
thì chưa chắc chuỗi an hội tụ. Ví dụ, chuỗi điều hòa n.
P P
n=1 n=1
Điều kiện đủ để kiểm tra một chuỗi là phân kỳ: nếu lim an không
n→+∞
tồn tại hoặc lim an 6= 0 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. Ví dụ, xét
n→+∞
∞
chuỗi 2n+1 .
n
P
n=1
Thay đổi một số số hạng đầu tiên của một chuỗi thì không làm ảnh
hưởng đến tính hội tụ hay phân kì của chuỗi số đó.
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 7 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Các phép toán trên chuỗi số hội tụ
∞ ∞ ∞
Nếu an và bn là các chuỗi số hội tụ, thì (αan + βbn ) cũng là
P P P
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
một chuỗi số hội tụ và
P P P
(αan + βbn ) = α an + β bn .
n=1 n=1 n=1
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 8 / 53
- Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Các phép toán trên chuỗi số hội tụ
∞ ∞ ∞
Nếu an và bn là các chuỗi số hội tụ, thì (αan + βbn ) cũng là
P P P
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
một chuỗi số hội tụ và
P P P
(αan + βbn ) = α an + β bn .
n=1 n=1 n=1
Ví dụ
Xét xem chuỗi sau đây là hội tụ hay phân kỳ. Nếu nó hội tụ, tính tổng.
∞ ∞ ∞
X 2 X n X en
a) 2
b) ln c)
n −1 n+1 n3
n=1 n=1 n=1
∞ 2 ∞ ∞
n +1 1 1
X X X
d) ln e) 2 n
f)
2n2 + 3 1+ n3 −n
n=1 n=1 3 n=1
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 8 / 53
- Chuỗi số dương
Chương 1: Chuỗi
1 Đại cương về chuỗi số
2 Chuỗi số dương
Tiêu chuẩn tích phân
Tiêu chuẩn so sánh
Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn Cauchy
3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi đan dấu
4 Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ
Chuỗi hàm số hội tụ đều
5 Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
6 Chuỗi Fourier
Chuỗi lượng giác
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 9 / 53
- Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân
Chuỗi số dương
Định nghĩa
∞
Chuỗi số an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương.
P
n=1
∞
Nhận xét: Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn an hội tụ ⇔ Sn bị chặn.
P
n=1
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 10 / 53
- Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân
Chuỗi số dương
Định nghĩa
∞
Chuỗi số an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương.
P
n=1
∞
Nhận xét: Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn an hội tụ ⇔ Sn bị chặn.
P
n=1
Định lý (Tiêu chuẩn tích phân)
Cho f (x) là một hàm số liên tục, dương, giảm trên đoạn [1, ∞) và
∞
an = f (n). Khi đó chuỗi số an và tích phân suy rộng 1 f (x)dx có
P R∞
n=1
cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 10 / 53
- Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân
Chuỗi số dương
Định nghĩa
∞
Chuỗi số an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương.
P
n=1
∞
Nhận xét: Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn an hội tụ ⇔ Sn bị chặn.
P
n=1
Định lý (Tiêu chuẩn tích phân)
Cho f (x) là một hàm số liên tục, dương, giảm trên đoạn [1, ∞) và
∞
an = f (n). Khi đó chuỗi số an và tích phân suy rộng 1 f (x)dx có
P R∞
n=1
cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.Nói cách khác,
∞
1 Nếu là hội tụ thì an cũng là hội tụ.
R∞ P
1 f (x)dx
n=1
∞
Nếu f (x)dx là phân kỳ thì an cũng là phân kỳ.
R∞ P
2
1
n=1
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 10 / 53
- Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân
Tiêu chuẩn tích phân
Ví dụ
∞ ∞
1 1
Xét sự hội tụ của các chuỗi a) b) (α > 0).
P P
1+n2 nα
n=1 n=1
TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 11 / 53
nguon tai.lieu . vn
